Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Nguyễn Trãi (Hà Nội) Tháng 4/2026 có đáp án
9 câu hỏi
(1,5 điểm)
Người ta làm khảo sát môn thể thao yêu thích của một số học sinh. Mỗi em chọn một môn duy nhất trong các môn: Cầu lông, Bóng rổ, Bóng đá, Bóng chuyền, Bơi lội. Kết quả thu được biểu thị trong biểu đồ sau:
a) Xác định số học sinh tham gia khảo sát này.
b) Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu trên.
a) Số học sinh tham gia khảo sát là: \(84 + 54 + 78 + 48 + 36 = 300\) (học sinh)
b) Gọi \({f_1};{f_2};{f_3};{f_4};{f_5}\) là tần số tương đối của các nhóm học sinh tham gia các môn thể thao yêu thích trên mẫu số liệu.
\({f_1} = \frac{{84}}{{300}}.100\% = 28\% \); \({f_2} = \frac{{54}}{{300}}.100\% = 18\% \);
\({f_3} = \frac{{78}}{{300}}.100\% = 26\% \); \({f_4} = \frac{{48}}{{300}}.100\% = 16\% \);
\({f_5} = \frac{{36}}{{300}}.100\% = 12\% \).
Bảng tần số tương đối của mẫu số liệu trên là:
Hoạt động | Cầu lông | Bóng đá | Bóng rổ | Bóng chuyền | Bơi lội |
Tần số tương đối | \(28\% \) | \(18\% \) | \(26\% \) | \(16\% \) | \(12\% \) |
Vì một hộp có 25 thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \(1;2;3;4;5;...;25\), hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau nên rút ngẫu nhiên một thẻ có 25 kết quả có thể xảy ra. \(n\left( \Omega \right) = 25\).
Các thẻ ghi số chia cho 5 dư 1 là: \(\left\{ {1;6;11;16;21} \right\}\) có 5 kết quả thuận lợi \(n\left( A \right) = 5\).
Xác suất của biến cố A “Rút được thẻ ghi số chia cho 5 dư 1” là: \(P\left( A \right) = \frac{5}{{25}} = \frac{1}{5}\).
(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\) ; \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{12}}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4\)
1) Tính giá trị biểu thức A khi \(x = 16\).
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\).
3) Với \(P = A.B\). Tìm tất cả các giá trị của x để \(\left| P \right| > P\).
1) Thay \(x = 16\) (TMĐK) vào biểu thức A ta có: \(A = \frac{{\sqrt {16} - 2}}{{\sqrt {16} + 2}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\).
Vậy \(A = \frac{3}{5}\) khi \(x = 16\).
2) Với \(x \ge 0;x \ne 4\), ta có:
\(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{12}}{{x - 4}}\)
\(B = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right).\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{x + 4\sqrt x + 4 - 3\sqrt x + 6 - 12}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\) (đpcm)
3) Với \(x \ge 0;x \ne 4\), ta có:
\(P = A.B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\).
Để \(\left| P \right| > P\) thì \(P < 0\) nên \(\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} < 0\)
Với \(x \ge 0;x \ne 4\) thì \(\sqrt x + 2 > 0\) nên \(\sqrt x - 1 < 0\) suy ra \(\sqrt x < 1\) nên \(x < 1\).
Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0;x \ne 4\) thì \(0 \le x < 1\) là các giá trị cần tìm.
(2,5 điểm)
Gọi giá tiền một chiếc vé của người lớn là \(x\) (\(x > 0\), nghìn đồng)
Gọi giá tiền một chiếc vé của trẻ em là \(y\) (\(y > 0\), nghìn đồng)
Vì gia đình An có \(2\) người lớn và \(1\) trẻ em mua vé hết tổng \(370\) nghìn đồng nên ta có phương trình \(2x + y = 370\).
Lại có gia đình Bình có \(3\) người lớn và \(2\) trẻ em mua vé hết tổng \(590\) nghìn đồng nên ta có phương trình \(3x + 2y = 590\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 370\\3x + 2y = 590\end{array} \right.\).
Giải hệ phương trình ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 150\left( {tm} \right)\\y = 70\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy giá tiền mỗi chiếc vé xem phim của người lớn là \(150\) nghìn đồng và giá tiền mỗi chiếc vé xem phim của trẻ em là \(70\) nghìn đồng.
Một đội xe vận tải được phân công chở \(120\) tấn hàng để ủng hộ vùng bão lũ. Khi bắt đầu làm việc, đội được bổ sung thêm \(2\) xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn so với dự định \(2\) tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc? (Biết khối lượng hàng mỗi xe chở là như nhau).
Gọi số xe lúc đầu của đội là \(x\) ( \(x \in {\mathbb{N}^*}\), chiếc xe)
Số xe thực tế của đội là \(x + 2\) (xe)
Theo dự định mỗi xe chở số tấn hàng là \(\frac{{120}}{x}\) (tấn)
Theo thực tế mỗi xe chở số tấn hàng là \(\frac{{120}}{{x + 2}}\) (tấn)
Vì mỗi xe chở ít hơn so với dự định \(2\) tấn nên ta có phương trình:
\(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 2}} = 2\)
\(\frac{{120\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{120x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{2x\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\)
\(120{\rm{x}} + 240 - 120{\rm{x}} = 2{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}}\)
\(2{x^2} + 4x - 240 = 0\)
\({x^2} + 2{\rm{x}} - 120 = 0\)
Ta có \(\Delta = 4 + 480 = 484\)
Suy ra \(x = 10(tm)\); \(x = - 12\,\left( l \right)\)
Vậy số xe lúc đầu của đội là \(10\) xe.
Phương trình \({x^2} - 12x + 4 = 0\) có có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1};{x_2}\).
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 12\\{x_1}.{x_2} = 4\end{array} \right.\)
Ta có \({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 12 + 2\sqrt 4 = 16\)
Suy ra \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 4\)
\({x_1}^2 + {x_2}^2 = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {12^2} - 2.4 = 136\)
Ta có \(T = \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} }} = \frac{{136}}{4} = 34\).
Vậy \(T = 134\).
(4,0 điểm)
Một chiếc nón có đường kính đáy là 80 cm, chiều cao của nón là \[30{\rm{ cm}}.\]
![Một chiếc nón có đường kính đáy là 80 cm, chiều cao của nón là \[30{\rm{ cm}}.\] a) Tính độ dài đường sinh của chiếc nón. b) Người ta cần sơn bề mặt xung quanh chiếc nón để trang trí. Hỏi diện tích cần sơn là bao nhiêu? (Lấy \[\pi \approx 3,14\]). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/05/picture25-1778247641.png)
a) Tính độ dài đường sinh của chiếc nón.
b) Người ta cần sơn bề mặt xung quanh chiếc nón để trang trí. Hỏi diện tích cần sơn là bao nhiêu? (Lấy \[\pi \approx 3,14\]).Bài toán hình nón
Đường kính đáy của hình nón là 80 cm nên bán kính đáy là:
\[r = 80:2 = \,40\,\,({\rm{cm}}).\]
Chiều cao hình nón là h = 30 cm.
a) Tính đường sinh
Xét tam giác vuông tạo bởi bán kính đáy, chiều cao và đường sinh của hình nón, ta có:
\[{l^2} = {r^2} + {h^2} = {40^2} + {30^2} = 1600 + 900 = 2500\]
Suy ra \(l = \sqrt {2500} = 50\,\,{\rm{(cm)}}{\rm{.}}\)
Vậy độ dài đường sinh của chiếc nón là 50 cm.
b) Tính diện tích xung quanh cần sơn
Diện tích xung quanh của hình nón được tính theo công thức: \[{S_{xq}} = \pi rl\].
Thay số vào, ta được:
Vậy diện tích cần sơn là 6280 cm².
Cho tam giác \[ABC\] nhọn \[\left( {AB < AC} \right),\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right).\] Các đường cao \[AD,\,\,BE\] của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại H.
a) Chứng minh \[ABDE\] là tứ giác nội tiếp.
b) Kẻ \[OM\] vuông góc với \[BC\] tại \[M.\] Đường thẳng \[OM\] cắt \[AB,\,\,AC\] theo thứ tự tại P, Q. Gọi \[N\] là trung điểm của PQ. Chứng minh \[\widehat {AQP} = \widehat {BED}\] và \[AP.CM = PN.HC\].
c) Gọi \[I\] là giao điểm của MH với \[\left( O \right).\] Chứng minh ba điểm \[I,\,\,A,\,\,N\] thẳng hàng.
a) Ta có \(AD,\,\,BE\) là đường cao của \(\Delta ABC\)(gt) \( \Rightarrow AD \bot BC,\,BE \bot AC\).
\[ \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ ,\,\,\,\widehat {BEA} = \widehat {BEC} = 90^\circ \].
Xét \(\Delta AEB\) vuông tại \(E\) (\[\widehat {BEA} = 90^\circ \]): AB là cạnh huyền.
Suy ra \(\Delta AEB\) nội tiếp đường tròn đường kính AB nên ba điểm \[A,B,E\] thuộc đường tròn đường kính AB \[\left( 1 \right)\]
Xét \(\Delta ADB\) vuông tại \(D\) (\[\widehat {ADB} = 90^\circ \]): AB là cạnh huyền nên \(\Delta ADB\) nội tiếp đường tròn đường kính AB .
Suy ra ba điểm \[A,B,D\] thuộc đường tròn đường kính AB \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra bốn điểm \[A,B,D,E\] thuộc đường tròn đường kính \[AB\].
Do đó, tứ giác \[ABDE\] nội tiếp.
b) Do \(AD \bot BC\,\,{\rm{(cmt)}}{\rm{,}}\,\,\,PM \bot BC\,\,{\rm{(gt)}}\) nên \(AD\,{\rm{//}}\,PM\) (từ vuông góc đến song song)
Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {BPM}\) (hai góc đồng vị)
Ta có tứ giác \[ABDE\] nội tiếp.
Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {BED} = \frac{1}{2}\)sđ (góc nội tiếp chắn cung BD).
Kẻ đường kính AJ.
Chứng minh được: \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Chứng minh được: \(BHCJ\) là hình bình hành từ đó suy ra được \(H,M,J\) thẳng hàng và \(\widehat {BHC} = \widehat {BJC}\).
Chứng minh được: \(\widehat {PAQ} = \widehat {BJC}\) (cùng bù \(\widehat {ABC}\)).
Suy ra: \(\widehat {PAQ} = \widehat {BHC}\).
Chứng minh được:
Suy ra \[\frac{{AP}}{{HC}} = \frac{{PQ}}{{BC}} = \frac{{2PN}}{{2CM}} = \frac{{PN}}{{CM}}\] nên \[AP.CM = PN.HC\].
c) Chứng minh được:
Do \[I,H,M\] thẳng hàng và \[H,M,J\] thẳng hàng nên \[I,H,M,J\] thẳng hàng
Suy ra: \(\widehat {PAN} = \widehat {CHM} = \widehat {HJB} = \widehat {IAB}\).
Do \[\widehat {PAN} + \widehat {NAB} = 180^\circ \] nên \[\widehat {IAB} + \widehat {NAB} = 180^\circ \]
Do đó \(I,A,N\) thẳng hàng.
(0,5 điểm)
Nhà anh Minh có một cái ao nuôi cá hình chữ nhật \(ABCD\) (tham khảo hình vẽ), đợt này vừa có một loại cá giống mới nên anh đã giăng lưới quây lại để nuôi thử nghiệm trên một góc ao của mình. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí \(M\) ở bờ\(AB\) đến một vị trí \(N\) ở bờ \(AD\) và phải đi qua một cái cọc cố định đã cắm sẵn ở vị trí \(E\). Biết rằng khoảng cách từ cọc \(E\) đến bờ \(AB,AD\) lần lượt là 5 m và 12 m. Hỏi diện tích nhỏ nhất của phần góc ao\(AMN\)mà anh Minh có thể quây được là bao nhiêu?
Gọi khoảng cách từ \(E\) đến \(AB,AD\) lần lượt là \(EH,EK.\)
Đặt \(KN = x\left( m \right)\), đk: \(x > 0\)
Vì nên \[\frac{{KE}}{{HM}} = \frac{{KN}}{{HE}} \Rightarrow \frac{{12}}{{HM}} = \frac{x}{5} \Rightarrow HM = \frac{{60}}{x}\left( m \right)\]
\(\Delta AMN\) vuông tại A nên
\({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AM.AN\, = \frac{1}{2}.\left( {12 + \frac{{60}}{x}} \right).\left( {5 + x} \right) = \left( {6 + \frac{{30}}{x}} \right).\left( {5 + x} \right)\)
\[ = 30 + 6x + \frac{{150}}{x} + 30\]=\[60 + 6x + \frac{{150}}{x}\].
Chứng minh được \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \). Dấu “=” xảy ra khi \[a = b.\]
\({S_{AMN}} = \)\[60 + 6x + \frac{{150}}{x} \ge 60 + 2\sqrt {6x.\frac{{150}}{x}} \]=120
Dấu “=” xảy ra khi \[6x = \frac{{150}}{x}\] nên \[{x^2} = 25\] suy ra \[x = 5\](TMĐK)
Vậy diện tích nhỏ nhất của phần góc ao\(AMN\) mà anh Thịnh có thể quây được là \(120{m^2}\).
