Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Ngô Gia Tự (Hà Nội) Tháng 4/2026 có đáp án

a) Số ngày cửa hàng thu được tiền lãi từ \[1\] triệu \[500\] nghìn đồng đến dưới \[3\] triệu đồng là:

\[12 + 20 + 15 = 47\] (ngày)

b) Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \[\left[ {1500;2000} \right)\] là: \[\frac{{12}}{{60}}.100\%  = 20\% \].

Có 10 kết quả có thể xảy ra, đó là: \[I,\,II,\,3,\,IV,\,5,\,IV,\,VIII,\,9,\,7,\,X\].

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A, đó là: \[I,\,II,\,IV,\,VIII,\,X,\,VI\].

Xác suất của biến cố A là: \[P\left( A \right) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\].

a) Thay \(x = 16\)(thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức ta có

\(A = \frac{5}{{\sqrt {16}  + 3}} = \frac{5}{{4 + 3}} = \frac{5}{7}\)

Vậy \(A = 1\) khi \(x = 16\).

b) \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{9\sqrt x  + 9}}{{x - 9}}\)\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{9\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + 9\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)\( = \frac{{x - 3\sqrt x  + 9\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 6\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\).

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\).

c) \(P = A \cdot B = \frac{5}{{\sqrt x  + 3}}.\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{5}{{\sqrt x  - 3}}\).

Để \(P\) nhận giá trị nguyên dương thì \(\sqrt x  - 3\) là ước nguyên dương của \(5\).

TH1: \(\sqrt x  - 3 = 1\), suy ra \(x = 16\) (thỏa mãn).

TH2: \(\sqrt x  - 3 = 5\), suy ra \(x = 64\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 16\) hoặc \(x = 64\) thì \(P\) nhận giá trị nguyên dương.

Gọi vận tốc của xe tải là \[x\,(km/h,\,x > 0)\]

Vận tốc của xe du lịch là: \[x + 10\,(km/h)\].

Thời gian xe du lịch đi từ A đến khi gặp nhau là: \[\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\,\left( h \right)\].

Quãng đường xe du lịch đi từ A đến khi gặp nhau là: \[\left( {x + 10} \right).\frac{3}{2} = 1,5x + 15\,\left( {km} \right)\].

Quãng đường xe tải đi được là: \[1.x = x\,\left( {km} \right)\].

Theo đề bài ta có phương trình: \[x + 1,5x + 15 = 90\]

                                                    \[2,5x = 75\]

                                                    \[x = 30\] (TMĐK).

  Vậy vận tốc của xe tải là \[30km/h\] và vận tốc xe du lịch là \[30 + 10 = 40km/h\].

Gọi thời gian tấm pin A, tấm pin B một mình sạc đầy trạm lần lượt là \[x,\,y\,\left( {h;\,\,\,x,y > 12} \right)\].

Một giờ tấm pin A sạc được là: \[\frac{1}{x}\] (trạm)

Một giờ tấm pin B sạc được là: \[\frac{1}{y}\] (trạm)

Vì hai tấm pin cùng sạc vào trạm tích điện thì sau \[12\] giờ sẽ đầy trạm nên ta có phương trình:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\,\,\,\left( 1 \right)\]

 Vì mở cả hai tấm cùng sạc trong \[4\] giờ, sau đó tấm A bị mây che khuất nên ngừng hoạt động. Tấm B tiếp tục sạc một mình trong \[20\] giờ nữa thì trạm mới đầy nên ta có phương trình:

\[4\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + \frac{{20}}{y} = 1\,\] hay \[\frac{4}{x} + \frac{{24}}{y} = 1\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{4}{x} + \frac{{24}}{y} = 1\,\,\,\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{x} + \frac{4}{y} = \frac{1}{3}\\\frac{4}{x} + \frac{{24}}{y} = 1\,\,\,\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 20\,\left( {t/m} \right)\\y = 30\,\left( {t/m} \right)\,\,\,\end{array} \right.\]

Vậy ngay từ đầu chỉ dùng tấm B thì sau 30 giờ sẽ đầy trạm.

Vì phương trình có hai nghiệm \[{x_1},{x_2}\], theo định lí Viète: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} =  - m\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\end{array} \right.\]

Vì \[{x_1}\] là nghiệm của phương trình nên: \[\,{x_1}^2 - 3{x_1} - m = 0\] suy ra \[\,{x_1}^2 = 3{x_1} + m\].

Theo đề bài \[x_1^2 + 3{x_2} = 9\].

Suy ra \[3{x_1} + m + 3{x_2} = 9\]

\[3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + m = 9\]

\[3.3 + m = 9\] suy ra \[m = 0\].

Xét \[P = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {3^2} - 2.\left( { - m} \right) = 9 - 0 = 9\].

a) Thể tích của lượng nước ban đầu có trong chiếc cốc là: \(V = \pi {R^2}h \approx {3,14.3^2}.5 = 141,3(c{m^3})\)

b) Thể tích của 6 viên bi hình cầu là: \(V = 6.\frac{4}{3}.\pi .{r^3} \approx 6.\frac{4}{3}{.3,14.1^3} = 25,12(c{m^3})\)

Vì thể tích của 6 viên bi hình cầu bằng thể tích của nước trong cốc dâng lên => thể tích của nước trong cốc dâng lên là \(25,12(c{m^3})\).

Thể tích của lượng nước trong cốc sau khi thả \(6\)viên bi vào là: \(141,3 + 25,12 = 166,42(c{m^3})\)

Chiều cao của lượng nước trong cốc sau khi thả \(6\)viên bi vào là:

\(\begin{array}{l}\pi .{R^2}.h = 166,42\\{3,14.3^2}.h = 166,42\\h = \frac{{53}}{9} \approx 5,89(cm)\end{array}\)

Vậy chiều cao của mực nước trong cốc sau khi thả 6 viên bi khoảng \(5,89cm\)

a) Chứng minh bốn điểm \(B,C,E,F\) cùng thuộc một đường tròn:

Xét \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) có \(BC\) là cạnh huyền nên \(B,C,E\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\) + Xét \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) có \(BC\)là cạnh huyền nên \(B,C,F\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\) Do đó \(B,C,E,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

b) Chứng minh \(KB.KC = KE.KF\) và \(FB\) là tia phân giác của góc \(KFD\).

Vì \(B,C,E,F\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC\) nên \(\widehat {FEB} = \widehat {FCB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(FB\)).

Xét \(\Delta KBE\) và \(\Delta KFC\) có: \(\widehat {BKF}\) chung; \(\widehat {FEB} = \widehat {FCB}\)(cmt)

Do đó $\Delta KBE\backsim \Delta KFC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ suy ra \(\frac{{KB}}{{KF}} = \frac{{KE}}{{KC}}\) nên \(KB.KC = KE.KF\)

Vì tứ giác \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {EFB} + \widehat {ECB} = 180^\circ \).

Mà \(\widehat {EFB} + \widehat {KFB} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {ECB} = \widehat {KFB}\) (3)

Xét \(\Delta BDA\) và \(\Delta BFC\) có: \(\widehat {FBD}\) chung; \(\widehat {BDA} = \widehat {BFC} = 90^\circ \,{\rm{(gt)}}\).

Do đó $\Delta BDA\backsim \Delta BFC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$

Suy ra \(\frac{{BD}}{{BF}} = \frac{{BA}}{{BC}}\) nên \(\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}\).

Xét \(\Delta BFD\) và \(\Delta BCA\) có: \(\widehat {FBD}\) chung; \(\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) (cmt)

Do đó $\Delta BFD\backsim \Delta BCA\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(c.g.c)}$ suy ra \(\widehat {ECB} = \widehat {BFD}\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {BFD} = \widehat {KFB}\,\,( = \widehat {ECB})\) nên \(FB\) là tia phân giác của góc \(KFD\).

c) Chứng minh đường thẳng \(IF\) vuông góc với đường thẳng \(MF\).

Gọi \(FN\) là đường kình của \((I)\); \(FB\) cắt \((I)\) tại \(P\) nên \(\widehat {FPN} = 90^\circ \).

Vì \(\widehat {ACB} = \widehat {KFP}\) (cùng bù với \(\widehat {BFE}\)) (5)

Vì \(\widehat {KPF} = \widehat {KDF}\) mà \(\widehat {KDF} = \widehat {BAC}\) nên \(\widehat {KPF} = \widehat {BAC}\)(6)

Từ (5) và (6) nên  suy ra \(\widehat {PKF} = \widehat {ABC}\)

Mà \(\widehat {PKF} = \widehat {PNF}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(FP\) của \((I)\))

Suy ra \(\widehat {FNP} = \widehat {FBC}\) và \(\widehat {NPF} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) nên

 Suy ra \(\widehat {NFP} = \widehat {BCF}\)

Mà \(\widehat {MFC} = \widehat {BCF}\) (vì \(\Delta MFC\) cân tại \(M\) có \(MF = MC = \frac{{BC}}{2}\)) nên \(\widehat {NFP} = \widehat {MFC}\).

Do đó \(FI\) vuông góc với đường thẳng \(MF\).

Ta có gọi số xe ga và xe số cửa hàng nhập về lần lượt là \(x;y\) (xe) \(\left( {x,y \in \mathbb{N}*} \right).\)

Vì tổng nhu cầu thị trường trong Quý I không vượt quá \(70\) chiếc cho cả hai loại xe nên ta có

\(x + y \le 70\)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá \(1\) tỷ đồng (\( = 1000\) triệu đồng) nên ta có \(25x + 10y \le 1000\)

hay \(5x + 2y \le 200\)

Lợi nhuận cửa hàng thu được là \(L = 4x + 2y\) (triệu đồng)

Suy ra \(3L = 12x + 6y = 2\left( {5x + 2y} \right) + 2\left( {x + y} \right) \le 2.200 + 2.70 = 540\). Do đó \(L \le 180\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 70\\5x + 2y = 200\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 50\end{array} \right.\).

Vậy để lợi nhuận thu được lớn nhất thì cửa hàng cần nhập \(20\) xe ga và \(50\) xe số.