Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Lý Sơn (Hà Nội) có đáp án

1)

a) Khối 9 trường THCS A có số học sinh tham gia thi khảo sát là:

10 + 22 + 52 + 100 + 80 = 264 (học sinh)

0,5

b) Tần số ghép nhóm của nhóm \(\left[ {6\,\,;\,\,8} \right)\) là: 100

Tần số tương đối nghép nhóm của nhóm \(\left[ {6\,\,;\,\,8} \right)\) là:

 \(\frac{{100.100\% }}{{264}} \approx 37,88\% \)

0,25

0,25

2)

Không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {1\,\,;\,\,2\,\,;\,\,3\,;\,4\,\,;\,\,......\,\,;\,\,19\,\,;\,\,20} \right\}\), có 20 phần tử,

suy ra: \(n\left( \Omega \right) = 20\)

Vì các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau nên các kết quả có thể xảy ra là đồng khả năng.

Có 8 kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Lấy được viên bi ghi số nguyên tố” là: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19. Suy ra: n(A)= 8

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{8}{{20}} = \frac{2}{5}\)

0,25

0,25

a)

Thay x = 9 (TMĐK) vào biểu thức A

Tính được\[ A = \frac{3}{5}\] kết luận

0,25

b)

 \(B = \;\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \;\frac{{2.\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 5} \right).\;\left( {\sqrt x - 5} \right)}}} \right):\;\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 5}}\) \(\left( {x\; \ge 0;x\; \ne 25;x\; \ne 4} \right)\)

\(B = \frac{{\sqrt x - \;2}}{{\sqrt x + 5}}.\;\frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 2}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x - \;2}}{{\sqrt x + 2}}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x - \;2}}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x\; \ge 0;x\; \ne 25;x\; \ne 4\)

0,25

0,25

0,25

c)

Ta có: \(P = \;\frac{A}{{B\;}} = \;\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\;:\;\frac{{\sqrt x - \;2}}{{\sqrt x + 2}}\; = \;\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\;\frac{{\sqrt x + \;2}}{{\sqrt x - 2}}\) nên \(P = \;\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)

Để P không âm tức là \(P\; \ge 0\) suy ra \(\;\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\; \ge 0\)

Lập luận xét hai trường hợp tìm được x = 0 (thỏa mãn

hoặc \[x > 4\] và \[x \ne 25\]

0,25

0,25

Đổi 1,5 giờ = 90 phút

Gọi thời gian bạn Dũng chạy bộ và bơi ngày hôm nay thứ tự là x (phút) và y (phút) (ĐK: x ; y > 0)

Số calo bạn Dũng tiêu thụ cho chạy bộ là: 10x (calo)

Số calo bạn Dũng tiêu thụ cho bơi là: 15y (calo)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 90\\10x + 15y = 1200\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được: x = 30 (TMĐK) và y = 60 (TMĐK)

KL: Vậy bạn Dũng đã dành 30 phút (\( = \frac{1}{2}\) giờ) cho hoạt động chạy bộ và 60 phút (1 giờ) cho hoạt động bơi.

0,25

0,25

0,25

0,25

2

Gọi số bộ quần áo mỗi ngày xưởng phải may theo kế hoạch là \[x\] (bộ quần áo) ĐK: \[x \in {\mathbb{N}^*}\].

Thời gian may xong \[360\] bộ quần áo theo kế hoạch là \[\frac{{360}}{x}\] (ngày)

Thực tế, mỗi ngày xưởng may được \[x + 4\] (bộ quần áo)

Thời gian may xong \[360\] bộ quần áo theo thực tế là \[\frac{{360}}{{x + 4}}\] (ngày)

Vì xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày nên ta có phương trình:

\[\frac{{360}}{x} - \frac{{360}}{{x + 4}} = 1\]

\[\frac{{360\left( {x + 4} \right) - 360x}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = 1\]

\[360x + 1440 - 360x = {x^2} + 4x\]

\[{x^2} + 4x - 1440 = 0\]

Giải phương trình được:         \[{x_1} = 36\] (thỏa mãn ĐK)

                                   \[{x_2} = - 40\] (loại)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may \[36\] bộ quần áo.

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

Ta thấy \(\Delta = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0\) với mọi m. Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cần \(\Delta > 0\), suy ra: \(m \ne 4\)

Theo định lý Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = m\,\,\,\,;\,\,\,{x_1}.{x_2} = 2m - 4\)

Xét biểu thức: \[\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 3\,\,\]

\[{\left( {\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|} \right)^2} = {3^2}\,\,\]

\[x_1^2 + x_2^2 + 2.\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 9\]

 \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 9\)

\({m^2} - 2\left( {2m - 4} \right) + 2\left| {2m - 4} \right| = 9\) (*)

*TH1: \(2m - 4 \ge 0\) tức \(m \ge 2\), thu gọn (*) ta được m² = 9

Suy ra: m = - 3 (loại) và m = 3 (TMĐK)

*TH2: \(2m - 4 < 0\) tức \(m < 2\), thu gọn (*) ta được m² – 8m + 7 = 0

Suy ra: m = 1 (TMĐK) và m = 7 (loại)

Vậy \(m \in \left\{ {1\,\,;\,\,3} \right\}\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 3\).

1)

Ta có bán kính đáy hình trụ là: R = 3 cm.

Khi đó thể tích nước trong ly là: \(V = \pi .{R^2}.h = {3,14.3^2}.15 = 423,9\left( {c{m^3}} \right)\).

0,25

0,25

Mỗi quả cầu có bán kính r = 1 cm. Khi đó thể tích 5 quả cầu là

\(V' = 5.\frac{4}{3}.\pi .{r^3} = 5.\frac{4}{3}{.3,14.1^3} \approx 20,9\left( {c{m^3}} \right)\).

Vậy thể tích nước còn lại trong ly là: \(V - V' \approx 403,0\left( {c{m^3}} \right)\)

0,25

0,25

2)

Hình vẽ đúng hết câu a)

0,25

a)

Vì \[AB \bot PQ\] tại D nên \(\Delta IPD\) vuông tại D, suy ra ba điểm P, D, I cùng thuộc đường tròn đường kính PI (1)

0,25

Xét đường tròn (O; R) có \(\widehat {PMQ}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, nên: \[\widehat {PMQ} = 90^\circ \] hay \(\widehat {PMI} = 90^\circ \)

0,25

Suy ra \(\Delta MIP\) vuông tại M, suy ra ba điểm P, M, I cùng thuộc đường tròn đường kính PI (2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm P, M, I, D cùng thuộc đường tròn đường kính PI.

0,25

b)

*Chứng minh: $\Delta QID\backsim \Delta QPM\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$ .

Từ đó suy ra: QI . QM = QD . QP (1)

*Chứng minh: $\Delta QDB\backsim \Delta QBP\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$.

Từ đó suy ra: QD . QP = QB² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: QI . QM = QB²

0,25

0,25

0,25

* Tính \(\widehat {APB}\)

Xét \(\Delta OAD\) vuông tại D có: \(OD = \frac{1}{2}.OQ = \frac{1}{2}.R\)

Ta có: \(\cos \widehat {AOD} = \frac{{OD}}{{OA}} = \frac{1}{2}\) nên \(\widehat {AOD} = 60^\circ .\)

Suy ra: \(\widehat {AOB} = 120^\circ \). Từ đó suy ra: \(\widehat {APB} = 60^\circ \).

0,25

0,25

c)

Chứng minh: \(\Delta APB\) và \(\Delta AMC\) là các tam giác đều

Chứng minh: \(\widehat {MAP} = \widehat {CAB}\) (cùng cộng với \(\widehat {PAC}\) để bằng 60^o)

*Chứng minh: \(\Delta AMP = \Delta ACB\,(c - g - c)\)

Từ đó ta có: MP = BC mà MA = MC.

Suy ra S = MP + MA = BC + MC = MB

Do MB là dây cung nên MB có giá trị lớn nhất khi MB là đường kính của đường tròn (O ; R)

0,25

0,25

Chiểu rộng của bể là: x mét (ĐK: x > 0)

Chiều dài của bể là: 2x mét

Chiều cao của bể là: h mét

Vì thể tích của bể là \[4{\rm{ }}500{\rm{ }}{m^3}\] nên ta có: \(h = \frac{{4500}}{{2{x^2}}} = \frac{{2250}}{{{x^2}}}\left( m \right)\)

Diện tích cần xây dựng là:

\(S = 2{x^2} + 6xh = 2{x^2} + 6x.\frac{{2250}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{13500}}{x} = 2\left( {{x^2} + \frac{{6750}}{x}} \right)\)

\(S = 2\left[ {{{\left( {x - 15} \right)}^2} + \left( {30x + \frac{{6750}}{x}} \right) - 225} \right]\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 30x và \(\frac{{6750}}{x}\), từ đó chứng minh được:

\(S \ge 1350\)

Dấu “ = “ xảy ra khi: x = 15 (TMĐK)

Khi đó chi phí thấp nhất để bác Thìn có thể xây được bể là:

1350 . 520000 = 702 triệu đồng

0,25

0,25