Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 Trường THCS Chu Văn An-Hồ Tây (Hà Nội) Tháng 4/2026 có đáp án

Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

Xét phép thử "Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ một hộp đựng 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20".

Vì các tấm thẻ là như nhau và việc rút là ngẫu nhiên, nên các kết quả xảy ra là đồng khả năng.

Không gian mẫu của phép thử là tập hợp các số ghi trên thẻ: \(\Omega  = \{ 1;2;3; \ldots ;20\} \).

Số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega ) = 20\).

Gọi \(A\) là biến cố: “Số ghi trên tấm thẻ là bội của 4”.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là các số thuộc tập hợp \(S\) và chia hết cho 4.

Tập hợp các kết quả thuận lợi là: \(A = \{ 4;8;12;16;20\} \).

Số phần tử thuận lợi cho biến cố \(A\) là: \(n(A) = 5\).

Xác suất của biến cố \(A\) được tính theo công thức:

\(P(A) = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4} = 0,25\)

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là 0,25.

1) Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức A, ta được:

\(A = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 9  - 1}} = \frac{3}{{3 - 1}} = \frac{3}{2}\).

Vậy giá trị của biểu thức A tại \(x = 9\) là \(\frac{3}{2}\).

2) \(M = A + B\)

\(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  + 1) + 3(\sqrt x  - 1) - 6\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x  + 3\sqrt x  - 3 - 6\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\) (đpcm)

3) Để \(M \le \frac{1}{2}\) thì \(\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} \le \frac{1}{2}\)

\(\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{2} \le 0\)

\(\frac{{2\sqrt x  - 2 - \sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} \le 0\)

\(\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}} \le 0\)

Mà \(\sqrt x  + 1 > 0\) với mọi \(x\) thoả mãn điều kiện

Nên \(\sqrt x  - 3 \le 0 \Rightarrow \sqrt x  \le 3 \Rightarrow x \le 9\)

Mà \(x \ge 0;x \ne 1\), \(x\)là số nguyên tố nên \(x \in \left\{ {2;3;5;7} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ {2;3;5;7} \right\}\) là các giá trị cần tìm.

Gọi tốc độ của anh Bắc và anh Nam lần lượt là \(x,y\) (km/h) (\(x > 0,y > 5\))

Quãng đường anh Bắc đi đến chỗ gặp anh Nam là: \(2x\) (km)

Quãng đường anh Nam đi đến chỗ gặp anh Bắc là: \(2y\) (km)

Vì hai địa điểm cách nhau \(150km\) nên ta có phương trình:

\(2x + 2y = 150\) hay \(x + y = 75\) (1)

Vì nếu anh Bắc tăng tốc độ thêm \(5\) km/h và anh Nam giảm tốc độ \(5\) km/h thì tốc độ của anh Bắc gấp đôi tốc độ của anh Nam nên ta có phương trình: \(x + 5 = 2(y - 5)\) hay \(x - 2y =  - 15\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 75\\x - 2y =  - 15\end{array} \right.\).

Trừ từng vế hai phương trình ta được: \(3y = 90 \Rightarrow y = 30\) (TMĐK)

Thay \(y = 30\) vào phương trình (1) ta được \(x = 45\) (TMĐK)

Vậy tốc độ của anh Bắc và anh Nam lần lượt là \(45\) km/h và \(30\) km/h.

Gọi số sản phẩm mỗi ngày tổ phải sản xuất theo dự định là \(x\) (sản phẩm) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,\,x < 600} \right).\)

Số sản phẩm làm với năng suất tăng \(10\) sản phẩm mỗi ngày là: \(600 - 400 = 200\) (sản phẩm)

Năng suất của tổ nếu tăng \(10\) sản phẩm mỗi ngày là: \(x + 10\) (sản phẩm/ngày)

Thời gian làm \(200\) sản phẩm theo năng suất dự định là: \(\frac{{200}}{x}\) (ngày)

Thời gian làm \(200\) sản phẩm theo năng suất tăng thêm là: \(\frac{{200}}{{x + 10}}\) (ngày)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\frac{{200}}{x} - \frac{{200}}{{x + 10}} = 1\)

\(200(x + 10) - 200x = x(x + 10)\)

\({x^2} + 10x - 2000 = 0\)

\(\left( {x - 40} \right)\left( {x + 50} \right) = 0\)

Trường hợp 1: \(x - 40 = 0 \Rightarrow x = 40\) (TMĐK)

Trường hợp 2: \(x + 50 = 0 \Rightarrow x =  - 50\) (loại)

Vậy số sản phẩm mỗi ngày tổ phải sản xuất theo dự định là \(40\) (sản phẩm)

Vì phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\), áp dụng định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 4;{x_1}.{x_2} =  - 7\).

Theo bài ra \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {4^2} - 4.( - 7) = 44\).

Vậy \(A = 44\)

Thể tích thùng kem là: \[\pi .{\left( {30:2} \right)^2}.70 = 15750\pi  \approx 49455\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\]

Đổi \[49455\;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}) \approx 49,5\](lít).

Vậy thùng đó chứa được khoảng \[49,5\] lít kem.

Thể tích của một viên kem hình cầu với đường kính \[{\rm{6 cm}}\] là:

\[\frac{4}{3}.\pi .{\left( {6:2} \right)^3} = 36\pi  \approx 113,04\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\].

Thể tích của 3 viên kem hình cầu là: \(113,04.3 = 339,12\) (\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)).

Vì \[49455:339,12 \approx 145,8\;\]

Số ly kem (gồm 3 viên kem) nhiều nhất có thể bán được là \[145\] ly

\[\Delta CMH\] vuông tại \[M\] nên \[C,M,H\] thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]

\[\Delta CNH\] vuông tại \[N\] nên \[C,N,H\] thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]

Suy ra bốn điểm \(C,\;M,\;H,\;N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[CH.\]

Vậy tứ giác \(CMHN\) nội tiếp đường tròn.

Chứng minh $\Delta NMC\backsim \Delta ABC$ và \(HP \bot MN\).

Vì tứ giác \(CMHN\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {CMN} = \widehat {CHN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{CN})$

Mà \(\widehat {CHN} = \widehat {CBH}\) (cùng phụ \(\widehat {HCB}\) )

Suy ra \(\widehat {CMN} = \widehat {CBA}\,\,( = \widehat {CHN})\)

Từ đó suy ra $\Delta NMC\backsim \Delta ABC(g.g)$

Chứng minh \(HP \bot MN\)

Tam giác \(AMH\) vuông tại \(M\)có \(MI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AH\). Suy ra \(MI = IA\)

\( \Rightarrow \widehat {MAI} = \widehat {AMI}.\) Mà \(\widehat {CMN} = \widehat {CBA},\widehat {\,CBA} + \widehat {MAI} = {90^{\rm{o}}}\)

\( \Rightarrow \widehat {IMN} = {90^{\rm{o}}}\) hay \(IM \bot MN.\) Tương tự, \(NK \bot MN.\) Do đó\(MI\,{\rm{// }}NK.\)

Vì \(MI\,{\rm{//}}\,NK \Rightarrow \frac{{MI}}{{NK}} = \frac{{MP}}{{PK}},\) mà \(MI = IH,NK = KH\)\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{PK}} = \frac{{IH}}{{HK}} \Rightarrow HP\,{\rm{//}}\,MI\) (Thalès đảo)

Ta có \(MI \bot MN,MI\,{\rm{//}}\,HP \Rightarrow HP \bot MN\)

c) Xác định vị trí điểm \(C\) để \(M{K^2} + N{I^2}\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có tam giác \(MNK\) vuông tại \(N\), áp dụng định lý Pythagore ta có: \(M{K^2} = M{N^2} + N{K^2}\)

Tam giác \(MNI\) vuông tại \(M\), áp dụng định lý Pythagore ta có: \(N{I^2} = M{N^2} + M{I^2}\)

Suy ra \(M{K^2} + N{I^2} = 2M{N^2} + M{I^2} + N{K^2}\)

\(\begin{array}{l} = 2C{H^2} + \frac{{A{H^2}}}{4} + \frac{{H{B^2}}}{4} = 2AH.BH + \frac{{A{H^2} + B{H^2}}}{4}\\ = {\left( {\frac{{AH}}{2} + \frac{{BH}}{2}} \right)^2} + \frac{3}{2}AH.BH = \frac{{A{B^2}}}{4} + \frac{3}{2}AH.BH\end{array}\)\(\)

\( \le {\left( {2R} \right)^2} + \frac{3}{2}\frac{{{{\left( {AH + BH} \right)}^2}}}{4} = \frac{{5{R^2}}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(AH = BH.\) Khi đó \(C\) là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AB}$.

Gọi chiều dài của hàng rào song song với bờ sông (vị trí 1) là \(x\) (mét) (\(x > 0\)).

Gọi chiều dài của mỗi hàng rào trong ba hàng rào vuông góc với bờ sông (vị trí 2, 3, 4) là \(y\) (mét) (\(y > 0\)).

Chi phí mua nguyên vật liệu cho hàng rào vị trí 1 là: \(60\,\,000x\) (đồng).

Chi phí mua nguyên vật liệu cho ba hàng rào vị trí 2, 3, 4 là: \(3 \cdot 50\,\,000y = 150\,\,000y\) (đồng).

Tổng số tiền người nông dân dùng là 15 000 000 đồng, ta có phương trình:

\(60\,\,000x + 150\,\,000y = 15\,\,000\,\,000\)

\(2x + 5y = 500\quad (1)\)

Khu đất được rào là hình chữ nhật có hai kích thước là \(x\) và \(y\).

Diện tích khu đất là: \(S = x.y\) (\({m^2}\)).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức Cauchy) cho hai số dương 2x và 5y, ta có:

\(2x + 5y \ge 2\sqrt {2x \cdot 5y} \)

Thay \((1)\) vào bất đẳng thức trên:

\(500 \ge 2\sqrt {10xy} \)

\(250 \ge \sqrt {10xy} \)

\(62500 \ge 10xy\)

\(xy \le 6250\)

Hay \(S \le 6250\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(2x = 5y\).

Kết hợp với \(2x + 5y = 500\), ta có:

\(2x = 5y = \frac{{500}}{2} = 250\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 125}\\{y = 50}\end{array}} \right.{\rm{ }}\)(thỏa mãn điều kiện \(x,y > 0\))

Vậy diện tích lớn nhất của khu đất có thể rào được là 6250 \({m^2}\) khi chiều dài hàng rào song song bờ sông là 125 m và mỗi hàng rào vuông góc bờ sông là 50 m.