Đề khảo sát Toán 9 năm 2026 THCS Lê Ngọc Hân (Hà Nội) tháng 4/2026 có đáp án

Dựa trên biểu đồ tần số ghép nhóm mà bạn đã cung cấp, dưới đây là lời giải chi tiết cho các câu hỏi:

a) Tìm tần số ghép nhóm của nhóm \([460;640)\):

Nhìn vào cột tương ứng với nhóm \([460;640)\) trên trục hoành, gióng sang trục tung (trục tần số), ta thấy đỉnh cột nằm ở vạch số 6.

Đáp số: Tần số ghép nhóm của nhóm \([460;640)\) là 6.

b) Tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \([100;280)\):

Tần số tương đối (\(f\)) được tính bằng công thức:\(f = \frac{n}{N} \cdot 100\% \)

Trong đó: \(n = 20\) (tần số của nhóm \([100;280)\)) và \(N = 37\) (tổng số mẫu)

Áp dụng công thức: \(f = \frac{{20}}{{37}} \cdot 100\%  \approx 54,05\% \)

Tần số tương đối của nhóm \([100;280)\) xấp xỉ 54,05%.

Hộp có 5 viên bi đánh số \(\{ 1,2,3,4,5\} \). Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp (không quan tâm thứ tự).

Số cách chọn 2 viên bi từ 5 viên bi là \(\frac{{5.4}}{2} = 10\)

Các cặp số có thể xảy ra là: \(\{ (1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(2,3);(2,4);(2,5);(3,4);(3,5);(4,5)\} \).

Biến cố \(M\): "Tổng số ghi trên 2 viên bi là số nguyên tố".

Các số nguyên tố có thể xuất hiện khi cộng hai số từ 1 đến 5 (tổng lớn nhất là \(4 + 5 = 9\)) là: \(\{ 2,3,5,7\} \).

Ta liệt kê các cặp có tổng là số nguyên tố:

Tổng bằng 3: \((1,2)\) — (1 cặp)

Tổng bằng 5: \((1,4),(2,3)\) — (2 cặp)

Tổng bằng 7: \((2,5),(3,4)\) — (2 cặp)

(Lưu ý: Không có cặp nào có tổng bằng 2 vì các viên bi khác nhau).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(M\) là \(n(M) = 1 + 2 + 2 = 5\)

Xác suất của biến cố \(M\) là \(P(M) = \frac{{n(M)}}{{n(\Omega )}} = \frac{5}{{10}} = 0,5\)

a) Thay \[x = 36\](Thỏa mãn) vào biểu thức \[B\], ta được:

\[B = \frac{{\sqrt {36} }}{{\sqrt {36}  - 5}} = \frac{6}{{6 - 5}} = 6\]

Vậy \[B = 6\] khi \[x = 36\].

b) Với \[x \ge 0,x \ne 25\]

\[A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \frac{{10\sqrt x }}{{x - 25}} - \frac{5}{{\sqrt x  + 5}}\]

\[A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \frac{{10\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \frac{5}{{\sqrt x  + 5}}\]

\[A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \frac{{10\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \frac{{5.\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}\]

\[A = \frac{{x + 5\sqrt x  - 10\sqrt x  - 5\sqrt x  + 25}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\]

\[A = \frac{{x - 10\sqrt x  + 25}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\]

\[A = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\]

\[A = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 5}}\]

Vậy \[A = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 5}}\] với \[x \ge 0,x \ne 25\]

c) \[P = A.B = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 5}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 5}}\]

\[\sqrt P \] xác định khi \[P \ge 0\]

\[ \Rightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 5}} \ge 0\] (Luôn đúng với mọi \[x \ge 0,x \ne 25\])

Ta có: \[{P^2} - P = P\left( {P - 1} \right)\]

\[P - 1 = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 5}} - 1 = \frac{{\sqrt x  - \sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 5}} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 5}}\]

Vì  \[x \ge 0,x \ne 25\]nên \[\sqrt x  + 5 > 0\] mà \[ - 5 < 0\]\[ \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 5}} < 0\]

Hay \[P - 1 < 0\]

Mà \[P \ge 0\]

Nên \[{P^2} - P = P\left( {P - 1} \right) \le 0 \Rightarrow {P^2} \le P \Rightarrow P \le \sqrt P \]

Vậy \[P \le \sqrt P \] khi \[\sqrt P \] xác định.

Gọi thời gian đội I làm một mình xong cả đoạn đường là \[x\] (ngày),
đội II làm một mình xong cả đoạn đường là \[y\] (ngày).

Điều kiện: \[x,y > 72\]

Vì cả hai đội cùng làm thì 72 ngày sẽ hoàn thành xong cả đoạn đường nên ta có phương trình:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{72}}\]      (1)

Đội I làm một nửa đoạn đường hết \[\frac{x}{2}\] ngày.

Đội II làm một nửa đoạn đường hết \[\frac{y}{2}\] ngày.

Do đội II làm lâu hơn đội I là 30 ngày nên ta có phương trình:

\[\frac{y}{2} - \frac{x}{2} = 30\]

\[y - x = 60\] (2)

Từ (2) \[ \Rightarrow y = x + 60\].

Thay \[y = x + 60\] vào (1) ta được:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 60}} = \frac{1}{{72}}\]

\[\frac{{72\left( {x + 60} \right)}}{{72x\left( {x + 60} \right)}} + \frac{{72x}}{{72x\left( {x + 60} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 60} \right)}}{{72x\left( {x + 60} \right)}}\]

\[72x + 4320 + 72x = {x^2} + 60x\]

\[{x^2} - 84x - 4320 = 0\]

Giải phương trình: \[x = 120\left( {TM} \right),x =  - 36\](Loại)

⇒ \[y = 180\].

Vậy: Đội I làm nửa đoạn đường đầu trong 60 ngày. Đội II làm nửa đoạn đường còn lại trong 90 ngày.

Gọi giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt lần lượt là \[x,y\] (triệu đồng, \[0 < x,y < 30\])

Vì tổng giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt là \[30\] triệu đồng nên ta có phương trình: \[x + y = 30\] (1)

Giá tiền của một chiếc tủ lạnh sau khi giảm giá là: \[x.\left( {100\%  - 40\% } \right) = 0,6x\] (triệu đồng)

Giá tiền của một chiếc máy giặt sau khi giảm giá là: \[y.\left( {100\%  - 20\% } \right) = 0,8y\] (triệu đồng)

Vì thế, anh Liêm đã mua hai mặt hàng trên với giá \[20\] triệu đồng nên ta có phương trình:

\[0,6x + 0,8y = 20\](2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 30\\0,6x + 0,8y = 20\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình, ta giải được: \[x = 20,y = 10\]

Vậy giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh là \[20\] triệu đồng và một chiếc máy giặt là \[10\] triệu đồng.

Ta có: \[\Delta  = {\left( { - a} \right)^2} - 4.\left( { - {a^2} - 1} \right) = {a^2} + 4{a^2} + 4 = 5{a^2} + 4 > 0\] với mọi \[a\]

Áp dụng định lý Viete, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = a\\{x_1}.{x_2} =  - {a^2} - 1\end{array} \right.\]

Ta có: \[{x_1}^2 - {x_2}^2 + 2a{x_2} = 1\]

\[{x_1}^2 - {x_2}^2 + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} = 1\]

\[{x_1}^2 - {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{x_2}^2 = 1\]

\[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 1\]

\[{a^2} = 1\]

\[a = 1\] hoặc \[a =  - 1\]

Suy ra: \[{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {a^2} = 1\] và \[{x_1}{x_2} =  - 1 - 1 =  - 2\]

Ta có: \[P = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{1 - 2.\left( { - 2} \right)}}{{ - 2}} = \frac{{ - 5}}{2}\]

Vậy \[P = \frac{{ - 5}}{2}\].

a) Thùng chứa xăng trên chứa được tối đa bao nhiêu lít xăng?

Thể tích của thùng chứa xăng phần hình trụ là: \[\pi .{R^2}h = \pi {.6^2}.10 = 360\pi \left( {{m^3}} \right)\].

Thể tích của thùng chứa xăng phần hình nón là: \[\frac{1}{3}.\pi .{R^2}h = \frac{1}{3}.\pi {.6^2}.6 = 72\pi \left( {{m^3}} \right)\].

Thể tích thùng chứa xăng trên chứa được tối đa được số lít xăng là:

\[360\pi  + 72\pi  = 432\pi \left( {{m^3}} \right)\]

b) Diện tích của thùng chứa xăng phần hình trụ là:

\[\pi {R^2} + 2\pi Rh = \pi {.6^2} + 2\pi .6.10 = 156\pi \left( {{m^2}} \right)\]

Độ dài đường sinh của thùng chứa xăng phần hình nón là:

\[l = \sqrt {{R^2} + {h^2}}  = \sqrt {{6^2} + {6^2}}  = 6\sqrt 2 \left( m \right)\]

Diện tích của thùng chứa xăng phần hình nón là:

 \[\pi Rl = \pi .6.6\sqrt 2  = 36\pi \sqrt 2 \left( {{m^2}} \right)\]

Số tiền doanh nghiệp cần bỏ ra để làm thùng chứa xăng là:

\[\left( {156\pi  + 36\pi \sqrt 2 } \right).150000 = 97\,504\,835,96\] (đồng)

a) Chứng minh 4 điểm \[A,M,B,O\]cùng thuộc 1 đường tròn.

Vì \[MA,MB\]lần lượt là 2 tiếp của của đường tròn \[\left( O \right)\](với\[A,B\] là tiếp điểm).

Nên \[MA \bot OA,MB \bot OB \Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ ;\widehat {MBO} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta MAO;\Delta MBO\] là những tam giác vuông

Xét \[\Delta MAO\] vuông tại \[A\], suy ra: \[M;A;O\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Xét \[\Delta MBO\] vuông tại \[B\], suy ra: \[M;B;O\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Suy ra 4 điểm \[A,M,B,O\]cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Tia \[AE\]cắt đường thẳng \[BD\]tại điểm \[T\]. Chứng minh \[\widehat {THB} = \widehat {TDA}\]và \[MTBH\]là hình chữ nhật.

Kéo dài \[TH\]cắt \[AD\]tại \[K\].

Ta có: \[\widehat {AED} = \widehat {ABD} = 90^\circ \]. Suy ra \[AB,DE\]lần lượt là đường cao của tam giác \[ATD\]

Suy ra: \[TH \bot AD \Rightarrow AK \bot AD \Rightarrow \widehat {AKT} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {AHK} = \widehat {ADB}\] (cùng phụ \[\widehat {HAK}\])

Mà \[\widehat {AHK} = \widehat {THB}\] (2 góc đối đỉnh)

Suy ra: \[\widehat {THB} = \widehat {ADB}\] hay \[\widehat {THB} = \widehat {TDA}\].

Ta có: \[\widehat {BTH} = \widehat {BAD}\] (Cùng phụ \[\widehat {BDA}\])

Lại có: \[\widehat {BMH} = \widehat {BAD}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung \[OB\])

Suy ra: \[\widehat {BMH} = \widehat {BTH}\]

Mà \[\widehat {BMH} + \widehat {MBH} = 90^\circ \]; \[\widehat {BTH} + \widehat {THB} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {THB} = \widehat {MBH}\]

Suy ra: \[\Delta THB = \Delta MBH\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow MH = TB\]

Mà \[MH//TB\] (cùng \[ \bot AB\])

Suy ra tứ giác \[MTBH\] là hình bình hành.

Mà \[\widehat {MBH} = 90^\circ  \Rightarrow \]Tứ giác \[MTBH\]là hình chữ nhật.

c) Tia \[BE\]cắt tia \[DA\]tại điểm \[P\]. Chứng minh 3 điểm \[P,M,T\]thẳng hàng.

Gọi \[I\]là giao điểm của \[MB\]và \[TH\].

Vì tứ giác \[MTBH\]là hình chữ nhật nên \[I\]là trung điểm của \[MB\]và \[TH\].

Ta có: \[\Delta TEH\]vuông tại \[E\], \[EI\]là đường trung tuyến.

Suy ra \[EI = \frac{1}{2}TH \Rightarrow EI = \frac{1}{2}MB \Rightarrow \Delta MEB\]vuông tại \[E\]

\[ \Rightarrow \widehat {MEB} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {MEP} = 90^\circ \]

Ta có: \[\widehat {MEP} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta MEP\]vuông tại \[E \Rightarrow M,E,P\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MP\].

Ta có: \[\widehat {MAP} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta MAP\]vuông tại \[E \Rightarrow M,A,P\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MP\].

Suy ra 4 điểm \[E,M,A,P\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MP\].

Suy ra: \[\widehat {MPE} = \widehat {MAE}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung \[ME\]) (1)

Ta có: \[\widehat {ADE} = \widehat {MAE}\] (cùng phụ \[\widehat {EAD}\])

Mà \[\widehat {ADE} = \widehat {ABE}\] (Góc nội tiếp cùng chắn cung \[AE\])

Suy ra: \[\widehat {ABE} = \widehat {MAE}\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \[\widehat {MPE} = \widehat {ABE}\]

Mà 2 góc ở vị trí so le trong \[ \Rightarrow MP//AB\]

Lại có: \[MT//HB\] ( Do \[MTBH\]là hình chữ nhật) hay \[MT//AB\]

Do đó 3 điểm \[P,M,T\]thẳng hàng.

Tổng số lượng đơn hàng: 45.000 vỏ hộp.

Năng suất mỗi máy: 7.500 vỏ hộp/giờ.

Chi phí khởi động mỗi máy: 300.000 đồng/máy.

Tiền công kỹ thuật viên: 300.000 đồng/giờ (giám sát tất cả máy cùng lúc).

Biến số: Gọi \(x\) là số lượng máy xưởng sử dụng (\(x > 0,x \in \mathbb{N}\)).

Đầu tiên, ta tính thời gian cần thiết để hoàn thành đơn hàng khi sử dụng \(x\) máy \(t = \frac{{45.000}}{{x \cdot 7.500}} = \frac{6}{x}\) (giờ)

Tổng chi phí \(C(x)\) bao gồm hai loại:

Chi phí khởi động máy: \(300 \cdot x\) (nghìn đồng).

Chi phí thuê kỹ thuật viên: \(300 \cdot t = 300 \cdot \frac{6}{x} = \frac{{1.800}}{x}\) (nghìn đồng).

Tổng chi phí là \(C(x) = 300x + \frac{{1.800}}{x}{\rm{ (}}x > 0)\)

Áp dụng AM-GM cho \[300x\] và \(\frac{{1.800}}{x}\):

\(C(x) = 300x + \frac{{1.800}}{x} \ge 2\sqrt {300x \cdot \frac{{1.800}}{x}} \)

\(C(x) \ge 2\sqrt {540.000}  \approx 1\,469,69\) (nghìn đồng)

 Dấu “=” xảy ra khi \(300x = \frac{{1.800}}{x}\) suy ra \({x^2} = \frac{{1.800}}{{300}} = 6\) suy ra \(x = \sqrt 6  \approx 2,45\)

Vì số lượng máy \(x\) phải là số nguyên dương, ta sẽ kiểm tra các giá trị nguyên lân cận của 2,45 là \(x = 2\) và \(x = 3\):

Với \(x = 2\): \(C(2) = 300(2) + \frac{{1.800}}{2} = 600 + 900 = 1.500\) (nghìn đồng).

Với \(x = 3\): \(C(3) = 300(3) + \frac{{1.800}}{3} = 900 + 600 = 1.500\) (nghìn đồng).

Cả hai phương án đều cho tổng chi phí thấp nhất là 1.500.000 đồng.

Vậy xưởng nên sử dụng 2 máy hoặc 3 máy để tối ưu hóa chi phí.