Đề khảo sát định hướng vào 10 năm 2026 Trường THCS Trần Mai Ninh (Thanh Hóa) có đáp án

Câu 10

Rút gọn biểu thức \[P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{x - 5}}{{x - \sqrt x - 2}}} \right)\] với \[x > 0, x \ne 4\]

V ới \[x > 0, x \ne 4\] ta có:

\[\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{x - 5}}{{x - \sqrt x - 2}}} \right)\\P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\\P = \frac{{x - \left( {x - \sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) - \left( {x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\end{array}\]

0,25

\[\begin{array}{l}P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}:\frac{{x - 4 - x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} \cdot \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)\end{array}\]

0,5

\[P = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\]với \[x > 0, x \ne 4\]

0,25

Câu 11

Cho phương trình: \({x^2} + (3 - 2m)x - 4 = 0\), Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\) sao cho \(\left( {1 - x_1^2} \right)\left( {1 - x_2^2} \right) - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\)

 Xét phương trình: \({x^2} + (3 - 2m)x - 4 = 0\)

Ta có: \(ac = - 4 < 0\)nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.\({x_1};\,{x_2}\) với

 mọi \(m\)

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 3\\{x_1}.{x_2} = - 4\end{array} \right.\)

0,25

Theo bài ra, ta có: \(\left( {1 - x_1^2} \right)\left( {1 - x_2^2} \right) - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\)

                              \(1 - \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + {({x_1}{x_2})^2} - 2({x_1} + {x_2}) = 10\)  

                              \(1 - {({x_1} + {x_2})^2} + 2{x_1}{x_2} + {({x_1}{x_2})^2} - 2({x_1} + {x_2}) = 10\)           

0,25

 \(1 - {(2m - 3)^2} + 2.( - 4) + {( - 4)^2} - 2.(2m - 3) = 10\)

     \( - 4{m^2} + 8m + 6 = 10\)

     \( - {(2m - 2)^2} + 10 = 10\)

              \({(2m - 2)^2} = 0\)

                          \(m = 1\)

0,25

 Vậy \(m = 1\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

0,25

Câu 12

Để phục vụ công tác bảo đảm an ninh, trật tự, an toàn giao thông , hai phường Hạc Thành và Đông Sơn tham gia lắp đặt camera AI. Trong tháng thứ nhất, cả hai phường đã lắp được 180 chiếc camera. Sang tháng thứ hai, phường Hạc Thành vượt mức \(10\% \), phường Đông Sơn vượt mức \(12\% \) so với tháng thứ nhất nên cả hai phường đã lắp được 200 chiếc. Hỏi trong tháng thứ nhất, mỗi phường lắp được bao nhiêu chiếc camera?

Gọi số camera phường Hạc Thành và phường Đông Sơn lắp được trong tháng thứ nhất lần lượt là \(x\,\)(chiếc) và \(y\) (chiếc) (ĐK:\(x,y \in {\mathbb{N}^*};\,\,x < 180;\,\,y < 180\)).

0,25

Do trong tháng thứ nhất, cả hai phường đã lắp được 180 chiếc camera nên ta có phương trình: \(x + y = 180\)            (1)

0,25

Sang tháng thứ hai, phường Hạc Thành vượt mức \(10\% \), phường Đông Sơn vượt mức \(12\% \) so với tháng thứ nhất nên:

Số camera phường Hạc Thành lắp được trong tháng thứ hai là:

\(x + 10\% x = 1,1x\) (chiếc).

Số camera phường Đông Sơn lắp được trong tháng thứ hai là

\(y + 12\% y = 1,12y\) (chiếc)

0,25

Do tháng thứ hai cả hai phường lắp được 200 chiếc nên ta có phương trình:

\(1,1x + 1,12y = 200\)                         (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 180\,\\1,1x + 1,12y = 200\end{array} \right.\)

Giải hệ ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 80\\y = 100\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy trong tháng thứ nhất, phường Hạc Thành lắp được 80 chiếc camera, phường Đông Sơn lắp được 100 chiếc camera.

0,25

1.     Thể tích của hồ bơi là: \(V = 42.25 = 1050\left( {{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

0,25

2.     Gọi \(x\,\left( {\rm{m}} \right)\) là chiều dài của hồ bơi \((x > 0)\).

Diện tích hình thang vuông là: \(\frac{1}{2} \cdot x\left( {0,5 + 3} \right) = 1,75x\left( {c{m^2}} \right)\)

Thể tích của hồ bơi là: \(1,75x \cdot 6 = 10,5x\left( {c{m^3}} \right)\)

0,5

Theo bài ra ta có: \(10,5x = 1050 \Rightarrow x = 100\) ( thỏa mãn)

Vậy chiều dài hồ bơi là \(100\left( m \right)\)

0,25

Từ điểm \(M\)nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ hai tiếp tuyến \(MA,MB\) tới đường tròn với \(A,B\) là các tiếp điểm. Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(MO\). Gọi \(I\) và \(S\) lần lượt là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với \(OA\)tại \(O\)và các đường thẳng \[AB,MB.\]

1) Chứng minh tứ giác \(MAOB\) nội tiếp.

2) Chứng minh rằng \(SO = SM\)

3) Lấy \(G\) đối xứng với \(O\) qua \(S\), gọi \(E\) là giao điểm của \(MO\) và \(AG\). Chứng minh rằng \(E{G^2} > EH.EO\)

1) Chứng minh tứ giác \(MAOB\) nội tiếp.

Xét tứ giác \(MAOB\), có:

\[MA \bot AO\,(gt) \Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ \] \( \Rightarrow A\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

\[MB \bot OB\,(gt) \Rightarrow \widehat {MBO} = 90^\circ \]\( \Rightarrow B\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

0,5

\[ \Rightarrow \] bốn điểm\(M,A,O,B\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(MAOB\) nội tiếp

0,5

2) Chứng minh rằng \(SO = SM\)

Ta có : \(OA = OB\) suy ra \(\Delta OAB\) cân tại O có OM là phân giác ( Theo định lí hai tiếp tuyến cắt nhau) nên đồng thời là đường cao. Do đó \(OM \bot AB\) tại H

Lại có \(\widehat {SOM} = \widehat {OAB}\)( cùng phụ \(\widehat {AOH}\)) (1)

0,25

Vì tứ giác \(MAOB\) nội tiếp nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OMB} = \widehat {OM{\rm{S}}}\) ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {OM{\rm{S}}} = \widehat {O{\rm{S}}M}\], suy ra \[\Delta OM{\rm{S}}\] cân tại S nên \(SO = SM\)

0,25

3) Lấy \(G\) đối xứng với \(O\) qua \(S\), gọi \(E\) là giao điểm của \(MO\) và \(AG\). Chứng minh rằng \(E{G^2} > EH.EO\)

Ta có \(SO = SG\) ( giả thiết) và \(SO = SM\) ( câu b) nên \(SO = SG = SM = \frac{1}{2}OG\)

Suy ra \(\Delta OMG\) vuông tại M

Do đó \(GM \bot OM\) mà \(AH \bot OM\)nên \(GM//AH\)

Xét \(\Delta AEH\)có \(GM//AH\), suy ra \(\frac{{GE}}{{E{\rm{A}}}} = \frac{{ME}}{{EH}}\)

Xét \(\Delta A{\rm{EM}}\)có \(GO//MA\), suy ra \(\frac{{GE}}{{E{\rm{A}}}} = \frac{{OE}}{{ME}}\)

Do đó \(\frac{{ME}}{{EH}} = \frac{{OE}}{{ME}} \Rightarrow M{E^2} = OE.HE\)

Xét \(\Delta GME\)vuông tại M do \(GM \bot OM\)có cạnh huyền GE lớn nhất nên \(GE > EM\), suy ra \(G{E^2} > E{M^2}\)

Do đó \(G{E^2} > EO.EH\)

0,25

0,25

Gọi x, y lần lượt là số xe đạp thể thao và xe đạp đường phố mà cửa hàng đầu tư trong Quý I năm 2026 với (\[x,{\rm{ }}y \in \mathbb{N}\]). Vì tổng nhu cầu thị trường không vượt quá 100 chiếc nên: \[x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}100\]
Số tiền đầu tư là: 20x + 10y (triệu đồng)

Vì vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên: 20x + 10y ≤ 1200

Lợi nhuận dự kiến là: A = 3,5x + 2y (triệu đồng)

0,25

Ta có:

\[20A = 20\left( {3,5x + 2y} \right) = 70x + 40y = 10\left( {x + y} \right) + 3\left( {20x + 10y} \right) \le 10\cdot100 + 3\cdot1200 = 4600\]
Suyra:\[A \le 230\](triệu đồng)
Dấu \('' = ''\)xảy ra khi:\(\left\{ \begin{array}{l}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}100\\20x{\rm{ }} + {\rm{ }}10y{\rm{ }} = {\rm{ }}1200\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 80\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy trong Quý I năm 2026 cửa hàng cần kinh doanh 20 xe đạp thể thao và 80 xe đạp đường phố để lợi nhuận thu được lớn nhất là 230 triệu đồng.

0,25