Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

a) • Xét \(\Delta AQE\) và \(\Delta BCE\) có:

\(AE = BE\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AB\))

\[\widehat {AEQ} = \widehat {BEP}\] (hai góc đối đỉnh)

\(QE = CE\) (gt)

Do đó \(\Delta AQE = \Delta BCE\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\).

Suy ra \[AQ = BC\] (hai cạnh tương ứng)     (1)

• Xét \(\Delta APF\) và \(\Delta CBF\) có

\(PF = BF\) (gt)

\[\widehat {AFP} = \widehat {BFC}\] (hai góc đối đỉnh)

\(AE = BE\) (vì \(F\) là trung điểm của \(AC\))

Do đó \[\Delta APF = \Delta CBF\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\].

Suy ra \[AP = BC\] (hai cạnh tương ứng)                (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[AP = AQ\].

b) Ta có \(\widehat {QAB} = \widehat {ABC}\,;\,\,\widehat {PAC} = \widehat {ACB}\) (các cặp góc tương ứng của tam giác bằng nhau)

Xét tam giác \(ABC\) có \[\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \] (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \[\widehat {QAB} + \widehat {BAC} + \widehat {PAC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \].

Do đó, ba điểm \(P,\,\,A\,,\,\,Q\) thẳng hàng.

c) Ta có \(\widehat {QAB} = \widehat {ABC}\,;\,\,\widehat {PAC} = \widehat {ACB}\) (cmt)

Suy ra \(BQ\,{\rm{//}}\,AC\) và \(CP\,{\rm{//}}\,AB\) (các cặp góc so le trong).

d) Ba đường thẳng \(AR\,,\,\,BP\,,\,\,CQ\) là ba đường trung tuyến của tam giác \[QRP\] nên đồng quy.

Hướng dẫn giải

Theo bài ra, ta có: \(\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\);

\(\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{c + a}}{{ca}}\);

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}\).

Suy ra \(\frac{1}{a} = \frac{1}{c}\); \(\frac{1}{b} = \frac{1}{a}\) hay \(a = b = c\).

Với \(a\), \(b\), \(c\) là ba số khác 0, thay \(b = a\); \(c = a\) vào biểu thức \(M\), ta được:

\(M = \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \frac{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}}{{{a^2} + {a^2} + {a^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{3{a^2}}} = 1\).

Vậy \(M = 1\).

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\frac{{2a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}}\)

\(\frac{{2a + b + c + d}}{a} - 1 = \frac{{a + 2\;b + c + d}}{b} - 1 = \frac{{a + b + 2c + d}}{c} - 1 = \frac{{a + b + c + 2\;d}}{{\;d}} - 1\)

\(\frac{{2a + b + c + d - a}}{a} = \frac{{a + 2\;b + c + d - b}}{b} = \frac{{a + b + 2c + d - c}}{c} = \frac{{a + b + c + 2\;d - d}}{{\;d}}\)

\(\frac{{a + b + c + d}}{a} = \frac{{a + b + c + d}}{b} = \frac{{a + b + c + d}}{c} = \frac{{a + b + c + d}}{{\;d}}\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(a + b + c + d \ne 0\) nên từ \(\left( 1 \right)\) suy ra: \(\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{{\;d}}\) hay \(a = b = c = d\).

Với \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) khác 0, thay \(b = a\); \(c = a\) và \(d = a\) vào biểu thức \(M\) ta được:

\(M = \frac{{a + b}}{{c + d}} + \frac{{b + c}}{{d + a}} + \frac{{c + d}}{{a + b}} + \frac{{d + a}}{{b + c}} = \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} + \frac{{2a}}{{2a}} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\).

Vậy \(M = 4\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

\(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{a + b - c + b + c - a + c + a - b}}{{c + a + b}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1\)

Suy ra  \[a + b - c = c\] suy ra \[a + b = 2c\];

\[b + c - a = a\] suy ra \[b + c = 2a\];

\[c + a - b = b\] suy ra \[c + a = 2b\].

\[B = \left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{b}} \right) = \frac{{a + b}}{a} \cdot \frac{{c + a}}{c} \cdot \frac{{b + c}}{b} = \frac{{2c}}{a} \cdot \frac{{2b}}{c} \cdot \frac{{2a}}{b} = 8\]

Vậy \[B = 8\].

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\frac{{{x^2} - yz}}{a} = \frac{{{y^2} - zx}}{b} = \frac{{{z^2} - xy}}{c}\)

Suy ra \(\frac{a}{{{x^2} - yz}} = \frac{b}{{{y^2} - zx}} = \frac{c}{{{z^2} - xy}}\)

Suy ra \({\left( {\frac{a}{{{x^2} - yz}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{{y^2} - zx}}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{{{z^2} - xy}}} \right)^2}\)

Lại có \[\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {{x^2} - yz} \right)}^2}}} = \frac{{bc}}{{\left( {{y^2} - zx} \right)\left( {{z^2} - xy} \right)}} = \frac{{{a^2} - bc}}{{\left( {{x^4} - 2{x^2}yz + {y^2}{z^2}} \right) - \left( {{y^2}{z^2} - x{y^3} - x{z^3} + {x^2}yz} \right)}}\]

\[ = \frac{{{a^2} - bc}}{{{x^4} - 3{x^2}yz + x{y^3} + x{z^3}}} = \frac{{{a^2} - bc}}{{x\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\]

Tương tự \[\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {{y^2} - zx} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{y\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\];

\[\frac{{{c^2}}}{{{{\left( {{z^2} - xy} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2} - ab}}{{z\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\]

Suy ra \[\frac{{{a^2} - bc}}{{x\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{y\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}} = \frac{{{c^2} - ab}}{{z\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz} \right)}}\]

Do đó \[\frac{{{a^2} - bc}}{x} = \frac{{{b^2} - ac}}{y} = \frac{{{c^2} - ab}}{z}\].

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba lần lượt là \(a;\,\,b;\,\,c\) (học sinh) \(\left( {a,\,b,\,c\, \in {\mathbb{N}^*},\,\,a,\,b,\,c < 52} \right)\).

Vì lớp 7A có 52 học sinh được chia làm ba tổ nên ta có: \(a + b + c = 52\) (1).

Số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba sau khi thêm bớt lần lượt là \(a - 1,\,\,b - 2,\,\,c + 3\) (học sinh).

Vì tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh của tổ một, tổ hai, tổ ba tỉ lệ nghịch với \(3;\,\,4;\,\,2\) do đó, ta có \(3\left( {a - 1} \right) = 4\left( {a - 2} \right) = 2\left( {c + 3} \right)\).

Suy ra \(\frac{{a - 1}}{4} = \frac{{b - 2}}{3} = \frac{{c + 3}}{6}\)   (2)

Từ (1) và (2) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{a - 1}}{4} = \frac{{b - 2}}{3} = \frac{{c + 3}}{6} = \frac{{a - 1 + b - 2 + c + 3}}{{4 + 3 + 6}} = \frac{{52}}{{13}} = 4\)

Suy ra \(a - 1 = 16;\,\,b - 2 = 12;\,\,c + 3 = 24\).

Do đó, \(a = 17;\,\,b = 14;\,\,c = 21\).

Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là 17 học sinh; 14 học sinh và 21 học sinh.

Hướng dẫn giải

Đổi 4 giờ 15 phút = \(\frac{{17}}{4}\) giờ, 3 giờ 45 phút = \(\frac{{15}}{4}\) giờ.

Gọi \(a,b\) lần lượt là vận tốc xe ô tô xuất phát từ \(A\) và xuất phát từ \(B\) \(\left( {a,b > 0,{\rm{ km/h}}} \right)\).

Hai ô tô cùng khởi hành và đi ngược chiều nhau, đến điểm gặp nhau xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn xe thứ nhất là \(20{\rm{ km}}\) nên vị trí gặp nhau cách điểm chính giữa đoạn đường \(AB\) là \(10{\rm{ km}}\).

Gọi độ dài quãng đường \(AB\) là \(s{\rm{ }}\left( {s > 0,{\rm{km}}} \right)\).

Vì thời gian đi ngược chiều của hai xe là như nhau nên ta có:

\(\frac{{\frac{1}{2}s - 10}}{a} = \frac{{\frac{1}{2}s + 10}}{b}\) suy ra \(\frac{{2\left( {\frac{1}{2}s - 10} \right)}}{a} = \frac{{2\left( {\frac{1}{2}s + 10} \right)}}{b}\) hay \(\frac{{s - 20}}{a} = \frac{{s + 20}}{b}\) (1)

Nếu cùng đi hết quãng đường \(AB\) như nhau thì vận tốc và thời gian của mỗi xe là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, suy ra \(\frac{{17}}{4}a = \frac{{15}}{4}b\) suy ra \(17a = 15b\), do đó \(\frac{a}{{15}} = \frac{b}{{17}}\) (2)

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được: \(\frac{{s - 20}}{{15}} = \frac{{s + 20}}{{17}}\)

Suy ra \(17\left( {s - 20} \right) = 15\left( {s + 20} \right)\)

Hay \(17s - 340 = 15s + 300\)

        \(2s = 340 + 300\)

         \(s = 320\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy quãng đường \(AB\) dài \(150{\rm{ km}}\).

Hướng dẫn giải

Gọi số gạo có trong mỗi kho lần lượt là \(x,y,z{\rm{ }}\left( {x,y,z > 0} \right)\).

Vì gạo được chứa trong ba kho tỉ lệ với \(1,3;{\rm{ 2}}\frac{1}{2};{\rm{ 1}}\frac{1}{5}\) nên ta có \(\frac{x}{{1,3}} = \frac{y}{{2\frac{1}{2}}} = \frac{z}{{1\frac{1}{5}}}\) (1)

Gạo trong kho thứ hai nhiều hơn gạo trong kho thứ nhất \(43,2\) tấn nên có \(y - x = 43,2\) (2)

Từ (1) và (2) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{{1,3}} = \frac{y}{{2\frac{1}{2}}} = \frac{z}{{1\frac{1}{5}}} = \frac{{y - x}}{{2\frac{1}{2} - 1,3}} = \frac{{43,2}}{{1,2}} = 36\)

Do đó, \(x = 1,3 \cdot 36 = 46,8\); \(y = 2\frac{1}{2} \cdot 36 = 90\); \(z = 1\frac{1}{5} \cdot 36 = 43,2\).

Vậy ban đầu trong kho thứ nhất có \(46,8\) tấn gạo, kho thứ hai có 90 tấn gạo, kho thứ ba có \(43,2\) tấn gạo.

Sau một tháng, kho thứ nhất đã tiêu thụ số tấn gạo là: \(46,8 \cdot 40\% = 18,72\) (tấn)

Sau một tháng, kho thứ hai đã tiêu thụ số tấn gạo là: \(90 \cdot 30\% = 27\) (tấn)

Sau một tháng, kho thứ ba đã tiêu thụ số tấn gạo là: \(43,2 \cdot 25\% = 10,8\) (tấn).

Vậy sau một tháng, khối lượng gạo đã tiêu thụ là: \(18,72 + 27 + 10,8 = 56,52\) (tấn gạo)

Hướng dẫn giải

Gọi tổng số vở ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được là \[x\] \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\].

Gọi số vở dự định chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(a,b,c\).

Theo đề, ban đầu chia vở cho ba lớp theo tỉ lệ \(7;6;5\) nên ta có:

\(\frac{a}{7} = \frac{b}{6} = \frac{c}{5} = \frac{{a + b + c}}{{7 + 6 + 5}} = \frac{x}{{18}}\).

Suy ra \(a = \frac{{7x}}{{18}};b = \frac{{6x}}{{18}};c = \frac{{5x}}{{18}}\) (1)

Gọi số vở chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C sau khi thay đổi là \(a',b',c'\). Ta có:

\(\frac{{a'}}{6} = \frac{{b'}}{5} = \frac{{c'}}{4} = \frac{{a' + b' + c'}}{{6 + 5 + 4}} = \frac{x}{{15}}\)

Suy ra \(a' = \frac{{6x}}{{15}};b' = \frac{{5x}}{{15}};c' = \frac{{4x}}{{15}}\) (2)

So sánh (1) và (2) nhận thấy \(a < a';b = b',c > c'\).

Do đó, lớp nhận được ít hơn 12 quyển là lớp 7C.

Suy tra \(\frac{{5x}}{{18}} - \frac{{4x}}{{15}} = 12\) hay \(\frac{x}{{90}} = 12\) nên \(x = 1080\) (quyển).

Số vở lớp 7A nhận trong thực tế là: \(a' = \frac{{6x}}{{15}} = \frac{{6.1080}}{{15}} = 432\) (quyển)

Số vở lớp 7B nhận trong thực tế là: \(b' = \frac{{5x}}{{15}} = \frac{{5.1080}}{{15}} = 360\) (quyển)

Số vở lớp 7C nhận trong thực tế là: \(c' = \frac{{4x}}{{15}} = \frac{{4.1080}}{{15}} = 288\) (quyển)

Vậy trong thực tế ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được lần lượt 432 quyển, 360 quyển và 288 quyển.