Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Tự luận
43 câu hỏi
Tìm \[x\], biết:
(a) \[\frac{x}{4} = \frac{{ - 1}}{3}\];
(b) \(\frac{{x + 1}}{5} = \frac{3}{4}\).
(c) \(\frac{{2x + 1}}{6} = \frac{{3 - x}}{9}\);
(d) \(\frac{{2 - x}}{4} = \frac{{x - 3}}{{ - 5}}\).
a) \[\frac{x}{4} = \frac{{ - 1}}{3}\]
\[3x = - 4\]
\[x = \frac{{ - 4}}{3}\].
Vậy \[x = \frac{{ - 4}}{3}\].
b) \(\frac{{x + 1}}{5} = \frac{3}{4}\)
Suy ra \[4\left( {x + 10} \right) = 5 \cdot 3\]
\[4x + 40 = 15\]
\[4x = --25\]
\(x = - \frac{{25}}{4}\)
Vậy \(x = - \frac{{25}}{4}\).
c) \(\frac{{2x + 1}}{6} = \frac{{3 - x}}{9}\)
\(9\left( {2x + 1} \right) = 6\left( {3 - x} \right)\)
\(18x + 9 = 18 - 6x\)
\(18x + 6x = 18 - 9\)
\(24x = 9\)
\(x = \frac{3}{8}\).
Vậy \(x = \frac{3}{8}\).
d) \(\frac{{2 - x}}{4} = \frac{{x - 3}}{{ - 5}}\)
\( - 5\left( {2 - x} \right) = 4\left( {x - 3} \right)\)
\( - 10 + 5x = 4x - 12\)
\(5x - 4x = - 12 + 10\)
\(x = - 2\)
Vậy \(x = - 2\).
Tìm \[x,{\rm{ }}y\] biết:
(a) \(\frac{x}{y} = \frac{4}{5}\) và \[2x + y = 39.\]
(b) \(\frac{x}{7} = \frac{y}{3}\) và \(x - y = 8\).
(c) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4}\) và x + y = 14.
(d) \[5x = 7y\] và \[y-x = 10\].
a) Ta có \(\frac{x}{y} = \frac{4}{5}\) suy ra \(\frac{x}{4} = \frac{y}{5}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{{2x + y}}{{4.2 + 5}} = \frac{{39}}{{13}} = 3\).
Suy ra \[x = 4 \cdot 3 = 12\,;{\rm{ }}y = 5 \cdot 3 = 15.\]
Vậy \[x = 12\] và \[y = 15\].
b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{7} = \frac{y}{3} = \frac{{x - y}}{{7 - 3}} = \frac{8}{4} = 2\).
Suy ra \[x = 2 \cdot 7 = 14\,;\,\,y = 2 \cdot 3 = 6\].
Vậy \(x = 14\,,\,\,y = 6.\)
c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{{x + y}}{{3 + 4}} = \frac{{14}}{7} = 2\).
Suy ra \(x = 3 \cdot 2 = 6\); \(y = 4 \cdot 2 = 8\).
Vậy \(x = 6\,,\,\,y = 8.\)
d) Ta có \[5x = 7y\] suy ra \(\frac{x}{7} = \frac{y}{5}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{7} = \frac{y}{5} = \frac{{y - x}}{{5 - 7}} = \frac{{10}}{{ - 2}} = - 5\).
Suy ra \(x = 7 \cdot \left( { - 5} \right) = - 35\); \(y = 5 \cdot \left( { - 5} \right) = - 25\).
Vậy \(x = - 35\,,\,\,y = - 25.\)
Tìm \[x,\,\,y,\,\,z\] biết:
(a) \[\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4}\] và \[3x + 7y + z = 144.\]
(b) \[x:y:z = 3:5:7\] và \[5x + y-2z = 40.\]
a) Đặt \[\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4} = k\].
Suy ra \[x = 3k\,,\,\,y = 5k\,,\,\,z = 4k.\]
Ta có: \[3x + 7y + z = 144.\]
\[3.3k + 7.5k + 4k = 144\]
\[9k + 35k + 4k = 144\]
\[48k = 144\]
\[k = 3\].
Khi đó \[x = 3 \cdot 3 = 9\]; \[y = 5 \cdot 3 = 15\,;\]\[z = 4 \cdot 3 = 12.\]
Vậy \[x = 9\]; \[y = 15\,;\] \[z = 12.\]
b) Ta có \[x:y:z = 3:5:7\] suy ra \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8} = \frac{{5x}}{{15}} = \frac{y}{5} = \frac{{2z}}{{16}}\)\( = \frac{{5x + y - 2z}}{{15 + 5 - 16}} = \frac{{40}}{4} = 10\).
Khi đó \[x = 10 \cdot 3 = 30\]; \[y = 10 \cdot 5 = 50\,;\]\[z = 10 \cdot 8 = 80.\]
Vậy \(x = 30\,,y = 50\,,\,\,z = 80\).
Ba lớp 7A, 7B, 7C tham gia lao động trồng cây. Biết rằng số cây của lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt tỉ lệ với \[6\,;\,\,4\,;\,\,5\] và tổng số cây của hai lớp 7A, 7B trồng được nhiều hơn lớp 7C là \(50\) cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được.
Gọi \[x\,,\,\,y\,,\,\,z\] lần lượt là số cây mà ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được \[\left( {x\,,\,\,y\,,\,\,z \in \mathbb{N}*} \right)\].
Vì số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt tỉ lệ với \[6\,;\,\,4\,;\,\,5\] nên ta có:
\(\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\).
Vì tổng số cây của hai lớp 7A, 7B trồng được nhiều hơn lớp 7C là 50 cây nên \(x + y - z = 50\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y - z}}{{6 + 4 - 5}} = \frac{{50}}{5} = 10\).
Do đó:
• \(\frac{x}{6} = 10\) nên \(x = 60\) (thỏa mãn)
• \(\frac{y}{4} = 10\) nên \(y = 40\) (thỏa mãn)
• \(\frac{z}{5} = 10\) nên \(z = 50\) (thỏa mãn)
Vậy số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là \(60\) cây, \(40\) cây, \(50\) cây.
Tùng, Huy và Minh cùng trồng hoa cúc trong chậu để bán dịp tết. Tùng trồng được 6 chậu hoa, Huy trồng được 4 chậu hoa và Minh trồng được 5 chậu hoa. Ba bạn bán hết hoa thu được tổng số tiền là \[1,5\] triệu đồng. Ba bạn quyết định chia tiền tỉ lệ với số chậu hoa trồng được. Tính số tiền mỗi bạn nhận được.
Gọi số tiền ba bạn Tùng, Huy và Minh nhận được lần lượt là \[x\,,\,\,y\,,\,\,z{\rm{ }}\left( {x\,,\,\,y\,,\,\,z > 0} \right)\] (triệu đồng).
Vì tổng số tiền 3 bạn nhận được khi bán hết chậu hoa là \[1,5\] triệu đồng nên \[x + y + z = 1,5\].
Vì số tiền mỗi bạn nhận được tỉ lệ với số chậu hoa trồng được nên ta có: \[\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\].
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y + z}}{{6 + 4 + 5}} = \frac{{1,5}}{{15}} = 0,1\].
Do đó, \[\frac{x}{6} = 0,1\] suy ra \[x = 0,1 \cdot 6 = 0,6\] (thỏa mãn)
\[\frac{y}{4} = 0,1\] suy ra \[y = 0,1 \cdot 4 = 0,4\] (thỏa mãn)
\[\frac{z}{5} = 0,1\] suy ra \[y = 0,1 \cdot 5 = 0,5\] (thỏa mãn).
Vậy số tiền bạn Tùng, Huy và Minh nhận được lần lượt là: \[0,6\] triệu đồng; \[0,4\] triệu đồng; \[0,5\] triệu đồng.
Ba xưởng may cần hoàn thành \[720\] bộ quần áo trong một khoảng thời gian nhất định. Xưởng A có 12 công nhân, xưởng B có 13 công nhân và xưởng C có 11 công nhân. Tính số bộ quần áo mỗi xưởng phải may biết mỗi công nhân đều may số bộ quần áo như nhau.
Gọi số quần áo mà mỗi xưởng A, B, C phải may lần lượt là \(x,y,z\)\(\left( {x,y,z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Theo đề, ba xưởng cần may \(720\) bộ quần áo nên ta có: \(x + y + x = 720\) (bộ)
Số bộ quần áo mỗi xưởng phải may tỉ lệ thuận với số công nhân mỗi xưởng.
Do đó, ta có: \(\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{13}} = \frac{z}{{11}}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{13}} = \frac{z}{{11}} = \frac{{x + y + z}}{{12 + 11 + 13}} = \frac{{720}}{{36}} = 20\)
Do đó, \(\frac{x}{{12}} = 20\) nên \(x = 240.\)
• \(\frac{y}{{13}} = 20\) nên \(y = 13.20 = 260\).
• \(\frac{z}{{11}} = 20\) nên \(z = 220\).
Vậy số bộ quần áo mà mỗi xưởng A, B, C cần may lần lượt là 240 bộ, 260 bộ và 220 bộ.
Tính giá trị của biểu thức:
(a) \(A = 2{x^2}y - 3xy\) tại \(x = - 2\) và \(y = 4\).
(b) \(B = \left( {2{x^2} + x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 5x - 1} \right)\) tại \(x = - 2\).
a) Thay \(x = - 2\) và \(y = 4\) vào biểu thức \[A\], ta được:
\(A = 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} \cdot 4 - 3 \cdot \left( { - 2} \right) \cdot 4 = 32 + 24 = 56\).
b) Ta có \(B = \left( {2{x^2} + x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 5x - 1} \right) = {x^2} - 4x\).
Thay \(x = - 2\) vào biểu thức \[B\], ta được:
\(B = {\left( { - 2} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 2} \right) = 4 + 8 = 12\).
Tìm nghiệm của các đa thức sau:
(a) \(A\left( x \right) = 2x - 1\).
(b) \(B\left( x \right) = 3 - \frac{5}{6}x\).
(c) \(C\left( x \right) = {x^2} - 1\).
(d) \(D\left( x \right) = 8{x^3} + 27\).
a) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right)\) thì \(2x - 1 = 0\) hay \(x = \frac{1}{2}\).
Vậy \(x = \frac{1}{2}\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right)\).
b) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\) thì \(3 - \frac{5}{6}x = 0\) nên \(\frac{5}{6}x = 3\) hay \(x = \frac{{18}}{5}\).
Vậy \(x = \frac{{18}}{5}\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\).
c) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\) thì \({x^2} - 1 = 0\) nên \({x^2} = 1\) hay \(x = \pm 1\).
Vậy \(x = \pm 1\) là nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\).
d) Để \(x\) là nghiệm của đa thức \(D\left( x \right)\) thì \(8{x^3} + 27 = 0\) nên \({x^3} = \frac{{ - 27}}{8}\) nên \(x = - \frac{3}{2}\).
Vậy \(x = - \frac{3}{2}\) là nghiệm của đa thức \(D\left( x \right)\).
Tính:
(a) \(\left( {{x^2} - 8} \right)\left( {{x^3} + 2x + 4} \right)\);
(b) \(\left( {{x^2} - 6x + 8} \right):\left( {x + 3} \right)\);
(c) \[\left( {{x^2} - 4x + 3} \right):\left( {x - 3} \right)\];
(d) \(\left( {8{x^2} - 6x + 3} \right):\left( {2x + 1} \right)\).
a) Ta có: \(\left( {{x^2} - 8} \right)\left( {{x^3} + 2x + 4} \right) = {x^5} + 2{x^3} + 4{x^2} - 8{x^3} - 16x - 32\)
\( = {x^5} - 6{x^3} + 4{x^2} - 16x - 32\).
b) Thực hiện phép chia, ta có:
Vậy \(\left( {{x^2} - 6x + 8} \right):\left( {x + 3} \right) = x - 9\) dư \(35\).
c) Thực hiện phép chia, ta có:
Vậy \[\left( {{x^2} - 4x + 3} \right):\left( {x - 3} \right) = x - 1\].
d) Thực hiện phép chia, ta có:
Vậy \(\left( {8{x^2} - 6x + 3} \right):\left( {2x + 1} \right) = 4x - 5\) dư 8.
Cho hai đa thức: \[f\left( x \right) = {x^5} - 3{x^2} + 2x - 1\];
\[g\left( x \right) = - {x^5} + 4x - 5{x^3} + 2 = - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2.\]
Tìm đa thức \[h\left( x \right)\] sao cho:
(a) \[f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right)\].
(b) \[g\left( x \right) + h\left( x \right) = f\left( x \right)\].
Ta có \[g\left( x \right) = - {x^5} + 4x - 5{x^3} + 2 = - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2\].
a) Theo đề bài, \[f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right)\].
Suy ra \[h\left( x \right) = g\left( x \right) - f\left( x \right)\]
\[ = \left( { - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2} \right) - \left( {{x^5} - 3{x^3} + 2x - 1} \right)\]
\[ = - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2 - {x^5} + 3{x^3} - 2x + 1\]
\[ = \left( { - {x^5} - {x^5}} \right) + \left( {3{x^3} - 5{x^3}} \right) + \left( {4x - 2x} \right) + \left( {2 + 1} \right)\]
\[ = - 2{x^5} - 2{x^3} + 2x + 3\].
Vậy \[h\left( x \right) = - 2{x^5} - 2{x^3} + 2x + 3\].
b) Theo đề bài, \[g\left( x \right) + h\left( x \right) = f\left( x \right)\]
Suy ra \[h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\]
\[ = \left( {{x^5} - 3{x^3} + 2x - 1} \right) - \left( { - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2} \right)\]
\[ = {x^5} - 3{x^3} + 2x - 1 + {x^5} + 5{x^3} - 4x - 2\]
\[ = \left( {{x^5} + {x^5}} \right) + \left( {5{x^3} - 3{x^3}} \right) + \left( {2x - 4x} \right) - \left( {1 + 2} \right)\]
\[ = 2{x^5} + 2{x^3} - 2x - 3\].
Vậy \[h\left( x \right) = 2{x^5} + 2{x^3} - 2x - 3.\]
Cho hai đa thức: \[f\left( x \right) = 3{x^3} + 5x - 4 - {x^3} + 2{x^2} + 11\];
\[g\left( x \right) = {x^2} + 4 - 3{x^2} - \left( {3{x^2} - 7{x^3} - 1} \right)\].
(a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức \[f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)\] theo lũy thừa giảm dần của biến.
(b) Tính tổng \[f\left( x \right) + g\left( x \right)\].
(c) Tính hiệu \[f\left( x \right) - g\left( x \right)\].
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức \[f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)\] theo lũy thừa giảm dần của biến:
• \[f\left( x \right) = 3{x^3} + 5x - 4 - {x^3} + 2{x^2} + 11\]
\[ = \left( {3 - 1} \right){x^3} + 2{x^2} + 5x - 4 + 11\]
\[ = 2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7\].
• \[g\left( x \right) = {x^2} + 4 - 3{x^2} - \left( {3{x^2} - 7{x^3} - 1} \right)\]
\[ = {x^2} + 4 - 3{x^2} - 3{x^2} + 7{x^3} + 1\]
\[ = 7{x^3} + (1 - 3 - 3){x^2} + 4 + 1\]
\[ = 7{x^3} - 5{x^2} + 5\].
b) Ta có \[f\left( x \right) + g\left( x \right) = \left( {2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7} \right) + \left( {7{x^3} - 5{x^2} + 5} \right)\]
\[ = 2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7 + 7{x^3} - 5{x^2} + 5\]
\[ = \left( {2 + 7} \right){x^3} + \left( {2 - 5} \right){x^2} + 5x + \left( {7 + 5} \right)\]
\[ = 9{x^3} - 3{x^2} + 5x + 12\].
Vậy \[f\left( x \right) + g\left( x \right) = 9{x^3} - 3{x^2} + 5x + 12\].
c) Ta có \[f\left( x \right) - g\left( x \right) = \left( {2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7} \right) - \left( {7{x^3} - 5{x^2} + 5} \right)\]
\[ = 2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7 - 7{x^3} + 5{x^2} - 5\]
\[ = \left( {2 - 7} \right){x^3} + \left( {2 + 5} \right){x^2} + 5x + \left( {7 - 5} \right)\]
\[ = - 5{x^3} + 7{x^2} + 5x + 2\].
Vậy \[f\left( x \right) - g\left( x \right) = - 5{x^3} + 7{x^2} + 5x + 2\].
Cho hai đa thức: \(M\left( x \right) = 3x + {x^4} - 4{x^3} - {x^2} - 2{x^4} + 4{x^3} - x - 5\);
\(N\left( x \right) = 2x + 3\).
(a) Rút gọn và sắp xếp đa thức \(M\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
(b) Tính \(A\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right)\) và \(B\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right)\).
(c) Tính nghiệm của \(N\left( x \right)\).
(d) Chứng minh \(B\left( x \right)\) vô nghiệm.
a) Rút gọn và sắp xếp đa thức \(M\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến, ta được:
\(M\left( x \right) = 3x + {x^4} - 4{x^3} - {x^2} - 2{x^4} + 4{x^3} - x - 5\)
\( = \left( {{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {4{x^3} - 4{x^3}} \right) - {x^2} + \left( {3x - x} \right) - 5\)
\( = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5\).
Vậy \(M\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5\).
b) • \(A\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right) = \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right) + \left( {2x + 3} \right)\)
\( = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5 + 2x + 3\)
\[ = - {x^4} - {x^2} + \left( {2x + 2x} \right) + \left( {3 - 5} \right)\]
\[ = - {x^4} - {x^2} + 4x - 2\].
• \[B\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right) - \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right)\]
\[ = 2x + 3 + {x^4} + {x^2} - 2x + 5\]
\[ = {x^4} + {x^2} + \left( {2x - 2x} \right) + \left( {3 + 5} \right) = {x^4} + {x^2} + 8\].
Vậy \[A\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 4x - 2\]; \[B\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 8\].
c) Nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là
\(2x + 3 = 0\)
\(2x = - 3\)
\(x = - \frac{3}{2}\).
Vậy nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là \(x = - \frac{3}{2}\).
d) Ta có \(B\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 8 = {x^4} + 2 \cdot \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{4} + \frac{{31}}{4}\)
\( = {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} > 0{\kern 1pt} \,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
Do đó \(B\left( x \right)\) vô nghiệm.
Cho đa thức: \[A\left( x \right) = {x^3} + 5{x^2} + 2 - {x^3} + 7{x^2} - x\].
(a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức\[A\left( x \right)\] theo lũy thừa giảm dần của biến.
(b) Xác định bậc và hệ số của lũy thừa bậc 0 của đa thức \(A\left( x \right)\).
(c) Tính \[C\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\], biết \[B\left( x \right) = - 5 + 12{x^2} + 3 - {x^2} + 3x\]. Tìm nghiệm của đa thức \[C\left( x \right)\].
a) Ta có: \[A\left( x \right) = {x^3} + 5{x^2} + 2 - {x^3} + 7{x^2} - x\]
\[A\left( x \right) = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {5{x^2} + 7{x^2}} \right) - x + 2\]
\[A\left( x \right) = 12{x^2} - x + 2\]
b) Đa thức \[A\left( x \right)\] có bậc là 2 và hệ số của lũy thừa bậc 0 là 2.
c) Ta có: \[C\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\] với \[B\left( x \right) = - 5 + 12{x^2} + 3 - {x^2} + 3x\].
Do đó, \[C\left( x \right) = 12{x^2} - x + 2 - 5 + 12{x^2} + 3 - {x^2} + 3x\]
\[C\left( x \right) = \left( {12{x^2} - 12{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - x + 3x} \right) + 2 - 5 + 3\]
\[C\left( x \right) = - {x^2} + 2x\].
Cho \[C\left( x \right) = 0\], do đó \[ - {x^2} + 2x = 0\] hay \[x\left( { - x + 2} \right) = 0\].
Suy ra \[x = 0\] hoặc \[x = 2.\]
Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,...\,;\,\,19\,;\,\,20.\] Hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
(a) A: "Số xuất hiện trên thẻ nhỏ hơn 25".
(b) B: "Số xuất hiện trên thẻ là số thập phân".
(c) E: "Số xuất hiện trên thẻ là số lẻ".
(d) C: "Số xuất hiện trên thẻ nhỏ hơn 20 ".
(e) F: "Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho 4".
(f) D: "Số xuất hiện trên thẻ lớn hơn 17 ".
(g) G: "Số xuất hiện trên thẻ là số nguyên tố".
(h) H: "Số xuất hiện trên thẻ là số chia cho 3 dư 2".
a) Tất cả các thẻ trong hộp đều ghi số nhỏ nhỏ hơn 25.
Do đó, xác suất của biến cố A là \[100\% \].
b) Tất cả các thẻ trong hộp đều ghi số tự nhiên hay không có thẻ nào ghi số thập phân.
Do đó, xác suất của biến cố B là \[0\% \].
c) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 19 thẻ ghi số nhỏ hơn 20 gồm \[\left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,...\,;\,\,19} \right\}.\]
Do đó, xác suất của biến cố C là \[\frac{{19}}{{20}}\].
d) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 3 thẻ ghi số lớn hơn 17 gồm \[\left\{ {18\,;\,\,19\,;\,\,20} \right\}.\]
Do đó, xác suất của biến cố D là \[\frac{3}{{20}}\].
e) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 10 thẻ ghi số chẵn và 10 thẻ ghi số lẻ.
Do đó, xác suất của biến cố E là \[50\% \].
g) Trong 20 thẻ trong hộp có các số chia hết cho 4 là \[4\,;\,\,8\,;\,\,12\,;\,\,16\,;\,\,20\].
Xác suất số chia hết cho 4 là \[\frac{5}{{20}}\].
h) Các số nguyên tố trên thẻ là \[2\,;\,\,3\,;\,\,5\,;\,\,7\,;\,\,13\,;\,\,17\,;\,\,19\];
Xác suất xuất hiện số nguyên tố là \[\frac{7}{{20}}\];
Xác suất xuất hiện là \[\frac{7}{{20}}\].
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 1 lần.
(a) Viết tập hợp A gồm các kết quả thuận lợi cho biến cố "Số chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc là số chia 3 dư 2".
(b) Nêu các kết quả thuận lợi của biến cố gieo được mặt 5 chấm. Xác suất của biến cố gieo được mặt 5 chấm bằng bao nhiêu?
(c) Tính xác suất của biến cố gieo được mặt có chấm là số nguyên tố.
a) Tập hợp \[A\] gồm các kết quả thuận lợi cho biến cố "Số chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc là số chia 3 dư 2" là \(A = \left\{ {2\,;\,\,5} \right\}\).
b) Xác xuất giao được mặt 5 chấm là \[\frac{1}{6}\].
c) Số nguyên tố xuất hiện ở trên mặt con xúc xắc là \[2\,;\,\,3\,;\,\,5.\]
Xác suất của biến cố gieo được mặt có chấm là số nguyên tố là \[\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\].
Chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp \(\left\{ {2;3;5;7;8;9;10} \right\}\). Tính xác suất của biến cố:
(a) A: “Số được chọn là số nguyên tố”.
(b) B: “Số được chọn chia hết cho 2 và 5”.
a) Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số được chọn là số nguyên tố” là:
\(\left\{ {2;3;5;7} \right\}\). Do đó, có 4 kết quả thuận lợi.
Vậy xác suất của biến cố này là: \(\frac{4}{7}.\)
b) Kết quả thuận lợi cho biến cố B: “Số được chọn là số chia hết cho 2 và 5” là: \(10\).
Do đó, có 1 kết quả thuận lợi.
Vậy, xác suất cho biến cố này là: \(\frac{1}{7}.\)
Trong một hộp bút bi có \(10\) bút bi, trong đó có 5 chiếc màu đen, 3 chiếc màu xanh và 2 chiếc màu đỏ. Không nhìn mà lấy ngẫu nhiên một chiếc từ trong hộp bút.
(a) Tính xác suất để lấy ra được chiếc bút màu xanh.
(b) Tính xác suất để lấy ra chiếc bút màu đỏ.
a) Xác suất để lấy ngẫu nhiên được một chiếc bút bi màu xanh là: \(\frac{3}{{10}}.\)
b) Xác suất để lấy ngẫu nhiên được một chiếc bút bi màu đỏ là: \(\frac{2}{{10}} = \frac{1}{5}.\)
Trong hộp có \(15\) thẻ gồm 5 thẻ có hình ngôi sao, 8 thẻ có hình vuông và 7 thẻ có hình bông hoa. Rút ngẫu nhiên một thẻ bất kì trong hộp.
(a) Xác suất của biến cố “Thẻ được ra là hình bông hoa” là \(\frac{2}{{15}}.\)
(b) Xác suất của biến cố “Thẻ được rút ra là hình vuông” là \(\frac{8}{{15}}.\)
(c) Biến cố “Thẻ được rút ra không phải hình ngôi sao” tức là thẻ được rút ra có hình bông hoa hoặc hình vuông.
Do đó, xác suất của biến cố này là: \(\frac{8}{{15}} + \frac{2}{{15}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}.\)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn, đường cao \(BD,{\rm{ }}CE\) cắt nhau ở \(H\), \(AH\) cắt \(BC\) tại \(M.\) Chứng minh rằng:
(a) Biết \(AM \bot BC.\) Chứng minh \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).
(b) Lấy điểm \(K\) sao cho \(AB\) là trung trực của \(HK\). Chứng minh rằng \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).
a) Theo giả thiết, ta có \(CH \bot AB\,;{\rm{ }}BH \bot AC\) nên \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
Suy ra \(AH \bot BC\) hay \(AM \bot BC\)
Xét tam giác \(BAM\) ta có
\(\widehat {BAM} = 180^\circ - \widehat {AMB} - \widehat {MBA}\)\(180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,(1)\)
Xét tam giác \(BCE\) ta có
\(\widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {CEB} - \widehat {MBE}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,(2)\)
Từ \((1),\,\,(2)\) suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).
b) Xét hai tam giác vuông \(AKE\) và \(AHE\) có
\(EK = EH\), \(AE\) là cạnh chung.
Do đó \[\Delta AKE = \Delta AHE\] (hai cạnh góc vuông bằng nhau).
Suy ra \(\widehat {KAE} = \widehat {HAE}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat {HAE} = \widehat {KCB}\) (câu a) nên \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường phân giác \[BD{\rm{ }}(D \in AC).\] Từ \[D\] kẻ \[DH \bot BC.\]
(a) Chứng minh \[\Delta ABD = \Delta HBD.\]
(b) So sánh \[AD\] và \[DC.\]
(c) Gọi \[K\] là giao điểm của đường thẳng \[AB\] và \[DH,{\rm{ }}I\] là trung điểm của \[KC.\] Chứng minh ba điểm \[B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I\] thẳng hàng.
a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBD\) có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = 90^\circ \)
\[BD\] là cạnh chung
\(\widehat {ABD} = \widehat {HBD}\) (do \[BD\] là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\)).
Do đó \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cạnh huyền – góc nhọn).
b) Từ \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (câu a) suy ra \[AD = HD\] (hai cạnh tương ứng).
Xét \[\Delta DHC\] vuông tại \[H\] có \[DC\] là cạnh huyền nên \[DC\] là cạnh lớn nhất.
Do đó \[DC > HD\] nên \[DC > AD.\]
c) Xét \[\Delta BKC\] có \[CA \bot BK,{\rm{ }}KH \bot BC\] và \[CA\] cắt \[KH\] tại \[D.\]
Do đó \[D\] là trực tâm của \[\Delta BKC\], nên \[BD \bot KC\]. (1)
Gọi \[J\] là giao điểm của \[BD\] và \[KC.\]
Xét \[\Delta BKJ\] và \[\Delta BCJ\] có:
\(\widehat {BJK} = \widehat {BJC} = 90^\circ \),
\[BJ\] là cạnh chung,
\(\widehat {KBJ} = \widehat {CBJ}\) (do \[BJ\] là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\)).
Do đó \[\Delta BKJ = \Delta BCJ\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra \[KJ = CJ\] (hai cạnh tương ứng).
Hay \[J\] là trung điểm của \[KC.\]
Mà theo bài \[I\] là trung điểm của \[KC\] nên I và \[J\] trùng nhau.
Do đó ba điểm \[B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I\] thẳng hàng.
Cho tam giác \[ABC\] có \[AB < AC\]. Hai đường cao \[AD\] và \[BE\] cắt nhau tại \[H\] và \[AD = BE\]\[\left( {D \in BC,\,\,E \in AC} \right)\]. Chứng minh rằng:
(a) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].
(b) Đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].
(c) \[DE\] song song với \[AB\].
a) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BED\) có
\[AD = BE\] (gt)
\(\widehat {AED} = \widehat {BDE} = 90^\circ \)
Cạnh \[AB\] chung
Do đó \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \[\widehat {EAB} = \widehat {ABD}\] (hai góc tương ứng)
Vậy tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].
b) Vì tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[CA = CB\].
Suy ra \[C\] thuộc đường trung trực của \[AB\].
Vì \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cmt) nên \[\widehat {EBA} = \widehat {DAB}\] (hai góc tương ứng).
Suy ra tam giác \[HAB\] cân tại \[H\]nên \[HA = HB\].
Do đó \[H\] thuộc đường trung trực của \[AB\].
Vậy đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].
c) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].
Ta có \[AE = BD\] (vì \(\Delta ADE = \Delta BED\)).
Suy ra \[CA - AE = CB - BD\] nên \[CE = CD\].
Do đó tam giác \[CED\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CED} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].
Suy ra \[\widehat {CAB} = \widehat {CED}\]
Mà \[\widehat {CAB}\] và \[\widehat {CED}\] ở vị trí đồng vị nên \[ED\,{\rm{//}}\,BA.\]
Cho \[\Delta ABC\] có ba đường trung tuyến \[AD,\,\,BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[G\]. Chứng minh rằng:
(a) \[AD < \frac{{AB + AC}}{2}\].
(b) \[BE + CF > \frac{3}{2}BC\].
(c) \[\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF < AB + BC + AC\].
a) Trên tia đối của tia \[DA\] lấy điểm \[H\] sao cho \[DA = DH\].
• Xét \[\Delta ADB\] và \[\Delta HDC\] có
\[BD = CD\] (\[D\] là trung điểm của \[BC\])
\[\widehat {ADB} = \widehat {HDC}\] (đối đỉnh)
\[AD = HD\] (cách dựng)
Do đó \[\Delta ADB = \Delta HCD\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\].
Suy ra \[AB = HC\] (hai cạnh tương ứng).
• Xét \[\Delta ACH\] có \[AC + HC > AH\] (bất đẳng thức trong tam giác).
Suy ra \[AC + AB > 2AD\] hay \[AD < \frac{{AB + AC}}{2}\].
b) Ta có \[AD,\,\,BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[G\] nên \[G\] là trọng tâm của \[\Delta ABC\].
Suy ra \[BG = \frac{2}{3}BE\,,\,\,CG = \frac{2}{3}CF\,,\,\,AG = \frac{2}{3}AD\].
Xét \[\Delta BGC\] có \[BG + CG > BC\] (bất đẳng thức trong tam giác).
Suy ra \[\frac{2}{3}\left( {BE + CF} \right) > BC\] hay \[BE + CF > \frac{3}{2}BC.\]
c) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác \[AGB\,,\,\,AGC\,,\,\,BGC\]:
• Xét \[\Delta AGB\] có \[AG + BG > AB\]. (1)
• Xét \[\Delta AGC\] có \[AG + CG > AC\]. (2)
• Xét \[\Delta BGC\] có \[BG + CG > BC\]. (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:
\[AG + BG + AG + CG + BG + CG > AB + AC + BC\]
\[2AG + 2BG + 2CG > AB + AC + BC\]
\[\frac{4}{3}AD + \frac{4}{3}BE + \frac{4}{3}CF > AB + AC + BC\]
\[\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF\].
Theo câu a) ta có \[AD < \frac{{AB + AC}}{2}\].
Chứng minh tương tự, ta có: \[BE < \frac{{AB + BC}}{2}\,;\,\,CF < \frac{{BC + AC}}{2}\].
Suy ra \[AD + BE + CF > \frac{{AB + AC}}{2} + \frac{{AB + BC}}{2} + \frac{{BC + AC}}{2}\].
Do đó \[AD + BE + CF < AB + BC + AC\].
Vậy \[\,\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF < AB + BC + AC\].
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \(\widehat {ABC} > \widehat {ACB},\) trung tuyến \[AM\]. Trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[D\] sao cho \[C\] là trung điểm của \[MD\]. Trên tia đối của tia \[BA\] lấy điểm \[E\] sao cho \(BE = BA.\) Trên tia đối của tia \[MA\] lấy điểm \[N\] sao cho \(MN = MA\).
(a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta NMC\) và \[CN \bot CA\].
(b) Gọi \[I\] là trung điểm của \[DE\]. Chứng minh ba điểm \[A,\,\,M,\,\,I\] thẳng hàng.
(c*) So sánh \[AD\] và \[BC\].
a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta NMC\) có
\[MC = MB\] (gt)
\(\widehat {AMB} = \widehat {NMC}\) (hai góc đối đỉnh)
\[MA = MN\] (gt)
Do đó \(\Delta AMB = \Delta NMC\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}{\rm{.}}\)
Suy ra \[\widehat {MAB} = \widehat {MNC}\] (hai góc tương ứng).
Ta thấy hai góc này ở vị trí so le trong \(CN\,{\rm{//}}\,AB\).
Mà \[BA \bot CA\] nên \[CN \bot CA\].
b) Vì \[B\] là trung điểm của \[AE\] nên \[DB\] là đường trung tuyến của \(\Delta DAE\).
Ta có \[DC = CM,\,\,CM = MB\] nên \[DM = \frac{2}{3}DB\].
Do đó \[M\] là trọng tâm của \[\Delta DAE\]
Vì \[I\] là trung điểm của \[DE\] nên \[AI\] là đường trung tuyến của \[\Delta DAE\].
Mà \[M \in AI\] nên ba điểm \[A,\,\,M,\,\,I\] thẳng hàng.
c*) Vì \[\Delta AMB = \Delta NMC\] (cmt) nên \[AB = NC\] (hai cạnh tương ứng)
Xét \[\Delta ACN\] và \[\Delta CAB\] có
Cạnh \[CA\] chung ; \[\widehat {CAB} = \widehat {ACN} = 90^\circ \], \[CN = AB\] (cmt)
Do đó \[\Delta ACN = \Delta CAB\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\]
Suy ra \[AN = BC\] (hai cạnh tương ứng)
Nên \[\frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}BC\] hay \[AM = MC = MB\].
Do đó \[\Delta AMC\] và \[\Delta AMB\] cân tại \[M.\]
Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có
• \[\widehat {AMB} = \widehat {ACB} + \widehat {CAM} = 2\widehat {ACB}\]
• \[\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}\]
• \[\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}\]
Vì \[\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\] nên \[\widehat {AMB} < \widehat {AMC}\].
Mà \[\widehat {AMB}\] và \[\widehat {AMC}\] là hai góc kề bù nên \[\widehat {AMC}\] là góc tù.
Xét \[\Delta AMB\] có \[\widehat {AMD}\] là góc tù nên \[\widehat {AMD} > \widehat {DAM}.\]
Suy ra \[AD > MD\] (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện).
Lại có \[MB = MC = CD\] nên \[MB + MC = MC + CD\].
Do đó \[BC = MD\] (đpcm).
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \(A\). Lấy điểm \(D\) trên cạnh \(AC\), điểm \(E\) trên cạnh \(AC\) sao cho \(BD = CE\).
(a) Chứng minh \(AD = AE\) và \(\Delta ABE = \Delta ACD\).
(b) Chứng minh \[\Delta ABI = \Delta ACI\], từ đó suy ra \[AI\] là đường phân giác của góc \[BAC\].
(c) Tìm vị trí của hai điểm \[D\] và \[E\] sao cho \[BD = DE = EC\]. Khi đó tìm vị trí của điểm \(I\).
a) Ta có \[AB = AC\] (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) và \[BD = CE\] (giả thiết)
Suy ra \(AB - BD = AC - CE\) hay \(AD = AE\).
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có:
\[AB = AC\] (chứng minh trên);
\(\widehat {BAC}\) là góc chung;
\[AD = AE\] (chứng minh trên).
Do đó \[\Delta ABE = \Delta ACD\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\].
b) Từ \[\Delta ABE = \Delta ACD\] suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))
Suy ra \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\)
Tam giác \[IBC\] có \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) nên là tam giác cân tại \(I\).
Do đó \[IB = IC\].
Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có:
\[AB = AC\] (chứng minh trên);
\[AI\] là cạnh chung;
\[IB = IC\] (chứng minh trên).
Do đó \[\Delta ABI = \Delta ACI\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\]
Suy ra \(\widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (hai góc tương ứng).
Nên \[AI\] là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).
c) Xét \(\Delta ADE\) có \[AD = AE\] nên \(\Delta ADE\) cân tại \(A\), do đó \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\).
Mà \(\widehat {DAE} + \widehat {ADE} + \widehat {AED} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAE}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Tương tự với \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DE\,{\rm{//}}\,BC\).
Suy ra \(\widehat {DEB} = \widehat {EBC}\) (hai góc so le trong) \(\left( 3 \right)\)
\(\Delta BDE\) có \[BD = DE\] nên là tam giác cân tại \(D\), suy ra \(\widehat {DBE} = \widehat {DEB}\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra \(\widehat {DBE} = \widehat {EBC}\)
Khi đó \[BE\] là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\).
Tương tự, với \[DE = EC\] ta cũng chứng minh được \[CD\] là đường phân giác của \(\widehat {ACB}\)
Xét \(\Delta ABC\) có \[BE,CD\] là hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại \(I\).
Suy ra \(I\) cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\).
Vậy để \[BD = DE = EC\] thì \[BE\] và \[CD\] là hai đường phân giác của \(\Delta ABC\), khi đó \(I\) cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\).
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \(A\). Kẻ \[AH \bot BC\] tại \(H\).
(a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC\), từ đó suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\).
(b) Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(E\) sao cho \[AB = BE\]. Gọi \(I\) là trung điểm của \[EC,\]\[BC\] cắt \[AI\] tại \[M\]. Chứng minh \[2BH = 3BM\] và tính độ dài \[BM\] biết \[BC = 6\,\,{\rm{cm}}\].
(c) Chứng minh \[AB + AC > 6HM\].
a) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \);
\(AB = AC\) (do \[\Delta ABC\] cân tại \(A\))
\(AH\) là cạnh chung.
Do đó \(\Delta AHB = \Delta AHC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(HB = HC\) (hai cạnh tương ứng)
Khi đó \(H\) là trung điểm của \(BC\).
b) • Xét \(\Delta AEC\) có \(AI,CB\) là hai đường trung tuyến của tam giác và \(AI,CB\) cắt nhau tại \(M\) nên \(M\) là trọng tâm của \(\Delta AEC\).
Do đó \(BM = \frac{1}{3}BC\)
Mà \(BC = 2BH\) (do \(H\) là trung điểm của \(BC\)).
Suy ra \(BM = \frac{1}{3}.2BH\) hay \(2BH = 3BM\).
• Ta có \(BM = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}.6 = 2\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
c) Ta có \(BM = \frac{1}{3}.2BH\) suy ra \(HM = BH - BM = BH - \frac{2}{3}BH = \frac{1}{3}BH\)
Do đó \(HM = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}BC = \frac{1}{6}BC\) hay \(6HM = BC\).
Xét \(\Delta ABC\) ta có \(AB + AC > BC\) (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra \(AB + AC > 6HM\).
Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn. Các điểm \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của cạnh \[BC,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \(O\) là giao điểm các đường trung trực của tam giác \[ABC.\] Trên tia đối của tia \[MO\] lấy điểm \(D\) sao cho \[MD = MO\]. Trên tia đối của tia \[NO\] lấy điểm \(F\) sao cho \[NF = NO\]. Trên tia đối của tia \[PO\] lấy điểm \(E\) sao cho \[PE = PO\].
(a) Chứng minh \(\Delta ANO = \Delta BNF\), từ đó suy ra \[AO = BF\] và \[AO\,{\rm{//}}\,BF\].
(b) Chứng minh hình lục giác \[AFBDCE\] có 6 cạnh bằng nhau.
(c) Chứng minh \(\Delta ABC{\rm{ = }}\Delta DEF\).
a) Xét \(\Delta ANO\) và \(\Delta BNF\) có:
\(\widehat {ANO} = \widehat {BNF} = 90^\circ \);
\(NA = NB\) (do \(N\) là trung điểm của \(AB\));
\(NO = NF\) (giả thiết).
Do đó \(\Delta ANO = \Delta BNF\) (hai cạnh góc vuông)
Suy ra \[AO = BF\] (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {NAO} = \widehat {NBF}\) (hai góc tương ứng).
Lại có hai góc \(\widehat {NAO}\) và \(\widehat {NBF}\) ở vị trí so le trong nên \[AO\,{\rm{//}}\,BF\].
b) Chứng minh tương tự câu a, ta có \(\Delta APO = \Delta CPE\) (hai cạnh góc vuông).
Do đó \(AO = CE\) (hai cạnh tương ứng).
Mà \[AO = BF\] (câu a) nên \(BF = CE = AO\).
Tương tự, ta cũng chứng minh được:
• \(AE = BD = CO\);
• \(AF = CD = BO\).
Mặt khác, \(O\) là giao điểm ba đường trung trực của \(\Delta ABC\) nên \(O\) cách đều ba đỉnh của tam giác, hay \(OA = OB = OC\).
Do đó \[AF = FB = BD = DC = CE = EA = OA = OB = OC\] nên hình lục giác \[AFBDCE\] có 6 cạnh bằng nhau.
c) Ta có \(\Delta APO = \Delta CPE\) (câu b) nên \(\widehat {PAO} = \widehat {PCE}\) (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AO\,{\rm{//}}\,CE\).
Lại có \(AO\,{\rm{//}}\,BF\) (câu a) nên \(BF\,{\rm{//}}\,CE\).
Suy ra \(\widehat {BFC} = \widehat {ECF}\) (hai góc so le trong).
Xét \[\Delta BCF\] và \(\Delta EFC\) có:
\(BF = EC\) (câu b);
\(\widehat {BFC} = \widehat {ECF}\) (chứng minh trên);
\(FC\) là cạnh chung.
Do đó \[\Delta BCF = \Delta EFC\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\]
Suy ra \(BC = EF\) (hai cạnh tương ứng).
Tương tự ta cũng chứng minh được \(AB = DE\) và \(AC = DF\).
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có:
\(AB = DE;AC = DF;BC = EF\) (chứng minh trên).
Do đó \(\Delta ABC = \Delta DEF\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\).
Một hộp quà hình hộp chữ nhật \[AEDC.MNFB\] có \[CF = 12\,\,{\rm{cm}}\,;\] \[MN = 10\,\,{\rm{cm}}\,;\]\[MB = 8\,\,{\rm{cm}}\]. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hộp quà này.
Diện tích xung quanh của hộp quà:
\({S_{xq}} = 2.\left( {10 + 8} \right).12 = 432\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Thể tích của hộp quà là:
\[V = 10.8.12 = 960\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\].
Vậy hộp quà có diện tích xung quanh là \(432\,\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) và thể tích là \[960\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\].
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy tam giác \(ABC\) vuông tại \[A.\] Biết \(AB = 15{\rm{ cm}},{\rm{ }}BC = 25{\rm{ cm}},\,\,AA' = 12{\rm{\;cm}}\), thể tích của hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) là \(1\,\,800\;\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\). Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\).
Diện tích đáy của hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) là:
\(1\,800:12 = 150\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)
Độ dài cạnh \[AC\] là: \(\frac{{2.150}}{{15}} = 20\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) là:
\[\left( {15 + 20 + 25} \right) \cdot 12 = 720{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\]
Vậy diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) là \[720{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\]
Một hộp sữa hình hộp chữ nhật có kích thước chiều dài là \(10{\rm{ cm,}}\) chiều rộng là \({\rm{5 cm}}\) và chiều cao là \({\rm{22 cm}}\) có thể tích thực là 1 lít.
(a) Tính chiều cao của lượng sữa trong hộp sữa đó.
(b) Tính diện tích bìa cứng cần dùng để làm vỏ hộp sữa (coi như phần mép hộp không đáng kể).
a) Đổi \(1l = 1{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3} = 1{\rm{ }}000{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\).
Diện tích đáy của hộp sữa đó là: \(10.5 = 50\) (cm2)
Chiều cao của lượng sữa trong hộp sữa đó là: \(1000:50 = 20\) (cm).
b) Diện tích bìa cứng làm vỏ hộp sữa chính là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy của hình hộp chữ nhật.
Diện tích xung quanh của vỏ hộp sữa là: \(2.\left( {10 + 5} \right).22 = 660\) (cm2)
Diện tích hai đáy của vỏ hộp sữa là: \(2.5.10 = 100\) (cm2)
Diện tích bìa cứng để làm vỏ hộp sữa là: \(660 + 100 = 760\) (cm2).
Một căn phòng rộng \({\rm{4 m,}}\) dài \({\rm{6 m,}}\) cao \({\rm{2,5 m}}{\rm{.}}\) Người ta muốn quét vôi trần nhà và bốn bức tường. Biết tổng diện tích các cửa bằng \(12\% \) tổng diện tích bốn bức tường và trần nhà.
(a) Tính diện tích cần quét vôi.
(b) Biết chi phí mỗi m2 quét vôi là \(50{\rm{ 000}}\) đồng. Tính số tiền phải trả để quét vôi căn phòng đó.
a) Diện tích xung quanh của ngôi nhà là: \(2.\left( {4 + 6} \right).2,5 = 50\) (m2)
Diện tích trần nhà là: \(4.6 = 24\) (m2)
Diện tích cửa là: \(\left( {50 + 24} \right).12\% = 8,88\) (m2)
Do đó, diện tích cần quét vôi của ngôi nhà là: \(50 + 24 - 8,88 = 65,12\) (m2).
b) Số tiền phải trả để quét vôi căn phòng đó là:
\(65,12.50{\rm{ }}000 = 3{\rm{ }}256{\rm{ }}000\) (đồng).
Một chiếc bánh ngọt có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với các kích thước như hình vẽ:
(a) Tính thể tích chiếc bánh.
(b) Nếu phải làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật bằng giấy cứng có chiều dài \(9{\rm{ cm,}}\) rộng \(4{\rm{ cm}}\) và cao \(6{\rm{ cm}}\) để đựng chiếc bánh cần dùng bao nhiêu cm2 giấy cứng (coi mép dán không đáng kể).
a) Thể tích của chiếc bánh ngọt đó là: \(\frac{1}{2}.4.8.3 = 48\) (cm3)
b) Để tích được số cm2 giấy cứng cần để làm hộp đựng bánh thì ta tính diện toàn phần của hình hộp chữ nhật có chiều dài \(9{\rm{ cm,}}\) rộng \(4{\rm{ cm}}\) và cao \(6{\rm{ cm}}\).
Do đó, diện tích bìa cứng cần dùng để làm hộp đựng bánh là:
\(2.\left( {9 + 4} \right).6 + 2.9.4 = 228\) (cm2).
Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏa mãn: \(f\left( {x + 1} \right) = f\left( x \right) + 1\) với \(x\) bất kì và \(f\left( 0 \right) = 1\). Tìm \(f\left( x \right)\).
Ta có \(f\left( 1 \right) = f\left( {0 + 1} \right) = f\left( 0 \right) + 1 = 1 + 1 = 2\);
\(f\left( 2 \right) = f\left( {1 + 1} \right) = f\left( 1 \right) + 1 = 2 + 1 = 3\);
\(f\left( 3 \right) = f\left( {2 + 1} \right) = f\left( 2 \right) + 1 = 3 + 1 = 4\);
………………………………………
\(f\left( x \right) = f\left( {x - 1 + 1} \right) = f\left( {x - 1} \right) + 1 = x + 1\).
Vậy \(f\left( x \right) = x + 1\).
Cho đa thức \(f\left( x \right) = {\left( {1 - 5x + 3{x^2}} \right)^{2017}}\). Tính tổng tất cả các hệ số của đa thức \(f\left( x \right)\) sau khi đã bỏ ngoặc.
Tổng tất cả các hệ số của đa thức \(f\left( x \right)\) sau khi đã phá ngoặc là:
\(f\left( 1 \right) = {\left( {1 - 5 + 3} \right)^{2017}} = {\left( { - 1} \right)^{2017}} = - 1\).
Cho đa thức \[f\left( x \right)\] thỏa mãn: \(x \cdot f\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 4} \right) \cdot f\left( x \right)\), với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Chứng minh đa thức \[f\left( x \right)\] có ít nhất hai nghiệm.
• Thay \[x = 0\] vào \(x \cdot f\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 4} \right) \cdot f\left( x \right)\), ta có \(0 = - 4f\left( 0 \right)\) hay \(f\left( 0 \right) = 0\).
Do đó \(x = 0\) là nghiệm của \(f\left( x \right)\).
• Thay \(x = 4\) vào \(x \cdot f\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 4} \right) \cdot f\left( x \right)\), ta có \(4f\left( 2 \right) = 0\) hay \(f\left( 2 \right) = 0\).
Do đó \(x = 2\) là nghiệm của \(f\left( x \right)\).
Vậy \(f\left( x \right)\) có ít nhất hai nghiệm là \(x = 0\); \(x = 2\).
Cho \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}}\) \(\left( {a,\,\,c \ne 0\,;\,\,a \ne b\,;\,\,b \ne c} \right)\). Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{{a - b}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{c}\).
Cách 1: Theo đề bài: \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}} = \frac{{2a - b}}{b}\) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Đẳng thức \(\frac{1}{a} + \frac{1}{{a - b}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{c}\)
\(\frac{{2a - b}}{{a\left( {a - b} \right)}} = \frac{{2c - b}}{{\left( {b - c} \right)c}}\)
\(\frac{{2a - b}}{b} = \frac{a}{c} \cdot \frac{{a - b}}{{b - c}} \cdot \frac{{2c - b}}{b}\)
\(1 = \frac{a}{c} \cdot \frac{{2c - b}}{b}\)
\(bc + ab = 2ac\)
\(ab - ac = ac - bc\)
\(\left( {b - c} \right)a = c\left( {a - b} \right)\)
\(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}}\) (luôn đúng).
Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
• \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}} = \frac{{a + a - b}}{{c + b - c}} = \frac{{2a - b}}{b}\);
• \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}} = \frac{{a - a + b}}{{c - b + c}} = \frac{b}{{2c - b}}\) nên \(\frac{c}{a} = \frac{{2c - b}}{b}\).
Đẳng thức \(\frac{1}{a} + \frac{1}{{a - b}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{c}\)
\(\frac{{2a - b}}{{a\left( {a - b} \right)}} = \frac{{2c - b}}{{\left( {b - c} \right)c}}\)
\(\frac{{2a - b}}{b} = \frac{a}{c} \cdot \frac{{a - b}}{{b - c}} \cdot \frac{{2c - b}}{b}\)
\(\frac{a}{c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a}\)
\(\frac{a}{c} = \frac{a}{c}\) (luôn đúng).
(a) Tìm \(x\,,\,\,y\) biết: \(\left| {x - 2023y} \right| + {\left( {y - 1} \right)^{2022}} = 0\).
(b) Tính giá trị của \(P\left( x \right) = 3{x^3} + 4{x^2} - 8x + 1\), biết \({x^2} + x - 3 = 0\).
a) Ta có \(\left| {x - 2023y} \right| \ge 0\,;\,\,{\left( {y - 1} \right)^{2022}} \ge 0\).
Để \(\left| {x - 2023y} \right| + {\left( {y - 1} \right)^{2022}} = 0\) thì
\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 2023y} \right| = 0\\{\left( {y - 1} \right)^{2022}} = 0\end{array} \right.\)suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2023y = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2023\\y = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(x = 2023\,,\,\,y = 1.\)
b) \(P\left( x \right) = 3{x^3} + 4{x^2} - 8x + 1\)
\( = 3{x^3} + 3{x^2} - 9x + {x^2} + x - 3 + 4\)
\( = 3x\left( {{x^2} + x - 3} \right) + \left( {{x^2} + x - 3} \right) + 4 = 4\)
\( = 0 + 0 + 4 = 4\).
Vậy \(P\left( x \right) = 4.\)
Tính \(A = xy + {x^2}{y^2} + {x^4}{y^4} + {x^6}{y^6} + ... + {x^{2016}}{y^{2016}} + {x^{2018}}{y^{2018}}\) tại \(x = - 2,\) \(y = \frac{1}{2}\).
Ta có \(xy = \left( { - 2} \right) \cdot \frac{1}{2} = - 1\).
Khi đó \(A = xy + {x^2}{y^2} + {x^4}{y^4} + {x^6}{y^6} + {x^8}{y^8} + ... + {x^{2016}}{y^{2016}} + {x^{2018}}{y^{2018}}\)
\[ = xy + {\left( {xy} \right)^2} + {\left( {xy} \right)^4} + {\left( {xy} \right)^6} + ... + {\left( {xy} \right)^{2016}} + {\left( {xy} \right)^{2018}}\]
\[ = \left( { - 1} \right) + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^4} + {\left( { - 1} \right)^6} + ... + {\left( { - 1} \right)^{2016}} + {\left( { - 1} \right)^{2018}}\]
\({\rm{ = }} - 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 1\,\,007\).
Nhà bạn Nam dùng mật khẩu để mở cửa nhà. Do đãng trí nên Nam đi học về và quên mật khẩu, chỉ nhớ mật khẩu là số có ba chữ số và các chữ số này đều là lẻ. Tính xác suất Nam bấm 1 lần mở được cửa.
Do mật khẩu là số có ba chữ số và các chữ số này đều là lẻ nên các số đó được tạo thành từ bộ số \(\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\).
Ta có \(5\) cách chọn chữ số hàng trăm;
\(5\) cách chọn chữ số hàng chục;
\(5\) cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Từ đó, số kết quả có thể xảy ra là: \(5.5.5 = 125\).
Mà Nam chỉ bấm 1 lần nên khả năng xảy ra của mỗi biến cố là như nhau.
Do đó, xác suất để Nam bấm 1 lần mở được cửa là: \(\frac{1}{{125}}\).
Trong một hộp kín có chứa 10 bông hoa hồng đỏ, 20 hoa hồng vàng và \(n\) bông hoa hồng xanh. Lấy ngẫu nhiên một bông hoa trong hộp kính. Biết xác suất lấy được hoa hồng xanh là \(\frac{4}{{10}}\). Tính số hoa hồng xanh có trong hộp.
Số các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một bông hoa trong hộp kín là:
\(10 + 20 + n = n + 30\).
Xác suất lấy được bông hoa màu xanh là \(\frac{n}{{n + 30}} = \frac{4}{{10}}\).
Do đó, \(10n = 4\left( {n + 30} \right)\) hay \(10n = 4n + 120\) do đó, \(6n = 120\) hay \(n = 20\).
Vậy có 20 bông hoa hồng xanh trong hộp.
Trong một hộp thưởng có chứa 5 quả bóng màu xanh, 20 quả bóng trắng, \(n\) quả bóng màu cầu vồng, các quả bóng cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng. Biết xác suất lấy được quả bóng màu cầu vồng là \(\frac{3}{4}\). Tính số quả bóng màu cầu vồng.
Số các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một quả bóng là: \(5 + 20 + n = n + 25\).
Xác suất để lấy được quả bóng màu cầu vồng là \(\frac{n}{{n + 25}} = \frac{3}{4}\).
Hay \(4n = 3\left( {n + 25} \right)\), do đó \(4n = 3n + 75\) hay \(n = 75\).
Vậy có 75 quả bóng cầu vồng trong hộp.
Trên một công trường xây dựng, do cải tiến kỹ thuật nên năng suất lao động của công nhân tăng \(25\% \). Hỏi nếu số công nhân không thay đổi thì thời gian làm xong việc giảm bao nhiêu phần trăm?
Gọi \(x\) là thời gian hoàn thành công việc với năng suất lao động \(100\% \).
\(y\) là thời gian hoàn thành với năng suất \(125\% \).
Vì công nhân không đổi nên thời gian hoàn thành tỉ lệ nghịch với năng suất lao động nên:
\(x.100 = y.125\) hay \(\frac{y}{x} = \frac{{100}}{{125}} = \frac{4}{5} = 80\% \).
Do đó, nếu số công nhân không thay đổi thì thời gian làm xong việc giảm đi \(100\% - 80\% = 20\% \).
Gạo được chứa trong ba kho theo tỉ lệ \(1,3;{\rm{ 2}}\frac{1}{2};{\rm{ 1}}\frac{1}{5}\). Gạo trong kho thứ hai nhiều hơn trong kho thứ nhất là \(43,2\) tấn. Sau 1 tháng, người ta tiêu thụ ở kho thứ nhất \(40\% \) và ở kho thứ hai \(30\% \) và ở kho thứ ba là 25% số gạo có trong mỗi kho. Hỏi trong một tháng đã tiêu thụ được bao nhiêu tấn gạo?
Gọi số gạo trong ba kho thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là \(x,y,z\) (tấn).
Điều kiện \(\left( {x,y,z > 0} \right)\).
Theo đề, gạo được chứa trong ba kho theo tỉ lệ \(1,3;{\rm{ 2}}\frac{1}{2};{\rm{ 1}}\frac{1}{2}\) hay \(1,3;{\rm{ 2,5}};{\rm{ 1,2}}\).
Do đó, ta có: \(\frac{x}{{1,3}} = \frac{y}{{2,5}} = \frac{z}{{1,2}}\) và \(y - x = 43,2\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{{1,3}} = \frac{y}{{2,5}} = \frac{z}{{1,2}} = \frac{{y - x}}{{2,5 - 1,3}} = \frac{{43,2}}{{1,2}} = 36\).
Suy ra \[x = 1,3.36 = 46,8\] (tấn); \[y = 2,5.36 = 90\] (tấn); \[z = 1,2.36 = 43,2\] (tấn).
Số gạo đã tiêu thụ ở kho thứ nhất là: \[46,8.40\% = 18,72\] (tấn)
Số gạo đã tiêu thụ ở kho thứ hai là: \[90.30\% = 27\] (tấn)
Số gạo đã tiêu thụ ở kho thứ ba là: \[43,2.25\% = 10,8\] (tấn)
Vậy số gạo đa tiêu thụ trong một tháng là: \[18,72 + 27 + 10,8 = 56,52\] (tấn).
Nhà trường dự định chia vở cho ba lớp 7A, 7B, 7C theo tỉ lệ \(7;6;5\). Nhưng vì có sự thay đổi nên phải chia lại theo tỉ lệ \(6;5;4\). Như vậy có lớp đã nhận được ít hơn dự định 12 quyển. Tính số vở mỗi lớp đã nhận được trong thực tế.
Gọi tổng số vở ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được là \[x\] \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\].
Gọi số vở dự định chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(a,b,c\).
Theo đề, ban đầu chia vở cho ba lớp theo tỉ lệ \(7;6;5\) nên ta có:
\(\frac{a}{7} = \frac{b}{6} = \frac{c}{5} = \frac{{a + b + c}}{{7 + 6 + 5}} = \frac{x}{{18}}\).
Suy ra \(a = \frac{{7x}}{{18}};b = \frac{{6x}}{{18}};c = \frac{{5x}}{{18}}\) (1)
Gọi số vở chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C sau khi thay đổi là \(a',b',c'\). Ta có:
\(\frac{{a'}}{6} = \frac{{b'}}{5} = \frac{{c'}}{4} = \frac{{a' + b' + c'}}{{6 + 5 + 4}} = \frac{x}{{15}}\)
Suy ra \(a' = \frac{{6x}}{{15}};b' = \frac{{5x}}{{15}};c' = \frac{{4x}}{{15}}\) (2)
So sánh (1) và (2) nhận thấy \(a < a';b = b',c > c'\).
Do đó, lớp nhận được ít hơn 12 quyển là lớp 7C.
Suy tra \(\frac{{5x}}{{18}} - \frac{{4x}}{{15}} = 12\) hay \(\frac{x}{{90}} = 12\) nên \(x = 1080\) (quyển).
Số vở lớp 7A nhận trong thực tế là: \(a' = \frac{{6x}}{{15}} = \frac{{6.1080}}{{15}} = 432\) (quyển)
Số vở lớp 7B nhận trong thực tế là: \(b' = \frac{{5x}}{{15}} = \frac{{5.1080}}{{15}} = 360\) (quyển)
Số vở lớp 7C nhận trong thực tế là: \(c' = \frac{{4x}}{{15}} = \frac{{4.1080}}{{15}} = 288\) (quyển)
Vậy trong thực tế ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được lần lượt 432 quyển, 360 quyển và 288 quyển.
