Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 1
20 câu hỏi
Tìm \[a\,,\,\,b\,,\,\,c\] (hoặc \(x\,,\,\,y\,,\,\,z\)) biết:
a) \(\frac{a}{3} = \frac{b}{8} = \frac{c}{5}\) và \(2a + 3b - c = 50\);
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(\frac{a}{3} = \frac{b}{8} = \frac{c}{5}\) nên \(\frac{{2a}}{6} = \frac{{3b}}{{24}} = \frac{c}{5}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{2a}}{6} = \frac{{3b}}{{24}} = \frac{c}{5} = \frac{{2a + 3b - c}}{{6 + 24 - 5}} = \frac{{50}}{{25}} = 2\).
Suy ra \(2a = 12\,;\,\,3b = 48\,;\,\,c = 10\)
Do đó \(a = 6\,;\,\,b = 16\,;\,\,c = 10\).
Tìm \[a\,,\,\,b\,,\,\,c\] (hoặc \(x\,,\,\,y\,,\,\,z\)) biết:
b) \(\frac{a}{{10}} = \frac{b}{6} = \frac{c}{{21}}\) và \(5a + b - 2c = 28\);
b) Ta có \(\frac{a}{{10}} = \frac{b}{6} = \frac{c}{{21}}\) nên \(\frac{{5a}}{{50}} = \frac{b}{6} = \frac{{2c}}{{42}}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{5a}}{{50}} = \frac{b}{6} = \frac{{2c}}{{42}} = \frac{{5a + b - 2c}}{{50 + 6 - 42}} = \frac{{28}}{{14}} = 2\).
Suy ra \(5a = 100\,;\,\,b = 12\,;\,\,2c = 84\).
Do đó \(a = 20\,;\,\,b = 12\,;\,\,c = 42\).
Tìm \[a\,,\,\,b\,,\,\,c\] (hoặc \(x\,,\,\,y\,,\,\,z\)) biết:
c) \(\frac{a}{{10}} = \frac{b}{5};\,\,\frac{b}{2} = \frac{c}{5}\) và \(2a - 3b + 4c = 330\);
c) Ta có \(\frac{a}{{10}} = \frac{b}{5};\,\,\frac{b}{2} = \frac{c}{5}\) nên \(\frac{{5a}}{{10}} = \frac{b}{1} = \frac{{2c}}{5}\) suy ra \(\frac{{2a}}{4} = \frac{{3b}}{3} = \frac{{4c}}{{10}}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{2a}}{4} = \frac{{3b}}{3} = \frac{{4c}}{{10}} = \frac{{2a - 3b + 4c}}{{4 - 3 + 10}} = \frac{{330}}{{11}} = 30\).
Suy ra \(2a = 120\,;\,\,3b = 90\,;\,\,4c = 300\).
Do đó \(a = 30\,;\,\,b = 30\,;\,\,c = 75\).
Tìm \[a\,,\,\,b\,,\,\,c\] (hoặc \(x\,,\,\,y\,,\,\,z\)) biết:
d) \(\frac{a}{1} = \frac{b}{4};\,\,\frac{b}{c} = \frac{3}{4}\) và \(4a + b - c = 8\);
d) Ta có \(\frac{a}{1} = \frac{b}{4};\,\,\frac{b}{c} = \frac{3}{4}\) nên \(\frac{a}{1} = \frac{b}{4}\,;\,\,\frac{b}{3} = \frac{c}{4}\) suy ra \(\frac{{4a}}{1} = \frac{b}{1} = \frac{{3c}}{4}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{4a}}{1} = \frac{b}{1} = \frac{c}{{\frac{4}{3}}} = \frac{{4a + b - c}}{{1 + 1 + \frac{4}{3}}} = \frac{8}{{\frac{{10}}{3}}} = 2,4\)
Suy ra \(4a = 2,4\,;\,\,b = 2,4\,;\,\,c = 3,2\).
Do đó \(a = 0,6\,;\,\,b = 2,4\,;\,\,c = 3,2\).
Tìm \[a\,,\,\,b\,,\,\,c\] (hoặc \(x\,,\,\,y\,,\,\,z\)) biết:
e) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{7} = \frac{z}{5}\) và \({x^2} - {y^2} + {z^2} = - 60\);
e) Ta có \(\frac{x}{3} = \frac{y}{7} = \frac{z}{5}\) nên \(\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{49}} = \frac{{{z^2}}}{{25}}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{49}} = \frac{{{z^2}}}{{25}} = \frac{{{x^2} - {y^2} + {z^2}}}{{9 - 49 + 25}} = \frac{{ - 60}}{{ - 15}} = 4\).
Suy ra \({x^2} = 36\,;\,\,{y^2} = 196\,;\,\,c = 100\).
Do đó \(a = 6\,;\,\,b = 14\,;\,\,c = 10\) hoặc \(a = - 6\,;\,\,b = - 14\,;\,\,c = - 10\).
Tìm \[a\,,\,\,b\,,\,\,c\] (hoặc \(x\,,\,\,y\,,\,\,z\)) biết:
f) \(\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b - 2}}{3} = \frac{{c - 3}}{4}\) và \(a - 2b + 3c = 14\);
f) Ta có \(\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b - 2}}{3} = \frac{{c - 3}}{4}\) nên \(\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{2b - 4}}{6} = \frac{{3c - 9}}{{12}}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{2b - 4}}{6} = \frac{{3c - 9}}{{12}} = \frac{{a - 1 - 2b + 4 + 3c - 9}}{{2 - 6 + 12}} = \frac{8}{8} = 1\).
Suy ra \(a - 1 = 2\,;\,\,2b - 4 = 6\,;\,\,3c - 9 = 12\).
Do đó \(a = 3\,;\,\,b = 5\,;\,\,c = 7\).
Tìm \[a\,,\,\,b\,,\,\,c\] (hoặc \(x\,,\,\,y\,,\,\,z\)) biết:
g) \(5a = 8b = 20c\) và \(a - b - c = 3\);
g) Ta có \(5a = 8b = 20c\) nên \(\frac{a}{8} = \frac{b}{5} = \frac{c}{2}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{8} = \frac{b}{5} = \frac{c}{2} = \frac{{a - b - c}}{{8 - 5 - 2}} = \frac{3}{1} = 3\).
Do đó \(a = 24\,;\,\,b = 15\,;\,\,c = 6\).
Tìm \[a\,,\,\,b\,,\,\,c\] (hoặc \(x\,,\,\,y\,,\,\,z\)) biết:
h) \(\frac{{2a}}{3} = \frac{{3b}}{4} = \frac{{4c}}{5}\) và \(a + b + c = 49\).
h) Ta có \(\frac{{2a}}{3} = \frac{{3b}}{4} = \frac{{4c}}{5}\) và \[\frac{a}{{\frac{3}{2}}} = \frac{b}{{\frac{4}{3}}} = \frac{c}{{\frac{5}{4}}}\].
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\[\frac{a}{{\frac{3}{2}}} = \frac{b}{{\frac{4}{3}}} = \frac{c}{{\frac{5}{4}}} = \frac{{a + b + c}}{{\frac{3}{2} + \frac{4}{3} + \frac{5}{4}}} = \frac{{49}}{{\frac{{18 + 16 + 15}}{{12}}}} = 12\].
Do đó \(a = 18\,;\,\,b = 16\,;\,\,c = 15\).
Các số \(a\,,\,\,b\,,\,c\,,\,d\) thoả mãn điều kiện: \(\frac{a}{{3b}} = \frac{b}{{3c}} = \frac{c}{{3d}} = \frac{d}{{3a}}\) và \(a + b + c + d \ne 0\).
Chứng minh rằng \(a = b = c = d\).
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{{3b}} = \frac{b}{{3c}} = \frac{c}{{3d}} = \frac{d}{{3a}} = \frac{{a + b + c + d}}{{3\left( {a + b + c + d} \right)}} = \frac{1}{3}\) (vì \({\kern 1pt} a + b + c + d \ne 0\))
Do đó \(a = b = c = d\).
Chứng minh rằng nếu \({a^2} = bc\) (với \(a \ne b,\,\,a \ne c)\) thì \(\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + a}}{{c - a}}\).
Hướng dẫn giải
Ta có \[{a^2} = bc\] nên \[\frac{a}{c} = \frac{b}{a} = \frac{{a + b}}{{a + c}} = \frac{{a - b}}{{c - a}}\] suy ra \[\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{a + c}}{{c - a}}\].
Cho \(\frac{x}{{ - 4}} = \frac{y}{{ - 7}} = \frac{z}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{ - 2x + y + 5z}}{{2x - 3y - 6z}}\) (với \(x\,,\,\,y\,,\,\,z\) khác 0 và \(2x - 3y - 6z \ne 0\)).
Hướng dẫn giải
Đặt \(\frac{x}{{ - 4}} = \frac{y}{{ - 7}} = \frac{z}{3} = k\).
Suy ra x=−4k ; y=−7k; z=3k
Khi đó, ta có: \(A = \frac{{ - 2x + y + 5z}}{{2x - 3y - 6z}} = \frac{{8k - 7k + 15k}}{{ - 8k + 21k - 18k}} = \frac{{16}}{{11}}\).
Cho ba tỉ số bằng nhau là \(\frac{a}{{b + c}};\,\,\frac{b}{{c + a}};\,\,\frac{c}{{a + b}}\).
Hướng dẫn giải
•Nếu \(a + b + c = 0\) thì \(b + c = - a\,;\,\,c + a = - b\,;\,\,a + b = - c\).
Do đó \(\frac{a}{{b + c}} = \frac{b}{{c + a}} = \frac{c}{{a + b}} = - 1\).
• Nếu \[a + b + c \ne 0\] thì \(\frac{a}{{b + c}} = \frac{b}{{c + a}} = \frac{c}{{a + b}} = \frac{{a + b + c}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{1}{2}\).
Chứng minh rằng nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì
a) \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\);
Hướng dẫn giải
Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) nên \(a = kb,\,\,c = kd{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\kern 1pt} \left( {b,\,\,d \ne 0} \right)\)
a) Ta có:
• \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5kb + 3b}}{{5kb - 3b}} = \frac{{b\left( {5k + 3} \right)}}{{b\left( {5k - 3} \right)}} = \frac{{5k + 3}}{{5k - 3}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 1 \right)\)
• \(\frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}} = \frac{{5kd + 3d}}{{5kd - 3d}} = \frac{{d\left( {5k + 3} \right)}}{{d\left( {5k - 3} \right)}} = \frac{{5k + 3}}{{5k - 3}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\).
Chứng minh rằng nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì
b) \(\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}\).
b) Ta có:
• \(\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{k^2}{b^2} + 3k{b^2}}}{{11{k^2}{b^2} - 8{b^2}}} = \frac{{{b^2}\left( {7{k^2} + 3k} \right)}}{{{b^2}\left( {11{k^2} - 8} \right)}} = \frac{{7{k^2} + 3k}}{{11{k^2} - 8}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 3 \right)\)
• \(\frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}} = \frac{{7{k^2}{d^2} + 3k{d^2}}}{{11{k^2}{d^2} - 8{d^2}}} = \frac{{{d^2}\left( {7{k^2} + 3k} \right)}}{{{d^2}\left( {11{k^2} - 8} \right)}} = \frac{{7{k^2} + 3k}}{{11{k^2} - 8}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 4 \right)\)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}\).
Số bi của ba bạn Hà, Bảo, Chi tỉ lệ với \(3\,;\,\,4\,;\,\,5\). Biết số bi của Bảo nhiều hơn số bi của Hà 15 viên bi. Tính số bi mà mỗi bạn có.
Hướng dẫn giải
Gọi số bi của Hà, Bảo, Chi lần lượt là \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c.\]
Theo đề bài: \(a:b:c = 3:4:5{\kern 1pt} \) hay \({\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}\) và \(b - a = 15\).
Ta có: \({\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{{b - a}}{{4 - 3}} = 15\) suy ra \(a = 45\,,\,\,b = 60\,,\,\,c = 75\).
Ba lớp 7 có tất cả 153 học sinh. Số học sinh lớp 7B bằng \(\frac{8}{9}\) số học sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C bằng \(\frac{{17}}{{16}}\) số học sinh lớp 7B. Tính số học sinh mỗi lớp.
Hướng dẫn giải
Gọi số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c.\]
Theo đề bài: \(a + b + c = 153{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \) và \(b = \frac{8}{9}a\,;\,\,c = \frac{{17}}{{16}}b\).
Ta có: \({\kern 1pt} a + b + c = a + \frac{8}{9}a + \frac{{17}}{{16}}b = a + \frac{8}{9}a + \frac{{17}}{{16}} \cdot \frac{8}{9}a\)
\( = a + \frac{8}{9}a + \frac{{17}}{{18}}a = \frac{{18 + 16 + 17}}{{18}}a = \frac{{51}}{{18}}a = 153\).
Do đó \(a = 54\,;\,\,b = 48\,;\,\,c = 51\).
Biết độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với \(3\,;\,\,5\,;\,\,7\). Tính độ dài các cạnh của một tam giác, biết:
a) Chu vi của tam giác là \(45{\rm{\;cm}}\);
b) Tổng độ dài cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất hơn cạnh còn lại \(20{\rm{\;cm}}\).
Hướng dẫn giải
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c.\]
Theo đề bài: \(a:b:c = 3:5:7{\kern 1pt} \) hay \({\kern 1pt} \frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7}\).
a) Chu vi tam giác bằng 45 nên \(a + b + c = 45\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\({\kern 1pt} \frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} = \frac{{a + b + c}}{{3 + 5 + 7}} = \frac{{45}}{{15}} = 3\).
Do đó \(a = 9\,;\,\,b = 15\,;\,\,c = 21\).
b) Do \(a:b:c = 3:5:7{\kern 1pt} {\kern 1pt} \)nên \(a < b < c\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\({\kern 1pt} \frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} = \frac{{a - b + c}}{{3 - 5 + 7}} = \frac{{20}}{5} = 4\).
Do đó \(a = 12\,;\,\,b = 20\,;\,\,c = 28\).
Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất cày trong 5 ngày, đội thứ hai cày trong 4 ngày và đội thứ ba cày trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy cày, biết rằng ba đội có tất cả 37 máy? (năng suất các máy như nhau).
Hướng dẫn giải
Gọi số máy cày của đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] (máy cày).
Theo đề bài, ta có: \(a + b + c = 37\).
Do số lượng máy cày tỉ lệ nghịch với số ngày cày nên: \(5a = 4b = 6c\) hay \(\frac{a}{{12}} = \frac{b}{{15}} = \frac{c}{{10}}.\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{{12}} = \frac{b}{{15}} = \frac{c}{{10}} = \frac{{a + b + c}}{{12 + 15 + 10}} = \frac{{37}}{{37}} = 1\).
Do đó \(a = 12\,;\,\,b = 15\,;\,\,c = 10\).
Vậy đội thứ nhất có 12 máy, đội thứ hai có 15 máy, đội thứ ba có 10 máy.
Một người mua vải đề may ba áo sơ mi kích cỡ như nhau (coi như diện tích bằng nhau). Người ấy mua ba loại vải khổ rộng \(0,7{\rm{\;m}}\,;\,\,0,8{\rm{\;m}}\) và \(1,4{\rm{\;m}}\) với tổng số vải dài là \(5,7{\rm{\;m}}\). Tính số mét vải mỗi loại người đó đã mua.
Hướng dẫn giải
Gọi số mét vải loại khổ rộng \(0,7{\rm{\;m}}\,;\,\,0,8{\rm{\;m}}\) và \(1,4{\rm{\;m}}\)lần lượt là \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\,\,{\rm{(m)}}\].
Theo đề bài, ta có:\(a + b + c = 5,7\).
Do kích thức ba áo sơ mi như nhau nên
\(0,7a = 0,8b = 1,4c\) hay \(7a = 8b = 14c\) nên \(\frac{a}{8} = \frac{b}{7} = \frac{c}{4}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{8} = \frac{b}{7} = \frac{c}{4} = \frac{{a + b + c}}{{8 + 7 + 4}} = \frac{{5,7}}{{19}} = 0,3\).
Do đó \(a = 2,4\,;\,\,\,b = 2,1\,;\,\,\,c = 1,2\).
Vậy người đó mua mỗi loại vải khổ rộng \(0,7{\rm{\;m}}\,;\,\,0,8{\rm{\;m}}\) và \(1,4{\rm{\;m}}\) lần lượt là \(2,4{\rm{\;m}}\,;\,\,2,1{\rm{\;m}}\) và \(1,2{\rm{\;m}}{\rm{.}}\)
Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ, ba lớp 7A, 7B, 7C có 130 học sinh tham gia. Mỗi học sinh lớp 7A góp 2 kg, mỗi học sinh 7B góp 3 kg, mỗi học sinh lớp 7C góp 4 kg. Tính số học sinh tham gia phong trào của mỗi lóp đó, biết số giấy thu được của ba lớp đó bằng nhau.
Hướng dẫn giải
Gọi số giấy thu hoạch được của lớp 7A, lớp 7B, lớp 7C lần lượt là \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\,\,{\rm{(kg)}}{\rm{.}}\]
Theo đề bài, ta có: \(a + b + c = 130\).
Do số lượng giấy góp các lớp bằng nhau nên số lượng học sinh mỗi lớp tỉ lệ nghịch với số lượng giấy mỗi học sinh góp nên \(2a = 3b = 4c\) hay \(\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{3}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{3} = \frac{{a + b + c}}{{6 + 4 + 3}} = \frac{{130}}{{13}} = 10\).
Do đó \(a = 60\,;\,\,b = 40\,;\,\,c = 30\).
