Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Tự luận
17 câu hỏi
Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt[6]{x}}}{{\sqrt[4]{x}}}\) với \(x > 0\).
Hướng dẫn giải
\(P = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt[6]{x}}}{{\sqrt[4]{x}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} = {x^{\frac{1}{4}}}.\)
Cho \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\). Tính giá trị biểu thức \(P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - {{4.2}^x} - {{4.2}^{ - x}}}}\).
Hướng dẫn giải
Có \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} - {2.2^x}{.2^{ - x}} = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3\).
Khi đó \(P = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - {{4.2}^x} - {{4.2}^{ - x}}}}\)\( = \frac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - 4.\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}\)\( = \frac{{5 + 3}}{{8 - 4.3}} = - 2\).
Một người gửi số tiền 300 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất kép 6% một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi suất sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Hỏi sau 3 năm không rút tiền gốc và lãi, số tiền trong ngân hàng của người đó là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính lãi suất theo hình thức lãi kép: \(P = A{\left( {1 + r} \right)^n}\).
Trong đó: P là số tiền gồm vốn lẫn lãi tại thời điểm n tính từ thời điểm gửi, A là số tiền gửi vào ban đầu, r (%) là lãi suất.
Vậy sau 3 năm, người đó có số tiền là: \(P = 300\;000\;000.{\left( {1 + 6\% } \right)^3} \approx 357\;305\;000.\)
Xét các số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _5}a = 5\) và \({\log _3}b = \frac{2}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(I = 2{\log _6}\left[ {{{\log }_5}\left( {5a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{9}}}{b^3}\).
Hướng dẫn giải
\(I = 2{\log _6}\left[ {{{\log }_5}\left( {5a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{9}}}{b^3}\)\( = 2{\log _6}\left[ {1 + {{\log }_5}a} \right] - \frac{3}{2}{\log _3}b\)\( = 2 - \frac{3}{2}.\frac{2}{3}\)\( = 2 - 1 = 1\).
Biết \(x\) và \(y\) là hai số thực thỏa mãn \({\log _4}x = {\log _9}x = {\log _6}\left( {x - 2y} \right)\). Tính giá trị của \(\frac{x}{y}\).
Hướng dẫn giải
Đặt \({\log _4}x = {\log _9}x = {\log _6}\left( {x - 2y} \right) = t\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {4^t}\\y = {9^t}\\x - 2y = {6^t}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \frac{x}{y} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2t}}\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}x = {4^t}\\y = {9^t}\\x - 2y = {6^t}\end{array} \right. \Rightarrow {4^t} - {2.9^t} = {6^t}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2t}} - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = - 1\\{\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = 2\end{array} \right.\).
Do đó \(\frac{x}{y} = 4\).
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \({\log _3}\frac{9}{{10}} + {\log _3}30\).
b) \({\log _3}\frac{5}{9} - 2{\log _3}\sqrt 5 \).
c) \(2{\log _5}2 - {\log _5}4\sqrt {10} + {\log _5}\sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải
a) \({\log _3}\frac{9}{{10}} + {\log _3}30\)\( = {\log _3}9 - {\log _3}10 + {\log _3}3 + {\log _3}10\)\( = 2{\log _3}3 + {\log _3}3\)\( = 3\).
b) \({\log _3}\frac{5}{9} - 2{\log _3}\sqrt 5 \)\( = {\log _3}\frac{5}{9} - {\log _3}5\)\( = {\log _3}\left( {\frac{5}{9}:5} \right)\)\( = {\log _3}{3^{ - 2}} = - 2\).
c) \(2{\log _5}2 - {\log _5}4\sqrt {10} + {\log _5}\sqrt 2 \)\( = {\log _5}4 + {\log _5}\sqrt 2 - {\log _5}4\sqrt {10} \)\( = {\log _5}4\sqrt 2 - {\log _5}4\sqrt {10} \)
\( = {\log _5}\frac{{4\sqrt 2 }}{{4\sqrt {10} }}\)\( = {\log _5}\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( = {\log _5}{5^{\frac{{ - 1}}{2}}}\)\( = \frac{{ - 1}}{2}\).
Trong nuôi trồng thủy sản, độ pH của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khỏe và sự phát triển của thủy sản. Độ pH thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất là trong khoảng từ 7,8 đến 8,5. Phân tích nồng độ [H+] (mol/L) trong một đầm nuôi tôm sú ta thu được [H+] = 8.10-8. Hỏi độ pH của đầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không? Biết \(pH = - \log \left[ {{H^ + }} \right]\)
Hướng dẫn giải
Độ pH của đầm đó là \(pH = - \log \left[ {{H^ + }} \right]\)\( = - \log \left( {{{8.10}^{ - 8}}} \right) \approx 7,097\).
Vì \(7,097 < 7,2\) nên đầm đó không thích hợp cho tôm sú phát triển.
Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) \(y = {12^x}\).
b) \(y = {\log _5}\left( {2x - 3} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định của hàm số \(y = {12^x}\) là \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(y = {\log _5}\left( {2x - 3} \right)\) xác định khi \(2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y = {\log _5}\left( {2x - 3} \right)\) là \(D = \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(y = {\log _{{a^2} - 2a + 1}}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn giải
Hàm số \(y = {\log _{{a^2} - 2a + 1}}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow 0 < {a^2} - 2a + 1 < 1\)\( \Leftrightarrow 0 < a < 2;a \ne 1\).
Giải các phương trình
a) \({4^{2x - 1}} = {8^{x + 3}}\).
b) \({9^{2x}}{.27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}\).
c) \({5^{2x - 1}} = 20\).
Hướng dẫn giải
a) \({4^{2x - 1}} = {8^{x + 3}}\)\( \Leftrightarrow {2^{4x - 2}} = {2^{3x + 9}}\)\( \Leftrightarrow 4x - 2 = 3x + 9\)\( \Leftrightarrow x = 11\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 11\).
b) \({9^{2x}}{.27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {3^{4x}}{.3^{3{x^2}}} = {3^{ - 1}}\)\( \Leftrightarrow {3^{4x + 3{x^2}}} = {3^{ - 1}}\)\( \Leftrightarrow 4x + 3{x^2} = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = - \frac{1}{3}\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - \frac{1}{3}\);\(x = - 1\).
c) \({5^{2x - 1}} = 20\)\( \Leftrightarrow 2x - 1 = {\log _5}20\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{1 + {{\log }_5}20}}{2}\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{1 + {{\log }_5}20}}{2}\).
Giải các phương trình
a) \({\log _{16}}\left( {3x - 5} \right) = \frac{1}{2}\).
b) \({\log _3}x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện \(x > \frac{5}{3}\)
\({\log _{16}}\left( {3x - 5} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 3x - 5 = \sqrt {16} \)\( \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\).
b) Điều kiện \(x > 0\).
\({\log _3}x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {x\left( {x + 1} \right)} \right] = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)\)\( \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 5x + 12\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 2\)(loại) hoặc \(x = 6\)(thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 6.\)
Giải các bất phương trình
a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{5x - 6}}\).
b) \({25^x} \le {5^{4x - 3}}\).
Hướng dẫn giải
a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{5x - 6}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} \le 5x - 6\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \le 0\)\( \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {2;3} \right]\).
b) \({25^x} \le {5^{4x - 3}}\)\( \Leftrightarrow {5^{2x}} \le {5^{4x - 3}}\)\( \Leftrightarrow 2x \le 4x - 3\)\( \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
Giải các bất phương trình
a) \({\log _5}\left( {{x^2} - 24x} \right) \ge 2\).
b) \(2{\log _3}\left( {x + 1} \right) \le 1 + {\log _3}\left( {x + 7} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện \({x^2} - 24x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 24\end{array} \right.\).
\({\log _5}\left( {{x^2} - 24x} \right) \ge 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 24x \ge {5^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 24x - 25 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 25\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {25; + \infty } \right)\).
b) Điều kiện \(x > - 1\).
\(2{\log _3}\left( {x + 1} \right) \le 1 + {\log _3}\left( {x + 7} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x + 1} \right)^2} \le {\log _3}\left[ {3\left( {x + 7} \right)} \right]\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \le 3\left( {x + 7} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 20 \le 0\)\( \Leftrightarrow - 4 \le x \le 5\).
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 1;5} \right]\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên \[SA \bot (ABCD)\] và \(SA = a\sqrt 2 \).
a) Chứng minh:\[BC \bot (SAB)\].
b) Chứng minh: \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Do \(ABCD\) là hình vuông nên\[AB \bot BC\]
\[SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BC\].
Vậy \[BC \bot (SAB)\].
b) Do ABCD là hình vuông nên\[AC \bot BD\]
\[SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD\].
\( \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)
Mà \(BD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
c) \[\left. \begin{array}{l}(SBC) \cap (ABCD) = BC\\BC \bot AB\\BC \bot SB\left( {BC \bot (SAB)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ((SBC),(ABCD)) = \]\(\left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}\).
Xét tam giác \(SAB\) vuông tại A, có \(tan\widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {SBA} \approx 54^\circ \).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[2a\],\[SA = a\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] Trên \[BC\] lấy điểm \[I\] sao cho tam giác \[SDI\] vuông tại \[S\]. Biết góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SDI} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là \[60^\circ \]. Tính độ dài \[SI\].
Hướng dẫn giải
Từ \(A\) dựng \(AK \bot ID\left( {K \in ID} \right)\)
Mà \(ID \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)\( \Rightarrow ID \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow ID \bot SK\)
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SDI} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là góc \(\widehat {AKS} = 60^\circ \).
Tam giác \(SAK\) vuông tại \(A\), ta có: \({\mathop{\rm Sin}\nolimits} \widehat {ASK} = \frac{{SA}}{{SK}} \Rightarrow SK = \frac{{SA}}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} \widehat {ASK}}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\), ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = a\sqrt 5 \)
Tam giác \(SID\) vuông tại \(S\), \(SK\) là đường cao, ta có:
\(\frac{1}{{S{K^2}}} = \frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{S{D^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{I^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} - \frac{1}{{5{a^2}}} \Rightarrow SI = \frac{{2a\sqrt {55} }}{{11}}\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2\sqrt 2 \), \(AA' = 4\). Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AA'B'B} \right) \Rightarrow BC \bot A'B\).
Mặt khác \(AB \bot BC\) và \(\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\)
Do đó \(\left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {A'B,AB} \right) = \widehat {A'BA}\).
Xét \(\Delta A'AB\) vuông tại \(A,\)có \(\tan \widehat {A'BA} = \frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{4}{{2\sqrt 2 }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {A'BA} \approx 54,7^\circ \).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành, \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]. Biết \[SA = SC\], \[SB = SD\], chứng minh:
a) \[SO\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\].
b) Gọi \[M\] là trung điểm \[AD\], \[H\] là hình chiếu của \[M\] lên \[BD\]. Chứng minh: \[MH \bot SD\].
c) Gọi \[N,\,P\] lần lượt là trung điểm \[AB,\,SA\]. Chứng minh: \[MH \bot NP\].
Hướng dẫn giải
a) Tam giác \[SAC\] cân tại \[S\], \[SO\] là đường trung tuyến nên \[SO \bot AC\].
Tam giác \[SBD\] cân tại \[S\], \[SO\] là đường trung tuyến nên \[SO \bot BD\].
Mà \[AC\] và \[BD\] là hai đường cắt nhau trong \[\left( {ABCD} \right)\],
Khi đó \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\].
b) Do \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \[OD\] là hình chiếu của \[SD\] trên \[\left( {ABCD} \right)\].
Ta có \[MH \bot OD\,\left( {MH \bot BD} \right)\] nên \[MH \bot SD\].
c) Ta có \[MN\,{\rm{//}}\,BD\] (đường trung bình trong tam giác \[ABD\]).
Ta lại có \[NP\,{\rm{//}}\,SB\] (đường trung bình trong tam giác \[SAB\]).
Suy ra \[\left( {MNP} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {SBD} \right)\], mà \[MH \bot \left( {SBD} \right)\] nên \[MH \bot \left( {MNP} \right)\].
Vậy \[MH \bot NP\] (do \[NP \subset \left( {MNP} \right)\]).
