Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Xác suất
32 câu hỏi
Một hộp có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp. Xét các biến cố sau:
P: “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 2”.
Q: “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 4”.
Khi đó biến cố \(P \cap Q\) là
“Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 8”.
“Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 2”.
“Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 6”.
“Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho 4”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(P \cap Q\): “Số ghi trên thẻ được lấy là số chia hết cho cả 2 và 4”, tức là chia hết cho 4.
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố. Biết Mệnh đề nào đúng?
A và B là hai biến cố xung khắc.
A và B là hai biến cố độc lập.
A và B là hai biến cố đối.
A và B là hai biến cố không độc lập.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(P\left( {\overline A } \right) = 0,7 \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 0,3.\)
mà
Vậy\(A\) và \(B\) là hai biến cố không độc lập.
Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là \(95\% \), xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là \(85\% \). Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là
\[0,9925\].
\[0,9825\].
\[0,9725\].
\[0,9625\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Goi \(A\) là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt”.
\(B\) là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt”.
\(C\) là biến cố: “Công ty hoàn thành đúng hạn”.
Ta có \(\overline A \) là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt”.
\(\overline B \) là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt”.
\(\overline C \) là biến cố: “Công ty hoàn thành không đúng hạn”.
\(P(A) = 0,95\) ; \(P(B) = 0,85\) ;\[P(\overline A ) = 0,05\] ; \[P(\overline B ) = 0,15\].
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên\(\overline A \) và \(\overline B \) là hai biến cố độc lập
Mà \(\overline C = \overline A \overline {.B} \)
\[P(\overline C ) = P(\overline A .\overline B ) = P(\overline A ).P(\overline B ) = 0,0075\].
\[ \Rightarrow P(C) = 1 - P(\overline C ) = 0,9925.\]
Một xạ thủ bắn lần lượt hai viên đạn vào bia. Xác suất bắn trúng đích của viên thứ nhất và viên thứ hai lần lượt là \(0,7\) và \(0,8\). Biết rằng kết quả các lần bắn độc lập với nhau. Tính xác suất của các biến cố “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.
\[0,05\].
\[0,06\].
\[0,08\].
\[0,07\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi biến cố \({A_i}\): “ Lần bắn thứ \(i\) trúng đích” với \(i = 1,\,2\).
Biến cố \(\overline {{A_i}} \): “ Lần bắn thứ \(i\) không trúng đích” với \(i = 1,\,2\).
Ta có \(P\left( {{A_1}} \right) = \,0,7,\,P\left( {{A_2}} \right) = \,0,8;\,P\left( {\overline {{A_1}} } \right) = \,0,3,\,P\left( {\overline {{A_2}} } \right) = \,0,2.\)
Gọi biến cố \(B\): “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.
Ta có \(B = \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} \)và \(\overline {{A_1}} ;\,\,\overline {{A_2}} \)là hai biến cố độc lập.
\( \Rightarrow P\left( B \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {\overline {{A_2}} } \right) = 0,3.0,2 = 0,06.\)
Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là \(\frac{1}{5}\) và \(\frac{2}{7}\). Gọi \(A\) là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố \(A\) là bao nhiêu?
\(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{35}}\).
\(P\left( A \right) = \frac{1}{{25}}\).
\(P\left( A \right) = \frac{4}{{49}}\).
\(P\left( A \right) = \frac{2}{{35}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi \[A\] là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”.
Gọi \[X\] là biến cố: “người thứ nhất ném trúng rổ”.\[ \Rightarrow \]\(P\left( X \right) = \frac{1}{5}\).
Gọi \[Y\] là biến cố: “người thứ hai ném trúng rổ”. \[ \Rightarrow \]\(P\left( Y \right) = \frac{2}{7}\).
Ta thấy biến cố \[X,Y\] là \[2\] biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( {X.Y} \right) = P\left( X \right).P\left( Y \right) = \frac{1}{5}.\frac{2}{7} = \frac{2}{{35}}\).
Ba người cùng bắn vào \(1\) bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần lượt là \(0,8\); \(0,6\);\(0,5\). Xác suất để có đúng \(2\) người bắn trúng đích bằng
\(0,24\).
\(0,96\).
\(0,46\).
\(0,92\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bán trúng đích lần lượt là: \(P\left( {{A_1}} \right) = 0,8\); \(P\left( {{A_2}} \right) = 0,6\); \(P\left( {{A_1}} \right) = 0,5\)
Xác suất để có đúng hai người bán trúng đích bằng: \[P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right).\overline {P\left( {{A_3}} \right)} + P\left( {{A_1}} \right).\overline {P\left( {{A_2}} \right)} .P\left( {{A_3}} \right) + \overline {P\left( {{A_1}} \right)} .P\left( {{A_2}} \right).P\left( {{A_3}} \right) = 0,46\].
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố sau:
P: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo là số chẵn”;
Q: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo là số lẻ”;
R: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo khác tính chẵn lẻ”.
Khẳng định nào dưới đây sai?
Hai biến cố P và Q độc lập với nhau.
Hai biến cố P và R không độc lập với nhau.
Hai biến cố Q và R không độc lập với nhau.
R là biến cố hợp của P và Q.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(P \cup Q\): “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo có cùng tính chẵn lẻ”. Do đó đáp án D là sai.
Một hộp chứa \[11\] quả cầu gồm \(5\) quả màu xanh và \(6\)quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời \(2\)quả cầu từ hộp đó. Xác suất để \(2\) quả cầu chọn ra cùng màu bằng
\(\frac{5}{{22}}\).
\(\frac{6}{{11}}\).
\(\frac{5}{{11}}\).
\(\frac{8}{{11}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số cách lấy ra \(2\) quả cầu trong \(11\) quả là \(C_{11}^2\).
Suy ra \(n\left( \Omega \right) = C_{11}^2\).
Gọi \(A\) là biến cố “lấy được \(2\) quả cùng màu”.
Suy ra \(n\left( A \right) = C_5^2 + C_6^2\).
Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^2 + C_6^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{5}{{11}}\).
Từ một đội văn nghệ gồm \(5\) nam và \(8\) nữ cần lập một nhóm gồm \(4\) người hát tốp ca. Tính xác suất để trong \(4\) người được chọn đều là nam.
\(\frac{{C_5^4}}{{C_{13}^4}}\).
\(\frac{{C_5^4}}{{C_8^4}}\).
\(\frac{{A_5^4}}{{A_{13}^4}}\).
\(\frac{{A_5^4}}{{A_8^4}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{13}^4\).
Gọi \[A\] là biến cố “\(4\) người được chọn đều là nam”, ta có: \(n\left( A \right) = C_5^4\).
Xác suất để trong \(4\) người được chọn đều là nam: \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^4}}{{C_{13}^4}}\).
Một hộp chứa \[15\] quả cầu gồm \[6\] quả màu đỏ được đánh số từ \[1\] đến \[6\] và \[9\] quả màu xanh được đánh số từ \[1\] đến \[9\]. Lấy ngẫu nhiên hai quả từ hộp đó, xác suất để lấy được hai quả khác màu đồng thời tổng hai số ghi trên chúng là số chẵn bằng
\[\frac{9}{{35}}.\]
\[\frac{{18}}{{35}}.\]
\[\frac{4}{{35}}.\]
\[\frac{1}{7}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số cách lấy ngẫu nhiên \[2\] quả cầu từ hộp là: \[C_{15}^2 = 105\] cách
Để tổng hai số ghi trên hai quả cầu là số chẵn ta có \[2\] TH sau:
TH1: Hai quả cầu khác màu cùng đánh số lẻ: \[C_3^1.C_5^1 = 15\] cách
TH2: Hai quả cầu khác màu nhau cùng đánh số chẵn: \[C_3^1.C_4^1 = 12\] cách
Vậy xác suất cần tính là: \[P = \frac{{12 + 15}}{{105}} = \frac{9}{{35}}.\]
Từ một hộp chứa \[9\] quả cầu đỏ và \[6\] quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời \[3\] quả cầu. Xác suất để “lấy được \[3\] quả cầu cùng màu” bằng?
\(\frac{{12}}{{65}}\).
\(\frac{5}{{21}}\).
\(\frac{{24}}{{35}}\).
\(\frac{8}{{35}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Lấy ngẫu nhiên đồng thời \[3\]quả cầu từ \[15\] quả cầu đã cho có \[C_{15}^3 = 455\] cách.
Lấy được \[3\] quả cầu cùng màu từ các quả cầu đã cho có \[C_9^3 + C_6^3 = 104\] cách.
Vậy xác suất để lấy được \[3\] quả cầu cùng màu là \(P = \frac{{104}}{{455}} = \frac{8}{{35}}\).
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là
\(\frac{{12}}{{36}}\).
\(\frac{{11}}{{36}}\).
\(\frac{6}{{36}}\).
\(\frac{8}{{36}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 36\).
Gọi \(A\) là biến cố: “ ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm ”.
TH1: Mặt 6 chấm chỉ xuất hiện ở lần gieo thứ nhất: \((6\,;\,1)\), \((6\,;\,2)\), \((6\,;\,3)\), \((6\,;\,4)\), \((6\,;\,5)\).
TH2: Mặt 6 chấm chỉ xuất hiện ở lần gieo thứ hai: \((1\,;\,6)\), \((2\,;\,6)\), \((3\,;\,6)\), \((4\,;\,6)\), \((5\,;\,6)\).
TH3: Mặt 6 chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo: \((6\,;\,6)\).
\( \Rightarrow n(A) = 11\). Vậy \(P(A) = \frac{{11}}{{36}}\).
Một hộp chứa 15 viên bi xanh và 20 viên bi đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi, mỗi lần lấy một viên. Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được viên bi màu xanh ở lần thứ nhất” và \(B\) là biến cố: “Lấy được viên bi màu xanh ở lần thứ hai”. Khi đó
Hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.
\(P\left( {AB} \right) = \frac{3}{{17}}\).
\(P\left( {A\overline B } \right) = \frac{{60}}{{119}}\).
Xác suất để hai viên bi lấy ra khác màu là: \(\frac{{30}}{{119}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập vì lần đầu lấy được bi xanh hay không sẽ ảnh hưởng đến việc lần sau lấy bi.
b) Ta có \(P\left( {AB} \right) = \frac{{15}}{{35}}.\frac{{14}}{{34}} = \frac{3}{{17}}\).
c) \(P\left( {A\overline B } \right) = \frac{{15}}{{35}}.\frac{{20}}{{34}} = \frac{{30}}{{119}}\).
d) Xác suất lấy được hai viên bi khác màu là \(P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {A\overline B } \right) = \frac{{20}}{{35}}.\frac{{15}}{{34}} + \frac{{30}}{{119}} = \frac{{60}}{{119}}\).
Gieo một con xúc xắc, cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Gọi biến cố \(A\) là “Tổng số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo lớn hơn 7”, biến cố B là “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo khác nhau”.
\(P\left( {AB} \right) = \frac{1}{3}\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = \frac{1}{{12}}\).
\(P\left( {A\overline B } \right) = \frac{{11}}{{12}}\).
Hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập với nhau.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Biến cố \(AB\) là: “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo khác nhau và có tổng lớn hơn 7”. Khi đó \(AB = \left\{ {\left( {2;6} \right);\left( {3;5} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;3} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\).
Do đó \(P\left( {AB} \right) = \frac{{12}}{{36}} = \frac{1}{3}\).
b) Biến cố \(A \cup B\): “Số chấm xuất hiện sau hai lần gieo khác nhau hoặc tổng lớn hơn 7”.
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{15}}{{36}} = \frac{5}{{12}};P\left( B \right) = \frac{{30}}{{36}} = \frac{5}{6}\).
Do đó \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{5}{6} + \frac{5}{{12}} - \frac{1}{3} = \frac{{11}}{{12}}\).\(A\overline B = \left\{ {\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}A\overline B \)\[\]
c) Biến cố .. là: “Số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo giống nhau và có tổng lớn hơn 7”.
Ta có .
Do đó \(P\left( {A\overline B } \right) = \frac{3}{{36}} = \frac{1}{{12}}\).
d) Ta có \(P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{5}{6}.\frac{5}{{12}} = \frac{{25}}{{72}} \ne P\left( {AB} \right)\) nên hai biến cố \(A,B\) không độc lập.
An và Huy lần lượt lấy ngẫu nhiên các mảnh giấy có kích thước giống nhau được đánh số từ 1 đến 9 trong một hộp kín. Gọi biến cố \(A\): “An lấy được mảnh giấy đánh số chẵn”. Biến cố \(B\): “Huy lấy được mảnh giấy đánh số chẵn”. Biến cố \(C\): “An lấy được mảnh giấy đánh số 8”. Khi đó:
\(P\left( A \right) = \frac{4}{9}\).
\(P\left( C \right) = \frac{1}{9}\).
\(P\left( B \right) = \frac{4}{9}\).
Hai biến cố \(A\) và \(C\) không độc lập.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
Từ 1 đến 9 có 4 số chẵn và 5 số lẻ.
a) \(P\left( A \right) = \frac{4}{9}\).
b) \(P\left( C \right) = \frac{1}{9}\).
c) Xác suất để huy lấy được mảnh giấy đánh số chẵn là
\(P\left( B \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {\overline A B} \right) = \frac{4}{9}.\frac{3}{8} + \frac{5}{9}.\frac{4}{8} = \frac{4}{9}\).
d) \(A\) và \(C\) là hai biến cố độc lập.
Lớp 11A có 50 học sinh, trong đó có 20 học sinh thích học môn Toán; 30 học sinh thích học môn Ngữ văn; 10 học sinh thích học môn Toán và Ngữ văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp 11A. Gọi \(A\) là biến cố “Học sinh thích học môn Toán”, \(B\) là biến cố “Học sinh thích học môn Ngữ Văn”.
Khi đó \(A \cup B\) là biến cố “Một học sinh của lớp 11A thích học ít nhất một trong hai môn Toán và Ngữ văn”.
\(P\left( A \right) = \frac{{20}}{{50}}\).
\(P\left( {AB} \right) = \frac{6}{{25}}\).
Xác suất để chọn một học sinh thích học ít nhất một trong hai môn Toán và Ngữ văn là \(\frac{4}{5}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) \(A \cup B\) là biến cố “Một học sinh của lớp 11A thích học ít nhất một trong hai môn Toán và Ngữ văn”.
b) \(P\left( A \right) = \frac{{20}}{{50}}\).
c) Biến cố \(AB\): “Học sinh thích cả Toán và Ngữ văn”.
\(P\left( {AB} \right) = \frac{{10}}{{50}}\).
d) \(P\left( B \right) = \frac{{30}}{{50}}\).
Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{{20}}{{50}} + \frac{{30}}{{50}} - \frac{{10}}{{50}} = \frac{4}{5}\).
Một hộp đựng 30 tấm thẻ có đánh số từ 1 đến 30 , hai tấm thẻ khác nhau đánh hai số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp, khi đó xác suất để lấy được:
Thẻ đánh số chia hết cho 3 bằng:\(\frac{1}{3}\).
Thẻ đánh số chia hết cho 4 bằng:\(\frac{{11}}{{30}}\).
Thẻ đánh số chia hết cho 3 và chia hết cho 4 bằng:\(\frac{1}{{15}}\).
Thẻ đánh số chia hết cho 3 hoặc 4 bằng:\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3". Suy ra \(n(A) = 10\) và \(P(A) = \frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}\).
b) Gọi \(B\) là biến cố "Lấy được thẻ đánh số chia hết cho 4 ". Suy ra \(n(B) = 7\) và \(P(B) = \frac{7}{{30}}\).
c) Ta có \(AB\) là biến cố: "Lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3 và chia hết cho 4". Suy ra \(AB = \{ 12;24\} ,n(AB) = 2\) và \(P(AB) = \frac{2}{{30}} = \frac{1}{{15}}\).
d) Xác suất để lấy được thẻ đánh số chia hết cho 3 hoặc 4 là:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{3} + \frac{7}{{30}} - \frac{1}{{15}} = \frac{1}{2}\).
Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là 0,8 ; người thứ hai bắn trúng bia là 0,7 . Khi đó xác suất để:
Người thứ nhất bắn trúng và người thứ hai bắn không trúng bia bằng \(0,14\).
Người thứ nhất bắn không trúng và người thứ hai bắn trúng bia bằng \(0,14\).
Hai người đều bắn trúng bia bằng \(0,56\).
Có ít nhất một người bắn trúng bia bằng \(0,94\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ
Gọi \(A\) là biến cố "Người thứ nhất bắn trúng bia". Ta có: \(P(A) = 0,8\).
Gọi \(B\) là biến cố "Người thứ hai bắn trúng bia". Ta có: \(P(B) = 0,7\).
Gọi \(C\) là biến cố "Có ít nhất một người bắn trúng bia".
a) Biến cố người thứ nhất bắn trúng và người thứ hai bắn không trúng bia là \(A\bar B\) và \(P(A\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B) = 0,8 \cdot 0,3 = 0,24\).
b) Biến cố người thứ nhất bắn không trúng và người thứ hai bắn trúng bia là \(\bar AB\) và \(P(\bar AB) = P(\bar A) \cdot P(B) = 0,2 \cdot 0,7 = 0,14\).
c) Biến cố cả hai người đều bắn trúng bia là \(AB\) và \(P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56\).
d) Biến cố để có ít nhất một người bắn trúng là \(C = A\bar B \cup \bar AB \cup AB\).
Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng là:
\(P(C) = P(A\overline B ) + P(\bar AB) + P(AB) = 0,24 + 0,14 + 0,56 = 0,94.\)
Có 2 hộp đựng các viên bi. Hộp thứ nhất chứa 3 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp thứ hai chứa 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh (các viên bi kích thước như nhau). Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi.
Số phần tử của không gian mẫu là 270.
Có 21 cách để hai viên bi lấy ra đều là màu trắng.
Xác suất để chọn được 2 viên bi trong đó một viên màu đỏ, một viên màu xanh là \(\frac{1}{7}\).
Xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu là \(\frac{9}{{28}}\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) S, d) S
a) Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên bi nên ta có số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{14}^1.C_{18}^1 = 252\).
b) Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được hai viên bi đều là màu trắng”.
Khi đó \(n\left( A \right) = C_3^1.C_7^1 = 21\).
c) Gọi \(B\) là biến cố: “Hai viên bi lấy ra có một viên màu đỏ, một viên màu xanh”.
Th1: Lấy 1 viên bi đỏ ở hộp 1 và 1 viên bi xanh ở hộp 2.
Số cách chọn trong trường hợp này là \(C_5^1.C_5^1 = 25\).
Th2: Lấy 1 viên bi xanh ở hộp 1 và 1 viên bi đỏ ở hộp thứ 2.
Suy ra số cách chọn trong trường hợp này là \(C_6^1.C_6^1 = 36\).
Do đó \(n\left( B \right) = 25 + 36 = 61\).
Vậy \(P\left( B \right) = \frac{{61}}{{252}}\).
d) Gọi \(C\) là biến cố lấy được ra hai viên bi khác màu.
\(\overline C \) là biến cố lấy ra được hai viên bi cùng màu.
Th1: Lấy ra hai bi màu trắng: \(C_3^1.C_7^1 = 21\).
Th2: Lấy ra hai viên bi màu đỏ: \(C_5^1.C_6^1 = 30\).
Th3: Lấy ra hai viên bi màu xanh: \(C_6^1.C_5^1 = 30\).
Số phần tử của biến cố \(\overline C \) là \(n\left( {\overline C } \right) = 21 + 30 + 30 = 81\).
Xác suất để lấy hai viên bi khác màu là: \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - \frac{{81}}{{252}} = \frac{{19}}{{28}}\).
Một trường học có tỉ lệ học sinh thích bóng đá là 50%, thích bóng rổ là 70% và thích cả hai môn này là 40%.
Xác suất để gặp một học sinh trong trường mà học sinh đó không thích bóng đá hoặc không thích bóng rổ là 0,7.
Số học sinh trong trường thích bóng đá nhiều hơn số học sinh thích bóng rổ.
Xác suất để gặp một học sinh trong trường mà em đó thích bóng đá và không thích bóng rổ là 0,2.
Xác suất để gặp một học sinh trong trường mà em đó thích cả bóng đá và bóng rổ là 0,4.
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) S, d) Đ
Gọi biến cố \(A\): “Học sinh đó thích bóng đá” \( \Rightarrow P\left( A \right) = 0,5\);
Biến cố \(B\): “Học sinh đó thích bóng rổ” \( \Rightarrow P\left( B \right) = 0,7\);
Biến cố \(AB\): “Học sinh đó thích cả hai môn” \( \Rightarrow P\left( {AB} \right) = 0,4\);
Biến cố \(A \cup B\): “Học sinh đó thích ít nhất một trong hai môn”.
a) Có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,5 + 0,7 - 0,4 = 0,8\).
Xác suất để gặp một học sinh trong trường mà học sinh đó không thích bóng đá hoặc không thích bóng rổ là \(1 - P\left( {A \cup B} \right) = 1 - 0,8 = 0,2\).
b) Số học sinh trong trường thích bóng đá ít hơn số học sinh thích bóng rổ.
c) Biến cố \(A\overline B \): “Học sinh đó thích bóng đá và không thích bóng rổ”
Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {A\overline B } \right)\)\( \Rightarrow P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right) - P\left( {AB} \right) = 0,5 - 0,4 = 0,1\).
d) \(P\left( {AB} \right) = 0,4.\)
Có hai người đi câu cá và hai người câu cá độc lập với nhau. Xác suất câu được cá của người thứ nhất là 0,9. Xác suất câu được cá của người thứ hai là 0,8. Khi đó
Xác suất có ít nhất một người câu được cá là 0,99.
Xác suất cả hai người không câu được cá là 0,02.
Xác suất người thứ nhất câu được cá và người thứ hai không câu được cá là 0,28.
Xác suất cả hai người câu được cá là 0,72.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ
Gọi \(A\) là biến cố: “Người thứ nhất câu được cá” \( \Rightarrow P\left( A \right) = 0,9\).
\(B\) là biến cố: “Người thứ hai câu được cá” \( \Rightarrow P\left( B \right) = 0,8\).
a) Biến cố \(A \cup B\): “Có ít nhất một người câu được cá”.
Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( A \right).P\left( B \right)\)
\( = 0,9 + 0,8 - 0,9.0,8 = 0,98\).
b) Biến cố \(\overline A \overline B \): “Cả hai người không câu được cá”.
\(P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B } \right) = 0,1.0,2 = 0,02\).
c) Biến cố \(A\overline B \): “Người thứ nhất câu được cá và người thứ hai không câu được cá”.
\(P\left( {A\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right) = 0,9.0,2 = 0,18\).
d) Biến cố \(AB\): “Cả hai người đều câu được cá”.
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,9.0,8 = 0,72\).
Cho hai bình chứa bi, bình thứ nhất có 7 bi vàng và 3 bi trắng, bình thứ hai có chứa 6 bi vàng và 4 bi trắng. Từ mỗi bình lấy ra một bi. Gọi \({T_i},{V_i}\) lần lượt là biến cố lấy được bi trắng, bi vàng ở bình thứ i. Khi đó:
Biến cố lấy được một vàng và một trắng là \(A = {T_1}{V_2} \cup {V_1}{T_2}\).
Xác suất để được 1 bi vàng và 1 bi trắng là 0,46.
Xác suất để được 2 bi trắng là 0,12.
Xác suất để được ít nhất 1 bi trắng là 0,5.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Gọi \(A\) là biến cố “Lấy được 1 bi vàng và 1 bi trắng”, ta có: \(A = {T_1}{V_2} \cup {V_1}{T_2}\).
b) Ta có \[P\left( A \right) = P\left( {{T_1}{V_2} \cup {V_1}{T_2}} \right) = P\left( {{T_1}{V_2}} \right) + P\left( {{V_1}{T_2}} \right) = P\left( {{T_1}} \right).P\left( {{V_2}} \right) + P\left( {{V_1}} \right).P\left( {{T_2}} \right)\]
\( = \frac{{C_3^1}}{{C_{10}^1}}.\frac{{C_6^1}}{{C_{10}^1}} + \frac{{C_7^1}}{{C_{10}^1}}.\frac{{C_4^1}}{{C_{10}^1}} = 0,46\).
c) Gọi biến cố \(B\): “Lấy được cả hai bi trắng”.
Khi đó \(P\left( B \right) = P\left( {{T_1}{T_2}} \right) = P\left( {{T_1}} \right).P\left( {{T_2}} \right)\)\( = \frac{{C_3^1}}{{C_{10}^1}}.\frac{{C_4^1}}{{C_{10}^1}} = 0,12\).
d) Gọi \(C\) là biến cố: “Lấy được ít nhất 1 bi trắng”.
Ta có \(C = A \cup B\) và \(A,B\) xung khắc nên: \(P\left( C \right) = P\left( {A \cup B} \right) = 0,46 + 0,12 = 0,58\).
Bài tập thực hành môn Công nghệ, bạn An gieo 1 hạt lúa và 1 hạt đậu vào 2 chậu khác nhau (mỗi chậu 1 hạt). Xác xuất nảy mầm của hạt lúa là 0,85; của hạt đậu là 0,8. Tính xác suất hạt lúa và hạt đậu không nảy mầm.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,03
Gọi \(A\) là biến cố: “hạt lúa nảy mầm”; B là biến cố: “hạt đậu nảy mầm”.
Theo đề ta suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 0,15;P\left( {\overline B } \right) = 0,2\).
Xác suất hạt lúa và hạt đậu không nảy mầm là
\(P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B } \right) = 0,15.0,2 = 0,03\).
Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là \(\frac{1}{2}\) và \(\frac{1}{3}\). Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,83
Gọi biến cố \(A\): “Xạ thủ 1 bắn trúng bia” \( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{2}\).
Biến cố \(B\): “Xạ thủ 2 bắn trúng bia” \( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{3}\).
Biến cố \(C\): “Có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia”.
Khi đó \(C = \overline A B \cup A\overline B \cup \overline A \overline B \).
Ta có \[P\left( C \right) = P\left( {\overline A B \cup A\overline B \cup \overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A \overline B } \right)\]
\[ = P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right) + P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B } \right)\]
\[ = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} + \frac{1}{2}.\frac{2}{3} + \frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{5}{6} \approx 0,83\].
Đội văn nghệ trường THPT A có 11 bạn lớp 10 (trong đó có 5 nam, 6 nữ), 10 bạn lớp 11 (trong đó có 3 nam, 7 nữ). Chọn mỗi khối 1 bạn, tìm xác suất chọn được hai bạn cùng giới tính. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,52
Gọi \(A\) là biến cố: “Chọn được 1 học sinh nam khối 10” \( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{5}{{11}}\).
\(B\) là biến cố: “Chọn được 1 học sinh nam khối 11” \( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{3}{{10}}\).
\(C\) là biến cố: “Chọn được hai bạn cùng giới tính”.
Do đó \(C = AB \cup \overline A \overline B \).
Suy ra \(P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B } \right)\)
\( = \frac{5}{{11}}.\frac{3}{{10}} + \frac{6}{{11}}.\frac{7}{{10}} = \frac{{57}}{{110}} \approx 0,52\).
An và Bình không quen biết nhau và học ở hai nơi khác nhau. Xác suất để An và Bình đạt điểm giỏi về môn Toán trong kì thi cuối năm tương ứng là 0,92 và 0,88. Tính xác suất để cả An và Bình đều đạt điểm giỏi môn Toán. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,81
Gọi \(A\) là biến cố: “An đạt điểm giỏi về môn Toán” \( \Rightarrow P\left( A \right) = 0,92\).
\(B\) là biến cố: “Bình đạt điểm giỏi về môn Toán”\( \Rightarrow P\left( B \right) = 0,88\).
\(AB\) là biến cố: “Cả An và Bình đều đạt điểm giỏi môn Toán”.
Khi đó \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,92.0,88 \approx 0,81\).
Trường THPT Ngô Quyền có 13 học sinh được bình chọn “Học sinh ưu tú”, trong đó khối 12 có 8 học sinh nam và 3 học sinh nữ, khối 11 có 2 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ để trao thưởng, tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12 (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,2
Số phần tử của không gian mẫu là \(C_{13}^3 = 286\).
Gọi \(A\) là biến cố: “3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12”.
Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:
TH1: Chọn 1 học sinh khối 11, 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên có \(C_8^1.C_3^1.C_2^1 = 48\) cách.
TH2: Chọn 1 học sinh khối 11, 2 học sinh nữ khối 12 có \(C_2^1.C_3^2 = 6\) cách.
TH3: Chọn 2 học sinh khối 11, 1 học sinh nữ khối 12 có \(C_2^2.C_3^1 = 3\) cách.
Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 48 + 6 + 3 = 49\).
Vậy xác suất cần tính \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{57}}{{286}} \approx 0,2\).
Cho tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\). Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập \(A\). Chọn ngẫu nhiên một số từ tập \(S\). Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là chẵn.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,5
Số phần tử của không gian mẫu là \(A_8^3 = 336\).
Biến cố \(A\): “Chọn được số có tổng các chữ số là chẵn”.
Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\) là:
TH1: Số được chọn có 1 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ nên có \(C_4^1.C_4^2.3! = 144\) cách.
TH2: Số được chọn có 3 chữ số chẵn nên có \(A_4^3 = 24\) cách.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(144 + 24 = 168\).
Vậy xác suất cần tính là \(P\left( A \right) = \frac{{168}}{{336}} = 0,5\)
Trong một cuộc khảo sát về các môn học yêu thích đối với 40 học sinh lớp 11A. Kết quả 25 học sinh thích môn Lý, 20 học sinh thích môn Hóa và 14 học sinh thích cả Lý và Hóa. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để chọn được học sinh thích môn Lý hoặc môn Toán.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,78
Gọi \(A\) là biến cố: “Học sinh được chọn thích môn Lý” \( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{25}}{{40}} = \frac{5}{8}\).
\(B\) là biến cố: “Học sinh được chọn thích môn Hóa” \( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2}\).
\(AB\) là biến cố: “Học sinh được chọn thích cả môn Lý và môn Hóa” \( \Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{{14}}{{40}} = \frac{7}{{20}}\).
\(A \cup B\) là biến cố: “Học sinh được chọn thích môn Lý hoặc môn Hóa”.
Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{5}{8} + \frac{1}{2} - \frac{7}{{20}} = \frac{{31}}{{40}} \approx 0,78\).
Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu trong hộp. Tính xác suất để lấy được 2 quả cùng màu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,49
Số phần tử của không gian mẫu là \(C_{20}^2 = 190\).
Biến cố \(A\): “Lấy được 2 quả cùng màu”.
Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\)
TH1: Lấy được 2 quả cầu trắng nên có \(C_8^2 = 28\)cách.
TH2: Lấy được 2 quả cầu đen nên ta có \(C_{12}^2 = 66\) cách.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 94\).
Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{94}}{{190}} \approx 0,49\).
Một lớp học gồm 40 học sinh, trong đó 33 học sinh có điện thoại thông minh, 18 học sinh có laptop và 36 học sinh có ít nhất một trong hai thiết bị này. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp đó. Xác suất để học sinh đó có cả điện thoại thông minh và laptop là \(\frac{a}{b}\), \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a + b\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 11
Gọi \(A\) là biến cố: “Học sinh đó có điện thoại thông minh”,
\(B\) là biến cố: “Học sinh đó có laptop”;
\(A \cup B\) là biến cố: “Học sinh đó có điện thoại thông minh hoặc laptop”;
\(A \cap B\) là biến cố: “Học sinh đó có cả điện thoại thông minh và laptop”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = \frac{{33}}{{40}};P\left( B \right) = \frac{{18}}{{40}};P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{36}}{{40}}\).
Ta có \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{33}}{{40}} + \frac{{18}}{{40}} - \frac{{36}}{{40}} = \frac{3}{8}\).
Suy ra \(a = 3;b = 8\). Do đó \(a + b = 11\).
Bạn Dũng và bạn Hương tham gia đội văn nghệ của nhà trường. Nhà trường chọn từ đội văn nghệ đó một bạn nam và một bạn nữ để lập tiết mục song ca. Xác suất được nhà trường chọn vào tiết mục song ca của Dũng và Hương lần lượt là 0,7 và 0,9. Tính xác suất để có ít nhất một bạn được chọn vào tiết mục song ca.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,97
Gọi \(A\) là biến cố: “Bạn Dũng được chọn vào tiết mục song ca”, ta có \(P\left( A \right) = 0,7 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,3\).
\(B\) là biến cố: “Bạn Hương được chọn vào tiết mục song ca”, ta có \(P\left( B \right) = 0,9 \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 0,1\).
\(C\) là biến cố: “Có ít nhất một bạn được chọn vào tiết mục song ca”.
Khi đó \(\overline C \) là biến cố: “Cả hai bạn Dũng và Hương đều không được chọn”.
Ta có \(\overline C = \overline A \overline B \).
Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(\overline A ,\overline B \) cũng là hai biến cố độc lập.
Suy ra \(P\left( {\overline C } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B } \right) = 0,3.0,1 = 0,03\).
Do đó \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - 0,03 = 0,97\).
