Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Tự luận
18 câu hỏi
Tìm tập xác định của các hàm số sau?
a) \[y = {\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right)\].
b) \(y = \sqrt {{3^x} - 1} - {\log _2}{(x - 2)^2}\).
Hướng dẫn giải
a) Hàm số \[y = {\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right)\] xác định khi và chỉ khi \(2x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\).
Vậy tập xác định của hàm số \(D = \left( {0\,;\,2} \right)\).
b) Hàm số \(y = \sqrt {{3^x} - 1} - {\log _2}{(x - 2)^2}\) xác định\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} - 1 \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 2\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định của hàm số \(D = \left[ {0\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Tính giá trị các biểu thức sau
a) \(A = \log \left( {100{a^3}} \right)\) biết \(\log a = \frac{1}{3}\).
b) \(D = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + .... + {2018^2}{\log _{\sqrt[{2018}]{2}}}2\).
Hướng dẫn giải
a) \(\log \left( {100{a^3}} \right) = \log 100 + \log {a^3} = 2 + 3\log a = 3\).
b) Ta có \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{{\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right)}^2}}}{4}\).
Mặt khác \(D = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + .... + {2018^2}{\log _{\sqrt[{2018}]{2}}}2\)\( = 1 + {2^2}{\log _{{2^{\frac{1}{2}}}}}2 + {3^2}{\log _{{2^{\frac{1}{3}}}}}2 + .... + {2018^2}{\log _{{2^{\frac{1}{{2018}}}}}}2\)\( = 1 + {2^3}{\log _2}2 + {3^3}{\log _2}2 + .... + {2018^3}{\log _2}2\)\( = 1 + {2^3} + {3^3} + ... + {2018^3}\)\( = {\left[ {\frac{{2018\left( {2018 + 1} \right)}}{2}} \right]^2}\)\( = {1009^2}{.2019^2}\).
Giải các phương trình sau:
a) \({3^x} = \frac{1}{9}\).
b) \[{2^x}{.15^{x + 1}} = {3^{x + 3}}\].
c) \({4^{x - 1}} = {8^{3 - 2x}}\).
Hướng dẫn giải
a) \({3^x} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow {3^x} = {3^{ - 2}} \Leftrightarrow x = - 2\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - 2.\)
b) \[{2^x}{.15^{x + 1}} = {3^{x + 3}}\]\[ \Leftrightarrow \]\[{2^x}{.5^{x + 1}} = {3^2}\]\[ \Leftrightarrow \]\[{10^x} = \frac{9}{5}\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = \log \frac{9}{5} = \log 9 - \log 5\] \[ \Leftrightarrow \]\[x = 2\log 3 - \log 5\].
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 2\log 3 - \log 5\].
c) \({4^{x - 1}} = {8^{3 - 2x}} \Leftrightarrow \frac{{{2^{2x}}}}{4} = \frac{{512}}{{{2^{6x}}}}\)\( \Leftrightarrow {2^{8x}} = 2048\)\( \Leftrightarrow {2^{8x}} = {2^{11}}\)\( \Leftrightarrow 8x = 11\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{11}}{8}.\)
Giải các phương trình sau:
a) \({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\).
b) \((x - 2){\rm{[}}{\log _{0,5}}({x^2} - 5x + 6) + 1] = 0\).
c) \[{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\frac{1}{3}}}x = 6\].
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\).
\({\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow 2x - 1 = {3^2} \Leftrightarrow x = 5\) (thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 5\).
b) Điều kiện: \[{x^2} - 5x + 6 > 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < 2\end{array} \right.\];
\[\left( {x - 2} \right)\left[ {{{\log }_{0,5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{\log _{0,5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1 = 0\end{array} \right.\].
+) \[x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\](không thỏa mãn điều kiện).
+) \[{\log _{0,5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1 = 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[{x^2} - 5x + 6 = 2\]\[ \Leftrightarrow \]\[{x^2} - 5x + 4 = 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\]( thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;\,4} \right\}\).
c) Điều kiện: \(x > 0\).
Ta có: \[{\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\frac{1}{3}}}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x + 2{\log _3}x - {\log _3}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x = 3 \Leftrightarrow x = 27\](nhận).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 27\).
Giải các bất phương trình sau
a) \[{5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}}\].
b) \[{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{8}\].
c) \({3^{x - 1}}{.5^x} \le 75\).
Hướng dẫn giải
a) \[{5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}}\]\[ \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - x - 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4\].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \[S = \left[ { - 2;4} \right]\].
b) \[{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{8}\]\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3\].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \[S = \left[ { - 1;3} \right].\]
c) Ta có: \({3^{x - 1}}{.5^x} \le 75 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{.3^x}{.5^x} \le 75 \Leftrightarrow {15^x} \le 225 = {15^2} \Leftrightarrow x \le 2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty \,;2} \right]\).
Giải các bất phương trình sau
a) \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4\).
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 9} \right) > {\log _2}\frac{1}{{x + 10}}\).
c) \({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \le 4\\x - 3 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7\\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < x \le 7\) .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \[S = \left( {3;7} \right]\].
b) Điều kiện của bất phương trình là \(x > \frac{9}{4}\).
Khi đó bất phương trình đã cho thành
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 9} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 10} \right)\)\( \Leftrightarrow 4x - 9 < x + 10 \Leftrightarrow x < \frac{{19}}{3}\). (Do \(a = \frac{1}{2} < 1\)).
So điều kiện ta được \(\frac{9}{4} < x < \frac{{19}}{3}\).
c) Ta có \({\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{\log _2}\left( {x + 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 2} \right) < {\log _2}2 + {\log _2}\left( {5 - x} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{\log _2}\left[ {\left( {x + 1} \right).\left( {x - 2} \right)} \right] < {\log _2}\left( {10 - 2x} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\\left( {x + 1} \right).\left( {x - 2} \right) < 10 - 2x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{x^2} + x - 12 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\ - 4 < x < 3\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,2 < x < 3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {2\,;\,\,3} \right)\).
Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\).
b) \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} \).
c) \(y = 3\sin x - 2\cos x + \tan x - 4\).
d) \(y = {e^x}{\sin ^2}x\).
Hướng dẫn giải
a) \(y' = {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1} \right)^\prime } = 3{x^2} - 6x + 2\).
b) \(y' = \frac{{{{\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x + 2} }} = \frac{{4x - 5}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x + 2} }}\).
c) \(y' = {\left( {3\sin x - 2\cos x + \tan x - 4} \right)^\prime } = 3\cos x + 2\sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
d) \(y' = {e^x}{\sin ^2}x + 2{e^x}\sin x\cos x = \)\({e^x}{\sin ^2}x + {e^x}\sin 2x\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\). Giải phương trình sau \(4f'\left( x \right) - \left( {2x - 5} \right)f''\left( x \right) - x + 1 = 2\sqrt {25 - {x^2}} \)
Hướng dẫn giải
Ta có \(f'\left( x \right) = 2x - 3,\,f''\left( x \right) = 2\)
Do đó
\(4f'\left( x \right) - \left( {2x - 5} \right)f''\left( x \right) - x + 1 = 2\sqrt {25 - {x^2}} \Leftrightarrow 4\left( {2x - 3} \right) - 2\left( {2x - 5} \right) - x + 1 = 2\sqrt {25 - {x^2}} \)
\( \Leftrightarrow 3x - 1 = 2\sqrt {25 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\{\left( {3x - 1} \right)^2} = 4\left( {25 - {x^2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\13{x^2} - 6x - 99 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - \frac{{33}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\).
Kết luận: \(x = 3\)là nghiệm của phương trình.
Cho hàm số \(y = {x^2} + 2x - 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\)
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) thuộc \(\left( C \right)\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0} = 0\) thuộc \(\left( C \right)\).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ \({y_0} = - 1\) thuộc \(\left( C \right)\).
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \( - 4\).
e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(y = 1 - 3x\).
Hướng dẫn giải
Có \(y' = 2x + 2\).
a) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) thuộc \(\left( C \right)\) là \(k = y'\left( 1 \right) = 4\).
b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0} = 0\) thuộc \(\left( C \right)\) là \(y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + y\left( 0 \right) \Leftrightarrow y = 2x - 4\).
c) Với \[{y_0} = - 1 \Rightarrow y = x_0^2 + 2{x_0} - 4 = - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 1}\\{{x_0} = - 3}\end{array}} \right.\].
Vậy có hai tiếp điểm thuộc \(\left( C \right)\) có tung độ \({y_0} = - 1\) là \(\left( {1; - 1} \right)\) và \(\left( { - 3; - 1} \right)\).
Nên ta có:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(\left( {1; - 1} \right)\)là \(y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) \Leftrightarrow y = 4x - 5\).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(\left( { - 3; - 1} \right)\)là \(y = y'\left( { - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + y\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow y = - 4x - 13\).
d) Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\)với hệ số góc \(k = - 4\)
\( \Rightarrow y'\left( a \right) = - 4 \Leftrightarrow 2a + 2 = - 4 \Leftrightarrow a = - 3 \Rightarrow b = - 1\).
Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc \(k = - 4\)là \(y = - 4\left( {x + 3} \right) - 1 \Leftrightarrow y = - 4x - 13\).
e) Vì tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng \(y = 1 - 3x\)nên tiếp tuyến có hệ số góc \(k = - 3\)
Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\)với hệ số góc \(k = - 4\)
\( \Rightarrow y'\left( a \right) = - 3 \Leftrightarrow 2a + 2 = - 3 \Leftrightarrow a = - \frac{5}{2} \Rightarrow b = - \frac{{11}}{4}\)
Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc \(k = - 3\)là \(y = - 3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - \frac{{11}}{4} \Leftrightarrow y = - 3x - \frac{{41}}{4}\).
Một viên đạn được bắn lên từ vị trí \[M\]cách mặt đất \[1\,{\rm{m}}\], theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là \[{v_0} = 196\,{\rm{m/s}}\] (bỏ qua sức cản của không khí).
a) Tìm thời điểm \[{t_0}\] mà tại đó vận tốc của viên đạn bằng \[0\]. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét? (lấy \[g = 9,8{\rm{ m}}/{{\rm{s}}^2}\])
b) Sau khoảng bao nhiêu giây (kể từ lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất?
Hướng dẫn giải
a) Chọn trục \(Oy\)theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ dưới mặt đất lên trời, gốc O ở mặt đất và M là vị trí viên đạn bắt đầu được bắn lên (thời điểm \(t = 0\)). Khi đó chuyển động của viên đạn là chuyển động biến đổi với vận tốc ban đầu \[{v_0} = 196\,{\rm{m/s}}\] với gia tốc \[g = - 9,8{\rm{ m}}/{{\rm{s}}^2}\](gia tốc nhận giá trị âm vì vectơ gia tốc ngược chiều với chiều dương của trục). Sau khi bắn được t (s), viên đạn đi được quãng đường \(s\left( t \right) = 1 + 196t - 4,9{t^2}\).
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 196 - 9,8t\)
Khi đó \(v\left( {{t_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 196 - 9,8{t_0} = 0 \Leftrightarrow {t_0} = 20\,\left( {\rm{s}} \right)\)
Vậy sau khi bắn lên 20 giây thì vận tốc viên đạn bằng 0.
Khi đó viên đạn cách mặt đất \(h = s\left( {20} \right) = 1961\,\left( {\rm{m}} \right)\).
b) Viên đạn rơi xuống đất \(s\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 4,9{t^2} + 196t + 1 = 0 \Leftrightarrow t \approx 40\,\left( {\rm{s}} \right)\) .
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\),\(SA\)vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(AB = a\sqrt 2 \), \(SA = a\). Gọi H là trung điểm cạnh BC.
a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAH} \right)\).
b) Gọi \(I\) là chân đường cao vẽ từ A của tam giác SAH. Chứng minh: \(\left( {AIC} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
c) Xác định và tính tan của góc giữa đường thẳng BI và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Tam giác ABC vuông cân tại A có AH là trung tuyến cũng là đường cao \( \Rightarrow BC \bot AH\)
\(\left. \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SA\,\,(SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)\).
b) Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AI \bot AH\,\,(gt)\\AI \bot BC\,\,(BC \bot \left( {SAH} \right),AI \subset \left( {SAH} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)\)
Mà \(AI \subset \left( {AIC} \right) \Rightarrow \left( {AIC} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)
c) Tam giác ABC vuông cân tại A, có \(AB = a\sqrt 2 \Rightarrow BC = 2a \Rightarrow AH = a\)
Tam giác SAH có: \(SA = AH = a \Rightarrow \Delta SAH\) vuông cân tại A
\( \Rightarrow \)I là trung điểm của SH
Gọi K là trung điểm của AH\( \Rightarrow IK\)là đường trung bình của tam giác SAH \( \Rightarrow IK//SA\)
\( \Rightarrow IK \bot \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow \)K là hình chiếu của I lên (ABC)
\( \Rightarrow \)BK là hình chiếu của BI lên (ABC)
\( \Rightarrow \left( {BI,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {BI,BK} \right) = \widehat {IBK}\)
\(KH = \frac{{AH}}{2} = \frac{a}{2}\)
\(BH = \frac{{BC}}{2} = a\) \( \Rightarrow BK = \sqrt {B{H^2} + K{H^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
\(IK = \frac{{SA}}{2} = \frac{a}{2}\)\( \Rightarrow \tan \widehat {IBK} = \frac{{IK}}{{BK}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), tâm \(O\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(I\) của đoạn \(OB\) và \(SB = a\). Trên cạnh \[AD\] lấy điểm \[M\] sao cho \[AM = \frac{1}{4}AD\].
a) Chứng minh \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\) và \(\left( {SIM} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).
b) Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
c) Gọi \[G\] là trọng tâm \[\Delta ABO\]. Tính khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD{\rm{ }}\\AC \bot SI\,{\rm{ }}\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).
Vì \(I\) là trung điểm của \(BO\)\( \Rightarrow BI = \frac{1}{4}BD\) mà \[AM = \frac{1}{4}AD\] nên \(IM//AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IM \bot AD{\rm{ }}\,\left( {IM{\rm{//}}AB,AB \bot AD} \right)\\SI \bot AD\,{\rm{ }}\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow AD \bot \left( {SIM} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SAD} \right) \bot \left( {SIM} \right)\).
b) Ta có \(IC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow \,\left( {SC,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,\,IC} \right)\).
Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) nên \(BD = 2a\sqrt 2 \).
\(IB = \frac{1}{4}BD = \frac{1}{4}.2a\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\); \(OI = BI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};OC = a\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta SIB\) vuông tại \(I\), có
\(SI = \sqrt {S{B^2} - B{I^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} \)\( = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\(IC = \sqrt {O{I^2} + O{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\).
Xét \(\Delta SIC\) ta có \(\tan \widehat {SCI} = \frac{{SI}}{{IC}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)\( \Rightarrow \,\widehat {SCI} \approx {24^{\rm{o}}}\).
c) Trong \(\Delta SIM\), gọi \(IH\) là đường cao.
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {SIM} \right) \bot \left( {SAD} \right)\\\left( {SIM} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SM\\IH \bot SM;IH \subset \left( {SIM} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \,\,IH \bot \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {I,\,\left( {SAD} \right)} \right) = IH\).
Ta có: \[\frac{{d\left( {G,\,\left( {SAD} \right)} \right)}}{{d\left( {I,\,\left( {SAD} \right)} \right)}} = \frac{{GA}}{{IA}} = \frac{2}{3}\]\[ \Rightarrow d\left( {G,\,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{2}{3}.d\left( {I,\,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{2}{3}IH\].
Ta có: \(\frac{{IM}}{{AB}} = \frac{{MD}}{{AD}} = \frac{3}{4}\)\( \Rightarrow \,\,IM = \frac{3}{4}.2a = \frac{{3a}}{2}\).
Xét \(\Delta SIM\), ta có: \(\frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{I{M^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{4}{{9{a^2}}} = \frac{{22}}{{9{a^2}}} \Rightarrow IH = \frac{{3a\sqrt {22} }}{{22}}\,\,.\)
\[ \Rightarrow d\left( {G,\,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{2}{3}.\frac{{3a\sqrt {22} }}{{22}} = \frac{{a\sqrt {22} }}{{11}}\] .
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Biết \(AB = 3a\), \[AD = a\], \(SA = 2a.\)
a) Chứng minh \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).
b) Vẽ \(AM \bot BD\) tại \(M\). Chứng minh \(BD \bot \left( {SAM} \right)\).
c) Tính số đo góc giữa đường thẳng \(AD\) và mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\).
d) Tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(CD \bot AD\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).
b) \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AM\\BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right)\).
c) Hình chiếu của \(A\) lên \(\left( {SAM} \right)\) là \(A\)
Hình chiếu của \(D\) lên \(\left( {SAM} \right)\) là \(M\) (do \(BD \bot \left( {SAM} \right)\) tại \(M\))
\( \Rightarrow \) Hình chiếu của \(AD\) lên \(\left( {SAM} \right)\) là \(AM\)
\( \Rightarrow \left( {AD,\left( {SAM} \right)} \right) = \left( {AD,AM} \right) = \widehat {MAD}\).
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A,AM\) là đường cao, ta có:\(AM = \frac{{AB.AD}}{{BD}} = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}a\).
Xét \(\Delta AMD\)vuông tại \(M\), ta có \(\cos \widehat {MAD} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \widehat {MAD} \approx 18,43^\circ \).
d) \(O = AC \cap BD\)
\(CA \cap \left( {SBD} \right) = O\) \( \Rightarrow \frac{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{CO}}{{AO}} = 1\)
\( \Rightarrow d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\)
Vẽ \(AH \bot SM\) tại \(H\).
\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BD\left( {BD \bot \left( {SAM} \right)} \right)\\{\rm{Trong }}\left( {SBD} \right):{\rm{ }}SM \cap BD = M\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\) tại \(H\) \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH\).
Xét \(\Delta SAM\)vuông tại \(A,AH\) là đường cao, ta có: \(AH = \frac{{SA.AM}}{{SM}} = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{6}{7}a\).
Vậy \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH = \frac{6}{7}a\).
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) đáy là tam giác ABC vuông tại A, \(AB = a,BC = a\sqrt 3 \), hình chiếu vuông góc của \(B'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với chân đường cao H kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC, góc tạo bởi \(AB'\) với \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Hướng dẫn giải
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \).
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)
Ta có \(B'H \bot \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {AB',\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {B'AH} = 60^\circ \).
Xét tam giác ABC vuông tại A có: \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Xét tam giác \(AHB'\) vuông tại H có: \(B'H = AH.\tan \widehat {B'AH} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\tan 60^\circ = a\sqrt 2 \).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.B'H = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 = {a^3}\).
Một lớp 20 học sinh trong đó có 12 bạn nam và 8 bạn nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên ra 3 bạn vào đội cờ đỏ.
a) Tính xác suất để cả 3 bạn đó đều là nam.
b) Tính xác suất để có ít nhất 1 bạn nữ.
Hướng dẫn giải
a) Gọi biến cố \(A:\) “Cả 3 đều là nam”.
\[P\left( A \right) = \frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{11}}{{57}}\].
b) Gọi biến cố \(B:\) “Có ít nhất một bạn nữ”
Xét biến cố đối \[\overline B \]”Không có bạn nữ nào” \[ \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right)\]
\[ \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{46}}{{57}}\].
Một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm \[4\] câu. Mỗi câu gồm \[4\] đáp án trong đó chỉ có \[1\] đáp án đúng. Một học sinh làm bài ngẫu nhiên. Tính xác suất để học sinh đó
a) Đúng cả \[4\] câu.
b) Không đúng câu nào
c) Đúng \[1\] câu.
d) Đúng ít nhất \[1\]câu.
Hướng dẫn giải
a) Gọi \[A\]là biến cố “chọn được đáp án đúng cho mỗi câu hỏi”.
Ta có \[P\left( A \right) = \frac{1}{4}\]. Khi đó \[P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\].
Suy ra xác suất để học sinh chọn đúng cả bốn câu là \[{\left( {\frac{1}{4}} \right)^4} = 0,00390625\].
b) Xác suất để học sinh chọn không đúng câu nào là \[{\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} = 0,31640625\].
c) Xác suất để học sinh chọn đúng một câu là \[C_4^1.\frac{1}{4}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} = 0,421875\].
d) Xác suất để học sinh chọn đúng ít nhất một câu là \[1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} = 0,68359375\].
Đội thanh niên xung kích có của một trường phổ thông có \[12\] học sinh, gồm \[5\] học sinh lớp \[10\]; \[4\] học sinh lớp \[11\] và \[3\] học sinh lớp \[12\]. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ. Tính xác suất của biến cố “\(4\) học sinh được chọn thuộc không quá \(2\) trong \(3\) lớp”.
Hướng dẫn giải
Gọi \(A\) là biến cố “\(4\) học sinh được chọn thuộc không quá \(2\) trong \(3\) lớp”
TH 1: \[4\] học sinh được chọn thuộc một lớp:
Lớp \[10\]: có \(C_5^4 = 5\) cách chọn.
Lớp \[11\]: có \(C_4^4 = 1\) cách chọn.
Trường hợp này có: \(6\) cách chọn.
TH 2: \[4\] học sinh được chọn thuộc hai lớp:
Lớp \[10\] và \[11\]: có \(C_9^4 - (C_5^4 + C_4^4) = 120\).
Lớp \[11\] và \[12\]: có \(C_7^4 - C_4^4 = 34\).
Lớp \[10\] và \[12\]: có \(C_8^4 - C_5^4 = 65\).
Trường hợp này có \[120 + 34 + 65 = 219\] cách chọn.
Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(6 + 219 = 225\).
Xác suất xảy ra biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{225}}{{C_{12}^4}} = \frac{5}{{11}}\).
Một chiếc xe máy có hai động cơ \[I\] và \[II\] hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ \[I\] và động cơ \[II\] chạy tốt tương ứng là \[0,8\] và \[0,6\]. Bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây, hãy tính xác suất để
a) Cả hai động cơ đều chạy tốt.
b) Cả hai động cơ đều không chạy tốt.
c) Động cơ \[I\] chạy tốt, động cơ \[II\] chạy không tốt.
Hướng dẫn giải
Theo sơ đồ trên, ta có
a) Xác suất cả hai động cơ đều chạy tốt là \(0,48.\)
b) Xác suất cả hai động cơ đều không chạy tốt là \(0,08.\)
c) Xác suất động cơ \[I\] chạy tốt, động cơ \[II\] chạy không tốt là \(0,32.\)
