Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đạo hàm
35 câu hỏi
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm thỏa mãn \[f'\left( 6 \right) = 2.\] Giá trị của biểu thức \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}}\] bằng
\[12.\]
\[2\].
\[\frac{1}{3}.\]
\[\frac{1}{2}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định là \(D\) và \({x_0} \in D\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại \({x_0}\)
Vậy kết quả của biểu thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 6 \right)}}{{x - 6}} = f'\left( 6 \right) = 2.\)
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = {t^2}\), trong đó \(t > 0,t\) tính bằng giây và \(s\left( t \right)\) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 2\) giây.
\(2{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).
\(3{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).
\(4{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).
\(5{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta tính được \(s'\left( t \right) = 2t\).
Vận tốc của chất điểm \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t \Rightarrow v\left( 2 \right) = 2.2 = 4{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\).
Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình \(s\left( t \right) = 196t - 4,9{t^2}\) trong đó \(t > 0,t\) tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và \(s\left( t \right)\) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?
\(1690{\rm{\;m}}\)
\(1069{\rm{\;m}}\).
\(1906{\rm{\;m}}\).
\(1960{\rm{\;m}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta tính được \(s'\left( t \right) = 196 - 9,8t\).
Vận tốc của viên đạn \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 196 - 9,8t \Rightarrow v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 196 - 9,8t = 0 \Leftrightarrow t = 20\).
Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng \(h = s\left( {20} \right) = 196.20 - {4,9.20^2} = 1960{\rm{\;m}}\).
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y = {x^3}\) tại điểm có tung độ bằng 8
\(y = 8\).
\(y = - 12x + 16\).
\(y = 12x - 24\).
\(y = 12x - 16\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Với \({y_0} = 8 \Rightarrow {x_0} = 2\).
Ta tính được \(k = y'\left( 2 \right) = 12\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 2}\\{{y_0} = 8.{\rm{\;\;}}}\\{k = 12}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y - 8 = 12\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow y = 12x - 16\)
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung.
\(y = 2x\).
\(y = 2\).
\(y = 0\).
\(y = - 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có : \({x_0} = 0;{y_0} = 2;y' = 3{x^2} - 6x \Rightarrow k = y'\left( 0 \right) = 0\)
Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 0}\\{{y_0} = 2.}\\{k = 0}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là \(y = 2.\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 7}}{{x + 4}}\) tại \(x = 2\) ta được:
\(f'\left( 2 \right) = \frac{1}{{36}}\).
\(f'\left( 2 \right) = \frac{{11}}{6}\).
\(f'\left( 2 \right) = \frac{3}{2}\).
\(f'\left( 2 \right) = \frac{5}{{12}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} \Rightarrow \)\(f'\left( 2 \right) = \frac{1}{{36}}\).
Tính đạo hàm của hàm số \[y = \sqrt x + x\] tại điểm \[{x_0} = 4\] là:
\[y'\left( 4 \right) = \frac{9}{2}\].
\[y'\left( 4 \right) = 6\].
\[y'\left( 4 \right) = \frac{3}{2}\].
\[y'\left( 4 \right) = \frac{5}{4}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \[y' = \frac{1}{{2\sqrt x }} + 1\]\[ \Rightarrow y'\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} + 1 = \frac{5}{4}.\]
Đạo hàm của hàm số \[y = 5\sin x - 3\cos x\] tại \[{x_0} = \frac{\pi }{2}\] là:
\[y'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 3\].
\[y'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 5\].
\[y'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 3\].
\[y'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 5\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[y' = 5\cos x + 3\sin x\]\[ \Rightarrow y'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 3\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3} \). Tính giá trị của biểu thức
\(S = 4\).
\(S = 2\).
\(S = 6\).
\(S = 8\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\).
Vậy \(S = f\left( 1 \right) + 4f'\left( 1 \right) = 4\).
Đạo hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {2 - 3{x^2}} \] bằng biểu thức nào sau đây?
\[\frac{{ - 3x}}{{\sqrt {2 - 3{x^2}} }}\].
\[\frac{1}{{2\sqrt {2 - 3{x^2}} }}\].
\[\frac{{ - 6{x^2}}}{{2\sqrt {2 - 3{x^2}} }}\].
\[\frac{{3x}}{{\sqrt {2 - 3{x^2}} }}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\].
\[f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {2 - 3{x^2}} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {2 - 3{x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2 - 3{x^2}} }} = \frac{{ - 6x}}{{2\sqrt {2 - 3{x^2}} }} = \frac{{ - 3x}}{{\sqrt {2 - 3{x^2}} }}\].
Cho hàm số \(y = {x^5} - 3{x^4} + x + 1\) với \(x \in \mathbb{R}\). Đạo hàm \(y''\) của hàm số là
\(y'' = 5{x^3} - 12{x^2} + 1\).
\(y'' = 5{x^4} - 12{x^3}\).
\(y'' = 20{x^2} - 36{x^3}\).
\(y'' = 20{x^3} - 36{x^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(y = {x^5} - 3{x^4} + x + 1\)\( \Rightarrow y' = 5{x^4} - 12{x^3} + 1 \Rightarrow y'' = 20{x^3} - 36{x^2}\).
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = - 3\cos x\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{2}\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 3\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 5\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(y = - 3\cos x\)\( \Rightarrow y' = 3\sin x;\,y'' = 3\cos x\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Cho hàm số \(y = \sqrt {1 + 3x - {x^2}} \). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\[{\left( {y'} \right)^2} + y.y'' = - 1\].
\[{\left( {y'} \right)^2} + 2y.y'' = 1\].
\[y.y'' - {\left( {y'} \right)^2} = 1\].
\[{\left( {y'} \right)^2} + y.y'' = 1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[y = \sqrt {1 + 3x - {x^2}} \]\[ \Rightarrow {y^2} = 1 + 3x - {x^2}\]
\[ \Rightarrow 2y.y' = 3 - 2x\]\[ \Rightarrow 2.{\left( {y'} \right)^2} + 2y.y'' = - 2\]\[ \Rightarrow {\left( {y'} \right)^2} + y.y'' = - 1\].
Cho hàm số \(y = {\sin ^2}x\). Khi đó \(y''(x)\) bằng
\(y'' = \frac{1}{2}cos2x\).
\(y'' = 2\sin 2x\).
\(y'' = 2\cos 2x\).
\(y'' = 2\cos x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(y = {\sin ^2}x \Rightarrow y' = 2\sin x.cosx = sin2x\)\( \Rightarrow y'' = 2\cos 2x\)
Chuyển động của một vật có phương trình \(s(t) = \sin \left( {0,8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\), ở đó s tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng 0, giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần với giá trị nào sau đây nhất?
\(4,5\;{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
\(5,5\;{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
\(6,3\;{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
\(7,1\;{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(v\left( t \right) = s'(t) = 0,8\pi \cos \left( {0,8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\).
\(a\left( t \right) = v'(t) = - {\left( {0,8\pi } \right)^2}\sin \left( {0,8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Thời điểm vận tốc bằng 0 là \(v\left( t \right) = 0,8\pi \cos \left( {0,8\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 0,8\pi t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \)
\( \Leftrightarrow t = \frac{5}{{24}} + \frac{5}{4}k,k \in \mathbb{Z}\).
Tại \(t = \frac{5}{{24}} + \frac{5}{4}k,k \in \mathbb{Z}\) thì giá trị tuyệt đối của gia tốc là \[\left| {a\left( t \right)} \right| = \left| { - {{\left( {0,8\pi } \right)}^2}\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)} \right| = {\left( {0,8\pi } \right)^2} \approx 6,3\left( {{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Khi đó
\(f''\left( { - 2} \right) = 2\).
Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc bằng \(\frac{1}{4}\).
Với \(g\left( x \right) = \ln f\left( x \right)\) thì \(g'\left( 1 \right) + g'\left( 2 \right) + ... + g'\left( {100} \right) \approx 0,99\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ
Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(f''\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\).
a) \(f''\left( { - 2} \right) = - \frac{2}{{{{\left( { - 2 + 1} \right)}^3}}} = 2\).
b) Ta có \(k = f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{4}\).
c) Có \(g\left( x \right) = \ln f\left( x \right) = \ln \frac{x}{{x + 1}}\).
Có \(g'\left( x \right) = \frac{1}{{\frac{x}{{x + 1}}}}.{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).
Ta có \(g'\left( 1 \right) + g'\left( 2 \right) + ... + g'\left( {100} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}} = 1 - \frac{1}{{101}} = \frac{{100}}{{101}} \approx 0,99\).
d) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x - 2\) có đồ thị là \(\left( C \right)\).
Đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm \(x = 0\) là \(f'\left( 0 \right) = - 3\).
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 2\) bằng 15.
Đạo hàm của hàm số đã cho trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) là \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {2;0} \right)\) là \(y = 9x - 18\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\); \(f'\left( 0 \right) = - 3\).
b) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 2\) bằng \(f'\left( 2 \right) = {3.2^2} - 3 = 9.\)
c) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).
d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {2;0} \right)\) là \(y = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + 0 = 9x - 18\).
Một tài xế đang lái xe ô tô, ngay khi phát hiện có vật cản phía trước đã phanh gấp lại nhưng vẫn xảy ra va chạm, chiếc ô tô để lại vết trượt dài 20,4 m (được tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi xảy ra va chạm), tốc độ giới hạn cho phép trên đoạn đường này là 70 km/h. Trong quá trình đạp phanh, ô tô chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = 20t - \frac{5}{2}{t^2}\), trong đó \(s\) (tính bằng mét) là độ dài quãng đường đi được sau khi phanh, \(t\) (tính bằng giây) là thời gian tính từ lúc bắt đầu phanh \(\left( {0 \le t \le 4} \right)\).
Vận tốc tức thời của ô tô tại thời điểm \(t\) là \(v\left( t \right) = 20t - 5{t^2}\).
Vận tốc tức thời ô tô ngay khi đạp phanh là 20 m/s.
Xe ô tô này đã chạy quá tốc độ cho phép.
Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm là 14 m/s.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Vận tốc tức thời của ô tô tại thời điểm \(t\) là \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 20 - 5t\).
b) Vận tốc tức thời ô tô ngay khi đạp phanh (\(t = 0\)) là \(v\left( 0 \right) = 20 - 5.0 = 20\) m/s.
c) Đổi 20 m/s = 72 km/h > 70 km/h.
Do đó xe ô tô đã chạy quá tốc độ cho phép.
d) Khi xảy ra va chạm ô tô để lại vết trượt dài 20,4 m nên ta có:
\(20t - \frac{5}{2}{t^2} = 20,4\)\( \Leftrightarrow t = 6,8\) hoặc \(t = 1,2\).
Vì \(0 \le t \le 4\) nên \(t = 1,2\).
Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm là \(v\left( {1,2} \right) = 20 - 5.1,2 = 14\)m/s.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt x \), có đồ thị \(\left( C \right)\)
Hàm số có đạo hàm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(f'\left( 9 \right) = \frac{1}{6}\).
Hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 1} \right)\) có đạo hàm là \(y' = \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên \(\mathbb{R}\).
Gọi \(M\) là điểm thuộc \(\left( C \right)\) có hoành độ bằng 4, tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) có hệ số góc bằng \(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Hàm số có đạo hàm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\). Suy ra \(f'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}\).
c) Có \(y = f\left( {{x^2} + 1} \right) = \sqrt {{x^2} + 1} \).
Suy ra \(f'\left( {{x^2} + 1} \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
d) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) có hệ số góc bằng \(f\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} = \frac{1}{4}\).
Cho hàm số \(y = {e^{{x^3} + 3x + 1}}\).
\(y' = {e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {3{x^2} + 3} \right)\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0} = 0\) là \(d:y = 3ex - e\).
Phương trình \(y' = 3e\left( {{x^2} + 1} \right)\) có nghiệm duy nhất.
Có 6 giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình \(y' \ge 2mx.{e^{{x^3} + 3x + 1}}\) nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}.\)
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Ta có \(y' = {e^{{x^3} + 3x + 1}}.{\left( {{x^3} + 3x + 1} \right)^\prime } = {e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {3{x^2} + 3} \right)\).
b) Có \({x_0} = 0\)\( \Rightarrow {y_0} = e\).
Hệ số góc của tiếp tuyến là \(k = y'\left( 0 \right) = 3e\).
Phương trình tiếp tuyến là: \(y = 3e\left( {x - 0} \right) + e = 3ex + e\).
c) \(y' = 3e\left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow {e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {3{x^2} + 3} \right) = 3e\left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 3{e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {{x^2} + 1} \right) = 3e\left( {{x^2} + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^3} + 3x + 1 = 1\)\( \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 0\).
d) Ta có \(y' \ge 2mx.{e^{{x^3} + 3x + 1}} \Leftrightarrow {e^{{x^3} + 3x + 1}}.\left( {3{x^2} + 3} \right) \ge 2mx.{e^{{x^3} + 3x + 1}}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3 \ge 2mx\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + 3 \ge 0\).
Để bất phương trình nghiệm đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 > 0\\\Delta ' = {m^2} - 9 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3\).
Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).
Vậy có 7 giá trị nguyên thỏa mãn.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln x - \ln \left( {x + 1} \right)\).
Hàm số có tập xác định là \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).
Phương trình \(f'\left( x \right) = \frac{1}{6}\) có tổng các nghiệm bằng \( - 1\).
Cho biểu thức \(P = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + f'\left( 3 \right) + ... + f'\left( {2023} \right) + f'\left( {2024} \right)\). Giá trị của biểu thức \(P\) bằng \(\frac{{2024}}{{2025}}\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\).
Vậy hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).
c) Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{6}\) nên \(\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{6}\)\( \Leftrightarrow 6\left( {x + 1} \right) - 6x = x\left( {x + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 3\).
Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là \( - 1\).
d) \(P = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + f'\left( 3 \right) + ... + f'\left( {2023} \right) + f'\left( {2024} \right)\)
\( = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2025}}\)
\( = 1 - \frac{1}{{2025}} = \frac{{2024}}{{2025}}\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 10\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
\(y' = 3{x^2} - 3x - 9\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(y'\left( x \right) < 0\) là \(S = \left( { - 1;3} \right)\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Oy\) bằng \( - 9\).
Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của \(\left( C \right)\) có phương trình là \(y = 12x - 11\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\).
b) Có \(y'\left( x \right) < 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 < 0\)\( \Leftrightarrow - 1 < x < 3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 1;3} \right)\).
c) Giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Oy\) là \(\left( {0;10} \right)\).
Hệ số góc của tiếp tuyến là \(k = y'\left( 0 \right) = - 9\).
d) Có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9 = 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 12 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 12 \ge - 12\).
Khi đó \(y'\) nhỏ nhất là \( - 12\) khi \(x = 1\).
Với \(x = 1 \Rightarrow y = - 1\).
Vậy tiếp tuyến có phương trình là \(y = - 12\left( {x - 1} \right) - 1 = - 12x + 11\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin x + \cos 2x + 3\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
Đạo hàm của hàm số là \(f'\left( x \right) = \cos x - 2\sin 2x\).
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {0;4} \right)\) là \(y = x - 4\).
Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\).
\(f'\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = 2 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Có \(f'\left( x \right) = \cos x - 2\sin 2x\);
b) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {0;4} \right)\) có hệ số góc là \(k = y'\left( 0 \right) = \cos 0 - 2\sin 0 = 1\).
Phương trình tiếp tuyến là: \(y = x + 4\).
c) Có \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x - 2\sin 2x = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x - 4\sin x\cos x = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 4\sin x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \arcsin \frac{1}{4} + l2\pi \\x = \pi - \arcsin \frac{1}{4} + l2\pi \end{array} \right.\).
Với \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) thì phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2};x = \frac{{3\pi }}{2};x = \arcsin \frac{1}{4};x = \pi - \arcsin \frac{1}{4}\).
d) \[f'\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) - 2\sin \left( { - 2.\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 2\].
Một chuyển động xác định bởi phương trình \(S\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2\). Trong đó \(t\) được tính bằng giây, \(S\) được tính bằng mét.
Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 s hoặc t = 12 s.
Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 s là 12 m/s2.
Gia tốc của chuyển động bằng 0 m/s2 khi t = 0 s.
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 2s\) là \(v = 18\;{\rm{m/s}}\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) S, d) S
Ta có \(v\left( t \right) = S'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 9\); \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 6t - 6\).
a) \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 3\).
Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi \(t = 3\;{\rm{s}}\).
b) Có \(a\left( 3 \right) = 6.3 - 6 = 12\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\).
c) Có \(a\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\;{\rm{s}}\).
d) \(v\left( 2 \right) = {3.2^2} - 6.2 - 9 = - 9\;{\rm{m/s}}\).
Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = 10 + \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\), trong đó \(s\) tính bằng centimet và \(t\) được tính bằng giây.
Gia tốc của hạt tại thời điểm \(t = 3\) giây là \( - 16{\pi ^2}\) (cm/s2).
Vận tốc của hạt tại thời điểm \(t = 3\) giây là \(2\pi \) (cm/s).
Vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là \(4\pi \sqrt 2 \) (cm/s).
Gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là \( - 16{\pi ^2}\) (cm/s2).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
Có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\); \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\).
a) Có \(a\left( 3 \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 12\pi } \right) = - 16{\pi ^2}\).
b) \(v\left( 3 \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 12\pi } \right) = 4\pi \).
c) \(v\left( t \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\).
Vì \( - 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 1\) nên \(v\left( t \right) \le 4\pi \sqrt 2 \). Suy ra vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là \(4\pi \sqrt 2 \) (cm/s).
d) Vì \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \le - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 16{\pi ^2}\sqrt 2 \) nên gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \) .
Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ \(t\) là \(f\left( t \right) = 35{t^2} - \frac{5}{3}{t^3}\) (kết quả khảo sát trong 12 tháng liên tục). Nếu xem đạo hàm \(f'\left( t \right)\) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm \(t\) thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 245
Ta có \(f'\left( t \right) = 70t - 5{t^2}\).
Vì \(f'\left( t \right)\) có đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống dưới nên đạt giá trị lớn nhất tại \(t = - \frac{{70}}{{2.\left( { - 5} \right)}} = 7\).
Lúc đó, tốc độ truyền bệnh bằng \(f'\left( 7 \right) = 70.7 - {5.7^2} = 245\) (người/ngày).
Vị trí của một vật chuyển động sau \(t\) giây được cho bởi \(s\left( t \right) = \frac{1}{4}{t^4} - {t^3} - 2{t^2} + 10t\), \(t > 0\), trong đó \(s\left( t \right)\) tính bằng mét (m) và \(t\) tính bằng giây (s). Tính gia tốc (m/s2) của vật tại thời điểm mà vận tốc \(v = 10\;{\rm{m/s}}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 20
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} - 4t + 10\); \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 4\).
Với \(v = 10\;{\rm{m/s}}\) thì \({t^3} - 3{t^2} - 4t + 10 = 10\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\\t = - 1\\t = 0\end{array} \right.\). Do \(t > 0\) nên \(t = 4\).
Do đó gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc \(v = 10\;{\rm{m/s}}\) là \(a\left( 4 \right) = 20\;{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + x - 2018\). Tính tổng các nghiệm của phương trình \(y' = 0\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 2
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x + 1\);
Có \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 + \sqrt 6 }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{3 - \sqrt 6 }}{3}\).
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là 2.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x - 5\). Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \(y' \le 0\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 5
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\);
Có \(y' \le 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\). Do đó có 5 giá trị nguyên.
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x + 2}}\) có đạo hàm là \(y' = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\). Tính giá trị của \(P = a + \frac{b}{4} + \frac{c}{7}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 3
\(y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 7}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Suy ra \(a = 1;b = 4;c = 7\). Do đó \(P = a + \frac{b}{4} + \frac{c}{7} = 3\).
Cho hai số hữu tỉ \(a\) và \(b\) sao cho hàm số \(y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {2x + 1} \) có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 3\) là \(y'\left( 3 \right) = \frac{a}{{\sqrt 2 }} + \frac{b}{{\sqrt 7 }}\). Khi đó \(a + b\) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1,5
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\) \( \Rightarrow y'\left( 3 \right) = \frac{1}{{2\sqrt {3 - 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {2.3 + 1} }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 7 }}\).
Suy ra \(a = \frac{1}{2};b = 1 \Rightarrow a + b = 1,5\).
Cho hàm số \(y = \frac{{x + b}}{{ax - 2}}\left( {ab \ne - 2} \right)\). Biết rằng \(a,b\) là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) song song với đường thẳng \(d:3x + y - 4 = 0\). Khi đó giá trị của \(a - 3b\) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Trả lời: −2
Ta có \(d:3x + y - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow y = - 3x + 4\); \(y' = \frac{{ - 2 - ab}}{{{{\left( {ax - 2} \right)}^2}}}\).
Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) song song với đường thẳng \(d:3x + y - 4 = 0\) nên \(y'\left( 1 \right) = - 3\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2 - ab}}{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}} = - 3\)\( \Leftrightarrow - 2 - ab = - 3{\left( {a - 2} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow - 3{a^2} + 12a + ab - 10 = 0\) (1).
Mà \(y\left( 1 \right) = - 2\) nên \(\frac{{1 + b}}{{a - 2}} = - 2\)\( \Leftrightarrow - 2a - b + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow b = - 2a + 3\) (2).
Thay (2) vào (1), ta có \( - 3{a^2} + 12a + a\left( { - 2a + 3} \right) - 10 = 0\)\( \Leftrightarrow - 5{a^2} + 15a - 10 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 1\) hoặc \(a = 2\).
Với \(a = 1\) thì \(b = 1\) \( \Rightarrow a - 3b = 1 - 3.1 = - 2\).
Với \(a = 2\) thì \(b = - 1\) (loại vì \(ab \ne - 2\)).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 2x + m\), giá trị của \(f''\left( 1 \right)\) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 6
Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2;f''\left( x \right) = 6x\).
Do đó \(f''\left( 1 \right) = 6.1 = 6\).
Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = 3\). Hỏi phương trình \({x^2} - 4x = f'\left( 3 \right)\) có tổng bình phương các nghiệm là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 22
Ta có \(f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = 3\).
Do đó \({x^2} - 4x = 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2 - \sqrt 7 \) hoặc \(x = 2 + \sqrt 7 \).
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là \({\left( {2 - \sqrt 7 } \right)^2} + {\left( {2 + \sqrt 7 } \right)^2} = 22\).
Biết hàm số \(y = \sqrt {4x + 1} \) có đạo hàm trên \(\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right)\). Tìm giá trị của \(x\) sao cho \(y'\left( x \right) = \frac{2}{3}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 2
Ta có \(y' = \frac{4}{{2\sqrt {4x + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {2x + 1} }}\).
Để \(y'\left( x \right) = \frac{2}{3}\) thì \(\frac{2}{{\sqrt {4x + 1} }} = \frac{2}{3}\)\( \Leftrightarrow 4x + 1 = 9 \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn).
