Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

A đúng vì \(2 > 1\) và \(\sqrt 2  + 1 > \sqrt 3 \) nên \({2^{\sqrt 2  + 1}} > {2^{\sqrt 3 }}\).

\(B\) đúng vì \(\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) < 1\) và \(2019 > 2018\) nên \({\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2019}} < {\left( {1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2018}}\).

\(C\) đúng vì \((\sqrt 2  - 1) < 1\) và \(2017 < 2018\) nên \({(\sqrt 2  - 1)^{2017}} > {(\sqrt 2  - 1)^{2018}}\).

D sai vì \(\sqrt 3  - 1 < 1\) và \(2017 < 2018\) nên \({(\sqrt 3  - 1)^{2018}} < {(\sqrt 3  - 1)^{2017}}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\log (ab) = \log a + \log b\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right) = \frac{{{{\log }_a}\left( {a{b^2}} \right)}}{{{{\log }_a}{a^2}}} = \frac{{1 + {{\log }_a}{b^2}}}{2} = \frac{{1 + 2{{\log }_a}b}}{2} = \frac{{1 + 2 \cdot 2}}{2} = \frac{5}{2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

\({\log _7}(7a) = {\log _7}7 + {\log _7}a = 1 + {\log _7}a\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \({\log _a}\left( {{b^2}{c^3}} \right) = 2{\log _a}b + 3{\log _a}c = 2.2 + 3.3 = 13\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({\log _2}{a^3}{b^2} = {\log _2}32 \Leftrightarrow 3{\log _2}a + 2{\log _2}b = 5\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({\log _{{a^2}}}(ab) = {\log _{{a^2}}}a + {\log _{{a^2}}}b = \frac{1}{2} \cdot {\log _a}a + \frac{1}{2} \cdot {\log _a}b = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot {\log _a}b\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có \({\log _2}x = 5{\log _2}a + 3{\log _2}b = {\log _2}{a^5} + {\log _2}{b^3} = {\log _2}{a^5}{b^3} \Leftrightarrow x = {a^5}{b^3}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \({\log _{16}}27 = \frac{3}{4}{\log _2}3 = \frac{3}{{4 \cdot {{\log }_3}2}} = \frac{3}{{4a}}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \({a^2} + {b^2} = 8ab \Leftrightarrow {(a + b)^2} = 10ab\).

Lấy \(\log \) cơ số 10 hai vế ta được: \(\log {(a + b)^2} = \log (10ab) \Leftrightarrow 2\log (a + b) = \log 10 + \log a + \log b\).

Hay \(\log (a + b) = \frac{1}{2}(1 + \log a + \log b)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \({\log _3}a - 2{\log _9}b = 3 \Leftrightarrow {\log _3}a - {\log _3}b = 3 \Leftrightarrow {\log _3}\frac{a}{b} = 3 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = 27 \Leftrightarrow a = 27b\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số mũ \(y = {2^x}\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên tập xác định là \(D = \mathbb{R}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: \(x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 4\).

Tập xác định: \(D = (4; + \infty )\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị ta thấy. Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến \( \Rightarrow a > 1\).

Hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến \( \Rightarrow 0 < b < 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+ Xét hàm số \(y = {a^x}\) đi qua \((0;1)\) suy ra đồ thị hàm số (1) là đường nghịch biến, suy ra \(0 < a < 1\).

+ Xét hàm số \(y = {\log _b}x\) đi qua (1; 0) suy ra đồ thị hàm số (2) là đường đồng biến, suy ra \(b > 1.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = {\log _2}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow a > 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(a > 1\).

Vì \(\sqrt 3  > 1\) nên hàm số \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \({x^2} - 2x - m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1\left( { - m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giá xe năm 2020 là A

Giá xe năm 2021 là \({A_1} = A - A.r = A\left( {1 - r} \right)\)

Giá xe năm 2022 là \({A_2} = A{\left( {1 - r} \right)^2}\)

Tương tự, ta có giá xe năm 2025 là \({A_5} = A{\left( {1 - r} \right)^5} = 750000000{\left( {1 - \frac{2}{{100}}} \right)^5} \approx 677\;941\;000\) đồng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức \({A_n} = {A_0}{\left( {1 + r} \right)^n}\) với n là số kỳ hạn, A0 là số tiền ban đầu, An là số tiền có được sau n kỳ hạn , r là lãi suất.

Do đó \({A_9} = {A_0}{\left( {1 + r} \right)^9} \Rightarrow r = \sqrt[9]{{\frac{{{A_9}}}{{{A_0}}}}} - 1 \approx 0,7\% \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \({2^{2x + 1}} = 32\)\( \Leftrightarrow {2^{2x + 1}} = {2^5}\)\( \Leftrightarrow 2x + 1 = 5 \Leftrightarrow x = 2\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

\({\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} - 2x - 3}} = {7^{x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{{x^2} - 2x - 3}} = {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{ - x + 1}} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 =  - x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt {17} }}{2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 2 }}x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{x^2} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + 2} \right)}\\{x > 0}\end{array}} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = x + 2}\\{x > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - x - 2 = 0}\\{x > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\\x > 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right. \Leftrightarrow x = 2.\]

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 4x > 0}\\{2x + 3 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x <  - 4}\end{array}} \right.}\\{x >  - \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow x > 0} \right.} \right.\).

Phương trình đã cho \( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} + 4x} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2x + 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x = 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 3}\end{array}} \right.\).

Kết hợp điều kiện ta được \(x = 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\({\left( {\frac{4}{7}} \right)^x}{\left( {\frac{7}{4}} \right)^{3x - 1}} - \frac{{16}}{{49}} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{7}} \right)^{1 - 2x}} = {\left( {\frac{4}{7}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 1 - 2x = 2\)\( \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: \[{2^x} < 5\]

\({\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x\) \( \Leftrightarrow 5 - {2^x} = {2^{2 - x}}\)\( \Leftrightarrow 5 - {2^x} = \frac{4}{{{2^x}}}\)\( \Leftrightarrow {2^{2x}} - {5.2^x} + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 4\\{2^x} = 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Có \(\left[ \begin{array}{l}{2^x} = 4\\{2^x} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\end{array} \right.\). Do đó P = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\({2^x} > 4\)\( \Leftrightarrow {2^x} > {2^2} \Leftrightarrow x > 2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(T = \left( {2; + \infty } \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x - 3 \le 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x \le 7\end{array} \right.\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {3;7} \right]\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: \(x > 0\)

\({\log ^2}x - 2019\log x + 2018 \le 0\)\( \Leftrightarrow 1 \le \log x \le 2018\)\( \Leftrightarrow 10 \le x \le {10^{2018}}\).

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {10;{{10}^{2018}}} \right]\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện \(x > 0\).

Ta có \(\log _2^2x - \left( {m + 2} \right){\log _2}x + 2m = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 2\\{\log _2}x = m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = {2^m}\end{array} \right.\).

Vì \({x_1} + {x_2} = 6\) nên \(4 + {2^m} = 6 \Leftrightarrow m = 1\).

Do đó \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {4 - 2} \right| = 2\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) S, d) Đ

\(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b  + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}\)\( = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}.{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - \sqrt[3]{{ab}}\)\( = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - \sqrt[3]{{ab}}\)\[ = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} - \sqrt[3]{{ab}} = 0\].

Do đó a, b, c sai và d đúng.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

Ta có: \(\sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot \sqrt 2 }}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot {2^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{{2^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot {2^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[5]{{{2^{\frac{3}{2}}}}} = {2^{\frac{3}{{10}}}}\).

Ta có: \(\sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{3 \cdot \sqrt 3 }}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{3 \cdot {3^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{{3^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot {3^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[6]{{{3^{\frac{3}{2}}}}} = {3^{\frac{1}{4}}}\).

a) \(a + b = 13\).

b) \(m - n =  - 3\).

c) \(\frac{a}{b} + \frac{m}{n} = \frac{3}{{10}} + \frac{1}{4} = \frac{{11}}{{20}}\).

d) \(\frac{a}{b} + \frac{m}{n} = \frac{3}{{10}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{20}}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Giá trị còn lại của máy sau 3 năm sử dụng là \(P\left( 3 \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{3}{3}}} = 250\) (triệu đồng).

b) Đổi 4 năm 3 tháng = 4,25 năm.

Giá trị còn lại của máy sau 4 năm 3 tháng sử dụng là \(P\left( {4,25} \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{4,25}}{3}}} \approx 187\) (triệu đồng).

c) Giá trị của máy lúc ban đầu là \(P\left( 0 \right) = 500\) triệu đồng.

Giá trị còn lại của máy sau 2 năm đưa vào sử dụng là \(P\left( 2 \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}}} \approx 315\) (triệu đồng).

Vậy sau 2 năm đưa vào sử dụng thì giá trị của chiếc máy giảm \(500 - 315 = 185\) triệu đồng so với giá trị ban đầu.

d) Giá trị của máy lúc ban đầu là \(P\left( 0 \right) = 500\) triệu đồng.

Giá trị còn lại của máy sau 1 năm đưa vào sử dụng là \(P\left( 1 \right) = 500.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}}} \approx 397\) triệu đồng.

Vậy sau 1 năm đưa vào sử dụng thì giá trị của chiếc máy giảm \(100\%  - \frac{{397}}{{500}}.100\%  \approx 20,6\% \) so với giá trị ban đầu của nó.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) \(Q = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}\)\( = 3{\log _a}b + \frac{6}{2}{\log _a}b\)\( = 6{\log _a}b\).

b) \(P = \frac{{{{\log }_a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) - {{\log }_b}\left( {\frac{{{b^3}}}{{{a^2}}}} \right)}}{{\log _a^2b + 1}}\)\[ = \frac{{3{{\log }_a}a + 2{{\log }_a}b - 3{{\log }_b}b + 2{{\log }_b}a}}{{\log _a^2b + 1}}\]

\[ = \frac{{2{{\log }_a}b + \frac{2}{{{{\log }_a}b}}}}{{\log _a^2b + 1}}\]\[ = \frac{{2\left( {\log _a^2b + 1} \right)}}{{{{\log }_a}b\left( {\log _a^2b + 1} \right)}} = \frac{2}{{{{\log }_a}b}} = 2{\log _b}a\].

c) \(Q = 6{\log _a}b \ne 3P = 6{\log _b}a\).

d) \(Q.P = 6{\log _a}b.\frac{2}{{{{\log }_a}b}} = 12\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) \[{\log _c}\frac{a}{b} = {\log _c}a - {\log _c}b = 3 - 4 =  - 1\].

b) \[{\log _c}\left( {{a^2}b} \right) = 2{\log _c}a + {\log _c}b = 2.3 + 4 = 10\].

c) \[{\log _c}ab = {\log _c}a + {\log _c}b = 3 + 4 = 7\].

d) Với \[a,b > 0;0 < c \ne 1\], ta có \[{\log _{{c^2}}}\frac{{{a^4}}}{b} = 2{\log _c}a - \frac{1}{2}{\log _c}b = 2.3 - 2 = 4\].

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) S

Ta có: \({a^2} + {b^2} = 7ab \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 9ab \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = ab\)\( \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = {\log _2}\left( {ab} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right) = {\log _2}a + {\log _2}b\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \({\log _4}9 = \frac{{\log 9}}{{\log 4}} = \frac{{2\log 3}}{{2\log 2}} = \frac{b}{a}\).

b) \({\log _6}12 = \frac{{\log 12}}{{\log 6}} = \frac{{\log 3 + \log 4}}{{\log 2 + \log 3}} = \frac{{\log 3 + 2\log 2}}{{\log 2 + \log 3}} = \frac{{2a + b}}{{a + b}}\).

c) \({\log _5}6 = \frac{{\log 6}}{{\log 5}} = \frac{{\log 2 + \log 3}}{{\log 10 - \log 2}} = \frac{{a + b}}{{1 - a}}\).

d) \({\log _5}30 = {\log _5}5 + {\log _5}6 = 1 + \frac{{a + b}}{{1 - a}} = \frac{{1 + b}}{{1 - a}}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

b) Vì \(a = 2 > 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

c) Thay tọa độ điểm \(A\left( {2;4} \right)\) vào hàm số ta thấy thỏa mãn.

d) Xét hàm số \(y = {2^x}\). Ta có bảng giá trị:

Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) :

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) \({3^{2x}} - {2.3^x} = 0 \Leftrightarrow {3^x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = {\log _3}2\).

b)  Bất phương trình \(f\left( x \right) \ge  - 1\) với mọi \(x\).

c) Bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) có tập nghiệm là: \(\left( {{{\log }_3}2; + \infty } \right)\).

d) Đường thẳng \(y = 0\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại \(1\) điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) Hàm số \(y = {\log _4}x\) xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó hàm số có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

b) Hàm số \(y = {\log _4}x\) có tập giá trị \(T = \mathbb{R}\).

c) Hàm số \(y = {\log _4}x\) xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và cơ số 4 > 1.

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

d) Phương trình hoành độ giao điểm: \({\log _4}x = 1 \Leftrightarrow x = 4\).

Vậy đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = 1\) tại điểm có hoành độ bằng 4.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Hàm số xác định khi \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\). Do đó hàm số có tập xác định \(D = \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

b) Với \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\); \({x_1} < {x_2}\)\( \Rightarrow 5{x_1} - 3 < 5{x_2} - 3\)\( \Rightarrow {\log _3}\left( {5{x_1} - 3} \right) < {\log _3}\left( {5{x_2} - 3} \right)\).

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

c) Với \(x = 2\) thì \(y = {\log _3}7\).

Vậy đồ thị hàm số qua điểm \(\left( {2;{{\log }_3}7} \right)\) và không đi qua điểm \(M\).

d) Do hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là \(f\left( {\frac{{12}}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{{12}}{5} - 3} \right) = 2\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là \(f\left( {\frac{4}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{4}{5} - 3} \right) = 0\).

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]\) là 2.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) \({2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\).

Do đó \(x = 1\) là nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}\).

b) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} + 2x}} = {2^3}\) là \({1^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 10\).

c) \({3^{3{x^2} - x}} = {3^{x + 5}}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - x = x + 5\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \frac{5}{3}\end{array} \right.\).

Do đó tích các nghiệm là \( - \frac{5}{3}\).

d) Hai phương trình trên không có cùng tập nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Điều kiện \({x^2} - 5x - 6 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\x > 6\end{array} \right.\).

b) \({\log _2}\left( {{x^2} - 5x - 6} \right) = 3 \Rightarrow {x^2} - 5x - 6 = 8\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 14 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x =  - 2\end{array} \right.\)(tmđk).

Do đó phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

c) Vì \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} =  - 2;{x_2} = 7\). Suy ra \(2{x_1} + {x_2} = 3\).

d) Tổng bình phương các nghiệm của phương trình (1) là \({7^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 53\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - x - 3}} \Leftrightarrow x - 5 =  - x - 3 \Leftrightarrow x = 1\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 1\).

b) Ba số \(a,2,3\) tạo thành cấp số cộng với công sai bằng \(d = 1\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2x + 5} \right) = 8\).

d) \({x^2} + x + 1 > 0,\forall x\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

Ta có \(f\left( x \right) = {4^x} - {2.2^{x + 1}} + 3\)\( = {4^x} - {4.2^x} + 3\)\( = \left( {{2^x} - 1} \right)\left( {{2^x} - 3} \right)\).

a) Do đó \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < {2^x} < 3 \Leftrightarrow 0 < x < {\log _2}3\).

b) \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} \ge 3\\{2^x} \le 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge {\log _2}3\\x \le 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_2}3; + \infty } \right)\).

c) Theo câu a, \(0 < x < {\log _2}3 < 2\).

Vậy bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\) có đúng một nghiệm nguyên dương \(x = 1\).

d) \(f\left( x \right) = {4^x} - {2.2^{x + 1}} + 3\)\( = {4^x} - {4.2^x} + 3\)\( = {\left( {{2^x} - 2} \right)^2} - 1 \ge  - 1\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {2^x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 116

Số tiền người đó nhận sau 10 năm là: \({T_{10}} = 100{\left( {1 + \frac{8}{{100}}} \right)^{10}} \approx 215,89\) (triệu đồng).

Số tiền lãi sau 10 năm gửi tiền xấp xỉ là: \(215,89 - 100 = 115,89 \approx 116\) (triệu đồng).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 8,25

\(\begin{array}{*{20}{l}}B&{ = {{\left( {{3^\alpha }} \right)}^2} + 2 \cdot {3^\alpha } \cdot {3^{ - \alpha }} + {{\left( {{3^{ - \alpha }}} \right)}^2} - {{\left( {{9^2}} \right)}^\alpha } + {{\left( {{9^2}} \right)}^{ - \alpha }}}\\{}&{ = {3^{2\alpha }} + 2 \cdot {3^{\alpha  + ( - \alpha )}} + {{\left( {{3^2}} \right)}^{ - \alpha }} - {{\left( {{9^\alpha }} \right)}^2} + {{\left( {{9^{ - \alpha }}} \right)}^2}}\\{}&{ = {9^\alpha } + 2 \cdot {3^0} + {9^{ - \alpha }} - {{\left( {{9^\alpha }} \right)}^2} + {{\left( {{9^\alpha }} \right)}^{ - 2}} = \frac{1}{2} + 2 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ - 1}} - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ - 2}} = \frac{{33}}{4} = 8,25.}\end{array}\)

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3

Ta có: \(T = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2} \cdot \sqrt[3]{{{a^2}}} \cdot \sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[{15}]{{{a^7}}}}}} \right) = {\log _a}\frac{{{a^{2 + \frac{2}{3} + \frac{4}{5}}}}}{{{a^{\frac{7}{{15}}}}}} = {\log _a}{a^{2 + \frac{2}{3} + \frac{4}{5} - \frac{7}{{15}}}} = {\log _a}{a^3} = 3\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 60,5

Khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày là \(m\left( {100} \right) = 100.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{100}}{{138}}}} \approx 60,5\) (g).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3

Theo giả thiết, học sinh nhớ được một nửa danh sách các loài vật, tức là \(M\left( t \right) = 50\% \).

Ta có \(50 = 75 - 20\ln \left( {t + 1} \right) \Leftrightarrow \ln \left( {t + 1} \right) = \frac{5}{4} \Leftrightarrow t + 1 = {e^{\frac{5}{4}}} \Leftrightarrow t \approx 2,49\) tháng.

Vậy qua tháng thứ 3 khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh là 50%.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1

Ta có \({x^2} + 9{y^2} = 6xy\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 6xy + 9{y^2} = 12xy\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 3y} \right)^2} = 12xy\)

\( \Leftrightarrow {\log _{12}}{\left( {x + 3y} \right)^2} = {\log _{12}}\left( {12xy} \right)\)\( \Leftrightarrow 2{\log _{12}}\left( {x + 3y} \right) = {\log _{12}}12 + {\log _{12}}x + {\log _{12}}y\)\( \Leftrightarrow M = \frac{{{{\log }_{12}}12 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}} = 1\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 8,6

Gọi \({M_1},{M_2}\) lần lượt là cường độ của trận động đất ở San Francisco và ở Nam Mỹ. Trận động đất ở San Franciso có cường độ là 8 độ Richter nên:

\({M_1} = \log A - \log {A_0} \Leftrightarrow 8 = \log A - \log {A_0}\).

Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là \(4A\), khi đó cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là:

\({M_2} = \log \left( {4A} \right) - \log {A_0} = \log 4 + \log A - \log {A_0} = \log 4 + 8 \approx 8,6\) độ Richter.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2085

Dân số đạt gấp đôi nghĩa là \(S = 2A\), ta có:

\(2A = A \cdot {e^{1,13\% .t}} \Leftrightarrow {e^{1,13\% .t}} = 2 \Leftrightarrow 1,13\% .t = \ln 2 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 2}}{{1,13\% }} \approx 61,34{\rm{ (do }}e > 1{\rm{ )}}{\rm{. }}\)

Vậy sau 62 năm tức đến năm 2085 thì dân số ở địa phương đó sẽ gấp đôi dân số năm 2023.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5

\({3^{2x - 5}} > \frac{1}{9}\)\( \Leftrightarrow {3^{2x - 5}} > {3^{ - 2}}\)\( \Leftrightarrow 2x - 5 >  - 2 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\).

Vậy nghiệm của bất phương trình \(x > \frac{3}{2}\). Suy ra \(a = 3;b = 2 \Rightarrow a + b = 5\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 15

Để sau khi gửi ngân hàng \(n\) năm số tiền cả gốc lẫn lãi anh Việt nhận được là trên 500 triệu đồng ta có \(200.{\left( {1 + 6,5\% } \right)^n} > 500 \Leftrightarrow n > {\log _{\left( {1 + 6,5\% } \right)}}\left( {\frac{{500}}{{200}}} \right) \Leftrightarrow n > 14,55\).

Vậy sau ít nhất 15 năm thì số tiền cả gốc lẫn lãi anh Việt nhận được là trên 500 triệu đồng.