Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

a) Ta có: \(\frac{5}{9}\left( {35,6 - 32} \right) = 2^\circ C\) và \(\frac{5}{9}\left( {22,64 - 32} \right) = - 5,2^\circ C\).

b) Nhiệt độ chênh lệch từ 5 giờ chiều đến 10 giờ tối là: \(2^\circ C - \left( { - 5,2^\circ C} \right) = 7,2^\circ C\).

Vậy nhiệt độ từ 5 giờ chiều đến 10 giờ tối chênh lệch \(7,2^\circ C\).

Xét gói linh hoạt, ta có:

Một tháng, gói linh hoạt cho khách hàng sử dụng số Gb là: \(30 \cdot 4 = 120\) (Gb)

Anh Hải sử dụng mỗi tháng vượt quá số Gb là: \(150 - 120 = 30\) (Gb).

Số tiền anh Hải phải trả thêm là: \(30 \cdot 5{\rm{ }}000 = 150{\rm{ }}000\) (đồng).

Vậy một tháng anh Hải dùng gói linh hoạt thì phải trả số tiền là:

\(150{\rm{ }}000 + 160{\rm{ }}000 = 310{\rm{ }}000\) (đồng).

Do đó, khách hàng nên sử dụng gói cố định.

Khách hàng sử dụng gói cố định sẽ tiết kiệm được số tiền là: \(310{\rm{ }}000 - 285{\rm{ }}000 = 25{\rm{ }}000\) (đồng).

Hướng dẫn giải

a) Diện tích xung quanh của hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật là:

\(5\,\,.\,\,4\,\,.\,\,8 = 160\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Vậy diện tích xung quanh của hộp sữa là 160 cm².

Hướng dẫn giải

Đổi 80 cm = 0,8 m.

Thể tích bể cá là: \(V = 2\,\,.\,\,0,8\,\,.\,\,0,8 = 1,28{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)

Vậy người ta cần đổ vào bể 1,28 m³ nước thì đầy bể.

a) Hình lập phương có mỗi mặt đều là hình vuông.

Khi đó, độ dài một cạnh hình lập phương là \(12\,\,{\rm{m}}\,{\rm{.}}\)

Thể tích của hình lập phương đã cho là: \({12^3} = 1728\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{.}}\)

Vậy thể tích của hình lập phương đã cho là \[1728{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{.}}\]

Hướng dẫn giải

Diện tích đáy của hình lăng trụ là:

\(S = 6\,\,.\,\,8 = 48\) (cm²)

Thể tích hình lăng trụ đứng là:

\(V = S.h = 48\,\,.\,\,12 = 576\) (cm³)

Vậy thể tích hình lăng trụ đứng là 576 cm³.

Hướng dẫn giải

Diện tích nền căn phòng là: \({S_d} = 6\,\,.\,\,4,5 = 27\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

Chu vi đáy của hình hộp chữ nhật là:

\({C_d} = 2\,\,.\,\,\left( {6 + 4,5} \right) = 21\,\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Diện tích tường phòng ốp là:

\[{S_{xq}} = 21\,\,.\,\,1,5 = 31,5\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Tổng diện tích cần ốp gỗ là:

\(S = {S_d} + {S_{xq}} = 27 + 31,5 = 58,5\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

Số tiền phải chi cho ốp gỗ căn phòng là:

\(58,5\,\,.\,\,600{\rm{ 000 = 35 100 000}}\) (đồng)

Vậy chủ nhà cần thanh toán 35 100 000 đồng để ốp căn phòng theo dự định.

Hướng dẫn giải

Diện tích xung quanh của lều tại là:

\({S_{xq}} = \left( {2 + 2 + 3,2} \right)\,\,.\,\,5 = 36\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

Diện tích đáy hình lăng trụ đứng tam giác là:

\({S_d} = 2.\frac{1}{2}\,\,.\,\,1,2\,\,.\,\,3,2 = 3,84\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

Diện tích vải cần mua để dựng lều là:

\(36 + 3,84 = 39,84\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

Số tiền cần để mua vải là:

\(39,84\,\,.\,\,150{\rm{ }}000 = 5{\rm{ }}976{\rm{ }}000\) (đồng)

Vì \(6{\rm{ 000 000 > 5 976 000}}\) nên nhóm học sinh đủ tiền mua vải.

Trên hình vẽ là hình lăng trụ đứng tứ giác \(ABCD.MNPQ\) có đáy là hình thang vuông.

Diện tích đáy của hình lăng trụ đứng tứ giác \(ABCD.MNPQ\) là: \(\frac{{6 + 14}}{2}\,\,.\,6 = 60\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Thể tích hình lăng trụ đứng tứ giác \(ABCD.MNPQ\) là: \(60\,\,.\,\,3 = 180\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{.}}\)

Vậy thể tích hình lăng trụ đứng tứ giác \(ABCD.MNPQ\) là 180 cm³.

Hướng dẫn giải

a) Chu vi của mặt đáy hình lăng trụ đứng đó là: \(3 + 4 + 5 = 12\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Diện tích của mặt đáy hình lăng trụ đứng đó là:

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng đó là: \[{S_{xq}} = 12\,\,.\,\,6 = 72\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]

Diện tích tất cả các mặt của hình lăng trụ đứng đó là: \(72 + 2\,\,.\,\,6 = 84\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Thể tích của hình lăng trụ là: \[72\,\,.\,\,6 = 432\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\].

b)

i) Thể tích của khối gỗ trước khi khoét là \(5\,\,.\,\,7\,\,.\,\,6 = 210\,\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

Thể tích của cái lố hình lăng trụ đứng tam giác là: \(\left( {\frac{1}{2}\,.\,\,3\,\,.\,\,4} \right)\,\,.\,\,7 = 42\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

Thể tích của khối gỗ sau khi khoét là: \(210 - 42 = 168\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

ii) Diện tích xung quanh của khối gỗ hình hộp chữ nhật là:

\[2\,\,.\,\,\left( {5 + 6} \right)\,\,.\,7 = 154\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\]

Diện tích xung quanh của cái lỗ hình lăng trụ đứng tam giác là:

\(\left( {3 + 4 + 5} \right)\,\,.\,\,7 = 84\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Diện tích mặt đáy cần sơn bằng diện tích mặt đáy của hình hộp chữ nhật trừ đi diện tích mặt đáy hình lăng trụ đứng tam giác và bằng: \[5\,\,.\,\,6 - \frac{1}{2}\,\,.\,\,3\,\,.\,\,4 = 24\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\]

Vậy diện tích bề mặt cần sơn là: \(154 + 84 + 2\,\,.\,\,24 = 286\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Gọi cái bánh ngọt là hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) (như hình vẽ).

Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) là:

\(\left( {6 + 8 + 10} \right)\,\,.\,\,4 = 96\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

Diện tích hai đáy của hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) là: \(2\,\,.\,\,\frac{1}{2}\,\,.\,\,6\,\,.\,\,8 = 48\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

Kích thước của chiếc hộp và cái bánh bằng nhau (ta coi kích thước của chiếc hộp lớn hơn cái bánh không đáng kể).

Diện tích bìa cứng cần dùng là: \(96 + 48 = 144\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

Vậy diện tích bìa cứng cần dùng là 144 cm².

a) Học sinh vẽ hình đúng số đo góc.

Các góc kề bù với góc \(AOC\) là \(\widehat {AOD},\widehat {COE}\).

b) Ta có: \(\widehat {AOB} + \widehat {BOE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {BOE} = 180^\circ  - \widehat {AOB} = 180^\circ  - 50^\circ  = 130^\circ \).

Vì tia \(OC\) là tia phân giác của góc \(AOB\) nên \(\widehat {AOC} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = 25^\circ \).

Ta có \(\widehat {AOC} + \widehat {AOD} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {AOD} = 180^\circ  - \widehat {AOC} = 180^\circ  - 25^\circ  = 155^\circ \).

Vậy \(\widehat {BOE} = 130^\circ \,;\,\,\widehat {AOD} = 155^\circ .\)

a) Các cặp góc đối đỉnh trong hình là: \(\widehat {xOz}\) và \(\widehat {tOy}\); \(\widehat {xOt}\) và \(\widehat {tOy}\).

b) Từ hình vẽ ta thấy \(\widehat {xOz} = 60^\circ \)

Vì \(\widehat {xOz}\) và \(\widehat {tOy}\) là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {xOz} = \widehat {tOy} = 60^\circ \).

Vì góc \(\widehat {xOz}\)và \(\widehat {xOt}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {xOz} + \widehat {xOt} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {xOt} = 180^\circ - \widehat {xOz} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Do đó \(\widehat {xOt} = 120^\circ \).

Vì \(Om\) là tia phân giác của \(\widehat {xOz}\) nên \(\widehat {mOx} = \widehat {mOz} = \frac{{\widehat {xOz}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \).

Vậy \(\widehat {tOy} = 60^\circ ;\,\,\widehat {xOt} = 120^\circ ;\,\,\widehat {mOx} = 30^\circ \).

Vì ba tia \(Ox,\,\,Oz,\,\,Ot\) cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là tia \(Ox\) và \(\widehat {xOz} < \widehat {xOt}\)

Nên tia \(Oz\) nằm giữa hai tia \(Ox\) và \(Ot\).

Lại có \(\widehat {xOz} = 80^\circ = \frac{{160^\circ }}{2} = \frac{{\widehat {xOt}}}{2}\) nên \(Oz\) là tia phân giác của \(\widehat {xOt}\).

a) Học sinh vẽ hình đúng số đo góc.

Các cặp góc kề bù có trong hình vẽ là: \(\widehat {xOt}\) và \(\widehat {tOy}\); \(\widehat {xOz}\) và \(\widehat {zOy}\); \(\widehat {xOu}\) và \(\widehat {uOy}\).

b) Tính số đo của góc \(\widehat {tOz},\,\,\widehat {tOy}\).

Ta có tia \(Oz\) là tia phân giác của góc \(tOu\) nên: \(\widehat {tOz} = \frac{1}{2}\widehat {tOu} = 41^\circ \).

Ta có \(\widehat {tOx} + \widehat {tOz} = \widehat {xOz}\)

Nên \(\widehat {tOx} = \widehat {xOz} - \widehat {tOz} = 97^\circ - 41^\circ = 56^\circ \).

Do \(\widehat {tOx} + \widehat {tOy} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {tOy} = 180^\circ - \widehat {tOx} = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ \).

a) Học sinh vẽ hình đúng số đo góc.

Góc kề bù với góc \(xOz\) là \(\widehat {yOz}\) và \(\widehat {xOn}\).

b) Ta có \(\widehat {xOz} + \widehat {yOz} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {yOz} = 180^\circ  - \widehat {xOz} = 180^\circ  - 130^\circ  = 50^\circ \)

Lại có \(\widehat {xOn} = \widehat {yOz} = 50^\circ \) (hai góc đối đỉnh)

Do tia \(Ox\) nằm giữa hai tia \(Om,\,\,On\) và \(\widehat {xOn} = \widehat {xOm} = 50^\circ \) nên tia \(Ox\) là tia phân giác của góc \(mOn.\)

Trong hình vẽ trên, \(\widehat {xOy}\) là góc bẹt nên \(\widehat {xOv}\) và \(\widehat {yOv}\) là hai góc kề bù.

Khi đó \(\widehat {xOv} + \widehat {yOv} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {xOv} = 180^\circ  - \widehat {yOv} = 180^\circ  - 20^\circ  = 160^\circ \).

Vì \(Ou\) là tia phân giác của \(\widehat {xOv}\) nên \(\widehat {xOu} = \widehat {uOv} = \frac{{\widehat {xOv}}}{2} = \frac{{160^\circ }}{2} = 80^\circ \).

Vậy \(\widehat {uOv} = 80^\circ \).

a) Để \(\frac{5}{{n - 2}}\) là số nguyên thì \(5\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)\) nên \(n - 2 \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1\,;\, \pm 5} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

\[n - 2\]	\[ - 1\]	1	\[ - 5\]	5
\[n\]	1	3	\[ - 3\]	7

Vậy \[n \in \left\{ {1\,;\,3\,;\, - 3\,;\,7} \right\}.\]

b) Để \(\frac{{ - 6}}{{n + 1}}\) là số nguyên thì \( - 6\,\, \vdots \,\,\left( {n + 1} \right)\) nên \(n + 1 \in \)Ư\(\left( 6 \right) = \left\{ { \pm 1\,;\, \pm 2\,;\, \pm 3\,;\, \pm 6} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

\[n + 1\]	\[ - 1\]	1	\[ - 2\]	2	\[ - 3\]	3	\[ - 6\]	6
\[n\]	\[ - 2\]	0	\[ - 3\]	1	\[ - 4\]	2	\[ - 7\]	5

Vậy \(n \in \left\{ {0\,;\,\,1\,;\,\, \pm 2\,;\,\, - 3\,;\,\, - 4\,;\,\, - 7\,;\,\,5} \right\}.\)

c) Để \(\frac{{ - 3}}{{n - 4}}\) là số nguyên thì \( - 3\,\, \vdots \,\,\left( {n - 4} \right)\) nên \(n - 4 \in \)Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1\,;\, \pm 3} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

\[n - 4\]	\[ - 1\]	1	\[ - 3\]	3
\[n\]	3	4	1	7

Vậy \(n \in \left\{ {1\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,7} \right\}.\)

d) Ta có \[\frac{{6n - 4}}{{2n + 1}} = \frac{{3\left( {2n + 1} \right) - 7}}{{2n + 1}} = 3 + \frac{{ - 7}}{{2n + 1}}\].

Vì 3 là số nguyên nên để \(\frac{{6n - 4}}{{2n + 1}}\) là số nguyên thì \(\frac{{ - 7}}{{2n + 1}}\) là số nguyên.

Suy ra \(7\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)\) nên \(2n + 1 \in \)Ư\(\left( 7 \right) = \left\{ { \pm 1\,;\,\, \pm 7} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

 

\[2n + 1\]	\[ - 1\]	1	\[ - 7\]	7
\[2n\]	\[ - 2\]	0	\[ - 8\]	6
\[n\]	\[ - 1\]	0	\[ - 4\]	3

Vậy \(n \in \left\{ { - 4\,;\,\, - 1\,;\,\,0\,;\,\,3} \right\}.\)

e) Để \(\frac{{3n + 2}}{{4n - 5}}\) là số nguyên thì \[\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {4n - 5} \right)\].

Suy ra \[4\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {4n - 5} \right)\]hay \[\left( {12n + 8} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {4n - 5} \right)\].

Mà \[12n + 8 = 3\left( {4n - 5} \right) + 23\] nên\[3\left( {4n - 5} \right) + 23 \vdots \left( {4n - 5} \right)\]

Khi đó \[23\,\, \vdots \,\,\left( {4n - 5} \right)\] nên \[\left( {4n - 5} \right) \in \left\{ { \pm 1\,;\,\, \pm 23} \right\}\].
Ta có bảng giá trị sau:

\[4n - 5\]	\[ - 1\]	1	\[ - 23\]	23
\[4n\]	4	6	\[ - 18\]	28
\[n\]	1	\(\frac{3}{2} \notin \mathbb{Z}\)	\(\frac{{ - 9}}{2} \notin \mathbb{Z}\)	\(\frac{{14}}{2} \notin \mathbb{Z}\)

Vậy \(n \in \left\{ 1 \right\}\).

g) Ta có \(\frac{{4n - 1}}{{3 - 2n}} = \frac{{2\left( {2n - 3} \right) + 5}}{{ - \left( {2n - 3} \right)}} = - 2 - \frac{5}{{2n - 3}}\).

Để \(\frac{{4n - 1}}{{3 - 2n}}\) là số nguyên thì \[5\,\, \vdots \,\,\left( {2n - 3} \right)\] nên \[2n - 3 \in \left\{ { \pm 1\,;\, \pm 5} \right\}\].

Ta có bảng giá trị sau:

\[2n - 3\]	\[ - 1\]	1	\[ - 5\]	5
\[2n\]	2	4	\[ - 2\]	8
\[n\]	1	2	\[ - 1\]	4

Vậy \(n \in \left\{ { \pm 1\,;\,\,2\,;\,\,4} \right\}\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({\left( {2x - 3} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \({\left( {2x - 3} \right)^2} + 15 \ge 15\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {2x - 3} \right)^2} = 0\) nên \(2x - 3 = 0\) hay \(x = \frac{3}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 15 khi \(x = \frac{3}{2}\).

b) Ta có \({\left( {5x + 7} \right)^8} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \({\left( {5x + 7} \right)^8} - 2020 \ge - 2020\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {5x + 7} \right)^8} = 0\) nên \(5x + 7 = 0\) hay \(x = \frac{{ - 7}}{5}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là \( - 2020\) khi \(x = \frac{{ - 7}}{5}\).

c) Ta có \(\left| {1 - 2019x} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \(2016 + \left| {1 - 2019x} \right| \ge 2016\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {1 - 2019x} \right| = 0\) nên \(1 - 2019x = 0\) hay \(x = \frac{1}{{2019}}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 2016 khi \(x = \frac{1}{{2019}}\).

d) Ta có \(\left| {4x + 1} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \( - 9 + \left| {4x + 1} \right| \ge - 9\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {4x + 1} \right| = 0\) nên \(4x + 1 = 0\) hay \(x = \frac{{ - 1}}{4}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là \( - 9\) khi \(x = \frac{{ - 1}}{4}\).

e) Ta có \(\left| {x - 1} \right| + \left| {x - 2} \right| = \left| {x - 1} \right| + \left| {2 - x} \right| \ge \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {2 - x} \right)} \right| = 1\).

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right) \ge 0\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right.\] hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 0\\2 - x \le 0\end{array} \right.\).

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 2\end{array} \right.\] hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 2\end{array} \right.\). Do đó \(1 \le x \le 2\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 1 khi \(1 \le x \le 2\).

g) Ta có \(\left| {x - 2021} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Nên \(3 + \left| {x - 2021} \right| \ge 3\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \(\frac{{ - 15}}{{3 + \left| {x - 2021} \right|}} \ge - 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Do đó \(2021 - \frac{{15}}{{3 + \left| {x - 2021} \right|}} \ge 2016\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {x - 2021} \right| = 0\) nên \(x - 2021 = 0\) hay \(x = 2021\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 2016 khi \(x = 2021\).

a)Ta có: \({\left( {4x - 7} \right)^2} \ge 0,\forall x\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( - {\left( {4x - 7} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(8 - {\left( {4x - 7} \right)^2} \le 8\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {4x - 7} \right)^2} = 0\) nên \(4x - 7 = 0\) hay \(x = \frac{7}{4}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 8 khi \(x = \frac{7}{4}\).

b) Ta có \(\left| {6x - 1} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( - \left| {6x - 1} \right| \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(7 - \left| {6x - 1} \right| \le 7\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {6x - 1} \right| = 0\) nên \(6x - 1 = 0\) hay \(x = \frac{1}{6}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 7 khi \(x = \frac{1}{6}\).

c) Ta có \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\({x^2} + 5 \ge 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\left| {{x^2} + 5} \right| \ge 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( - \left| {{x^2} + 5} \right| \le - 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(6 - \left| {{x^2} + 5} \right| \le 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0\) hay \(x = 0\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 1 khi \(x = 0\).

d)Ta có \({\left( {5x - 6} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(2 + {\left( {5x - 6} \right)^2} \ge 2\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\frac{3}{{2 + {{\left( {5x - 6} \right)}^2}}} \le \frac{3}{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(14 + \frac{3}{{2 + {{\left( {5x - 6} \right)}^2}}} \le \frac{{31}}{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {5x - 6} \right)^2} = 0\) nên \(5x - 6 = 0\) hay \(x = \frac{6}{5}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là \(\frac{{31}}{2}\) khi \(x = \frac{6}{5}\).

e) Ta có: \(\left| {7x + 4} \right| \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(5 + \left| {7x + 4} \right| \ge 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\frac{{15}}{{5 + \left| {7x + 4} \right|}} \le 3\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( - 6 + \frac{{15}}{{5 + \left| {7x + 4} \right|}} \le - 3\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {7x + 4} \right| = 0\) nên \(7x + 4 = 0\) hay \(x = \frac{{ - 4}}{7}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là \( - 3\) khi \(x = \frac{{ - 4}}{7}\).

g) Ta có \(\frac{{4{x^2} + 9}}{{{x^2} + 1}} = 4 + \frac{5}{{{x^2} + 1}}\)

Lại có \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\({x^2} + 1 \ge 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\frac{5}{{{x^2} + 1}} \le 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(4 + \frac{5}{{{x^2} + 1}} \le 9\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0\) nên \(x = 0\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 9 khi \(x = 0\).

Hướng dẫn giải

Ta có \[P = \frac{{14 - x}}{{4 - x}} = 1 + \frac{{10}}{{4 - x}}\].

Để \({P_{\min }}\) thì \({\left( {\frac{{10}}{{4 - x}}} \right)_{{\rm{min}}}}\),  mà \(4 - x < 0\) và \[x\] nguyên nên \(4 - x = - 1\) nên \(x = 5\).

Vậy \({P_{\min }} = - 9\) khi \(x = 5\).

Hướng dẫn giải

Cách 1: Chia cả tử số và mẫu số cho \(y\) ta được:

\(A = \frac{{2.\frac{x}{y} + 3.\frac{y}{y}}}{{\frac{x}{y} + 2.\frac{y}{y}}} = \frac{{2.\frac{x}{y} + 3}}{{\frac{x}{y} + 2}} = \frac{{2.\frac{1}{2} + 3}}{{\frac{1}{2} + 2}} = \frac{8}{5}\).

Cách 2: Từ \(\frac{x}{y} = \frac{1}{2}\) suy ra \(y = 2x\). Thay vào \(A\) ta được: \(A = \frac{{2x + 3y}}{{x + 2y}} = \frac{{2x + 3 \cdot 2x}}{{x + 2 \cdot 2x}} = \frac{{8x}}{{5x}} = \frac{8}{5}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \({\left( {{x^2} - 9} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\left| {y - 2} \right| \ge 0\) với mọi \(y \in \mathbb{R}\)

Khi đó\({\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| \ge 0\) nên \({\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10 \ge 0 + 10.\)

Do đó \({\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10 \ge 10\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 9 = 0\\\left| {y - 2} \right| = 0\end{array} \right.\)  nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 3\\y = 2\end{array} \right.\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) bằng \(10\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 3;2} \right)\) hay \(\left( {x\,;y} \right) = \left( {3\,;2} \right)\).