Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản
16 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Phương trình nào sau đây có nghiệm?
\[\sin x = \frac{1}{2}.\]
\(\sin x = - 2.\)
\(\sqrt 2 \sin x = 2.\)
\(\cos x = 2.\)
Ta có phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\).
Do đó phương trình \[\sin x = \frac{1}{2}\] có nghiệm. Chọn A.
Phương trình \(\sin x = \sin \alpha \) có tập nghiệm là:
\(S = \left\{ {\alpha + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(S = \left\{ {\alpha + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(S = \left\{ {\alpha + k2\pi ; - \alpha + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(S = \left\{ {\alpha + k2\pi ;\pi - \alpha + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Ta có \(\sin x = \sin \alpha \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).Chọn D.
Phương trình \(\cos 2x = 1\) có nghiệm là:
\(x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Ta có \(\cos 2x = 1\)\( \Leftrightarrow 2x = k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Chọn A.
Phương trình \(2\sin x = 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc tập \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\)
\(1.\)
\(2.\)
\(3.\)
\(4.\)
\(2\sin x = 1\)\( \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Vì \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) nên
TH1: \( - \pi \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le \pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{7}{{12}} \le k \le \frac{5}{{12}}\)\( \Leftrightarrow k = 0\) vì \(k \in \mathbb{Z}\).
TH2: \( - \pi \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \le \pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{{11}}{{12}} \le k \le \frac{1}{{12}}\)\( \Leftrightarrow k = 0\) vì \(k \in \mathbb{Z}\).
Do đó phương trình có 2 nghiệm \(x = \frac{\pi }{6};x = \frac{{5\pi }}{6}\) thuộc tập \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\). Chọn B.
Nghiệm của phương trình \(\tan 3x = \tan x\) là
\(x = k\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k\frac{\pi }{6},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\)
\(\tan 3x = \tan x\)\( \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\) .
Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là \(x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\). Chọn B.
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Chọn A.
Tìm tổng nghiệm dương bé nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\sin x = \cos \left( {2x} \right)\).
\( - \frac{\pi }{3}\).
\(0\).
\(\frac{\pi }{4}\).
\(\frac{{2\pi }}{3}\).
\(\sin x = \cos \left( {2x} \right)\)\( \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Nghiệm dương bé nhất là \(\frac{\pi }{6}\) và nghiệm âm lớn nhất là \(x = - \frac{\pi }{2}\).
Tổng là: \(\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{3}\). Chọn A.
Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin \left( {3x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{\pi }{9}\).
\( - \frac{\pi }{6}\).
\(\frac{\pi }{6}\).
\( - \frac{\pi }{9}\).
\(\sin \left( {3x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x - \frac{{3\pi }}{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \\3x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{13\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{17\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
TH1: \(x = \frac{{13\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\)
Với \(x > 0\) thì \(k > \frac{{ - 13}}{{24}},k \in \mathbb{Z}\). Suy ra kmin = 0. Do đó \(x = \frac{{13\pi }}{{36}}\).
Với \(x < 0\)thì \(k < \frac{{ - 13}}{{24}},k \in \mathbb{Z}\). Suy ra kmax = −1. Do đó \(x = \frac{{ - 11\pi }}{{36}}\).
TH2: \(x = \frac{{17\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\)
Với \(x > 0\) thì \(k > \frac{{ - 17}}{{24}},k \in \mathbb{Z}\). Suy ra kmin = 0. Do đó \(x = \frac{{17\pi }}{{36}}\).
Với \(x < 0\) thì \(k < \frac{{ - 17}}{{24}},k \in \mathbb{Z}\). Suy ra kmax = −1. Do đó \(x = - \frac{{7\pi }}{{36}}\).
So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là \(x = - \frac{{7\pi }}{{36}}\) và nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{{13\pi }}{{36}}.\)
Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là: \( - \frac{{7\pi }}{{36}} + \frac{{13\pi }}{{36}} = \frac{\pi }{6}\). Chọn C.
Tập nghiệm của phương trình \[\cos x = 0\] là
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(S = \left\{ {k2\pi |\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\[\cos x = 0\]\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\]. Chọn B.
Nghiệm của phương trình \(\cot x = - 1\) là
\(x = - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Điều kiện \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(\cot x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Chọn C.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng theo phương trình \(x = 3\cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right)\). Trong đó, \(h = \left| x \right|\) (đơn vị: cm) là khoảng cách từ vật tới vị trí cân bằng tính theo phương ngang được biểu diễn qua thời gian \(t\) (đơn vị: giây).
a) Tại thời điểm bắt đầu dao động vật cách vị trí cân bằng 3 cm.
b) Trong 5 giây đầu tiên có 3 thời điểm mà \(x = \frac{3}{2}\).
c) Trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây vật đi qua vị trí cân bằng 5 lần.
d) Gọi \({t_0}\) là thời điểm đầu tiên để vật cách xa vị trí cân bằng nhất. Khi đó, ta có \({t_0} \in \left( {0;1} \right)\).
a) Thời điểm bắt đầu dao động thì t = 0. Khi đó \(h = \left| {3\cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)} \right| = \frac{3}{2}\).
b) Có \(x = \frac{3}{2}\) nên \(3\cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2t - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{\pi }{3} + k\pi \\t = k\pi \end{array} \right.\).
Vì \(0 \le t \le 5\) nên \(\left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{3} + k\pi \le 5\\0 \le k\pi \le 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{\pi } - \frac{1}{3}\\0 \le k \le \frac{5}{\pi }\end{array} \right.\).
Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0;k = 1\).
Với \(k = 0\) thì \(t = 0\); \(t = \frac{\pi }{3}\). Với \(k = 1\) thì \(t = \pi ;t = \frac{{4\pi }}{3}\).
Vậy có 4 thời điểm mà \(x = \frac{3}{2}\).
c) Vật đi qua vị trí cân bằng khi \(3\cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2t - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow t = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2}\).
Vì \(0 \le t \le 10\) nên \(0 \le \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2} \le 10\)\( \Leftrightarrow - \frac{5}{6} \le k \le \frac{{20}}{\pi } - \frac{5}{6}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\).
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây vật đi qua vị trí cân bằng 6 lần.
d) Vật xa vị trí cân bằng nhất khi \(\cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = \pm 1\)\( \Leftrightarrow 2t - \frac{\pi }{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\).
Thời điểm đầu tiên để vật cách xa vị trí cân bằng nhất ứng với k = 0. Khi đó \({t_0} = \frac{\pi }{6} \in \left( {0;1} \right)\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho phương trình lượng giác \(2\cos x = \sqrt 3 \). Khi đó:
a) Phương trình có nghiệm \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
b) Trong đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) phương trình có 4 nghiệm.
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) bằng \(\frac{{25\pi }}{6}\).
d) Trong đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{{13\pi }}{6}\).
a) Ta có \(2\cos x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
b) Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}\). Suy ra phương trình có 3 nghiệm.
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) là
\(\frac{\pi }{6} + \frac{{11\pi }}{6} + \frac{{13\pi }}{6} = \frac{{25\pi }}{6}\).
d) Trong đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{{13\pi }}{6}\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan 3x\).
a) Giá trị của hàm số tại \(x = \frac{\pi }{3}\) bằng 0.
b) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
c) Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
d) Tổng các nghiệm của phương trình \(\tan 3x = 1\) trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) bằng \(\frac{{5\pi }}{4}\).
a) \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \left( {3.\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \pi = 0\).
b) Điều kiện: \(\cos 3x \ne 0\)\( \Leftrightarrow 3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\).
Do tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
c) Có \(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - 3x} \right) = - \tan 3x = - f\left( x \right)\). Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
d) Ta có \(\tan 3x = 1\)\( \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\).
Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 < \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3} < \pi \)\( \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{{11}}{4}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).
Khi đó ta có các nghiệm \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{{12}};\frac{{5\pi }}{{12}};\frac{{3\pi }}{4}} \right\}\).
Do đó tổng các nghiệm là \(\frac{\pi }{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{5\pi }}{4}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Biết tổng các nghiệm phương trình \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 1\) trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng \(\frac{{ - \pi }}{m}\). Giá trị của m bằng bao nhiêu?
Điều kiện: \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne 0\)\( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{{12}} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne \frac{{7\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
Có \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{{12}} = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\) (thỏa mãn điều kiện).
Vì \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \( - \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{2}\)\( \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 0.
Với k = 0 thì \(x = \frac{\pi }{6}\). Suy ra \(m = - 6\).
Trả lời: −6.
Tại một cảng biển, mực nước biển được cho bởi công thức \(h = 15 + 3\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) với chiều cao của mực nước h (m) theo thời gian t (giờ) \(\left( {0 \le t < 24} \right)\). Vào lúc mấy giờ chiều cao của mực nước biển là 12 m.
Có \(h = 12\)\( \Leftrightarrow 15 + 3\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = 12\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = - 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pi + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = 12 + k24\).
Vì \(0 \le t < 24\) nên k = 0.
Với k = 0 thì t = 12.
Vậy vào lúc 12 giờ thì chiều cao mực nước biển là 12 m.
Trả lời: 12.
Một vật M được gắn vào đầu lò xo và dao động quanh vị trí cân bằng I, biết rằng O là hình chiếu vuông góc của I trên trục Ox, tọa độ điểm M trên Ox tại thời điểm t (giây) là đại lượng s (đơn vị: cm) được tính bởi công thức \(s = 8,6\sin \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right)\). Có bao nhiêu thời điểm trong khoảng 2 giây đầu tiên thì s = 4,3 cm?
Có \(s = 4,3 \Leftrightarrow 8,6\sin \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = 4,3\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 8t + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{4}\).
Vì \(t \in \left[ {0;2} \right]\) nên \(0 \le - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{4} \le 2\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le k \le \frac{8}{\pi } + \frac{1}{6}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên k = 1; k = 2.
Vậy có 2 thời điểm.
Trả lời: 2.
