Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Chương 1. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
66 câu hỏi
Góc có số đo \[108^\circ \] đổi ra radian là
\[\frac{{3\pi }}{5}.\]
\[\frac{\pi }{{10}}.\]
\[\frac{{3\pi }}{2}.\]
\[\frac{\pi }{4}.\]
Lời giải
Chọn A.
Cách 1. Áp dụng công thức đổi độ ra rad \[\alpha = \frac{{n.\pi }}{{180}}\].
Cách 2.
\[\frac{{3\pi }}{5}\] tương ứng \[108^\circ \].
\[\frac{\pi }{{10}}\] tương ứng \[18^\circ \].
\[\frac{{3\pi }}{2}\] tương ứng \[270^\circ \].
\[\frac{\pi }{4}\] tương ứng \[45^\circ \].
Góc có số đo \[\frac{{2\pi }}{5}\] đổi sang độ là
\[240^\circ \].
\[135^\circ \].
\[72^\circ \].
\[270^\circ \].
Lời giải
Chọn C.
Áp dụng công thức đổi rad sang độ \[n = \frac{{\alpha .180}}{\pi }\].
Biết một số đo của góc \[\left( {Ox,Oy} \right) = \frac{{3\pi }}{2} + 2001\pi \]. Giá trị tổng quát của góc \[\left( {Ox,Oy} \right)\] là
\[\left( {Ox,Oy} \right) = \frac{{3\pi }}{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left( {Ox,Oy} \right) = \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left( {Ox,Oy} \right) = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left( {Ox,Oy} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Lời giải
Chọn A.
Cho \(\left( {Ox,Oy} \right) = 22^\circ 30' + k360^\circ \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Với \(k\) bằng bao nhiêu thì \(\left( {Ox,Oy} \right) = 1822^\circ 30'\)?
\(k \in \emptyset \).
\(k = 3\).
\(k = - 5\).
\(k = 5\).
Lời giải
Chọn D.
\(\left( {Ox,Oy} \right) = 1822^\circ 30' = 22^\circ 30' + 5.360^\circ \)\( \Rightarrow k = 5\).
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
\[\sin \left( {180^\circ -a} \right) = -\cos a\].
\[\sin \left( {180^\circ -a} \right) = - \sin a\].
\[\sin \left( {180^\circ -a} \right) = \sin a\].
\[\sin \left( {180^\circ -a} \right) = \cos a\].
Lời giải
Chọn C.Chọn hệ thức sai trong các hệ thức sau.
\(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) = \cot x\).
\(\sin \left( {3\pi - x} \right) = \sin x\).
\(\cos \left( {3\pi - x} \right) = \cos x\).
\(\cos \left( { - x} \right) = \cos x\).
Lời giải
Chọn C.
\(\cos \left( {3\pi - x} \right) = \cos \left( {\pi - x} \right) = - \cos x\).
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Giá trị của \[{\rm{cos}}\alpha \] là
\(\frac{4}{5}\).
\( - \frac{4}{5}\).
\( \pm \frac{4}{5}\).
\(\frac{{16}}{{25}}\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]\[ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha {\rm{ = 1}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\] \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{4}{5}\\\cos \alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.\) .
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)\( \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = - \frac{4}{5}\).
Cho \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Tính \(\sin \alpha \).
\(\sin \alpha = \frac{1}{5}\).
\(\sin \alpha = - \frac{1}{5}\).
\(\sin \alpha = \frac{3}{5}\).
\(\sin \alpha = \pm \frac{3}{5}\).
Lời giải
Chọn C.
Ta có: \({\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\)\( \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{3}{5}\). Do \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin \alpha > 0\).
Suy ra, \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\).
Cho \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của \(A = \frac{{3\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }}\) là
\(5\).
\(\frac{5}{3}\).
\(7\).
\(\frac{7}{3}\).
Lời giải
Chọn C.
\(A = \frac{{3\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }} = \frac{{3\tan \alpha + 1}}{{\tan \alpha - 1}} = 7\).
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \({\rm{90}}^\circ < \alpha < 180^\circ \). Giá trị của biểu thức \(E = \frac{{\cot \alpha - 2\tan \alpha }}{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}\) là
\(\frac{2}{{57}}\).
\( - \frac{2}{{57}}\).
\(\frac{4}{{57}}\) .
\( - \frac{4}{{57}}\).
Lời giải
Chọn B.
\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]\[ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha {\rm{ = 1}} - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\] \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\alpha = \frac{4}{5}\\{\rm{cos}}\alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.\)
Vì \({\rm{90}}^\circ < \alpha < 180^\circ \)\( \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = - \frac{4}{5}\). Vậy \(\tan \alpha = - \frac{3}{4}\) và \(\cot \alpha = - \frac{4}{3}\).
\(E = \frac{{\cot \alpha - 2\tan \alpha }}{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }} = \frac{{ - \frac{4}{3} - 2.\left( { - \frac{3}{4}} \right)}}{{ - \frac{3}{4} + 3.\left( { - \frac{4}{3}} \right)}} = - \frac{2}{{57}}\).
Tính giá trị của biểu thức \[A = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\].
\[A = -1\].
\[A = 1\].
\[A = 4\].
\[A = -4\].
Lời giải
Chọn B.
Ta có \[A = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3} + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\]
\[\begin{array}{l} = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1.\end{array}\]
Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài \(10,57{\rm{cm}}\) và kim phút dài \(13,34{\rm{cm}}\). Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là
\(2,78\,{\rm{cm}}\).
\(2,77\,{\rm{cm}}\).
\(2,76\,{\rm{cm}}\).
\(2,8\,{\rm{cm}}\).
Lời giải
Chọn B.
6 giờ thì kim giờ vạch lên 1 cung có số đo \(\pi \) nên 30 phút kim giờ vạch lên 1 cung có số đo là \(\frac{1}{{12}}\pi \), suy ra độ dài cung tròn mà nó vạch lên là \(l = R\alpha = 10,57 \times \frac{{3,14}}{{12}} \approx 2,77\).
Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng. Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng \(6,5cm\) (\(\pi = 3,1416\)).
\(22043\,{\rm{cm}}\).
\(22055\,{\rm{cm}}\).
\(22042\,{\rm{cm}}\).
\(22054\,{\rm{cm}}\).
Lời giải
Chọn D.
3 phút xe đi được \(\frac{{3 \times 60}}{{20}} \times 60 = 540\) vòng.
Độ dài 1 vòng bằng chu vi bánh xe là \(2\pi R = 2 \times 3,1416 \times 6,5 = 40,8408\).
Vậy quãng đường xe đi được là \(540 \times 40,8408 = 22054,032\,{\rm{cm}}\).
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
\(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}.\)
\(\cos a-\cos b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}.\)
\(\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}.\)
\(\sin a-\sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}.\)
Lời giải
Chọn D.
Ta có \(\cos a-\cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}.\)
Rút gọn biểu thức \[\cos \left( {120^\circ -{\rm{ }}x} \right) + \cos \left( {120^\circ + {\rm{ }}x} \right)-\cos x\] ta được kết quả là
\(0.\)
\[-\cos x.\]
\[-2\cos x.\]
\[\sin x-\cos x.\]
Lời giải
Chọn C.
\[\cos \left( {120^\circ -{\rm{ }}x} \right) + \cos \left( {120^\circ + {\rm{ }}x} \right)-\cos x\]\[ = - \frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \cos x\]\[ = - 2\cos x\].
Rút gọn biểu thức \[\cos 54^\circ .\cos 4^\circ -\cos 36^\circ .\cos 86^\circ \], ta được
\[\cos 50^\circ .\]
\[\cos 58^\circ .\]
\[\sin 50^\circ .\]
\[\sin 58^\circ .\]
Lời giải
Chọn D.
Ta có: \[\cos 54^\circ .\cos 4^\circ -\cos 36^\circ .\cos 86^\circ = \cos 54^\circ .\cos 4^\circ -sin54^\circ .sin4^\circ = \cos 58^\circ .\]
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
\[\cot 2x = \frac{{{{\cot }^2}x + 1}}{{2\cot x}}\].
\[\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}\].
\[\cos 2x = 1 - 2{\cos ^2}x\].
\[\sin 2x = \sin x\cos x\].
Lời giải
Chọn B.
Công thức đúng là \[\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}\].
Cho \[\cot a = 15\], giá trị \[\sin 2a\] có thể nhận giá trị nào dưới đây?
\[\frac{{11}}{{113}}.\]
\[\frac{{13}}{{113}}.\]
\[\frac{{15}}{{113}}.\]
\[\frac{{17}}{{113}}.\]
Lời giải
Chọn C.
\[\cot a = 15\]\[ \Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} = 226\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}a = \frac{1}{{226}}\\{\cos ^2}a = \frac{{225}}{{226}}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \sin 2a = \pm \frac{{15}}{{113}}\].
Cho \[A\], \[B\] , \[C\] là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức sai.
\[\sin \frac{{A + B + 3C}}{2} = \cos C.\]
\[\cos \left( {A + B--C} \right) = -\cos 2C.\]
\[\tan \frac{{A + B - 2C}}{2} = \cot \frac{{3C}}{2}.\]
\[\cot \frac{{A + B + 2C}}{2} = \tan \frac{C}{2}.\]
Lời giải
Chọn D.
Ta có
\(A + B + C = \pi \)\( \Rightarrow \frac{{A + B + 3C}}{2} = \frac{\pi }{2} + C\)\( \Rightarrow \sin \frac{{A + B + 3C}}{2} = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + C} \right) = \cos C.\) A đúng.
\(A + B - C = \pi - 2C\)\[ \Rightarrow \cos \left( {A + B--C} \right) = \cos \left( {\pi - 2C} \right) = - \cos 2C.\] B đúng.
\(\frac{{A + B - 2C}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{{3C}}{2}\)\[ \Rightarrow \tan \frac{{A + B - 2C}}{2} = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{3C}}{2}} \right) = cot\frac{{3C}}{2}.\] C đúng.
\(\frac{{A + B + 2C}}{2} = \frac{\pi }{2} + \frac{C}{2}\)\[ \Rightarrow \cot \frac{{A + B + 2C}}{2} = \cot \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{C}{2}} \right) = - tan\frac{C}{2}.\] D sai.
Cho \[\cos a = \frac{3}{4}\]; \[\sin a > 0\]; \[\sin b = \frac{3}{5}\]; \[\cos b < 0\]. Giá trị của \[\cos \left( {a + b} \right)\] bằng
\[\frac{3}{5}\left( {1 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right).\]
\[ - \frac{3}{5}\left( {1 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right).\]
\[\frac{3}{5}\left( {1 - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right).\]
\[ - \frac{3}{5}\left( {1 - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right).\]
Lời giải
Chọn A.
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos a = \frac{3}{4}\\\sin a > 0\end{array} \right. \Rightarrow \sin a = \sqrt {1 - {{\cos }^2}a} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\sin b = \frac{3}{5}\\\cos b < 0\end{array} \right. \Rightarrow \cos b = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}b} = - \frac{4}{5}.\)
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b = \frac{3}{4}.\left( { - \frac{4}{5}} \right) - \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\frac{3}{5} = - \frac{3}{5}\left( {1 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right).\)
Cho hai góc nhọn \(a\) và \(b\). Biết \[\cos a = \frac{1}{3}\], \[\cos b = \frac{1}{4}\]. Giá trị \[\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right)\] bằng
\[ - \frac{{113}}{{144}}.\]
\[ - \frac{{115}}{{144}}.\]
\[ - \frac{{117}}{{144}}.\]
\[ - \frac{{119}}{{144}}.\]
Lời giải
Chọn D.
\[\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right) = {\cos ^2}a + {\cos ^2}b - 1 = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} - 1 = - \frac{{119}}{{144}}.\]
Biến đổi biểu thức \(\sin a + 1\) thành tích.
\(\sin a + 1 = 2\sin \left( {\frac{a}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {\frac{a}{2} - \frac{\pi }{4}} \right).\)
\(\sin a + 1 = 2\cos \left( {\frac{a}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {\frac{a}{2} - \frac{\pi }{4}} \right).\)
\(\sin a + 1 = 2\sin \left( {a + \frac{\pi }{2}} \right)\cos \left( {a - \frac{\pi }{2}} \right).\)
\(\sin a + 1 = 2\cos \left( {a + \frac{\pi }{2}} \right)sin\left( {a - \frac{\pi }{2}} \right).\)
Lời giải
Chọn A.
Ta có \(\sin a + 1\)\( = 2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2} + {\sin ^2}\frac{a}{2} + {\cos ^2}\frac{a}{2}\)\( = {\left( {\sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2}} \right)^2}\)\( = 2{\sin ^2}\left( {\frac{a}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\)
\( = 2\sin \left( {\frac{a}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{a}{2}} \right)\)\( = 2\sin \left( {\frac{a}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {\frac{a}{2} - \frac{\pi }{4}} \right).\)
Cho \(A\), \(B\), \(C\) là ba góc của một tam giác. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau
\[{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = 1 + \cos A.\cos B.\cos C.\]
\[{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = 1-\cos A.\cos B.\cos C.\]
\[{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = 1 + 2\cos A.\cos B.\cos C.\]
\[{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = 1-2\cos A.\cos B.\cos C.\]
Lời giải
Chọn C.
Ta có
\[{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C\]\( = \frac{{1 + \cos 2A}}{2} + \frac{{1 + \cos 2B}}{2} + {\cos ^2}C\)
\( = 1 + \cos \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right) + {\cos ^2}C\)\( = 1 - \cos C\cos \left( {A - B} \right) - \cos C\cos \left( {A + B} \right)\)
\( = 1 - \cos C\left[ {\cos \left( {A - B} \right) + \cos \left( {A + B} \right)} \right]\)\( = 1 + 2\cos A\cos B\cos C.\)
Cho các hàm số: \(y = \sin x\), \(y = \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\). Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(T = 2\pi \)
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Lời giải
Chọn B.
Hàm số \(y = \sin x\); \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
\(y = \cot 4x\).
\(y = \tan 6x\).
\(y = \sin 2x\).
\(y = \cos x\).
Lời giải
Chọn D.
Xét hàm \(y = \cos x\).
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Khi đó \[\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\].
Ta có \(f\left( { - x} \right) = \cos ( - x) = \cos x = f\left( x \right)\).
Vậy \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên mỗi khoảng nào dưới đây
\(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải
Chọn C.Khẳng định nào sau đây sai?
\(y = \tan x\) nghịch biến trong \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(y = \cos x\) đồng biến trong \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;0} \right)\).
\(y = \sin x\) đồng biến trong \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;0} \right)\).
\(y = \cot x\) nghịch biến trong \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Lời giải
Chọn A.
Trên khoảng \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\) thì hàm số \(y = \tan x\) đồng biến
Lời giải
Chọn B.Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
\(y = \sin \left| {2016x} \right| + \cos 2017x\).
\(y = 2016\cos x + 2017\sin x\).
\(y = \cot 2015x - 2016\sin x\).
\(y = \tan 2016x + \cot 2017x\).
Lời giải
Chọn A.
Xét hàm số \[y = f\left( x \right) = \sin \left| {2016x} \right| + \cos 2017x\]. Tập xác định \[D = \mathbb{R}\].
Với mọi \[x \in D\], ta có \[ - x \in D\].
Ta có \[f\left( { - x} \right) = \sin \left| { - 2016x} \right| + \cos \left( { - 2017x} \right) = \sin \left| {2016x} \right| + \cos 2017x = f\left( x \right)\].
Xác định tất cả các giá trị của tham số \[m\] để hàm số \(y = f\left( x \right) = 3m\,\cos 4x + \sin 2x\) là hàm lẻ.
\(m > 0\).
\(m < - 1\).
\(m = 0\).
\(m = 2\).
Lời giải
Chọn C.
TXĐ \(D = \mathbb{R}.\) Suy ra \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.\)
Ta có \(f\left( { - x} \right) = 3m\,\cos {\rm{4}}\left( { - x} \right) + \sin 2\left( { - x} \right) = 3m\,\cos {\rm{4}}x - \sin 2x.\)
Để hàm số đã cho là hàm lẻ thì
\[\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right),\,\forall x \in D \Leftrightarrow 3m\,\cos {\rm{4}}x - \sin 2x = - 3m\,\cos {\rm{4}}x - \sin 2x,\,\forall x \in D\\ \Leftrightarrow 6m\sin 4x = 0,\,\forall x \in D \Leftrightarrow m = 0.\end{array}\]
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 3\sin 2x - 5\] lần lượt là:
\(3\,\); \( - 5\).
\(2\); \( - 5\).
\(8\); \(2\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có \[ - 1 \le \sin 2x \le 1\]\[ \Rightarrow - 8 \le 3\sin 2x - 5 \le - 2\]\[ \Rightarrow - 8 \le y \le - 2\].
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là \[ - 2;\, - 8\].
Tìm tập xác định \[D\] của hàm số \[y = \frac{{\tan x - 1}}{{\sin x}} + \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[D = \mathbb{R}\].
Lời giải
Chọn B.
Hàm số \[y = \frac{{\tan x - 1}}{{\sin x}} + \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] xác định khi:
\[\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\], \[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Tìm \(m\) để hàm số \(y = \sqrt {m - 2\sin x} \) xác định trên \(\mathbb{R}\).
\(m \ge 2\).
\(m \le - 2\).
\(m \ge 0\).
\(m \in \mathbb{R}\).
Lời giải
Chọn A.
ĐKXĐ: \(m - 2\sin x \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \ge 2\sin x,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{x \in \mathbb{R}} \left( {2\sin x} \right) = 2\).
Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số \(y = \sin 3x - \cos 3x + m\) có giá trị lớn nhất bằng \(\sqrt 2 \).
\(m = \sqrt 2 \).
\(m = 1\).
\(m = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
\(m = 0\).
Lời giải
Chọn D.
Ta có \(y = \sin 3x - \cos 3x + m = \sqrt 2 \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) + m \le \sqrt 2 + m\). Để hàm số có giá trị lớn nhất bằng \(\sqrt 2 \) thì \(\sqrt 2 + m = \sqrt 2 \Leftrightarrow m = 0\).
Số giờ có ánh sáng mặt trời của Thủ đô Hà Nội năm 2018 được cho bởi công thức \(y = 3\sin \left( {\frac{\pi }{{180}}\left( {x + 60} \right)} \right) + 13\) với \[1 \le x \le 365\] là số ngày trong năm. Ngày nào sau đây của năm 2018 thì số giờ có ánh sáng mặt trời của Hà Nội lớn nhất.
\[30/01\].
\[29/01\].
\[31/01\].
\[30/03\].
Lời giải
Chọn A.
Để số giờ có ánh sáng mặt trời lớn nhất thì hàm số \(y = 3\sin \left( {\frac{\pi }{{180}}\left( {x + 60} \right)} \right) + 13\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó \(\sin \left( {\frac{\pi }{{180}}\left( {x + 60} \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow x = 30 + k360,k \in \mathbb{Z}\).
Vì \[1 \le x \le 365\] nên ta có \(1 \le 30 + k360 \le 365 \Leftrightarrow - 0,08 \le k \le 0,93 \Rightarrow k = 0\).
Do đó \(x = 30\) (tháng đầu tiên của năm).
Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\left( m \right)\) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\left( h \right)\) được cho bởi công thức \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12\). Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
\(t = 22\left( h \right)\).
\(t = 15\left( h \right)\).
\(t = 14\left( h \right)\).
\(t = 10\left( h \right)\).
Lời giải
Chọn D.
Ta có: \( - 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{6}t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow 9 \le h \le 15\). Do đó mực nước cao nhất của kênh là \(15m\) đạt được khi \(\cos \left( {\frac{\pi }{6}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{6}t + \frac{\pi }{3} = k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = - 2 + 12k\).
Vì \(t > 0\)\( \Leftrightarrow - 2 + 12k > 0\)\( \Leftrightarrow k > \frac{1}{6}\).
Chọn số \(k\) nguyên dương nhỏ nhất thoả \(k > \frac{1}{6}\) là \(k = 1 \Rightarrow t = 10\).
Phương trình \(\cos x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có tập nghiệm là
\(\left\{ {x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\left\{ {x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\left\{ {x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(\left\{ {x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Lời giải
Chọn C.
\(\cos x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Phương trình lượng giác \(\sqrt 3 \,\tan \,x + 3 = 0\) có nghiệm là
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Lời giải
Chọn D.
\(\sqrt 3 \,\tan \,x + 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Phương trình lượng giác \(3\cot \,x - \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Vô nghiệm.
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Lời giải
Chọn D.
Ta có: \(3\cot x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).
Nghiệm của phương trình \[{\cos ^2}\frac{x}{2} = 1\] là
\(x = \pi + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải
Chọn B.
\[{\cos ^2}\frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos x}}{2} = 1 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
\(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải
Chọn C.
Ta có \(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình \[\cos x - m = 0\] vô nghiệm.
\(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
\(m \in ( - \infty ; - 1] \cup [1; + \infty )\).
\(m \in \left( {1; + \infty } \right)\).
\(m \in ( - \infty ; - 1)\).
Lời giải
Chọn A.
Do \[\left| {\cos x} \right| \le 1\], \[\forall x \in \mathbb{R}\] nên phương trình: \[\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m\]
có nghiệm khi \[\left| m \right| \le 1\] và vô nghiệm khi \[\left| m \right| > 1\].
Phương trình \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)?
\(3\).
\(4\).
\(1\).
\(2\).
Lời giải
Chọn D.
Ta có: \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\3x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \[x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\] nên \[x = \frac{\pi }{3}\], \[x = \frac{{4\pi }}{9}\].
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) của phương trình \(4{\sin ^2}2x - 1 = 0\) bằng
\(\pi .\)
\(\frac{\pi }{3}.\)
\[0\].
\(\frac{\pi }{6}.\)
Lời giải
Chọn C.
Ta có: \(4{\sin ^2}2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2\left( {1 - \cos 4x} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 4x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Do \(x = \pm \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2} \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{\pi }{{12}}\\{x_2} = - \frac{\pi }{{12}}\\{x_3} = - \frac{{5\pi }}{{12}}\\{x_4} = \frac{{5\pi }}{{12}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 0\).
Trong các nghiệm dương bé nhất của các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm dương nhỏ nhất?
\(\tan 2x = 1\).
\(\tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \).
\(\cot x = 0\).
\(\cot x = - \sqrt 3 \).
Lời giải
Chọn A.
A. \[\tan 2x = 1 \Leftrightarrow \tan 2x = \tan \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\]
Từ đó suy ra nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{\pi }{8}\).
B. \(\tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \)
Từ đó suy ra nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{{7\pi }}{{12}}\).
C. \(\cot x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \)
Từ đó suy ra nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{\pi }{2}\).
D. \(\cot x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \)
Từ đó suy ra nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{{5\pi }}{6}\).
Tính tổng \(S\) các nghiệm trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) của phương trình
\(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\).
\(S = \pi \).
\[S = 2\pi \].
\(S = \frac{\pi }{2}\).
\(S = \frac{{5\pi }}{6}\).
Lời giải
Chọn A.
\(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 4{\sin ^2}x - 1\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\\sin 2x = \sin x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\sin x = 0\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\)
Vì \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ { - \pi ; - \frac{\pi }{3};0;\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6};\pi } \right\} \Leftrightarrow S = \pi \).
Trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\), phương trình \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\) có nghiệm dạng \(\frac{{a\pi }}{2},\,a \in \mathbb{Z}\). Tính tổng \(S\) các giá trị \(a\) tìm được.
\(S = 4\).
\[S = 1\].
\(S = 2\).
\(S = 6\).
Lời giải
Chọn A.
\(\begin{array}{l}\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
Vì \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2};\frac{{2\pi }}{3};\frac{{4\pi }}{3}} \right\} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = 4\).
Gọi \({x_1};\,{x_2}\) lần lượt là các nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) của phương trình \(\tan x + \cot x = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\). Tính tổng \(S = 2{x_1} + {x_2}\).
\(S = - \frac{\pi }{2}\).
\(S = \frac{\pi }{2}\).
\(S = \pi \).
\(S = 2\pi \).
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\).
\(\begin{array}{l}\tan x + \cot x = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 1 = \sin 2x\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = \sin 2x\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin 2x - \cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)
Vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{{3\pi }}{8}; - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{8};\frac{\pi }{4}} \right\} \Rightarrow {x_1} = - \frac{{3\pi }}{8},\,\,{x_2} = \frac{\pi }{4} \Rightarrow S = - \frac{\pi }{2}\).
Tìm số nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) của phương trình \({\sin ^3}x + \sin x\cos x = 1 - {\cos ^3}x\).
\(2\).
\(4\).
\(3\).
\(1\).
Lời giải
Chọn A.
\(\begin{array}{l}{\sin ^3}x + \sin x\cos x = 1 - {\cos ^3}x \Leftrightarrow {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \sin x\cos x\\ & & & & \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = 1 - \sin x\cos x\\ & & & & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \sin x\cos x = 0\\\sin x + \cos x = 1\end{array} \right.\\ & & & & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 2\,\,\left( {{\rm{VN}}} \right)\\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
Vì \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {0;\frac{\pi }{2}} \right\}\).
Cho biết \(\sin \alpha = \frac{3}{5},\cos \alpha = - \frac{4}{5}\) và các biểu thức:
\(A = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin (\pi + \alpha )\); \(B = \cos (\pi - \alpha ) + \cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\).
\(A = \cos \alpha - \sin \alpha \).
\(B = \cos \alpha + \tan \alpha \).
\(A + B = \frac{{27}}{{20}}\).
\(A - B = - \frac{{29}}{{20}}\).
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
Ta có: \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin (\pi + \alpha ) = \cos \alpha - \sin \alpha = - \frac{4}{5} - \frac{3}{5} = - \frac{7}{5}\).
\(B = \cos (\pi - \alpha ) + \cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cos \alpha + \tan \alpha \)\( = - \cos \alpha + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{4}{5} + \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} = \frac{1}{{20}}{\rm{.}}\)
Khi đó, \(A + B = - \frac{{27}}{{20}}\) và \(A - B = - \frac{{29}}{{20}}\).
Tính được các giá trị lượng giác còn lại của góc \(x\), biết: \(\sin x = - \frac{3}{5}\) với \(\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}\).
\(\cos x > 0\).
\(\cos x = - \frac{4}{5}\).
\(\tan x = \frac{3}{4}\).
\(\cot x = \frac{4}{3}\).
Lời giải
a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng
Do \(\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos x < 0\).
Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)
\( \Rightarrow \cos x = - \frac{4}{5};\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{3}{4};\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{4}{3}\).
Cho biết \(\tan x = \sqrt 2 \) và \(0 < x < 90^\circ \).
\[\cos x > 0\].
\(\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\sin x = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\cos \left( {x - 30^\circ } \right) = \frac{{3 - \sqrt 6 }}{6}\).
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai
Vì \(0 < x < 90^\circ \) nên \(\cos x > 0\).
Ta có: \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x = 1 + 2 = 3 \Rightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Măt khác: \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \Rightarrow \sin x = \tan x\cos x = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\cos \left( {x - 30^\circ } \right) = \cos x\cos 30^\circ + \sin x\sin 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 6 }}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}\).
Biết \(0 < a,b < \frac{\pi }{2},a + b = \frac{\pi }{4}\) và \(\tan a\tan b = 3 - 2\sqrt 2 \).
\(\tan a + \tan b = - 2 + 2\sqrt 2 {\rm{. }}\)
\(\tan a = - 1 + \sqrt 2 \).
\(\tan b = - 1 - \sqrt 2 \).
\(\tan a - \tan b = - 2 - 2\sqrt 2 {\rm{. }}\)
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai
\(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} \Rightarrow \tan a + \tan b = \tan (a + b)(1 - \tan a\tan b)\)
Mà \(a + b = \frac{\pi }{4}\) và \(\tan a\tan b = 3 - 2\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow \tan a + \tan b = \tan \frac{\pi }{4}[1 - (3 - 2\sqrt 2 )] = - 2 + 2\sqrt 2 {\rm{. }}\)
Đặt \(S = \tan a + \tan b;P = \tan a\tan b\).
Khi đó \(\tan a,\tan b\) là nghiệm của phương trình
\({X^2} - SX + P = 0 \Leftrightarrow {X^2} - (2\sqrt 2 - 2)X + 3 - 2\sqrt 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow X = - 1 + \sqrt 2 {\rm{. }}\)Suy ra \(\tan a = \tan b = - 1 + \sqrt 2 \).
Cho \(\sin x = \frac{1}{5},\frac{\pi }{2} < x < \pi \).
\(\sin 2x = \frac{{4\sqrt 6 }}{5}.\)
\(\cos 2x = \frac{{23}}{{25}}\).
\(\tan 2x = \frac{{20\sqrt 6 }}{3}\).
\(\cot 2x = \frac{{23\sqrt 6 }}{{120}}\).
Lời giải
a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai
\(\begin{array}{l}\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \frac{{2\pi }}{2} < 2x < 2\pi \Rightarrow \pi < 2x < 2\pi \Rightarrow \sin 2x < 0.\\\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \cos x < 0\\\sin x = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos x = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} = - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}.\\\sin 2x = 2\sin x \cdot \cos x = 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot \left( { - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}} \right) = - \frac{{4\sqrt 6 }}{5}.\\\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \frac{{2\pi }}{2} < 2x < 2\pi \Rightarrow \pi < 2x < 2\pi \Rightarrow \cos 2x > 0.\\\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 1 - 2 \cdot \frac{1}{{25}} = \frac{{23}}{{25}}.\\\tan 2x = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{ - \frac{{4\sqrt 6 }}{5}}}{{\frac{{23}}{{25}}}} = - \frac{{20\sqrt 6 }}{3}.\cot 2x = \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \frac{{\frac{{23}}{{25}}}}{{ - \frac{{4\sqrt 6 }}{5}}} = - \frac{{23\sqrt 6 }}{{120}}.\end{array}\)
Cho hàm số \(f(x) = 2\cos x + 1\) và \(g(x) = \sin x + \tan x\).
Tập xác định hàm số \(f\left( x \right)\): \(D = \mathbb{R}\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm tuần hoàn.
Tập xác định hàm số \(g\left( x \right)\): \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Hàm số \(g\left( x \right)\) là hàm không tuần hoàn.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
Tập xác định hàm số \(f(x) = 2\cos x + 1\): \(D = \mathbb{R}\).
Với mọi \(x \in D\) thì \(x \pm 2\pi \in D\) và \(f(x + 2\pi ) = 2\cos (x + 2\pi ) + 1 = 2\cos x + 1 = f(x)\).
Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.
Tập xác định hàm số \(g(x) = \sin x + \tan x\): \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Với mọi \(x \in D\) thì \(x \pm 2\pi \in D\) và \(f(x + 2\pi ) = \sin (x + 2\pi ) + \tan (x + 2\pi ) = \sin x + \tan x = f(x)\).
Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.
Cho các hàm số sau: \(f(x) = 3{\sin ^3}x\); \(g(x) = - 5\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Tập xác định hàm số \(f\left( x \right)\) là: \(D = \mathbb{R}\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) đã cho là hàm số chẵn.
Tập xác định hàm số \(g\left( x \right)\) là: \(D = \mathbb{R}\).
Hàm số \(g\left( x \right)\) đã cho là hàm số lẻ.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
Xét \(y = f(x) = 3{\sin ^3}x\)
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) suy ra \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\).
Ta có: \(f( - x) = 3{\sin ^3}( - x) = - 3{\sin ^3}x = - f(x)\).
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Xét \(y = f(x) = - 5\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) suy ra \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) = - 5\cos \left( { - \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 5\sqrt 3 }}{2}}\\{f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)}\\{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne - f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\).
Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
Cho hàm số \(y = 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\).
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2.
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4.
Tập giá trị của hàm số là \(T = [2;4]\).
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng
Hàm số \(y = 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
\( - 1 \le \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow 1 \ge - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow 4 \ge 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge 2 \Leftrightarrow 4 \ge y \ge 2\)
Vậy giá trị của hàm số là \(T = [2;4]\).
Chiều cao so với mực nước biển trung bình tại thời điểm \(t\) (giây) của mỗi cơn sóng được cho bởi hàm số \(h(t) = 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right)\), trong đó \(h(t)\) được tính bằng centimét.
(Tất cả kết quả trong bài được làm tròn đến hàng phần mười).
Chiều cao của sóng tại các thời điểm 5 giây bằng \(69,3\,\,{\rm{(cm)}}\).
Chiều cao của sóng tại các thời điểm 20 giây bằng \(75\,\,{\rm{(cm)}}\).
Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc \(t = 0\) giây), thời điểm để sóng đạt chiều cao lớn nhất 6 giây.
Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc \(t = 0\) giây), thời điểm để sóng đạt chiều cao lớn nhất 18 giây.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
Khi \(t = 5\), ta có: \(h(5) = 75\sin \left( {\frac{{\pi .5}}{8}} \right) \approx 69,3\,\,{\rm{(cm)}}\).
Khi \(t = 20\), ta có: \(h(20) = 75\sin \left( {\frac{{\pi \cdot 20}}{8}} \right) = 75\,\,{\rm{(cm)}}\).
Ta có: \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 1 \Rightarrow 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 75\) hay \(h(t) \le 75\).
Giá trị lớn nhất của \(h(t)\) là 75, khi đó \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) = 1 \Rightarrow \frac{{\pi t}}{8} = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\) \( \Rightarrow t = 4 + 16k(k \in \mathbb{Z})\). Vì \(t \in [0;30] \Rightarrow t \in \{ 4;20\} \) (ứng với \(k\) bằng 0 và 1).
Vậy tại các thời điểm 4 giây hoặc 20 giây (trong 30 giây đầu tiên) thì cơn sóng đạt chiều cao cực đại (là \(75\;\,{\rm{cm}}\)).
Cho phương trình lượng giác \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Phương trình có nghiệm \[x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\,{\rm{v\`a }}\,\,x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\].
Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{{2\pi }}{9}\).
Trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng \(\frac{{7\pi }}{9}\).
Lời giải
a) Sai
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
Ta có: \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{3x = \pi + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\).
Vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(x = \frac{\pi }{3},x = \frac{{4\pi }}{9}\).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Cho phương trình lượng giác \(\sqrt 2 - 2\sin \left( {45^\circ - 2x} \right) = 0\).
Phương trình tương đương với \(\sin \left( {45^\circ - 2x} \right) = \sin 45^\circ \).
Đồ thị hàm số \(y = \sqrt 2 - 2\sin \left( {45^\circ - 2x} \right)\) cắt trục hoành tại điểm gốc tọa độ.
Phương trình có nghiệm là: \(x = - k180^\circ ;x = - 45^\circ - k180^\circ \,\,(k \in \mathbb{Z})\).
Trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) phương trình đã cho có một nghiệm.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Ta có: \(\sqrt 2 - 2\sin \left( {45^\circ - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {45^\circ - 2x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {45^\circ - 2x} \right) = \sin 45^\circ \)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{45^\circ - 2x = 45^\circ + k360^\circ }\\{45^\circ - 2x = 180^\circ - 45^\circ + k360^\circ }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - k180^\circ }\\{x = - 45^\circ - k180^\circ }\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = - k180^\circ ;x = - 45^\circ - k180^\circ \,(k \in \mathbb{Z})\).
Trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) phương trình đã cho có hai nghiệm.
Một bánh xe có đường kính kể cả lốp xe là \(55{\rm{\;cm}}\). Nếu xe chạy với tốc độ \(50\;{\rm{km/h}}\) thì trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị)?
Lời giải
Trả lời: \(8\).
Tốc độ xe là: \(50{\rm{\;km/h}} = \frac{{50.100000}}{{3600}}{\rm{\;cm/s}} = \frac{{12500}}{9}\;{\rm{cm/s}}\).
Mỗi vòng bánh \(x\) e có chiều dài: \(2\pi R = 2\pi \cdot \frac{{55}}{2} = 55\pi \,\,{\rm{(cm)}}\).
Vậy mỗi giây thì bánh xe lăn được số vòng là \(\frac{{12500}}{9}:(55\pi ) \approx 8\) (vòng).
Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là bao nhiêu độ?
Lời giải
Trả lời: \(50\).
Ta có 01 bánh răng tương ứng với \(\frac{{360^\circ }}{{72}} = 5^\circ \Rightarrow 10\) bánh răng là \(50^\circ \).
Một chiếc đu quay có bán kính \(75{\rm{\;m}}\), tâm của vòng quay ở độ cao \(90\;{\rm{m}}\), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?
Lời giải
Trả lời: \(127,5\).
Do tính đối xứng, dù đu quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ, ta đều thấy rằng độ cao của người đó là như nhau sau cùng một khoảng thời gian. Ở đây ta xét đu quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Gắn đu quay có bán kính \(75{\rm{\;m}}\), tâm của vòng quay ở độ cao \(90\;{\rm{m}}\) vào hệ trục tọa độ \(Oxy\) ta được hình bên:
Sau 20 phút quay cabin đi được một góc là \(\frac{{20}}{{30}} \cdot 360^\circ = 240^\circ \) tức là đến vị trí điểm \(H\).
Khi đó \(\widehat {HOJ} = 30^\circ \) và \(HJ = \sin 30^\circ .OH = 37,5\,\,{\rm{(m)}}\).
Vậy sau 20 phút quay, người đó ở độ cao \(37,5 + 90 = 127,5\,{\rm{(m)}}\).
Từ một vị trí \(A\), người ta buộc hai sợi cáp \(AB\) và \(AC\) đến một cái trụ cao \(15\;{\rm{m}}\), được dựng vuông góc với mặt đất, chân trụ ở vị trí \(D\). Biết \(CD = 9\;{\rm{m}}\) và \(AD = 12\;{\rm{m}}\). Tìm số đo góc nhọn \(\alpha = \widehat {BAC}\) tạo bởi hai sợi dây cáp đó (làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị độ).
Lời giải
Trả lời: \(14,5\).
Ta có \(\tan \alpha = \tan (\widehat {BAD} - \widehat {CAD}) = \frac{{\tan \widehat {BAD} - \tan \widehat {CAD}}}{{1 + \tan \widehat {BAD}\tan \widehat {CAD}}} = \frac{{\frac{{15}}{{12}} - \frac{9}{{12}}}}{{1 + \frac{{15}}{{12}} \cdot \frac{9}{{12}}}} = \frac{8}{{31}}.\)
Vì vậy \(\alpha \approx 14,5^\circ \).
Số giờ có ánh sáng của thành phố \(T\) ở vĩ độ \(40^\circ \) bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(d(t) = 3 \cdot \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] + 12\) với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Bạn An muốn đi tham quan thành phố \(T\) nhưng lại không thích ánh sáng mặt trời, vậy bạn An nên chọn đi vào ngày nào trong năm để thành phố \(T\) có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Lời giải
Trả lời: 353.
Do \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] \ge - 1 \Rightarrow 3 \cdot \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] \ge - 3\)
\( \Rightarrow 3 \cdot \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] + 12 \ge 9 \Rightarrow d(t) \ge 9\).
Vậy thành phố \(T\) có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi:
\(\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] = - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}(t - 80) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)
\( \Leftrightarrow t - 80 = 182\left( { - \frac{1}{2} + 2k} \right) \Leftrightarrow t = 364k - 11,k \in \mathbb{Z}\).
Mặt khác: \(0 \le 364k - 11 \le 365 \Leftrightarrow \frac{{11}}{{364}} \le k \le \frac{{376}}{{364}} \Leftrightarrow k = 1(\)do \(k \in \mathbb{Z})\)\( \Rightarrow t = 364 - 11 = 353\)
Vậy thành phố \(T\) có ít giờ ánh sáng Mặt Trời nhất là 9 giờ khi \(t = 353\), tức là vào ngày thứ 353 trong năm.
Một vệ tinh bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo hình Elip (như hình vẽ):
Độ cao \(h\) (tính bằng kilômét) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức \(h = 550 + 450 \cdot \cos \frac{\pi }{{50}}t\). Trong đó \(t\) là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Người ta cần thực hiện một thí nghiệm khoa học khi vệ tinh cách mặt đất \(250\;{\rm{km}}\). Trong khoảng 60 phút đầu tiên kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo, tại thời điểm \(t = a\) phút có thể thực hiện thí nghiệm đó, giá trị của \(a\) làm tròn đến hàng phần trăm là bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: \(36,61\).
Ta có phương trình: \(550 + 450 \cdot \cos \frac{\pi }{{50}}t = 250 \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = - \frac{2}{3}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{\pi }{{50}}t \approx 2,3 + k2\pi }\\{\frac{\pi }{{50}}t \approx - 2,3 + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \approx 36,61 + k100}\\{t \approx - 36,61 + k100}\end{array},k \in \mathbb{Z}.} \right.} \right.\)
Vậy trong khoảng 60 phút đầu tiên kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo, tại thời điểm \(t \approx 36,61\) (phút) thì ta có thể thực hiện thí nghiệm đó.
