Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
16 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\sin \alpha > 0\).
\(\cot \alpha < 0\).
\(\sin \alpha < 0\).
\(\cos \alpha < 0\).
Với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha > 0\\\cos \alpha > 0\end{array} \right.\). Chọn A.
Khẳng định nào sau đây đúng?
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 0\).
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 2\).
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = - 1\).
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\). Chọn A.
Cho \(\sin \alpha = \frac{4}{5},\,\,\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính \(\cos \alpha \).
\(\cos \alpha = - \frac{3}{5}\).
\(\cos \alpha = \frac{1}{5}\).
\(\cos \alpha = \frac{3}{5}\).
\(\cos \alpha = \frac{1}{5}\).
Vì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) mà \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\) nên \({\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}}\).
Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0\). Do đó \(\cos \alpha = - \frac{3}{5}\).Chọn A.
Cho \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\sin \left( {\alpha - \pi } \right) \ge 0\).
\(\sin \left( {\alpha - \pi } \right) \le 0\).
\(\sin \left( {\alpha - \pi } \right) > 0\).
\(\sin \left( {\alpha - \pi } \right) < 0\).
Ta có \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\)\( \Rightarrow - \pi < \alpha - \pi < - \frac{\pi }{2}\). Do đó \(\sin \left( {\alpha - \pi } \right) < 0\). Chọn D.
Nếu \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\) thì \({\sin ^2}\alpha \) bằng
\(\frac{{16}}{{25}}\).
\(\frac{9}{{25}}\).
\(\frac{{25}}{{16}}\).
\(\frac{{25}}{9}\).
Ta có \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x = 1 + \frac{9}{{16}} = \frac{{25}}{{16}} \Rightarrow {\cos ^2}x = \frac{{16}}{{25}}\).
Vì \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}}\). Chọn B.
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\) và \(\cos \alpha = \frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(P = \sin \alpha + \frac{1}{{\cos \alpha }}\) bằng
\(\frac{{4 + \sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{4 - \sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\).
Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{3}{4}\).
Vì \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\) nên \(\sin \alpha < 0\). Do đó \(\sin \alpha = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Do đó \(P = \sin \alpha + \frac{1}{{\cos \alpha }}\)\( = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2 = \frac{{4 - \sqrt 3 }}{2}\).Chọn B.
Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\sin (\pi + \alpha ) = \sin \alpha .\)
\(\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha .\)
.
\(\tan (\pi + \alpha ) = \tan \alpha .\)
\(\sin (\pi + \alpha ) = - \sin \alpha .\)Chọn A.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = \cos \alpha \).
\(\sin \left( {\pi + \alpha } \right) = - \sin \alpha \).
\(\cos \left( {\pi + \alpha } \right) = - \cos \alpha \).
\(\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha \).Chọn B.
Tính \(L = \tan 20^\circ .\tan 45^\circ .\tan 70^\circ \)
\(0\).
\(1\).
\( - 1\).
\(2\).
Ta có \(L = \tan 20^\circ .\tan 45^\circ .\tan 70^\circ \)\( = \left( {\tan 20^\circ .\tan 70^\circ } \right).\tan 45^\circ \)\( = \left( {\tan 20^\circ .\cot 20^\circ } \right).\tan 45^\circ = 1\). Chọn B.
Biểu thức rút gọn của \(A = \frac{{{{\tan }^2}a - {{\sin }^2}a}}{{{{\cot }^2}a - {{\cos }^2}a}}\) ta được kết quả \(A = {\tan ^m}a\). Số thực m thuộc khoảng nào?
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( {0;7} \right)\).
\(\left( {7;29} \right)\).
\(\left( {17; + \infty } \right)\).
\(A = \frac{{{{\tan }^2}a - {{\sin }^2}a}}{{{{\cot }^2}a - {{\cos }^2}a}}\)\( = \frac{{{{\sin }^2}a\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} - 1} \right)}}{{{{\cos }^2}a\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}a}} - 1} \right)}}\)\( = \frac{{{{\tan }^2}a.{{\tan }^2}a}}{{{{\cot }^2}a}}\)\( = {\tan ^6}a\). Chọn B.
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.
Cho \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \).
a) \(\sin \alpha < 0\).
b) \(\cos \left( {\pi - \alpha } \right) > 0\).
c) Biết \({\left( {\sin \alpha + 2\cos \alpha } \right)^2} = \frac{{a + b\sqrt {15} }}{{16}}\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Khi đó \(a + b = 57\).
d) Giá trị của biểu thức \(B = 2\cos \alpha - 3\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + 5\sin \left( {\frac{{7\pi }}{2} - \alpha } \right) + \cot \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\) là \(\sqrt {15} \).
a) Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\sin \alpha > 0\).
b) \(\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4} > 0\).
c) \({\left( {\sin \alpha + 2\cos \alpha } \right)^2}\)\( = {\sin ^2}\alpha + 4\sin \alpha .\cos \alpha + 4{\cos ^2}\alpha \).
Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + \frac{{15}}{{16}} = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{16}} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{4}\) vì \(\sin \alpha > 0\).
Suy ra \({\left( {\sin \alpha + 2\cos \alpha } \right)^2} = \frac{1}{{16}} + 4.\frac{1}{4}.\left( {\frac{{ - \sqrt {15} }}{4}} \right) + 4.\frac{{15}}{{16}} = \frac{{61 - 4\sqrt {15} }}{{16}}\).
Suy ra \(a = 61;b = - 4\). Do đó \(a + b = 57\).
d) \(B = 2\cos \alpha - 3\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + 5\sin \left( {\frac{{7\pi }}{2} - \alpha } \right) + \cot \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\)
\( = 2\cos \alpha + 3\cos \alpha - 5\cos \alpha + \tan \alpha \)\( = \tan \alpha \)\( = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{4}:\left( { - \frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right) = - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm \(t\) được cho bởi công thức \(B\left( t \right) = 80 + 7\sin \frac{{\pi t}}{{12}}\), trong đó \(t\) là số giờ tính từ lúc nửa đêm và \(B\left( t \right)\)tính bằng mmHg.
a)\(\frac{\pi }{{12}} = 15^\circ \).
b)\(\sin \frac{{5\pi }}{6} = - \frac{1}{2}\).
c) Huyết áp tâm trương của người này vào thời điểm 8 giờ sáng là 80,255 mmHg.
d) Huyết áp tâm trương của người này vào thời điểm 2 giờ 30 phút chiều là 80,463 mmHg.
a) Có \(\frac{\pi }{{12}} = \frac{\pi }{{12}}.{\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^^\circ } = 15^\circ \).
b) \(\sin \frac{{5\pi }}{6} = \sin \left( {\pi - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\).
c) Huyết áp tâm trương của người này vào thời điểm 8 giờ sáng là
\(B\left( 8 \right) = 80 + 7\sin \frac{{8\pi }}{{12}} = 80 + 7\sin \frac{{2\pi }}{3} \approx 80,062\) mmHg.
d) Huyết áp tâm trương của người này vào thời điểm 14 giờ 30 phút = 14,5 giờ là
\(B\left( {14,5} \right) = 80 + 7\sin \frac{{14,5\pi }}{{12}} = 80 + 7\sin \frac{{29\pi }}{{24}} \approx 75,739\) mmHg.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Biết \(\alpha = - \frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
a)\(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
b) \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
c) \(\tan \alpha = - 1\).
d) \(\cot \alpha = - 1\).
a) \(\sin \left[ { - \frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \sin \left( { - \frac{\pi }{4} + 2k\pi + \pi } \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4} + \pi } \right) = - \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
b) \(\cos \left[ { - \frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \cos \left( { - \frac{\pi }{4} + 2k\pi + \pi } \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{4} + \pi } \right) = - \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
c) \(\tan \left[ { - \frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \tan \frac{\pi }{4} = - 1\).
d) \(\cot \left[ { - \frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right)\pi } \right] = \cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \cot \frac{\pi }{4} = - 1\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Biết cotα=−2. Tính giá trị biểu thức \(A = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha - \pi } \right) + \tan \left( {\pi + \alpha } \right)\).
\(A = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha - \pi } \right) + \tan \left( {\pi + \alpha } \right)\)
\( = \sin \alpha - \sin \alpha + \tan \alpha \) \( = \tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - 0,5\).
Trả lời: −0,5.
Biểu thức sau \(T = 2\sin \left( {\frac{{9\pi }}{2} - x} \right) + 3\cos \left( {19\pi - x} \right) = k\cos x\). Tìm \(k\).
\(T = 2\sin \left( {\frac{{9\pi }}{2} - x} \right) + 3\cos \left( {19\pi - x} \right)\)\( = 2\sin \left( {4\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right) + 3\cos \left( {18\pi + \pi - x} \right)\)
\( = 2\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + 3\cos \left( {\pi - x} \right)\)\( = 2\cos x - 3\cos x = - \cos x\) \( \Rightarrow k = - 1\).
Trả lời: −1.
Cho \(\tan \alpha = 2\). Tính giá trị biểu thức \(P = \frac{{4\sin \alpha + 5\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}\).
Ta có \(P = \frac{{4\sin \alpha + 5\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}\)\( = \frac{{4\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 5}}{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3}}\)\( = \frac{{4.\tan \alpha + 5}}{{2.\tan \alpha - 3}}\)\( = \frac{{4.2 + 5}}{{2.2 - 3}} = 13\).
Trả lời: 13.
