Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Bài 3: Cấp số nhân

Xét dãy số \[1\,;\, - 3\,;\, - 9\,;\, - 27\,;\,54\] có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = - 3 \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = 3\).

Do đó dãy số \[1\,;\, - 3\,;\, - 9\,;\, - 27\,;\,54\]không phải là cấp số nhân. Chọn A.

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \({u_4} = {u_1}.{q^3}\)\( \Leftrightarrow 3 = 81.{q^3}\)\( \Leftrightarrow {q^3} = \frac{3}{{81}} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow q = \frac{1}{3}\). Chọn A.

Có \({u_2} = {u_1}q = \frac{1}{2}.\left( { - 2} \right) = - 1;{u_3} = - 1.\left( { - 2} \right) = 2;{u_4} = 2.\left( { - 2} \right) = - 4;{u_5} = - 4.\left( { - 2} \right) = 8\). Chọn B.

Vì dãy số \(3; - 12;48;...\) là cấp số nhân nên \(q = - 12:3 = - 4\).

Do đó \({u_n} = 3.{\left( { - 4} \right)^{n - 1}}\). Chọn C.

Ta có \({u_5} = {u_1}.{q^4} = \left( { - 3} \right).{\left( {\frac{2}{3}} \right)^4} = - \frac{{16}}{{27}}\). Chọn C.

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\)là cấp số nhân nên \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 3.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 192\)\( \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 64 = {\left( { - 2} \right)^6}\)

\( \Leftrightarrow n - 1 = 6 \Leftrightarrow n = 7\)

Vậy số 192 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân. Chọn C.

Có \[{u_4} = {2.3^4} = 162\]. Chọn D.

Gọi q là công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_7} = 198\\{u_3} + {u_8} = 396\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q + {u_1}.{q^6} = 198\\{u_1}.{q^2} + {u_1}.{q^7} = 396\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {1 + {q^5}} \right) = 198\\{u_1}.{q^2}\left( {1 + {q^5}} \right) = 396\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {1 + {q^5}} \right) = 198\\198.q = 396\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {1 + {q^5}} \right) = 198\\q = 2\end{array} \right.\). Chọn A.

Vì \( - \frac{1}{5};a;\frac{{ - 1}}{{125}}\) là một cấp số nhân nên \({a^2} = \left( { - \frac{1}{5}} \right).\left( { - \frac{1}{{125}}} \right) = \frac{1}{{625}} \Rightarrow a = \pm \frac{1}{{25}}\). Chọn B.

Có \({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}}}{{1 + 2}} = - 341\). Chọn A.

a) Ta có \({u_3} = {u_1}.{q^2}\)\( \Rightarrow 3{q^2} = 12 \Rightarrow q = - 2\).

b) Có \({u_{25}} = {u_1}.{q^{24}} = 3.{\left( { - 2} \right)^{24}} = {3.2^{24}}\).

c) Tổng \({S_{101}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{101}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{101}}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1 + {2^{101}}\).

d) Có \(\sqrt {{u_{54}}.{u_{56}}} = \sqrt {\frac{{{u_{55}}}}{q}.{u_{55}}.q} = \sqrt {{{\left( {{u_{55}}} \right)}^2}} = \left| {{u_{55}}} \right| = {u_{55}}\) vì \({u_{55}} = {u_1}.{q^{54}} > 0\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Gọi số sách đọc được ở ngày thứ n là u_n.

Ta có u₁ = 1; u₂ = 2u₁ = 2; u₃ = 2u₂ = 4; u₄ = 2u₃ = 8; u₅ = 2u₄ = 16.

Vậy ngày thứ 5 đọc được 16 trang sách.

b) Ngày thứ nhất đọc được 1 trang sách \( \Rightarrow {u_1} = 1\).

Từ ngày thứ hai mỗi ngày được số trang gấp đôi số trang đã đọc của ngày liền trước đó.

Suy ra \({u_n} = 2{u_{n - 1}}\left( {n > 1} \right)\).

Do đó số trang sách đọc được lập thành cấp số nhân với công bội là 2.

Số hạng tổng quát là \({u_n} = {u_1}{.2^{n - 1}} = {2^{n - 1}}\).

c) Số trang sách đọc được ở ngày thứ 6 là \({u_6} = {u_1}{.2^5} = 32\).

Số sách đọc được ở 5 ngày trước đó là \({S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 31\).

d) Số trang sách đọc được trong 1 tuần là \({S_7} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^7}} \right)}}{{1 - 2}} = 127\) trang.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 54\\{u_5} - {u_3} = 108\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} - {u_1}q = 54\\{u_1}{q^4} - {u_1}{q^2} = 108\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q\left( {{q^2} - 1} \right) = 54\\{u_1}{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 108\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{54}}{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}\\\frac{1}{q} = \frac{{54}}{{108}}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{54}}{{2\left( {{2^2} - 1} \right)}}\\q = 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\q = 2\end{array} \right.\].

a) Số hạng đầu của cấp số nhân bằng 9.

b) Công bội của cấp số nhân q = 2.

c) Ta có \({S_n} = 4599\)\( \Leftrightarrow \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 4599\)\( \Leftrightarrow \frac{{9\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 4599\)\( \Leftrightarrow - 9\left( {1 - {2^n}} \right) = 4599\)

\( \Leftrightarrow 1 - {2^n} = - 511\)\( \Leftrightarrow {2^n} = 512\)\( \Leftrightarrow n = 9\).

Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599.

d) Ta có \({u_k} = 576\)\( \Leftrightarrow {u_1}.{q^{k - 1}} = 576\)\( \Leftrightarrow {9.2^{k - 1}} = 576\)\( \Leftrightarrow {2^{k - 1}} = 64\)\( \Leftrightarrow k - 1 = 6\)\( \Leftrightarrow k = 7\).

Vậy số 576 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

Ta có \(20{u_1} - 10{u_2} + {u_3} = 2{q^2} - 20q + 40 = 2\left( {{q^2} - 10q + 25} \right) - 10 = 2{\left( {q - 5} \right)^2} - 10 \ge - 10\).

Vậy \({P_{\min }} = - 10 \Leftrightarrow q = 5\).

Khi đó \({u_5} = {u_1}.{q^4} = {2.5^4} = 1250\).

Trả lời: 1250.

Ta có 2 giờ = 120 phút = 6.20 phút.

Do đó, sau 2 giờ vi khuẩn phân đôi 6 lần.

Gọi u_n là số lượng vi khuẩn có trong ông nghiệm sau lần phân đôi thứ n – 1.

Khi đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với \({u_1} = 20;q = 2\).

Ta có \({u_7} = {u_1}.{q^6} = {20.2^6} = 1280\).

Vậy sau 2 giờ, trong ống nghiệm có 1280 vi khuẩn.

Trả lời: 1280.

Số tiền lương anh Hoàng nhận được năm thứ hai là \({u_2} = 144 + 144.5\% = 144.\left( {1 + 5\% } \right)\).

Số tiền lương anh Hoàng nhận được năm thứ ba là \({u_3} = 144{\left( {1 + 5\% } \right)^2}\).

Suy ra tiền lương anh Hoàng nhận được lập thành một cấp số nhân với \({u_1} = 144;q = \left( {1 + 5\% } \right)\).

Do đó tổng số tiền lương anh Hoàng nhận được trong 15 năm đầu đi làm là \({S_{15}} = 144.\frac{{1 - {{\left( {1 + 5\% } \right)}^{15}}}}{{1 - \left( {1 + 5\% } \right)}} \approx 3107\) triệu đồng.

Trả lời: 3107.