Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Chương 3. Giới hạn. Hàm số liên tục
37 câu hỏi
\(\lim \frac{1}{{2n + 7}}\) bằng
\(\frac{1}{7}\).
\( + \infty \).
\(\frac{1}{2}\).
\(0\).
Lời giải
Chọn D.
Ta có: \(\lim \frac{1}{{2n + 7}}\)\( = \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{2 + \frac{7}{n}}} = 0\).
Tìm \(I = \lim \frac{{7{n^2} - 2{n^3} + 1}}{{3{n^3} + 2{n^2} + 1}}.\)
\(\frac{7}{3}\).
\( - \frac{2}{3}\).
\(0\).
\(1\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có \(I = \lim \frac{{7{n^2} - 2{n^3} + 1}}{{3{n^3} + 2{n^2} + 1}} = \lim \frac{{\frac{7}{n} - 2 + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{3 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}}} = - \frac{2}{3}.\)
Tính giới hạn \(L = \lim \frac{{2n + 1}}{{2 + n - {n^2}}}\)?
\[L = - \infty \].
\[L = - 2\].
\[Lz = 1\].
\[L = 0\].
Lời giải
Chọn D.
Ta có: \(L = \lim \frac{{2n + 1}}{{2 + n - {n^2}}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1}} = 0\).
Tìm giới hạn \[I = \lim \frac{{3n - 2}}{{n + 3}}\].
\(I = - \frac{2}{3}\).
\(I = 1\).
\(I = 3\).
\(I = - 3\).
Lời giải
Chọn C.
Ta có \[I = \lim \frac{{3n - 2}}{{n + 3}} = \lim \frac{{3 - \frac{2}{n}}}{{1 + \frac{3}{n}}} = 3\].
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) có \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\); \({v_n} = \frac{3}{{n + 3}}\). Tính \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\).
\(0\).
\(3\).
\(\frac{1}{3}\).
\( + \infty \).
Lời giải
Chọn C.
Ta có \(I = \lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)\( = \lim \frac{{\frac{1}{{n + 1}}}}{{\frac{3}{{n + 3}}}}\)\( = \lim \frac{{n + 3}}{{3\left( {n + 1} \right)}}\)\( = \lim \frac{{1 + \frac{3}{n}}}{{3\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}\)\( = \frac{1}{3}\).
Tính giới hạn \(\lim \frac{{{{3.2}^{n + 1}} - {{2.3}^{n + 1}}}}{{4 + {3^n}}}\).
\(\frac{3}{2}\).
\(0\).
\(\frac{6}{5}\).
\( - 6\).
Lời giải
Chọn D.
Ta có \(\lim \frac{{{{3.2}^{n + 1}} - {{2.3}^{n + 1}}}}{{4 + {3^n}}} = \lim \frac{{6.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - 6}}{{4.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n} + 1}} = - 6\).
Gọi S là tập hợp các tham số nguyên \[a\] thỏa mãn \[\lim \left( {\frac{{3n + 2}}{{n + 2}} + {a^2} - 4a} \right) = 0\]. Tổng các phần tử của \[S\] bằng
\(4\).
\(3\).
\(5\)
\(2\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có: \[\lim \left( {\frac{{3n + 2}}{{n + 2}} + {a^2} - 4a} \right)\]
\[ = \lim \left( {\frac{{\left( {{a^2} - 4a + 3} \right)n + 2 + 2{a^2} - 8a}}{{n + 2}}} \right)\]\[ = \lim \left( {\frac{{{a^2} - 4a + 3 + \frac{{2 + 2{a^2} - 8a}}{n}}}{{1 + \frac{2}{n}}}} \right) = {a^2} - 4a + 3\].
Theo giả thiết:\[\lim \left( {\frac{{3n + 2}}{{n + 2}} + {a^2} - 4a} \right) = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = 3 \vee a = 1\].
Vậy \[S = \left\{ {1;\,3} \right\} \Rightarrow 1 + 3 = 4\].
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{1 + 2 + 3 + ... + n}}{{{n^2} + 1}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\lim {u_n} = 0\).
\(\lim {u_n} = \frac{1}{2}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không có giới hạn khi \(n \to + \infty \).
\(\lim {u_n} = 1\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có: \(\lim {u_n} = \lim \frac{{1 + 2 + 3 + ... + n}}{{{n^2} + 1}}\) \( = \lim \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2\left( {{n^2} + 1} \right)}}\) \( = \frac{1}{2}\).
\[\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}}\] bằng
\[\frac{3}{2}\].
2.
1.
\[ + \infty \].
Lời giải
Chọn C.
Ta có: \[\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}}\]\[ = \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {\frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} }}{{2 - \frac{3}{n}}}\]\[ = \frac{{2 - 0}}{2}\]\[ = 1\].
Tính giới hạn \(L = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 9n} \right)\).
\[ + \infty \].
\[ - 7\].
\[ - \infty \].
\[\frac{9}{4}\].
Lời giải
Chọn C.
\(L = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 9n} \right)\)\( = \lim \frac{{4{n^2} + n + 1 - 81{n^2}}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 9n}}\)\( = \lim \frac{{ - 77{n^2} + n + 1}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 9n}}\)\( = \lim \frac{{{n^2}\left( { - 77 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 9} \right)}}\)\[ = \lim n \cdot \left( {\frac{{ - 77 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 9}}} \right)\]\( = - \infty \)
Vì : \(\lim n = + \infty {\rm{ }}\)và \(\lim \left( {\frac{{ - 77 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 9}}} \right) = - 7 < 0\).
Từ độ cao \(55,8{\rm{m}}\) của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
\(\left( {67{\rm{m}}\;;\;69{\rm{m}}} \right)\).
\(\left( {60{\rm{m}}\;;\;63{\rm{m}}} \right)\).
\(\left( {64{\rm{m}}\;;\;66{\rm{m}}} \right)\).
\(\left( {69{\rm{m}}\;;\;72{\rm{m}}} \right)\).
Lời giải
Chọn A.
Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến:
Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là \({d_1} = 55,8{\rm{m}}\).
Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là \({d_2} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}}\).
Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là \({d_3} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}}\).
Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là \({d_4} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^3}}}\).
…………………………………….
Thời điểm chạm đất lần thứ \(n,\;\left( {n > 1} \right)\) là \({d_n} = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}}\).
Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là
\(d = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ...\) (mét).
Vì \(2.\frac{{55,8}}{{10}}\), \(2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}}\), \(2.\frac{{55,8}}{{{{10}^3}}}\), …, \(2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}}\),…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội \(q = \frac{1}{{10}}\), nên ta có \(2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ... = \frac{{2.\frac{{55,8}}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = 12,4\).
Vậy \(d = 55,8 + 2.\frac{{55,8}}{{10}} + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^2}}} + ... + 2.\frac{{55,8}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ... = 55,8 + 12,4 = 68,2\).
Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là \(50\) cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?
Chiều cao mô hình không quá \(1,5\) mét.
Chiều cao mô hình tối đa là \(2\) mét.
Chiều cao mô hình dưới \(2\) mét.
Mô hình có thể đạt được chiều cao tùy ý.
Lời giải
Chọn C.
Gọi bán kính khối cầu dưới cùng là \({R_1} = 50\)cm.
Gọi \({R_2}\), \({R_3}\),…,\({R_n}\) lần lượt là bán kính của các khối cầu \({R_2},{R_3},...,{R_n}\) nằm nằm ngay trên khối cầu dưới cùng.
Ta có \({R_2} = \frac{{{R_1}}}{2}\), \({R_3} = \frac{{{R_2}}}{2} = \frac{{{R_1}}}{4}\),…., \({R_n} = \frac{{{R_{n - 1}}}}{2} = \frac{{{R_1}}}{{{2^{n - 1}}}}\)
Gọi \({h_n}\) là chiều cao của mô hình gồm có \(n\) khối cầu chồng lên nhau.
Ta có
\({h_n} = 2{R_1} + 2{R_2} + 2{R_3} + ... + 2{R_n} = 2\left( {{R_1} + \frac{1}{2}{R_1} + \frac{1}{4}{R_1} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}{R_1}} \right) = 2{R_1}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)\)
Suy ra chiều cao mô hình là \[h = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {h_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {2{R_1}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)} \right]\]
Xét dãy số \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};...;\frac{1}{{{2^{n - 1}}}};\frac{1}{{{2^n}}};...\) là một cấp số nhân có \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\) nên là dãy cấp số nhân lùi vô hạn. Do đó \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + \frac{1}{{{2^n}}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\)
Suy ra \(h = 2{R_1}.2 = 200\)cm. Vậy chiều cao mô hình nhỏ hơn \(200\)cm.
Trong một lần Đoàn trường Lê Văn Hưu tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả một quả bóng chuyền hơi từ tầng ba, độ cao \(8m\) so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vuông góc với mặt đất. Khi đó tổng quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng đến khi quả bóng không máy nữa gần bằng số nào dưới đây nhất?
\(57m\).
\(54m\).
\(56m\).
\(58m\).
Lời giải
Chọn C.
Lần đầu rơi xuống, quảng đường quả bóng đã bay đến lúc chạm đất là \(8m\).
Sau đó quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ 2 thì quảng đường quả bóng đã bay là \(8 + 2.8.\frac{3}{4}\).
Tương tự, khi quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ n thì quảng đường quả bóng đã bay là \(8 + 2.8.\frac{3}{4} + ....... + 2.8.{(\frac{3}{4})^{n - 1}} = 8 + \frac{{1 - {{(\frac{3}{4})}^n}}}{{1 - \frac{3}{4}}} = 8 + 48(1 - {(\frac{3}{4})^{n - 1}})\).
Quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả đến lúc không máy nữa bằng:
\(\lim [8 + 48(1 - {(\frac{3}{4})^{n - 1}}){\rm{]}} = 8 + 48 = 56\).
Tìm giá trị của biểu thức \[M = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( { - {x^2} + x + 5} \right)\].
\(M = 5\).
\(M = 3\).
\(M = 1\).
\(M = 0\).
Lời giải
Chọn A.
\[M = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {3{x^2} + x + 1} \right) = 5\]
Tìm giá trị của biểu thức \[P = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3x + 2}}{{ - x + 1}}\].
\(P = 3\).
\(P = - 2\).
\(P = 5\).
\(P = 0\).
Lời giải
Chọn A.
\[P = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 + \frac{2}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 3\].
Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 2{x^4} + {x^2} - 1} \right)\] là
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\(1\).
\( - 1\).
Lời giải
Chọn A.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}\left( { - 2 + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^4}}}} \right) = - \infty \].
Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2{x^3} + {x^2} + 2023} \right)\] là
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\(1\).
\( - 1\).
Lời giải
Chọn A.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {2 + \frac{1}{x} + \frac{{2023}}{{{x^3}}}} \right) = - \infty \].
Tìm giá trị của biểu thức \[N = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {9{x^2} + x + 2023} - 3x} \right)\].
\(N = 2\).
\(N = 0\).
\(N = - \frac{1}{2}\).
\(N = \frac{1}{6}\).
Lời giải
Chọn D.
\[N = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2023}}{{\sqrt {9{x^2} + x + 2023} + 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{{2023}}{x}}}{{\sqrt {9 + \frac{1}{x} + \frac{{2023}}{{{x^2}}}} + 3}} = \frac{1}{6}\].
Tìm giá trị của biểu thức \[L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + 1}}{{x + 1}}\].
\[L = 1\]
\(L = 0\).
\(L = 3\).
\(L = 2\).
Lời giải
Chọn A.
\[L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = 1\].
Tìm giá trị của biểu thức \[N = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 7} - 3}}{{x - 2}}\]?
\(N = 0\).
\(N = 1\).
\(N = \frac{1}{2}\).
\(N = \frac{1}{6}\).
Lời giải
Chọn D.
\[N = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x + 7} + 3}} = \frac{1}{6}\].
Tìm giá trị của biểu thức \[M = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^5} - 5{x^3} + 2{x^2} + 6x - 4}}{{{x^2} - 1}}\]
\(M = 0\).
\(M = \frac{3}{2}\).
\(M = - \frac{3}{2}\).
\(M = 4\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có: \[{x^5} - 5{x^3} + 2{x^2} + 6x - 4 = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2} \right).\]
\[{x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\].
Vậy \[M = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^5} - 5{x^3} + 2{x^2} + 6x - 4}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}} = 0\].
Vậy \[M = 0\].
Tính giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {x + 1} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}\)
\(8\).
\(\frac{{13}}{{12}}\).
\(\frac{1}{2}\).
\( - \infty \).
Lời giải
Chọn B.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {x + 1} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{2\left[ {\sqrt {x + 1} - 1} \right]}}{x} - \frac{{\sqrt[3]{{8 - x}} - 2}}{x}} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left\{ {\frac{{2\left( {x + 1 - 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)}} - \frac{{8 - x - 8}}{{x\left[ {\sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{8 - x}} + 4} \right]}}} \right\}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{2}{{\sqrt {x + 1} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{8 - x}} + 4}}} \right] = 1 + \frac{1}{{12}} = \frac{{13}}{{12}}\).
Tìm nghiệm của phương trình \(\sin x = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{2\sqrt {t + 3} - 4}}{{t - 1}}\) trong khoảng \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
\(\frac{\pi }{6}\).
Vô nghiệm.
\(\frac{\pi }{3}\).
\(\frac{{5\pi }}{6}\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{2\sqrt {t + 3} - 4}}{{t - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{4\left( {t - 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right)\left( {2\sqrt {t + 3} + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{4}{{2\sqrt {t + 3} + 4}} = \frac{1}{2}.\)
Khi đó phương trình \(\sin x = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{2\sqrt {t + 3} - 4}}{{t - 1}} \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\)
Do \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}.\)
Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}},{\rm{khi }}x < 1\\1{\rm{ }},{\rm{khi }}x \ge 1\end{array} \right.\). Hãy chọn kết luận đúng
\(y\) liên tục phải tại \(x = 1\).
\(y\) liên tục tại \(x = 1\).
\(y\) liên tục trái tại \(x = 1\).
\(y\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có: \(y\left( 1 \right) = 1\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 + x + {x^2}} \right) = 4\)
Nhận thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = y\left( 1 \right)\). Suy ra \(y\) liên tục phải tại \(x = 1\).
Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm \({x_0} = - 1\).
\(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{x}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) không xác định tại \({x_0} = - 1\) nên gián đoạn tại \({x_0} = - 1\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = {x^3} - x\).
\(y = \cot x\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).
\(y = \sqrt {{x^2} - 1} \).
Lời giải
Chọn A.
Vì \(y = {x^3} - x\) là đa thức nên nó liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Tìm m để hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\quad \,khi\;x \ne - 2\\\quad m\quad \quad khi\;x = - 2\end{array} \right.\] liên tục tại \(x = - 2\)
\(m = - 4\).
\(m = 2\).
\(m = 4\).
\(m = 0\).
Lời giải
Chọn A.
Hàm số liên tục tại \(x = - 2\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} m\, = m\,\,\, \Leftrightarrow \,\,m = - 4\)
Để hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 2\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{\rm{khi}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x \le - 1}\end{array}}\end{array}\\4x + a\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{\,\,{\rm{khi}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x > - 1}\end{array}}\end{array}\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \(x = - 1\) thì giá trị của \(a\) là
\( - 4\).
4.
1.
\( - 1\).
Lời giải
Chọn B.
Hàm số liên tục tại \(x = - 1\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = = y\left( { - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {4x + a} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = y\left( { - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4\).
Tìm \(a\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ne 2\\2x + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x = 2\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 2\)?
\[\frac{{15}}{4}\].
\[ - \frac{{15}}{4}\].
\[\frac{1}{4}\].
\[1\].
Lời giải
Chọn B.
Ta có \(f\left( 2 \right) = 4 + a\).
Ta tính được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2 - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = \frac{1}{4}\).
Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 2\) khi và chỉ khi \(f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \Leftrightarrow 4 + a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = - \frac{{15}}{4}\).
Vậy hàm số liên tục tại \(x = 2\) khi \(a = - \frac{{15}}{4}\).
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \pi x}&{{\rm{khi}}\,\,\left| x \right| \le 1}\\{x + 1\;}&{{\rm{khi}}\,\;\left| x \right| > 1}\end{array}} \right.\]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số gián đoạn tại \(x = \pm 1\).
Lời giải
Chọn C.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sin \pi x = 0\)\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) do đó hàm số gián đoạn tại \(x = 1\).
Tương tự: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left( {x + 1} \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \sin \pi x = 0\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)\)\( = f\left( { - 1} \right)\) do đó hàm số liên tục tại \(x = - 1\).
Với \(x \ne \pm 1\) thì hàm số liên tục trên tập xác định.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng \[\left( {0;\,1} \right)\]
\(2{x^2} - 3x + 4 = 0\).
\({\left( {x - 1} \right)^5} - {x^7} - 2 = 0\).
\(3{x^4} - 4{x^2} + 5 = 0\).
\(3{x^{2017}} - 8x + 4 = 0\).
Lời giải
Chọn D.
Xét hàm số \[f\left( x \right) = 3{x^{2017}} - 8x + 4\].
Hàm số liên tục trên đoạn \[\left[ {0;\,1} \right]\] và \[f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) = 4.\left( { - 1} \right)\]\[ = - 4\] \( \Rightarrow \)\[f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\].
Vậy phương trình \[3{x^{2017}} - 8x + 4 = 0\] có nghiệm trong khoảng \[\left( {0;\,1} \right)\].
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2}&{{\rm{ khi }}x < - 1}\\{\sqrt {{x^2} + 1} }&{{\rm{ khi }}x \ge - 1}\end{array}} \right.\).
Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = \sqrt 5 \).
Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = - 3\).
Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \sqrt 2 \).
Hàm số tồn tại giới hạn khi \(x \to - 1\).
Lời giải
a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai
Ta có: Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = - 4\)
Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} < - 1\) và \({x_n} \to - 1\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = {x_n} - 2\).
Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = - 1 - 2 = - 3\).
Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} > - 1\) và \({x_n} \to - 1\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {x_n^2 + 1} \).
Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {{{( - 1)}^2} + 1} = \sqrt 2 \).
d) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x)\) (hay \( - 3 \ne \sqrt 2 \) ) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x)\).
Cho các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {4x - 7} - 1}}{{{x^2} - 4}} & {\rm{khi}}\,x > 2\\\frac{{5x - 9}}{2} & & {\rm{khi}}\,x \le 2\end{array} \right.\) và \(g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{2 - x}}}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\{\frac{{1 - x}}{4}}&{{\rm{ khi }}x \le 2}\end{array}} \right.\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Hàm số \(g\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \({x_0} = 2\).
Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x) = \frac{1}{4}{\rm{. }}\)
Hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f(2) = \frac{1}{2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {4x - 7} - 1}}{{{x^2} - 4}} = \frac{1}{2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \frac{1}{2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Ta có: \(g(2) = \frac{{1 - 2}}{4} = - \frac{1}{4};\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{1 - x}}{4}} \right) = - \frac{1}{4}\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{2 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 2 - 4}}{{(2 - x)(\sqrt {x + 2} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 1}}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = - \frac{1}{4}{\rm{. }}\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = - \frac{1}{4} = g(2)\).
Vậy hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 2}\\{\frac{{2a + 1}}{6}}&{{\rm{ khi }}x = 2}\end{array}} \right.\) và \(g(x) = \sin \frac{{\pi x}}{4}\).
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{2}\).
Hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Khi \(a = 1\) thì hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 2\).
Khi \(a = 0\) thì hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại\({x_0} = 2\).
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai
Ta có: \(f(2) = \frac{{2a + 1}}{6}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1 - 1}}{{(x - 2)(x - 1)(\sqrt {x - 1} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{(x - 1)(\sqrt {x - 1} + 1)}} = \frac{1}{2}.\)
Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow \frac{{2a + 1}}{6} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1\).
Ta có: \(g(2) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) nên \(g(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x)\).
Vậy hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Một cái hồ chứa \(600l\) nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối \(30\;g/l\) vào hồ với tốc độ \(15l/\)phút. Nồng độ muối trong hồ còn bao nhiêu gam/lít khi \(t\) dần về dương vô cùng?
Lời giải
Trả lời: \(30\).
Sau \(t\) phút bơm nước vào hồ thì lượng nước là \(600 + 15t\) (\(l\)) và lượng muối có được là \(30.15t(\;g)\).
Nồng độ muối của nước là: \(C(t) = \frac{{30.15t}}{{600 + 15t}} = \frac{{30t}}{{40 + t}}(\;g/l)\).
Khi \(t\) dần về dương vô cùng, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{40 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{t\left( {\frac{{40}}{t} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30}}{{\frac{{40}}{t} + 1}} = 30(\;g/l)\).
Tìm giá trị của \(a\) để hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x + 2}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\{{x^2} + a}&{{\rm{ khi }}x < 0}\end{array}} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Lời giải
Trả lời: \(2\).
Trên các khoảng \((0; + \infty ),( - \infty ;0)\), hàm số \(f(x)\) là các hàm đa thức nên hàm số liên tục.
Vậy \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(f(x)\) liên tục tại điểm \(x = 0\).
Ta có: \(f(0) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 2x + 2} \right) = 2,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {{x^2} + a} \right) = a\).
Ta thấy hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 0\) khi và chỉ khi \(a = 2\).
Vậy, với \(a = 2\) thì hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ne 4}\\{2a + 1}&{{\rm{ khi }}x = 4}\end{array}} \right.\). Tìm \(a\) để hàm số liên tục tại \({x_0} = 4\).
Lời giải
Trả lời: \(10\).
Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f(4) = 2a + 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 21\).
Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 4\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x) = f(4)\)\( \Rightarrow 2a + 1 = 21 \Leftrightarrow a = 10\).
