Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Chương 2. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
53 câu hỏi
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \[{u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{{2^n}}}{n}.\] Tìm số hạng \({u_3}.\)
\[{u_3} = \frac{8}{3}.\]
\[{u_3} = 2.\]
\[{u_3} = - 2.\]
\[{u_3} = - \frac{8}{3}\]
Lời giải
Chọn D.
Ta có \({u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}\frac{{{2^3}}}{3} = - \frac{8}{3}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}}.\) Số \(\frac{2}{{13}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
Thứ 3.
Thứ 4.
Thứ 5.
Thứ 6.
Lời giải
Chọn C.
Ta có \({u_n} = \frac{2}{{13}} \Leftrightarrow \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}} = \frac{2}{{13}}\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right) \Leftrightarrow 13n - 13 = 2{n^2} + 2 \Leftrightarrow 2{n^2} - 13n + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\,\,\left( n \right)\\n = \frac{3}{2}\,\,\left( l \right)\end{array} \right.\).
Cho dãy số viết dưới dạng khai triển là \(1,4,9,16,25,\) Trong các công thức sau, công thức nào là công thức tổng quát của dãy số trên?
\[{u_n} = 3n - 2.\]
\[{u_n} = n + 3.\]
\[{u_n} = {n^2}.\]
\[{u_n} = 2{n^2} - 1.\]
Lời giải
Chọn C.
Thử từng đáp án với \(n = 1,2,3,4,5\) ta thấy đáp án C đúng.
Cho dãy số \[\frac{1}{2},\,\frac{3}{5},\,\frac{2}{3},\,\frac{5}{7},\,...\]. Công thức tổng quát \[{u_n}\] nào là của dãy số đã cho?
\({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
\({u_n} = \frac{n}{{{2^n}}}\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
\({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 3}}\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
\({u_n} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Lời giải
Viết lại dãy số: \[\frac{2}{4},\,\frac{3}{5},\,\frac{4}{6},\,\frac{5}{7},\,...\]
\[ \Rightarrow {u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 3}}\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\].
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{n + 5}}{{n + 2}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số tăng.
Dãy số giảm.
Dãy số không tăng, không giảm.
Có số hạng \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 5}}{{n + 2}} + 1\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có \({u_n} = \frac{{n + 5}}{{n + 2}} = 1 + \frac{3}{{n + 2}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = 1 + \frac{3}{{n + 3}}\)
Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{3}{{n + 3}} - \frac{3}{{n + 2}} = \frac{{ - 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} < 0\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Vậy \(({u_n})\)là dãy số giảm
Giải nhanh: Dãy này có dạng \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}}\)
Mẫu \(n + 2 > 0\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) và \(ad - bc = 2 - 5 = - 3 < 0\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] cho bởi số hạng tổng quát \[{u_n}\] sau, dãy số nào tăng?
\[{u_n} = \frac{n}{{{2^n}}}.\]
\[{u_n} = \frac{n}{{2{n^2} + 1}}.\]
\[{u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{3n + 2}}.\]
\[{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\sqrt {{n^2} - 1} .\]
Lời giải
Chọn C.
Ta xét đáp án A \[{u_n} = \frac{n}{{{2^n}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\{u_2} = \frac{2}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} = {u_2} \Rightarrow \]Loại A
Ta xét đáp án B \[{u_n} = \frac{n}{{2{n^2} + 1}}. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{3}\\{u_2} = \frac{2}{9}\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} > {u_2} \Rightarrow \] Loại B
Ta xét đáp án C \[{u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{3n + 2}}.. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{2}{5} = \frac{{16}}{{40}}\\{u_2} = \frac{5}{8} = \frac{{25}}{{40}}\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} < {u_2} \Rightarrow \]Xét tiếp
Ta xét đáp án D \[{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\sqrt {{n^2} - 1} . \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0\\{u_2} = 4\sqrt 3 \\{u_3} = - 8\sqrt 8 \end{array} \right. \Rightarrow {u_1} < {u_2} > {u_3} \Rightarrow \] Loại D
Có thể dùng Table trong casio để nhập hàm rồi loại trừ với Start 1; End 20; Step 1
Chú ý: Nếu bài này mà giải theo tự luận thì rất dài ta phải xét \({u_{n + 1}} - {u_n}\) của 4 dãy số.
Cho dãy số \(({u_n})\)biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{n^2} + 1} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số tăng
Dãy số giảm.
Dãy số không tăng, không giảm.
Dãy số là dãy hữu hạn.
Lời giải
Chọn C.
Dãy không tăng, không giảm vì các số hạng đan dấu
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là dãy số giảm?
\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\].
\[{u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 1}}\].
\[{u_n} = {n^2}\].
\[{u_n} = \sqrt {n + 2} \].
Lời giải
Ta có \[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\]\( < \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} = {u_{n + 1}}\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).Cho dãy số \(({u_n})\) biết \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số bị chặn.
Dãy số bị chặn trên.
Dãy số bị chặn dưới.
Không bị chặn
Lời giải
Chọn A.
Ta có \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
\({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} = \frac{{4(n + 1) + 1}}{{n + 1}} = 4 + \frac{1}{{n + 1}} \le 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Suy ra \(0 < {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Giải nhanh: dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n}\)có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên bị chặn.
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết: \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\).
Dãy số tăng, bị chặn.
Dãy số giảm, bị chặn.
Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn.
Cả A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{34}}{{\left( {3n + 1} \right)\left( {3n - 2} \right)}} > 0\) với mọi \(n \ge 1\).
Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n}{\rm{ }}\forall n \ge 1 \Rightarrow \) dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng \( \Rightarrow \) dãy bị chặn dưới bởi \({u_1} = - \frac{9}{4}\).
Mặt khác: \({u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3\left( {3n - 2} \right)}} \Rightarrow - \frac{9}{4} \le {u_n} < \frac{2}{3}{\rm{ }}\forall n \ge 1\).
Vậy dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy bị chặn.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\). Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên?
2.
4.
1.
Không có.
Lời giải
Chọn C.
Ta có \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Để \({u_n}\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{5}{{n + 1}}\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) là số nguyên hay \[n = 4\]
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)chỉ có một số hạng nhận giá trị nguyên.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {{u_n} + 1} \right)\end{array} \right..\) Tìm số hạng \({u_4}.\)
\({u_4} = \frac{5}{9}.\)
\({u_4} = 1.\)
\({u_4} = \frac{2}{3}.\)
\({u_4} = \frac{{14}}{{27}}.\)
Lời giải
Chọn A.
Ta có \({u_2} = \frac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1,\,\,{u_3} = \frac{1}{3}\left( {1 + 1} \right) = \frac{2}{3},\,\,{u_4} = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3} + 1} \right) = \frac{5}{9}\).
Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 1}}{2},{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\).
Tăng, bị chặn.
Giảm, bị chặn.
Tăng, chặn dưới, không bị chặn trên.
Giảm, chặn trên, không bị chặn dưới.
Lời giải
Chọn B.
Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: \(1 < {u_n} \le 2,{\rm{ }}\forall n{\rm{ }}\)
Điều này đúng với \(n = 1\), giả sử \(1 < {u_n} < 2\) ta có:
\(1 < {u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 1}}{2} < 2\) nên ta có đpcm.
Mà \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{1 - {u_n}}}{2} < 0,{\rm{ }}\forall n\).
Vậy dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm và bị chặn.
Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng?
\[\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2};\frac{9}{2}\].
\[1;1;1;1;1\].
\[ - 8; - 6; - 4; - 2;0\].
\[3;1; - 1; - 2; - 4\].
Lời giải
Chọn D.
Định nghĩa:
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi.
Đáp án A: Là cấp số cộng với \[{u_1} = \frac{1}{2};d = 1\].
Đáp án B: Là cấp số cộng với \[{u_1} = 1;d = 0\].
Đáp án C: Là cấp số cộng với \[{u_1} = - 8;d = 2\].
Đáp án D: Không là cấp số cộng vì \({u_2} = {u_1} + \left( { - 2} \right);{u_4} = {u_3} + \left( { - 1} \right)\).
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
\[{u_n} = 3{n^2} + 2017\].
\[{u_n} = 3n + 2018\].
\[{u_n} = \,\,{3^n}\].
\[{u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\].
Lời giải
Chọn B.
Ta có \[{u_{n + 1}} - {u_n} = 3(n + 1) + 2018 - (3n + 2018) = 3 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + 3\].
Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai \(d = 3\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 9\) và công sai \(d = 2\). Giá trị của \({u_2}\) bằng
\(11\).
\(\frac{9}{2}\).
\(18\).
\(7\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có: \({u_2} = {u_1} + d = 9 + 2 = 11\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 4\). Biết tổng \(n\) số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({S_n} = 253\). Tìm \(n\).
\[9\].
\[11\].
\[12\].
\[10\].
Lời giải
Chọn B.
Ta có \({S_n} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} \Leftrightarrow \frac{{n\left( {2.3 + \left( {n - 1} \right).4} \right)}}{2} = 253\)
\( \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n - 506 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 11\\n = - \frac{{23}}{2}\left( L \right)\end{array} \right.\).
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có số hạng tổng quát là \[{u_n} = 3n - 2\]. Tìm công sai \[d\] của cấp số cộng.
\[d = 3\].
\[d = 2\].
\[d = - 2\].
\[d = - 3\].
Lời giải
Chọn A.
Ta có \[{u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 2 - 3n + 2 = 3\]
Suy ra \[d = 3\] là công sai của cấp số cộng.
Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 5\) và tổng của \(50\) số hạng đầu bằng \(5150\). Tìm công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).
\({u_n} = 1 + 4n\).
\({u_n} = 5n\).
\({u_n} = 3 + 2n
\({u_n} = 2 + 3n\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có: \({S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {2{u_1} + 49d} \right) = 5150\)\( \Rightarrow d = 4\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + 4n\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_5} = - 15\), \({u_{20}} = 60\). Tổng của \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:
\({S_{10}} = - 125\).
\({S_{10}} = - 250\).
\({S_{10}} = 200\).
\({S_{10}} = - 200\).
Lời giải
Chọn A.
Gọi \({u_1}\), \(d\) lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = - 15\\{u_{20}} = 60\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = - 15\\{u_1} + 19d = 60\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 35\\d = 5\end{array} \right.\).
Vậy \({S_{10}} = \frac{{10}}{2}.\left( {2{u_1} + 9d} \right)\)\( = 5.\left[ {2.\left( { - 35} \right) + 9.5} \right]\)\( = - 125\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(a\) thuộc đoạn \(\left[ {0;2018} \right]\) sao cho ba số
\({5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}\); \(\frac{a}{2}\); \({25^x} + {25^{ - x}}\),
theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng?
\(2008\).
\(2006\).
\(2018\).
\(2007\).
Lời giải
Chọn D.
Ba số \({5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}\); \(\frac{a}{2}\); \({25^x} + {25^{ - x}}\), theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
\(a = \left( {{5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}} \right) + \left( {{{25}^x} + {{25}^{ - x}}} \right)\)\( \ge 2\sqrt {{5^{x + 1}} \cdot {5^{1 - x}}} + 2\sqrt {{{25}^x} \cdot {{25}^{ - x}}} \)\( = 12\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{5^{x + 1}} = {5^{1 - x}}\\{25^x} = {25^{ - x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\).
Như vậy nếu xét \(a \in \left[ {0;2018} \right]\) thì ta nhận \(a \in \left[ {12;2018} \right]\). Có \(2007\) số \(a\) thoả đề.
Chu vi một đa giác là \[158cm\], số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai \[d = 3cm\]. Biết cạnh lớn nhất là \[44cm\]. Số cạnh của đa giác đó là?
\[3\].
\[4\].
\[5\].
\[6\].
Lời giải
Chọn B.
Giả sử đã giác đã cho có \[n\] cạnh thì chu vi của đa giác là:\[{S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2}\]với \[{u_1}\] là cạnh nhỏ nhất. Suy ra: \[158 = \frac{{\left( {{u_1} + 44} \right)n}}{2}\]\[ \Leftrightarrow 316 = \left( {{u_1} + 44} \right)n\]\[ \Leftrightarrow {2^2}.79 = \left( {{u_1} + 44} \right)n\]
Do đó \[{u_1} + 44\]là ước nguyên dương của \[316 = {2^2}.79\]và đa giác có ít nhất ba cạnh nên
\[\frac{{316}}{3} > {u_1} + 44 > 44\]. Suyra:\[{u_1} + 44 = 79 \Leftrightarrow {u_1} = 35\].
Số cạnh của đa giác đã cho là: \[\frac{{44 - 35}}{3} + 1 = 4\] (cạnh).
Sinh nhật lần thứ \[17\] của An vào ngày \(01\) tháng \(5\) năm \(2018\). Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá \(3850000\) đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ ống heo \(1000\) đồng vào ngày \(01\) tháng \(02\) năm \(2018\). Trong các ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước \(1000\) đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày \(30\) tháng \(4\) năm \(2018\))?
\(4095000\) đồng.
\(89000\) đồng.
\(4005000\) đồng.
\(3960000\) đồng.
Lời giải
Chọn C.
* Số tiền bỏ heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 1000\) công sai \(d = 1000\).
* Tổng số tiền bỏ heo tính đến ngày thứ n là:
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)
* Tính đến ngày \(30\) tháng \(4\) năm \(2018\) (tính đến ngày thứ \(89\)) tổng số tiền bỏ heo là:
\({S_{89}} = \frac{{89\left[ {2.1000 + \left( {89 - 1} \right).1000} \right]}}{2} = 45.89.1000 = 4005000\) đồng.
Người ta trồng \[3003\] cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng \[1\] cây, hàng thứ hai trồng \[2\] cây, hàng thứ ba trồng \[3\] cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là
\[77\].
\[79\].
\[76\].
\[78\].
Lời giải
Chọn A.
Gọi số cây ở hàng thứ \[n\] là \[{u_n}\].
Ta có: \[{u_1} = 1\], \[{u_2} = 2\], \[{u_3} = 3\], … và \[S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = 3003\].
Nhận xét dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là cấp số cộng có \[{u_1} = 1\], công sai \[d = 1\].
Khi đó \[S = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\]\[ = 3003\].
Suy ra \[\frac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right)1} \right]}}{2} = 3003\]\[ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 6006\]\[ \Leftrightarrow {n^2} + n - 6006 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 77\\n = - 78\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow n = 77\] (vì \[n \in \mathbb{N}\]).
Vậy số hàng cây được trồng là \[77\].
Một em học sinh dùng các que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật được thể hiện như trong hình sau: 
Hỏi cần bao nhiêu que diêm để xếp thành hình tháp có \(10\) tầng?
\(69.\)
\(39.\)
\(420.\)
\(210.\)
Lời giải
Chọn D.
Ta có: Số que diêm để xếp được tầng đế của tháp là một cấp số cộng với \({u_1} = 3;d = 4\).
Suy ra số que diêm để xếp được tầng đế của tháp \(10\) tầng là \({u_{10}} = {u_1} + 9d = 39\).
Từ đó số que diêm để xếp được hình tháp \(10\) tầng là
\({S_{10}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}} = \frac{{10\left( {3 + 39} \right)}}{2} = 210\).
Trong sân vận động có tất cả \[30\] dãy ghế, dãy đầu tiên có \[15\] ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước \(4\) ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế?
\[2250\].
\[1740\].
\[4380\].
\[2190\].
Lời giải
Chọn D.
Gọi \[{u_1},{u_2},...{u_{30}}\] lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy ghế số ba mươi. Ta có công thức truy hồi ta có \[{u_n} = {u_{n - 1}} + 4\,\,\left( {n = 2,3,...,30} \right)\].
Ký hiệu:\[{S_{30}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{30}}\], theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng, ta được: \[{S_{30}} = \frac{{30}}{2}\left( {2{u_1} + \left( {30 - 1} \right)4} \right) = 15\left( {2.15 + 29.4} \right) = 2190\].
Người ta trồng \(3240\) cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn \(1\) cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?
\(81\).
\(82\).
\(80\).
\(79\).
Lời giải
Chọn C.
Giả sử trồng được \(n\) hàng cây \(\left( {n \ge 1,\,n \in \mathbb{N}} \right)\).
Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 1\).
Theo giả thiết:
\({S_n} = 3240\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = 3240\)\( \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 6480\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 6480 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 80\\n = - 81\end{array} \right.\).
So với điều kiện, suy ra: \(n = 80\).
Vậy có tất cả \(80\) hàng cây.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
\(128;{\rm{ }} - 64;{\rm{ }}32;{\rm{ }} - 16;{\rm{ }}8;{\rm{ }}...\)
\(\sqrt 2 ;{\rm{ }}2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}4\sqrt 2 ;{\rm{ }}....\)
\(5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}7;{\rm{ }}8;{\rm{ }}...\)
\(15;{\rm{ }}5;{\rm{ }}1;{\rm{ }}\frac{1}{5};{\rm{ }}...\)
Lời giải
Chọn A.
Xét đáp án: .
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - 2\) và \(q = - 5.\) Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
\( - 2;{\rm{ }}10;{\rm{ }}50;{\rm{ }} - 250.\)
\( - 2;{\rm{ }}10;{\rm{ }} - 50;{\rm{ }}250.\)
\( - 2;{\rm{ }} - 10;{\rm{ }} - 50;{\rm{ }} - 250.\)
\( - 2;{\rm{ }}10;{\rm{ }}50;{\rm{ }}250.\)
Lời giải
Chọn B.
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] cho bởi số hạng tổng quát \[{u_n}\] sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
\({u_n} = 7 - 3n.\)
\({u_n} = 7 - {3^n}.\)
\({u_n} = \frac{7}{{3n}}.\)
\({u_n} = {7.3^n}.\)
Lời giải
Chọn D.
Dãy \({u_n} = {7.3^n}\) là cấp số nhân có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\q = 3\end{array} \right.\).
Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
\[{u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}n\].
\[{u_n} = {n^2}\].
\[{u_n} = {2^n}\].
\[{u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\].
Lời giải
Chọn C.
\[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} = 2{u_n}\]\[ \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\] là cấp số nhân có công bội bằng \[2\].
Tìm \[x\] để ba số \[1 + x;{\rm{ }}9 + x;{\rm{ }}33 + x\] theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
\(x = 1.\)
\(x = 3.\)
\(x = 7.\)
\(x = 3;{\rm{ }}x = 7.\)
Lời giải
Chọn B.
Cấp số nhân
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 3\) và \(q = \frac{2}{3}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{u_5} = - \frac{{27}}{{16}}.\]
\[{u_5} = - \frac{{16}}{{27}}.\]
\[{u_5} = \frac{{16}}{{27}}.\]
\[{u_5} = \frac{{27}}{{16}}.\]
Lời giải
Chọn B.
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = - 3\] và \[q = - 2.\] Tính tổng \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.
\({S_{10}} = - 511.\)
\({S_{10}} = - 1025.\)
\({S_{10}} = 1025.\)
\({S_{10}} = 1023.\)
Lời giải
Chọn D.
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là \(\frac{1}{4};{\rm{ }}\frac{1}{2};{\rm{ }}1;{\rm{ }} \cdots ;{\rm{ }}2048.\) Tính tổng \(S\) của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho
\(S = 2047,75.\)
\(S = 2049,75.\)
\(S = 4095,75.\)
\(S = 4096,75.\)
Lời giải
Chọn C.
Cấp số nhân đã cho có
Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 14 số hạng. Vậy
\({S_{14}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{14}}}}{{1 - q}} = \frac{1}{4}.\frac{{1 - {2^{14}}}}{{1 - 2}} = 4095,75\).
Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có \({u_4} - {u_2} = 54\) và \({u_5} - {u_3} = 108\).
\[{u_1} = 3\] và \[q = 2\].
\[{u_1} = 9\] và \[q = 2\].
\[{u_1} = 9\] và \[q = -2\].
\[{u_1} = 3\] và \[q = -2\].
Lời giải
Chọn B.
Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là \({u_1}\) và công bội là \(q\).
Theo giả thiết, ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 54\\{u_5} - {u_3} = 108\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 54\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 108\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right)}} = \frac{{54}}{{108}} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow q = 2\).
Với \(q = 2\), ta có \(8{u_1} - 2{u_1} = 54\)\( \Leftrightarrow 6{u_1} = 54\)\( \Leftrightarrow {u_1} = 9\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right);{u_1} = 1,q = 2\). Hỏi số \(1024\) là số hạng thứ mấy?
\(11\).
\(9\).
\(8\).
\(10\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow {1.2^{n - 1}} = 1024 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{10}} \Leftrightarrow n - 1 = 10 \Leftrightarrow n = 11\).
Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội \(q\). Tìm \(q.\)
\(q = 2.\)
\(q = - 2.\)
\(q = - \frac{3}{2}.\)
\(q = \frac{3}{2}.\)
Lời giải
Chọn B.
Giả sử ba số hạng \(a;\,\,b;\,\,c\) lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, khi đó \(b;\,\,a;\,\,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân công bội \(q.\) Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}a + c = 2b\\a = bq;\,c = b{q^2}\end{array} \right. \Rightarrow bq + b{q^2} = 2b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\{q^2} + q - 2 = 0\end{array} \right..\)
Nếu \(b = 0 \Rightarrow a = b = c = 0\) nên \(a;\,\,b;\,\,c\) là cấp số cộng công sai \(d = 0\) (vô lí).
Nếu \({q^2} + q - 2 = 0 \Leftrightarrow q = 1\) hoặc \(q = - 2.\) Nếu \(q = 1 \Rightarrow a = b = c\) (vô lí), do đó \(q = - 2.\)
Bốn góc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và góc lớn nhất gấp 27 lần góc nhỏ nhất. Tổng của góc lớn nhất và góc bé nhất bằng:
\(56^\circ .\)
\(102^\circ \).
\(252^\circ .\)
\(168^\circ .\)
Lời giải
Chọn C.
Giả sử 4 góc A, B, C, D (với \(A < B < C < D\)) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thỏa yêu cầu với công bội \(q.\) Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}A + B + C + D = 360\\D = 27A\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1 + q + {q^2} + {q^3}} \right) = 360\\A{q^3} = 27A\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\A = 9\\D = A{q^3} = 243\end{array} \right. \Rightarrow A + D = 252.\)
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\) và có diện tích \({S_1}\). Nối \(4\) trung điểm \({A_1}\), \({B_1}\), \({C_1}\), \({D_1}\) theo thứ tự của \(4\) cạnh \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) ta được hình vuông thứ hai có diện tích \({S_2}\). Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là\({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có diện tích \({S_3}\), …và cứ tiếp tục làm như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích \({S_4}\), \({S_5}\),…,\({S_{100}}\) (tham khảo hình vẽ). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}}\).
\(S = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{100}}}}\).
\(S = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}}\).
\(S = \frac{{{a^2}}}{{{2^{100}}}}\).
\(S = \frac{{{a^2}\left( {{2^{99}} - 1} \right)}}{{{2^{98}}}}\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có \({S_1} = {a^2}\); \({S_2} = \frac{1}{2}{a^2}\); \({S_3} = \frac{1}{4}{a^2}\),…
Do đó \({S_1}\), \({S_2}\), \({S_3}\),…, \({S_{100}}\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = {S_1} = {a^2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}}\)\( = {S_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}}\).
Một lọ thủy tinh dung tích 1 000 ml chứa đầy 1 loại dung dịch chất độc nồng độ 10% đã được chuyển sang bình chứa khác; nhưng dung dịch độc hại sau khi đổ hết vẫn còn dính lọ 0,1 %. Để chất độc còn trong lọ 0,001 m gam (microgam), Người ta dùng nước cất xúc rửa lọ thủy tinh này. Hỏi phải xúc rửa bao nhiêu lần nếu mỗi lần dùng 1000 ml nước cất? Giả sử rằng mỗi lần xúc rửa, chất độc hòa tan hết trong nước và sau khi đổ đi dung dịch mới cũng vẫn còn dính lọ một lượng như nhau.
2.
3.
4.
5.
Lời giải
Chọn B.
Lượng chất độc tồn trong lọ lúc đầu là: (100 g: 1000) = \(\frac{1}{{10}}\) (gam).
Lượng chất độc tồn trong lọ theo yêu cầu là: 0,001 m gam = \(\frac{1}{{1000}}\) (gam).
Mỗi lần xúc rửa với 1 000 ml nước cất, vẫn còn dính lọ 1 ml (0,1 %) nghĩa là lượng chất độc đã giảm đi 1 000 (103) lần. Lập bảng lượng chất độc tồn đọng sau các lần xúc rửa, ta có:
Vậy sau 3 lần xúc rửa với 1 000 ml/ lần thì chất độc còn \(\frac{1}{{10}} \times \frac{1}{{{{10}^9}}} \le \frac{1}{{{{10}^9}}}\).
Qua điều tra chăn nuôi bò ở huyện X cho thấy ở đây trong nhiều năm qua, tỉ lệ tăng đàn hàng năm là 2%. Tính xem, sau một kế hoạch 3 năm, với số lượng đàn bò thống kê được ở huyện này vào ngày 1/1/2017 là 18 000 con, thì với tỉ lệ tăng đàn trên đây, đàn bò sẽ đạt tới bao nhiêu con?
18 360.
18 727.
19 102
19 101.
Lời giải
Chọn C.
Thông thường bài toán trên được giải như sau:
Sau một năm đàn bò ở huyên này tăng được: 18 000 2% = 360 (con).
Nên tổng số đàn bò sau năm thứ nhất (cuối năm 2006) là:
18 000 + 360 = 18 360 (con).
Sau 2 năm đàn bò lại tăng thêm: 18 360 2% = 367 (con).
Nên tổng số bò sau năm thứ 2 (cuối năm 2007) là:
18 360 + 367 = 18 727 (con).
Sau 3 năm đàn bò lại tăng thêm: 18 727 2% = 375 (con).
Như vậy tổng đàn bò cuối năm thứ 3 (cuối 2008) là:
18 727 + 375 = 19 102 (con).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 5}\end{array}} \right.\).
Năm số hạng đầu của dãy số là: \({u_1} = 2;{u_2} = 7;{u_3} = 12;{u_4} = 17;{u_5} = 22\).
Số hạng tổng quát của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = 5n - 3\).
Số hạng \({u_{50}}\) bằng \(247\).
512 là số hạng thứ 102 của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\).
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai
Năm số hạng đầu của dãy số là: \({u_1} = 2;{u_2} = 7;{u_3} = 12;{u_4} = 17;{u_5} = 22\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2}\\{{u_2} = {u_1} + 5}\\{{u_3} = {u_2} + 5}\\{{u_4} = {u_3} + 5}\\{ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots ...}\\{{u_n} = {u_{n - 1}} + 5}\end{array}} \right.\).
Cộng theo vế toàn bộ đẳng thức trên rồi triệt tiêu các số hạng giống nhau ở hai vế, ta được:
\({u_n} = 2 + (n - 1)5 = 5n - 3\).
Số hạng thứ 50 của dãy số là: \({u_{50}} = 5 \cdot 50 - 3 = 247\).
Xét \(5n - 3 = 512 \Rightarrow n = 103\). Vậy số 512 là số hạng thứ 103 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\).
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{(n + 3)(n + 2)}}\).
\({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{{n^2} + 4n + 4 - \left( {{n^2} + 4n + 3} \right)}}{{(n + 3)(n + 2)}} = \frac{1}{{(n + 3)(n + 2)}} > 0\).
Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Mặt khác: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{(n + 2) - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó: \(0 < {u_n} < 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_5} = 18\) và \(4{S_n} = {S_{2n}}\) (trong đó \({S_n},{S_{2n}}\) theo thứ tự là tổng của \(n\) và \(2n\) số hạng đầu của cấp số cộng).
Số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(2\).
Công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(3\).
Số hạng \({u_{15}} = 58\).
Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng bằng \(350\).
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng, ta có: \({u_5} = 18 \Leftrightarrow {u_1} + 4d = 18\).
\(\begin{array}{l}4{S_n} = {S_{2n}} \Leftrightarrow \frac{{4n}}{2}\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right] = \frac{{2n}}{2}\left[ {2{u_1} + (2n - 1)d} \right]\\ \Leftrightarrow 4{u_1} + (2n - 2)d = 2{u_1} + (2n - 1)d \Leftrightarrow 2{u_1} - d = 0.\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra \({u_1} = 2,d = 4\).
Số hạng tổng quát \({u_n} = 2 + (n - 1)4 = 4n - 2\) suy ra \({u_{15}} = 58\)
Tổng 15 số hạng đầu cấp số cộng là: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {2{u_1} + 14d} \right) = \frac{{15}}{2}(2 \cdot 2 + 14 \cdot 4) = 450.{\rm{ }}\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 5\) và \(d = - 7\).
\({u_{11}} = - 65\).
\({u_5} + {u_7} = - 50\).
Số \( - 849\) là số hạng thứ 123 của cấp số cộng.
Số \( - 114\) là số hạng thứ 18 của cấp số cộng.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5 + (n - 1) \cdot ( - 7) = - 7n + 12\)
a) Ta có: \({u_{11}} = - 7.11 + 12 = - 65\).
b) \({u_5} + {u_7} = - 60\)
c) Ta có: \( - 849 = - 7n + 12 \Rightarrow n = 123\).
d) Ta có \( - 114 = - 7n + 12 \Rightarrow n = 18\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15}\\{{u_1} + {u_6} = 27}\end{array}} \right.\).
Số hạng \({u_1} = 21\).
Công sai của cấp số cộng bằng \( - 2\).
Số hạng \({u_{11}} = - 9\).
Số \( - 6048\) là số hạng thứ \(2024\).
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).
Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15}\\{{u_1} + {u_6} = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 15}\\{{u_1} + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 2d = 15}\\{2{u_1} + 5d = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 21}\\{d = - 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\).
Suy ra \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 21 + (n - 1).( - 3) = - 3n + 24\)
Vậy \({u_{11}} = - 9\)
Ta có \( - 6048 = - 3n + 24 \Rightarrow n = 2024\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} = \frac{2}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right.\).
Số hạng \({u_1} = 2;{u_2} = \frac{2}{3}\).
\({u_5} - {u_3} = - \frac{{16}}{{81}}\).
Số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 8 của cấp số nhân.
Tổng chín số hạng đầu của cấp số nhân là số lớn hơn 3.
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai
Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).
Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{q^5} = \frac{1}{{243}}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \frac{1}{3}}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Năm số hạng đầu của \(\left( {{u_n}} \right)\) là: \({u_1} = 2;{u_2} = \frac{2}{3};{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}};{u_5} = \frac{2}{{81}}\).
Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}}\).
Xét \({u_n} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}}\)
\( \Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9.\)
Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).
Tổng chín số hạng đầu của cấp số nhân là: \({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2.\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2,99985 < 3\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội nguyên và các số hạng thoả mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} - {u_2} = 54}\\{{u_5} - {u_3} = 108}\end{array}} \right.\).
Số hạng đầu của cấp số nhân bằng \(9\).
Công bội của cấp số nhân \(q = 3\).
Tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599.
Số 576 là số hạng thứ 6 của cấp số nhân.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} - {u_2} = 54}\\{{u_5} - {u_3} = 108}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} - {u_1}q = 54}\\{{u_1}{q^4} - {u_1}{q^2} = 108}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}q\left( {{q^2} - 1} \right) = 54}\\{{u_1}{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 108}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{{54}}{{q({q^2} - 1)}}}\\{\frac{1}{q} = \frac{{54}}{{108}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{{54}}{{2({2^2} - 1)}}}\\{q = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 9}\\{q = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Ta có: \({S_n} = 4599 \Leftrightarrow \frac{{{u_1} \cdot \left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 4599 \Leftrightarrow \frac{{9 \cdot \left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 4599\)
\( \Leftrightarrow - 9.\left( {1 - {2^n}} \right) = 4599 \Leftrightarrow 1 - {2^n} = - 511 \Leftrightarrow {2^n} = 512 \Leftrightarrow n = 9\)
Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599.
Ta có: \({u_k} = 576 \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^{k - 1}} = 576 \Leftrightarrow {9.2^{k - 1}} = 576 \Leftrightarrow {2^{k - 1}} = 64 \Leftrightarrow k - 1 = 6 \Leftrightarrow k = 7\).
Vậy số 576 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.
Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 100 nghìn đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30 nghìn đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người cần khoan một giếng sâu \(20\;{\rm{m}}\) để lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bao nhiêu nghìn đồng?
Lời giải
Trả lời: \(7700\).
Gọi \({u_n}\) là giá của mét khoan thứ \(n\), trong đó \(1 \le n \le 20\).
Khi đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 100\) và công sai \(d = 30\).
Số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là:
\({S_{20}} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{20}} = \frac{{20\left( {2{u_1} + 19d} \right)}}{2} = \frac{{20(2.100 + 19.30)}}{2} = 7700{\rm{ }}\)(nghìn đồng).
Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông?
Lời giải
Trả lời: 300.
Kể từ lúc 1 (giờ) đến 24 (giờ) số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với \({u_1} = 1\), công sai \(d = 1\).
Do đó tổng số tiếng chuông đánh trong 1 ngày là: \(S = {S_{24}} = \frac{{24 \cdot \left( {{u_1} + {u_{24}}} \right)}}{2} = \frac{{24 \cdot (1 + 24)}}{2} = 300.{\rm{ }}\)
Vậy một ngày đồng hồ đó đánh 300 tiếng chuông.
Theo báo cáo của Chính phủ, dân số của nước ta tính đến tháng 12 năm 2018 là 95,93 triệu người, nếu tỉ lệ tăng trưởng dân số trung bình hằng năm là \(1,33\% \) thì dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 là bao nhiêu? (Tính theo đơn vị triệu người, làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Trả lời: \(105,23\).
Theo tỉ lệ tăng trưởng \(1,33\% \) thì:
- Tháng 12 năm 2019, dân số nước ta là:
\({u_1} = 95,93 + 95,93 \cdot \frac{{1,33}}{{100}} = 95,93\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right)\) (triệu người).
- Tháng 12 năm 2020, dân số nước ta là:
\({u_2}\)\( = 95,93\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right) + 95,93\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right) \cdot \frac{{1,33}}{{100}}\)
\( = 95,93\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right) = 95,93{\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right)^2}\) (triệu người).
- Theo quy luật đó, ta biết dân số nước ta vào tháng 12 năm thứ \(n\) kể từ năm 2019 được tính theo công thức \({u_n} = 95,93{\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right)^n}\) (triệu người).
- Vậy vào tháng 12 năm 2025 (tức \(n = 2025 - 2018 = 7\)), dân số nước ta là:
\({u_7} = 95,93{\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right)^7} \approx 105,23{\rm{ }}\)(triệu người).
Ông Minh gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với hình thức lãi kép kì hạn 12 tháng lãi suất \(7\% \)/năm Giả sử trong khoảng thời gian gửi tiền ông Minh không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi, hỏi sau 10 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà ông nhận được là bao nhiêu (đơn vị: đồng, tính kết quả gần đúng đến hàng nghìn)?
Lời giải
Trả lời: \(196\,715\,000\).
Gọi \(r\) là lãi suất tiền gửi theo năm: \(r = 0,07/\)năm; tiền gửi là \({10^8}\) (đồng).
Sau năm thứ nhất, số tiền người gởi nhận được là: \({10^8} + {10^8}r = {10^8}(1 + r){\rm{. }}\)
Sau năm thứ hai, số tiền người gởi nhận được là:
\({10^8}(1 + r) + {10^8}(1 + r)r = {10^8}(1 + r)(1 + r) = {10^8}{(1 + r)^2}.\)
Theo quy luật đó, ta thấy số tiền mà ông Minh nhận được sau \(n\) năm là số hạng thứ \(n\) của một câp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = {10^8}(1 + r)\), công bội \(q = 1 + r\).
Sau năm thứ \(n\), ông Minh nhận được số tiền: \({u_n} = {10^8}{(1 + r)^n}{\rm{. }}\)
Sau 10 năm, số tiền ông Minh nhận được: \({u_{10}} = {10^8}{(1 + 0,07)^{10}} \approx 196715000{\rm{ }}\)(đồng).
