Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức \[f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)\] theo lũy thừa giảm dần của biến:

• \[f\left( x \right) = 3{x^3} + 5x - 4 - {x^3} + 2{x^2} + 11\]

\[ = \left( {3 - 1} \right){x^3} + 2{x^2} + 5x - 4 + 11\]

\[ = 2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7\].

• \[g\left( x \right) = {x^2} + 4 - 3{x^2} - \left( {3{x^2} - 7{x^3} - 1} \right)\]

\[ = {x^2} + 4 - 3{x^2} - 3{x^2} + 7{x^3} + 1\]

\[ = 7{x^3} + (1 - 3 - 3){x^2} + 4 + 1\]

\[ = 7{x^3} - 5{x^2} + 5\].

b) Ta có \[f\left( x \right) + g\left( x \right) = \left( {2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7} \right) + \left( {7{x^3} - 5{x^2} + 5} \right)\]

\[ = 2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7 + 7{x^3} - 5{x^2} + 5\]

\[ = \left( {2 + 7} \right){x^3} + \left( {2 - 5} \right){x^2} + 5x + \left( {7 + 5} \right)\]

\[ = 9{x^3} - 3{x^2} + 5x + 12\].

Vậy \[f\left( x \right) + g\left( x \right) = 9{x^3} - 3{x^2} + 5x + 12\].

c) Ta có \[f\left( x \right) - g\left( x \right) = \left( {2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7} \right) - \left( {7{x^3} - 5{x^2} + 5} \right)\]

\[ = 2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7 - 7{x^3} + 5{x^2} - 5\]

\[ = \left( {2 - 7} \right){x^3} + \left( {2 + 5} \right){x^2} + 5x + \left( {7 - 5} \right)\]

\[ = - 5{x^3} + 7{x^2} + 5x + 2\].

Vậy \[f\left( x \right) - g\left( x \right) = - 5{x^3} + 7{x^2} + 5x + 2\].

a) Rút gọn và sắp xếp đa thức \(M\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến, ta được:

\(M\left( x \right) = 3x + {x^4} - 4{x^3} - {x^2} - 2{x^4} + 4{x^3} - x - 5\)

\( = \left( {{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {4{x^3} - 4{x^3}} \right) - {x^2} + \left( {3x - x} \right) - 5\)

\( = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5\).

Vậy \(M\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5\).

b) • \(A\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right) = \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right) + \left( {2x + 3} \right)\)

\( = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5 + 2x + 3\)

\[ = - {x^4} - {x^2} + \left( {2x + 2x} \right) + \left( {3 - 5} \right)\]

\[ = - {x^4} - {x^2} + 4x - 2\].

• \[B\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right) - \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right)\]

\[ = 2x + 3 + {x^4} + {x^2} - 2x + 5\]

\[ = {x^4} + {x^2} + \left( {2x - 2x} \right) + \left( {3 + 5} \right) = {x^4} + {x^2} + 8\].

Vậy \[A\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 4x - 2\]; \[B\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 8\].

c) Nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là

\(2x + 3 = 0\)

\(2x = - 3\)

\(x = - \frac{3}{2}\).

Vậy nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là \(x = - \frac{3}{2}\).

d) Ta có \(B\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 8 = {x^4} + 2 \cdot \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{4} + \frac{{31}}{4}\)

\( = {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} > 0{\kern 1pt} \,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó \(B\left( x \right)\) vô nghiệm.

a) Ta có: \(P\left( x \right) = - 2 - 3{x^4} - x - 5{x^3} + 10x - 17{x^2} + \frac{1}{2}{x^3} - 5 + {x^3}\)

\(P\left( x \right) = - 3{x^4} + \left( { - 5{x^3} + \frac{1}{2}{x^3} + {x^3}} \right) - 17{x^2} + \left( {10x - x} \right) - 5 - 2\)

\(P\left( x \right) = - 3{x^4} - \frac{7}{2}{x^3} - 17{x^2} + 9x - 7\).

b) Ta có bậc của đa thức \(P\left( x \right)\) là 4, hệ số cao nhất là \( - 3\) và hệ số tự do là \( - 7\).

Ta có: \(P\left( { - 2} \right) = - 3.{\left( { - 2} \right)^4} - \frac{7}{2}.{\left( { - 2} \right)^3} - 17.{\left( { - 2} \right)^2} + 9.\left( { - 2} \right) - 7\)

\(P\left( { - 2} \right) = - 49\).

c) Ta có: \(Q\left( x \right) - P\left( x \right) = 2{x^4} - \frac{1}{2}{x^3} - 19x - 1\)

Do đó, \(Q\left( x \right) = P\left( x \right) + 2{x^4} - \frac{1}{2}{x^3} - 19x - 1\)

\(Q\left( x \right) = - 3{x^4} - \frac{7}{2}{x^3} - 17{x^2} + 9x - 7 + 2{x^4} - \frac{1}{2}{x^3} - 19x - 1\)

\(Q\left( x \right) = \left( { - 3{x^4} + 2{x^4}} \right) + \left( { - \frac{7}{2}{x^3} - \frac{1}{2}{x^3}} \right) - 17{x^2} + \left( {9x - 19x} \right) - 7 - 1\)

\(Q\left( x \right) = - {x^4} - 4{x^3} - 17{x^2} - 10x - 8\).

d) Thực hiện phép chia \(P\left( x \right):\left( {2 - x} \right),\) ta có:

Vậy dư của phép chia \(P\left( x \right):\left( {2 - x} \right)\) là \( - 33\).

a) Các cạnh của phần diện tích hình vuông còn lại là \(a - 1,2\) m.

Do đó, biểu thức biểu thị phần diện tích còn lại của mảnh vườn là: \({\left( {a - 1,2} \right)^2}\) m².

b) Khi \(a = 25,5\) thì diện tích phần còn lại của mảnh vườn là:

\({\left( {25,5 - 1,2} \right)^2} = 590,49\) (m²)

Biểu thức biểu thức số xe được bán ra trong khoảng thời gian nêu trên là:

\( - 0,016{t^4} + 0,49{t^3} - 4,8{t^2} + 14t + 70 + \left( { - 0,01{t^4}} \right) + 0,31{t^3} - 3{t^2} + 11t + 23\)

\( = \left( { - 0,016{t^4} - 0,01{t^4}} \right) + \left( {0,49{t^3} + 0,31{t^3}} \right) + \left( { - 4,8{t^2} - 3{t^2}} \right) + \left( {14t + 11t} \right) + 70 + 23\)

\( = - 0,026{t^4} + 0,8{t^3} - 7,8{t^2} + 28t + 93\).

a) Tất cả các thẻ trong hộp đều ghi số nhỏ nhỏ hơn 25.

Do đó, xác suất của biến cố A là \[100\% \].

b) Tất cả các thẻ trong hộp đều ghi số tự nhiên hay không có thẻ nào ghi số thập phân.

Do đó, xác suất của biến cố B là \[0\% \].

c) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 19 thẻ ghi số nhỏ hơn 20 gồm \[\left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,...\,;\,\,19} \right\}.\]

Do đó, xác suất của biến cố C là \[\frac{{19}}{{20}}\].

d) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 3 thẻ ghi số lớn hơn 17 gồm \[\left\{ {18\,;\,\,19\,;\,\,20} \right\}.\]

Do đó, xác suất của biến cố D là \[\frac{3}{{20}}\].

e) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 10 thẻ ghi số chẵn và 10 thẻ ghi số lẻ.

Do đó, xác suất của biến cố E là \[50\% \].

g) Trong 20 thẻ trong hộp có các số chia hết cho 4 là \[4\,;\,\,8\,;\,\,12\,;\,\,16\,;\,\,20\].

Xác suất số chia hết cho 4 là \[\frac{5}{{20}}\].

h) Các số nguyên tố trên thẻ là \[2\,;\,\,3\,;\,\,5\,;\,\,7\,;\,\,13\,;\,\,17\,;\,\,19\];

Xác suất xuất hiện số nguyên tố là \[\frac{7}{{20}}\];

Xác suất xuất hiện là \[\frac{7}{{20}}\].

a) Tập hợp \[A\] gồm các kết quả thuận lợi cho biến cố "Số chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc là số chia 3 dư 2" là \(A = \left\{ {2\,;\,\,5} \right\}\).

b) Xác suất gieo được mặt 5 chấm là \[\frac{1}{6}\].

c) Số nguyên tố xuất hiện ở trên mặt con xúc xắc là \[2\,;\,\,3\,;\,\,5.\]

Xác suất của biến cố gieo được mặt có chấm là số nguyên tố là \[\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\].

a) Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số được chọn là số nguyên tố” là:

\(\left\{ {2;3;5;7} \right\}\). Do đó, có 4 kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất của biến cố này là: \(\frac{4}{7}.\)

b) Kết quả thuận lợi cho biến cố B: “Số được chọn là số chia hết cho 2 và 5” là: \(10\).

Do đó, có 1 kết quả thuận lợi.

Vậy, xác suất cho biến cố này là: \(\frac{1}{7}.\)

a) Xác suất để lấy ngẫu nhiên được một chiếc bút bi màu xanh là: \(\frac{3}{{10}}.\)

b) Xác suất để lấy ngẫu nhiên được một chiếc bút bi màu đỏ là: \(\frac{2}{{10}} = \frac{1}{5}.\)

a) Xác suất của biến cố “Thẻ được ra là hình bông hoa” là \(\frac{2}{{15}}.\)

b) Xác suất của biến cố “Thẻ được rút ra là hình vuông” là \(\frac{8}{{15}}.\)

c) Biến cố “Thẻ được rút ra không phải hình ngôi sao” tức là thẻ được rút ra có hình bông hoa hoặc hình vuông.

Do đó, xác suất của biến cố này là: \(\frac{8}{{15}} + \frac{2}{{15}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}.\)

a) Xét \(\Delta ABN\) và \(\Delta BCM\) có:

\[AB = BC\] (tam giác\(ABC\) đều)

\[\widehat B = \widehat C\] (tam giác \(ABC\) đều)

\[BN = CM\] (gt)

Do đó \(\Delta ABN = \Delta BCM\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\).

Suy ra \(AN = BM\) (hai cạnh tương ứng)

b) Từ câu a: \(\Delta ABN = \Delta BCM\) suy ra \(\widehat {BAN} = \widehat {MBC}\) (hai góc tương ứng)

Theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta có:

\(\widehat {AGM} = \widehat {GBA} + \widehat {BAN} = \widehat {GBA} + \widehat {MBC} = \widehat {ABC} = 60^\circ \).

Vậy \(\widehat {AGM} = 60^\circ \).

a) Trên tia đối của tia \(MA\) lấy \(D\) sao cho \(MA = MD\) suy ra \(AM = \frac{{AD}}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\)

• Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta CMD\) có

\(AM = MD\) (theo cách vẽ)

\(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\) (hai góc đối đỉnh)

\(BM = CM\) (gt)

Do đó \(\Delta AMB = \Delta DMC\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\)

Suy ra \(AB = CD\) (hai cạnh tương ứng)

Và \(\widehat {ABC} = \widehat {DCM}\) (hai góc tương ứng)

Do đó \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = \widehat {DCM} + \widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ACD} = 90^\circ \).

• Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DCA\) có:

\(AB = CD\) (cmt)

\(\widehat {ABC} = \widehat {DCM}\) (cmt)

Cạnh \(AC\) chung

Do đó \(\Delta ABC = \Delta CDA\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\).

Suy ra \(BC = AD\,\,\,\left( 2 \right)\) (hai cạnh tương ứng).

Từ (1) và (2) suy ra \(AM = \frac{{BC}}{2}\).

b) Vì \(AM = \frac{{BC}}{2};\,\,BM = \frac{{BC}}{2}\) nên \(AM = BM\) suy ra \(\Delta ABM\,\) cân.

Nếu \(\widehat C = 30^\circ \) thì \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \(\Delta ABM\) đều.

Do đó \[AB = AM = \frac{{BC}}{2}\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\,\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\] (tính chất tam giác đều).

Vậy \(AB = \frac{{BC}}{2}\).

a) Xét \(\Delta CAB\) và \(\Delta CAD\) có \(\widehat {CAB} = \widehat {CAD} = 90^\circ \)

\(AD = AB\)

Cạnh \(CA\) chung

Do đó \(\Delta CAB = \Delta CAD\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\).

Suy ra \(CB = CD\) (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác \(BD = 2AB = 2 \cdot 3 = 6 = CB.\)

Do đó \(CB = CD = BD\).

Vậy tam giác \(BCD\) là tam giác đều.

b) Theo giả thiết \(CA = CM\) nên \(\Delta CAM\) cân tại \(C\).

Suy ra \(\widehat {CAM} = \widehat {CMA} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACM}}}{2} = \frac{{180^\circ - 30^\circ }}{2} = 75^\circ \).

• Xét \(\Delta AHM\) vuông ta có

\(\widehat {MAH} = 180^\circ - \widehat {AHM} - \widehat {AMH}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ \).

• Xét \(\Delta AHB\) ta có

\(\widehat {HAB} = 180^\circ - \widehat {AHB} - \widehat {HBA}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Mặt khác \(\widehat {MAN} = \widehat {MAB} - \widehat {MAH}\)\( = 30^\circ - 15^\circ = 15^\circ \).

Do đó \(\widehat {MAH} = \widehat {MAN} = 15^\circ \).

• Xét \(\Delta MAN\) và \(\Delta MAH\) có:

\(AN = AH\), \(\widehat {MAH} = \widehat {MAN}\) và cạnh \(AM\) chung.

Do đó \(\Delta MAN = \Delta MAH\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\).

Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AHM} = 90^\circ \). Vậy \(MN \bot AB\).

a) Theo giả thiết, ta có \(CH \bot AB\,;{\rm{ }}BH \bot AC\) nên \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).

Suy ra \(AH \bot BC\) hay \(AM \bot BC\)

Xét tam giác \(BAM\) ta có

\(\widehat {BAM} = 180^\circ - \widehat {AMB} - \widehat {MBA}\)\(180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(1)\)

Xét tam giác \(BCE\) ta có

\(\widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {CEB} - \widehat {MBE}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(2)\)

Từ \((1),\,\,(2)\) suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).

b) Xét hai tam giác vuông \(AKE\) và \(AHE\) có

\(EK = EH\), \(AE\) là cạnh chung.

Do đó \[\Delta AKE = \Delta AHE\] (hai cạnh góc vuông bằng nhau).

Suy ra \(\widehat {KAE} = \widehat {HAE}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {HAE} = \widehat {KCB}\) (câu a) nên \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBD\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = 90^\circ \)

\[BD\] là cạnh chung

\(\widehat {ABD} = \widehat {HBD}\) (do \[BD\] là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\)).

Do đó \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Từ \(\Delta ABD = \Delta HBD\) (câu a) suy ra \[AD = HD\] (hai cạnh tương ứng).

Xét \[\Delta DHC\] vuông tại \[H\] có \[DC\] là cạnh huyền nên \[DC\] là cạnh lớn nhất.

Do đó \[DC > HD\] nên \[DC > AD.\]

c) Xét \[\Delta BKC\] có \[CA \bot BK,{\rm{ }}KH \bot BC\] và \[CA\] cắt \[KH\] tại \[D.\]

Do đó \[D\] là trực tâm của \[\Delta BKC\], nên \[BD \bot KC\]. (1)

Gọi \[J\] là giao điểm của \[BD\] và \[KC.\]

Xét \[\Delta BKJ\] và \[\Delta BCJ\] có:

\(\widehat {BJK} = \widehat {BJC} = 90^\circ \),

\[BJ\] là cạnh chung,

\(\widehat {KBJ} = \widehat {CBJ}\) (do \[BJ\] là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\)).

Do đó \[\Delta BKJ = \Delta BCJ\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra \[KJ = CJ\] (hai cạnh tương ứng).

Hay \[J\] là trung điểm của \[KC.\]

Mà theo bài \[I\] là trung điểm của \[KC\] nên I và \[J\] trùng nhau.

Do đó ba điểm \[B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I\] thẳng hàng.

a) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BED\) có

\[AD = BE\] (gt)

\(\widehat {AED} = \widehat {BDE} = 90^\circ \)

Cạnh \[AB\] chung

Do đó \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {EAB} = \widehat {ABD}\] (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác \[ABC\] cân tại \[C\].

b) Vì tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[CA = CB\].

Suy ra \[C\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vì \(\Delta ADE = \Delta BED\) (cmt) nên \[\widehat {EBA} = \widehat {DAB}\] (hai góc tương ứng).

Suy ra tam giác \[HAB\] cân tại \[H\]nên \[HA = HB\].

Do đó \[H\] thuộc đường trung trực của \[AB\].

Vậy đường thẳng \[CH\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

c) Tam giác \[ABC\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Ta có \[AE = BD\] (vì \(\Delta ADE = \Delta BED\)).

Suy ra \[CA - AE = CB - BD\] nên \[CE = CD\].

Do đó tam giác \[CED\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CED} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}\].

Suy ra \[\widehat {CAB} = \widehat {CED}\]

Mà \[\widehat {CAB}\] và \[\widehat {CED}\] ở vị trí đồng vị nên \[ED\,{\rm{//}}\,BA.\]

a) Trên tia đối của tia \[DA\] lấy điểm \[H\] sao cho \[DA = DH\].

• Xét \[\Delta ADB\] và \[\Delta HDC\] có

\[BD = CD\] (\[D\] là trung điểm của \[BC\])

\[\widehat {ADB} = \widehat {HDC}\] (đối đỉnh)

\[AD = HD\] (cách dựng)

Do đó \[\Delta ADB = \Delta HCD\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\].

Suy ra \[AB = HC\] (hai cạnh tương ứng).

• Xét \[\Delta ACH\] có \[AC + HC > AH\] (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra \[AC + AB > 2AD\] hay \[AD < \frac{{AB + AC}}{2}\].

b) Ta có \[AD,\,\,BE,\,\,CF\] cắt nhau tại \[G\] nên \[G\] là trọng tâm của \[\Delta ABC\].

Suy ra \[BG = \frac{2}{3}BE\,,\,\,CG = \frac{2}{3}CF\,,\,\,AG = \frac{2}{3}AD\].

Xét \[\Delta BGC\] có \[BG + CG > BC\] (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra \[\frac{2}{3}\left( {BE + CF} \right) > BC\] hay \[BE + CF > \frac{3}{2}BC.\]

c) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác \[AGB\,,\,\,AGC\,,\,\,BGC\]:

• Xét \[\Delta AGB\] có \[AG + BG > AB\]. (1)

• Xét \[\Delta AGC\] có \[AG + CG > AC\]. (2)

• Xét \[\Delta BGC\] có \[BG + CG > BC\]. (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:

\[AG + BG + AG + CG + BG + CG > AB + AC + BC\]

\[2AG + 2BG + 2CG > AB + AC + BC\]

\[\frac{4}{3}AD + \frac{4}{3}BE + \frac{4}{3}CF > AB + AC + BC\]

\[\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF\].

Theo câu a) ta có \[AD < \frac{{AB + AC}}{2}\].

Chứng minh tương tự, ta có: \[BE < \frac{{AB + BC}}{2}\,;\,\,CF < \frac{{BC + AC}}{2}\].

Suy ra \[AD + BE + CF > \frac{{AB + AC}}{2} + \frac{{AB + BC}}{2} + \frac{{BC + AC}}{2}\].

Do đó \[AD + BE + CF < AB + BC + AC\].

Vậy \[\,\frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right) < AD + BE + CF < AB + BC + AC\].

a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta NMC\) có

\[MC = MB\] (gt)

\(\widehat {AMB} = \widehat {NMC}\) (hai góc đối đỉnh)

\[MA = MN\] (gt)

Do đó \(\Delta AMB = \Delta NMC\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}{\rm{.}}\)

Suy ra \[\widehat {MAB} = \widehat {MNC}\] (hai góc tương ứng).

Ta thấy hai góc này ở vị trí so le trong \(CN\,{\rm{//}}\,AB\).

Mà \[BA \bot CA\] nên \[CN \bot CA\].

b) Vì \[B\] là trung điểm của \[AE\] nên \[DB\] là đường trung tuyến của \(\Delta DAE\).

Ta có \[DC = CM,\,\,CM = MB\] nên \[DM = \frac{2}{3}DB\].

Do đó \[M\] là trọng tâm của \[\Delta DAE\]

Vì \[I\] là trung điểm của \[DE\] nên \[AI\] là đường trung tuyến của \[\Delta DAE\].

Mà \[M \in AI\] nên ba điểm \[A,\,\,M,\,\,I\] thẳng hàng.

c*) Vì \[\Delta AMB = \Delta NMC\] (cmt) nên \[AB = NC\] (hai cạnh tương ứng)

Xét \[\Delta ACN\] và \[\Delta CAB\] có

Cạnh \[CA\] chung ; \[\widehat {CAB} = \widehat {ACN} = 90^\circ \], \[CN = AB\] (cmt)

Do đó \[\Delta ACN = \Delta CAB\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\]

Suy ra \[AN = BC\] (hai cạnh tương ứng)

Nên \[\frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}BC\] hay \[AM = MC = MB\].

Do đó \[\Delta AMC\] và \[\Delta AMB\] cân tại \[M.\]

Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có

• \[\widehat {AMB} = \widehat {ACB} + \widehat {CAM} = 2\widehat {ACB}\]

• \[\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}\]

• \[\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}\]

Vì \[\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\] nên \[\widehat {AMB} < \widehat {AMC}\].

Mà \[\widehat {AMB}\] và \[\widehat {AMC}\] là hai góc kề bù nên \[\widehat {AMC}\] là góc tù.

Xét \[\Delta AMB\] có \[\widehat {AMD}\] là góc tù nên \[\widehat {AMD} > \widehat {DAM}.\]

Suy ra \[AD > MD\] (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện).

Lại có \[MB = MC = CD\] nên \[MB + MC = MC + CD\].

Do đó \[BC = MD\] (đpcm).

a) Ta có \[AB = AC\] (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) và \[BD = CE\] (giả thiết)

Suy ra \(AB - BD = AC - CE\) hay \(AD = AE\).

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) có:

\[AB = AC\] (chứng minh trên);

\(\widehat {BAC}\) là góc chung;

\[AD = AE\] (chứng minh trên).

Do đó \[\Delta ABE = \Delta ACD\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\].

b) Từ \[\Delta ABE = \Delta ACD\] suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Suy ra \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\)

Tam giác \[IBC\] có \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) nên là tam giác cân tại \(I\).

Do đó \[IB = IC\].

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có:

\[AB = AC\] (chứng minh trên);

\[AI\] là cạnh chung;

\[IB = IC\] (chứng minh trên).

Do đó \[\Delta ABI = \Delta ACI\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\]

Suy ra \(\widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (hai góc tương ứng).

Nên \[AI\] là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

c) Xét \(\Delta ADE\) có \[AD = AE\] nên \(\Delta ADE\) cân tại \(A\), do đó \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}\).

Mà \(\widehat {DAE} + \widehat {ADE} + \widehat {AED} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {AED} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAE}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Tương tự với \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DE\,{\rm{//}}\,BC\).

Suy ra \(\widehat {DEB} = \widehat {EBC}\) (hai góc so le trong) \(\left( 3 \right)\)

\(\Delta BDE\) có \[BD = DE\] nên là tam giác cân tại \(D\), suy ra \(\widehat {DBE} = \widehat {DEB}\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra \(\widehat {DBE} = \widehat {EBC}\)

Khi đó \[BE\] là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Tương tự, với \[DE = EC\] ta cũng chứng minh được \[CD\] là đường phân giác của \(\widehat {ACB}\)

Xét \(\Delta ABC\) có \[BE,CD\] là hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại \(I\).

Suy ra \(I\) cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\).

Vậy để \[BD = DE = EC\] thì \[BE\] và \[CD\] là hai đường phân giác của \(\Delta ABC\), khi đó \(I\) cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\).

a) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \);

\(AB = AC\) (do \[\Delta ABC\] cân tại \(A\))

\(AH\) là cạnh chung.

Do đó \(\Delta AHB = \Delta AHC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(HB = HC\) (hai cạnh tương ứng)

Khi đó \(H\) là trung điểm của \(BC\).

b) • Xét \(\Delta AEC\) có \(AI,CB\) là hai đường trung tuyến của tam giác và \(AI,CB\) cắt nhau tại \(M\) nên \(M\) là trọng tâm của \(\Delta AEC\).

Do đó \(BM = \frac{1}{3}BC\)

Mà \(BC = 2BH\) (do \(H\) là trung điểm của \(BC\)).

Suy ra \(BM = \frac{1}{3}.2BH\) hay \(2BH = 3BM\).

• Ta có \(BM = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}.6 = 2\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

c) Ta có \(BM = \frac{1}{3}.2BH\) suy ra \(HM = BH - BM = BH - \frac{2}{3}BH = \frac{1}{3}BH\)

Do đó \(HM = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}BC = \frac{1}{6}BC\) hay \(6HM = BC\).

Xét \(\Delta ABC\) ta có \(AB + AC > BC\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra \(AB + AC > 6HM\).

a) Xét \(\Delta ANO\) và \(\Delta BNF\) có:

\(\widehat {ANO} = \widehat {BNF} = 90^\circ \);

\(NA = NB\) (do \(N\) là trung điểm của \(AB\));

\(NO = NF\) (giả thiết).

Do đó \(\Delta ANO = \Delta BNF\) (hai cạnh góc vuông)

Suy ra \[AO = BF\] (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {NAO} = \widehat {NBF}\) (hai góc tương ứng).

Lại có hai góc \(\widehat {NAO}\) và \(\widehat {NBF}\) ở vị trí so le trong nên \[AO\,{\rm{//}}\,BF\].

b) Chứng minh tương tự câu a, ta có \(\Delta APO = \Delta CPE\) (hai cạnh góc vuông).

Do đó \(AO = CE\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \[AO = BF\] (câu a) nên \(BF = CE = AO\).

Tương tự, ta cũng chứng minh được:

• \(AE = BD = CO\);

• \(AF = CD = BO\).

Mặt khác, \(O\) là giao điểm ba đường trung trực của \(\Delta ABC\) nên \(O\) cách đều ba đỉnh của tam giác, hay \(OA = OB = OC\).

Do đó \[AF = FB = BD = DC = CE = EA = OA = OB = OC\] nên hình lục giác \[AFBDCE\] có 6 cạnh bằng nhau.

c) Ta có \(\Delta APO = \Delta CPE\) (câu b) nên \(\widehat {PAO} = \widehat {PCE}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AO\,{\rm{//}}\,CE\).

Lại có \(AO\,{\rm{//}}\,BF\) (câu a) nên \(BF\,{\rm{//}}\,CE\).

Suy ra \(\widehat {BFC} = \widehat {ECF}\) (hai góc so le trong).

Xét \[\Delta BCF\] và \(\Delta EFC\) có:

\(BF = EC\) (câu b);

\(\widehat {BFC} = \widehat {ECF}\) (chứng minh trên);

\(FC\) là cạnh chung.

Do đó \[\Delta BCF = \Delta EFC\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\]

Suy ra \(BC = EF\) (hai cạnh tương ứng).

Tương tự ta cũng chứng minh được \(AB = DE\) và \(AC = DF\).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có:

\(AB = DE;AC = DF;BC = EF\) (chứng minh trên).

Do đó \(\Delta ABC = \Delta DEF\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\).

Ta có \(f\left( 1 \right) = f\left( {0 + 1} \right) = f\left( 0 \right) + 1 = 1 + 1 = 2\);

\(f\left( 2 \right) = f\left( {1 + 1} \right) = f\left( 1 \right) + 1 = 2 + 1 = 3\);

\(f\left( 3 \right) = f\left( {2 + 1} \right) = f\left( 2 \right) + 1 = 3 + 1 = 4\);

………………………………………

\(f\left( x \right) = f\left( {x - 1 + 1} \right) = f\left( {x - 1} \right) + 1 = x + 1\).

Vậy \(f\left( x \right) = x + 1\).

Tổng tất cả các hệ số của đa thức \(f\left( x \right)\) sau khi đã phá ngoặc là:

\(f\left( 1 \right) = {\left( {1 - 5 + 3} \right)^{2017}} = {\left( { - 1} \right)^{2017}} = - 1\).

• Thay \[x = 0\] vào \(x \cdot f\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 4} \right) \cdot f\left( x \right)\), ta có \(0 = - 4f\left( 0 \right)\) hay \(f\left( 0 \right) = 0\).

Do đó \(x = 0\) là nghiệm của \(f\left( x \right)\).

• Thay \(x = 4\) vào \(x \cdot f\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 4} \right) \cdot f\left( x \right)\), ta có \(4f\left( 2 \right) = 0\) hay \(f\left( 2 \right) = 0\).

Do đó \(x = 2\) là nghiệm của \(f\left( x \right)\).

Vậy \(f\left( x \right)\) có ít nhất hai nghiệm là \(x = 0\); \(x = 2\).

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Do đó số dư của phép chia \(A\left( x \right)\) cho \(B\left( x \right)\) là \(\left( {a - 1} \right)x + b + 30\).

Để phép chia trên là phép chia hết thì \(\left( {a - 1} \right)x + b + 30 = 0\) với mọi \(x\)

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b + 30 = 0\end{array} \right.\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 30\end{array} \right.\).

Vậy \(a = 1\) và \(b = - 30\).

Do \(A\left( x \right)\) nhận \( - 1\) làm nghiệm nên ta có \(A\left( { - 1} \right) = 0\)

Do đó \(a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 0\), suy ra \(a - b + c = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức \(A\left( x \right)\) cho đa thức \(x - 1\) như sau:

Để \(A\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - 1\) thì \(c + b + a = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(a - b + c = c + b + a\)

Suy ra \(2b = 0\), nên \(b = 0\).

Thay \(b = 0\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được \(a + c = 0\), do đó \(a = - c\).

Vậy \(a\) và \(c\) là hai số đối nhau.

Lưu ý: Với dữ kiện \(A\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - 1\) ta có thể suy ra điều kiện \(\left( 2 \right)\) theo cách sau:

\(A\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - 1\) nên ta có:

\(A\left( x \right) = \left( {x - 1} \right).Q\left( x \right)\) với \(Q\left( x \right)\) là thương của phép chia đa thức \(A\left( x \right)\) cho đa thức \(x - 1\).

Khi đó \(A\left( 1 \right) = \left( {1 - 1} \right).Q\left( 1 \right) = 0\) hay \(A\left( 1 \right) = 0\).

Suy ra \(a + b + c = 0\) \(\left( 2 \right)\).

Cách 1: Theo đề bài: \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}} = \frac{{2a - b}}{b}\) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Đẳng thức \(\frac{1}{a} + \frac{1}{{a - b}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{c}\)

\(\frac{{2a - b}}{{a\left( {a - b} \right)}} = \frac{{2c - b}}{{\left( {b - c} \right)c}}\)

\(\frac{{2a - b}}{b} = \frac{a}{c} \cdot \frac{{a - b}}{{b - c}} \cdot \frac{{2c - b}}{b}\)

\(1 = \frac{a}{c} \cdot \frac{{2c - b}}{b}\)

\(bc + ab = 2ac\)

\(ab - ac = ac - bc\)

\(\left( {b - c} \right)a = c\left( {a - b} \right)\)

\(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}}\) (luôn đúng).

Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

• \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}} = \frac{{a + a - b}}{{c + b - c}} = \frac{{2a - b}}{b}\);

• \(\frac{a}{c} = \frac{{a - b}}{{b - c}} = \frac{{a - a + b}}{{c - b + c}} = \frac{b}{{2c - b}}\) nên \(\frac{c}{a} = \frac{{2c - b}}{b}\).

Đẳng thức \(\frac{1}{a} + \frac{1}{{a - b}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{c}\)

\(\frac{{2a - b}}{{a\left( {a - b} \right)}} = \frac{{2c - b}}{{\left( {b - c} \right)c}}\)

\(\frac{{2a - b}}{b} = \frac{a}{c} \cdot \frac{{a - b}}{{b - c}} \cdot \frac{{2c - b}}{b}\)

\(\frac{a}{c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a}\)

\(\frac{a}{c} = \frac{a}{c}\) (luôn đúng).

a) Ta có \(\left| {x - 2023y} \right| \ge 0\,;\,\,{\left( {y - 1} \right)^{2022}} \ge 0\).

Để \(\left| {x - 2023y} \right| + {\left( {y - 1} \right)^{2022}} = 0\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 2023y} \right| = 0\\{\left( {y - 1} \right)^{2022}} = 0\end{array} \right.\)suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2023y = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2023\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(x = 2023\,,\,\,y = 1.\)

b) \(P\left( x \right) = 3{x^3} + 4{x^2} - 8x + 1\)

\( = 3{x^3} + 3{x^2} - 9x + {x^2} + x - 3 + 4\)

\( = 3x\left( {{x^2} + x - 3} \right) + \left( {{x^2} + x - 3} \right) + 4 = 4\)

\( = 0 + 0 + 4 = 4\).

Vậy \(P\left( x \right) = 4.\)

Ta có \(xy = \left( { - 2} \right) \cdot \frac{1}{2} = - 1\).

Khi đó \(A = xy + {x^2}{y^2} + {x^4}{y^4} + {x^6}{y^6} + {x^8}{y^8} + ... + {x^{2016}}{y^{2016}} + {x^{2018}}{y^{2018}}\)

\[ = xy + {\left( {xy} \right)^2} + {\left( {xy} \right)^4} + {\left( {xy} \right)^6} + ... + {\left( {xy} \right)^{2016}} + {\left( {xy} \right)^{2018}}\]

\[ = \left( { - 1} \right) + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^4} + {\left( { - 1} \right)^6} + ... + {\left( { - 1} \right)^{2016}} + {\left( { - 1} \right)^{2018}}\]

\({\rm{ = }} - 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 1\,\,007\).

Do mật khẩu là số có ba chữ số và các chữ số này đều là lẻ nên các số đó được tạo thành từ bộ số \(\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\).

Ta có \(5\) cách chọn chữ số hàng trăm;

\(5\) cách chọn chữ số hàng chục;

\(5\) cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Từ đó, số kết quả có thể xảy ra là: \(5.5.5 = 125\).

Mà Nam chỉ bấm 1 lần nên khả năng xảy ra của mỗi biến cố là như nhau.

Do đó, xác suất để Nam bấm 1 lần mở được cửa là: \(\frac{1}{{125}}\).

Số các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một bông hoa trong hộp kín là:

\(10 + 20 + n = n + 30\).

Xác suất lấy được bông hoa màu xanh là \(\frac{n}{{n + 30}} = \frac{4}{{10}}\).

Do đó, \(10n = 4\left( {n + 30} \right)\) hay \(10n = 4n + 120\) do đó, \(6n = 120\) hay \(n = 20\).

Vậy có 20 bông hoa hồng xanh trong hộp.

Số các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một quả bóng là: \(5 + 20 + n = n + 25\).

Xác suất để lấy được quả bóng màu cầu vồng là \(\frac{n}{{n + 25}} = \frac{3}{4}\).

Hay \(4n = 3\left( {n + 25} \right)\), do đó \(4n = 3n + 75\) hay \(n = 75\).

Vậy có 75 quả bóng cầu vồng trong hộp.

Gọi \(x\) là thời gian hoàn thành công việc với năng suất lao động \(100\% \).

\(y\) là thời gian hoàn thành với năng suất \(125\% \).

Vì công nhân không đổi nên thời gian hoàn thành tỉ lệ nghịch với năng suất lao động nên:

\(x.100 = y.125\) hay \(\frac{y}{x} = \frac{{100}}{{125}} = \frac{4}{5} = 80\% \).

Do đó, nếu số công nhân không thay đổi thì thời gian làm xong việc giảm đi \(100\% - 80\% = 20\% \).

Gọi số gạo trong ba kho thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là \(x,y,z\) (tấn).

Điều kiện \(\left( {x,y,z > 0} \right)\).

Theo đề, gạo được chứa trong ba kho theo tỉ lệ \(1,3;{\rm{ 2}}\frac{1}{2};{\rm{ 1}}\frac{1}{2}\) hay \(1,3;{\rm{ 2,5}};{\rm{ 1,2}}\).

Do đó, ta có: \(\frac{x}{{1,3}} = \frac{y}{{2,5}} = \frac{z}{{1,2}}\) và \(y - x = 43,2\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{{1,3}} = \frac{y}{{2,5}} = \frac{z}{{1,2}} = \frac{{y - x}}{{2,5 - 1,3}} = \frac{{43,2}}{{1,2}} = 36\).

Suy ra \[x = 1,3.36 = 46,8\] (tấn); \[y = 2,5.36 = 90\] (tấn); \[z = 1,2.36 = 43,2\] (tấn).

Số gạo đã tiêu thụ ở kho thứ nhất là: \[46,8.40\% = 18,72\] (tấn)

Số gạo đã tiêu thụ ở kho thứ hai là: \[90.30\% = 27\] (tấn)

Số gạo đã tiêu thụ ở kho thứ ba là: \[43,2.25\% = 10,8\] (tấn)

Vậy số gạo đa tiêu thụ trong một tháng là: \[18,72 + 27 + 10,8 = 56,52\] (tấn).

Gọi tổng số vở ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được là \[x\] \[\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\].

Gọi số vở dự định chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(a,b,c\).

Theo đề, ban đầu chia vở cho ba lớp theo tỉ lệ \(7;6;5\) nên ta có:

\(\frac{a}{7} = \frac{b}{6} = \frac{c}{5} = \frac{{a + b + c}}{{7 + 6 + 5}} = \frac{x}{{18}}\).

Suy ra \(a = \frac{{7x}}{{18}};b = \frac{{6x}}{{18}};c = \frac{{5x}}{{18}}\) (1)

Gọi số vở chia cho ba lớp 7A, 7B, 7C sau khi thay đổi là \(a',b',c'\). Ta có:

\(\frac{{a'}}{6} = \frac{{b'}}{5} = \frac{{c'}}{4} = \frac{{a' + b' + c'}}{{6 + 5 + 4}} = \frac{x}{{15}}\)

Suy ra \(a' = \frac{{6x}}{{15}};b' = \frac{{5x}}{{15}};c' = \frac{{4x}}{{15}}\) (2)

So sánh (1) và (2) nhận thấy \(a < a';b = b',c > c'\).

Do đó, lớp nhận được ít hơn 12 quyển là lớp 7C.

Suy tra \(\frac{{5x}}{{18}} - \frac{{4x}}{{15}} = 12\) hay \(\frac{x}{{90}} = 12\) nên \(x = 1080\) (quyển).

Số vở lớp 7A nhận trong thực tế là: \(a' = \frac{{6x}}{{15}} = \frac{{6.1080}}{{15}} = 432\) (quyển)

Số vở lớp 7B nhận trong thực tế là: \(b' = \frac{{5x}}{{15}} = \frac{{5.1080}}{{15}} = 360\) (quyển)

Số vở lớp 7C nhận trong thực tế là: \(c' = \frac{{4x}}{{15}} = \frac{{4.1080}}{{15}} = 288\) (quyển)

Vậy trong thực tế ba lớp 7A, 7B, 7C nhận được lần lượt 432 quyển, 360 quyển và 288 quyển.

Gọi \(n\) (người) là số hành khách nam đã xuống xe \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Khi đó trên xe có \(9\) hành khách nữ và \(17 - n\) hành khách nam xuống xe.

Xác suất để chọn được một hành khách nam xuống xe là \(\frac{1}{2}\) nên số số hành khách nam trên xe còn lại bằng số hành khách nữ.

Do đó, ta có: \(17 - n = 9\) hay \(n = 8\).

Do đó, có 8 hành khách nam đã xuống xe.