Dạng 3: Thiết diện và các bài toán liên quan có đáp án
36 câu hỏi
Hình thang vuông.
Tam giác đều.
Tam giác cân.
Tam giác vuông.
Chọn D
Gọi I là trung điểm của AC, kẻ
Ta có
Do đó hay thiết diện là tam giác BIH
Mà nên hay thiết diện là tam giác vuông.
40
36
Chọn A
Thiết diện là tam giác BCE, với E là trung điểm của AD. Gọi F là trung điểm của BC
Ta có:
Diện tích thiết diện là:
Hình thang vuông.
Hình thang cân.
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Chọn A
Ta có:
Vậy
Mà
Từ
Tương tự ta có PQ // BC, PN // SA
Mà
Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại N
Hình thang cân
Hình thang vuông
Hình bình hành
Tam giác vuông
Chọn A
Mặt phẳng (P) vuông góc với OH nên (P) song song với SO
Suy ra (P) cắt (SAH) theo giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SO cắt SH tại K
Từ giả thiết suy ra (P) song song BC, do đó (P) sẽ cắt (ABC), (SBC) lần lượt là các đường thẳng qua I và K song song với BC cắt AB, AC, SB, SC lần lượt tại M, N, P, Q. Do đó thiết diện là tứ giác MNPQ
Ta có MN và PQ cùng song song BC suy ra I là trung điểm của MN và K là trung điểm của PQ
Lại có các tam giác ABC đều và tam giác SBC cân tại S suy ra IK vuông góc với MN và PQ dó đó MNPQ là hình thang cân.
Chọn A
Kẻ . Thiết diện là tam giác AIB
Ta có
Gọi J là trung điểm của AB. Dễ thất tam giác AIB cân tại I , suy ra
Do đó:
Chọn C
Do
Mà . Do H là trung điểm
Chọn C
Gọi M là trung điểm của BC thì
Hiển nhiên
Mà
Từ (1) và (2) suy ra
Khi đó thiết diện của hình chóp S.ABC được cắt bởi (P) chính là
vuông tại A nên
Chọn A
Kẻ
Thiết diện của mặt phẳng (P) và hình chóp (S.ABC) là tam giác SAE có diện tích:
Chọn C
Gọi N là trung điểm của BC
Theo bài ra
Kẻ MI // AN, MK // SA => Thiết diện của (P) và tứ diện SABC là tam giác KMI
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 36 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
9
6
8
7
Chọn C
Ta có:
Tương tự:
Suy ra:
Kẻ KL đi qua trọng tâm G của tam giác ACD và song song với CD
=> (P) chính là mặt phẳng (BKL)
Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều:
Gọi G là trọng tâm tam giác ACD thì G là tâm tam giác ACD và
Trong mp(ACD) kẻ qua G đường thẳng song song với CD cắt AC, AD lần lượt tại K, L
Ta có . Vậy
10
20
15
16
Chọn C
Do
Gọi I là trung điểm của
Gọi N là trung điểm của
Gọi K là trung điểm của , mà
Vậy thiết diện của (P) và hình chóp là hình thang MNKI vuông tại M
Ta có:
MI là đường trung bình của tam giác SAB
IK là đường trung bình của tam giác SBC
MN là đường trung bình của hình thang ABCD
Khi đó
H là trực tâm của tam giác ABC
H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC
H là trọng tâm của tam giác ABC
H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC
Chọn A
a) Ta có 
Lại có 
Vậy 
Tương tự
Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của tam giác ABC
Tam giác ABC là tam giác nhọn.
Tam giác ABC là tam giác tù
Tam giác ABC là tam giác vuông
Tam giác ABC là tam giác cân
b) Đặt 
Ta có 
Tương tự 
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có
suy ra góc A nhọn.Tương tự các góc B, C nhọn.
d) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho 
M thuộc mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OG, trong đó I là điểm cách đều 4 điểm O, A, B, C và G là trọng tâm của tam giác ABC
M thuộc mặt phẳng đi qua I và song song với OG, trong đó I là điểm cách đều 4 điểm O, A, B, C và G là trọng tâm của tam giác ABC
M thuộc mặt phẳng đi qua O và vuông góc với OG, trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC
M thuộc mặt phẳng đi qua O và song song với OG, trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC
Chọn A
d) Gọi I là điểm cách đều 4 điểm O, A, B, C và G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta có : 
(do 
)
Vậy M thuộc mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OG.
Chọn A
Ta có 
Tương tự 
suy ra IS = ID = IC nên I thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD
Mặt khác 
vuông tại D, lại có K là trung điểm của SC nên K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD, do đó 
Ta có 
Do 
Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi 
lần lượt là góc giữa các đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng (ABC)
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
64
8
1
Gọi H là hình chiếu của D trên (ABC)
Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC
Và 
Đặt DA = a, DB = b, DC = c
Gọi thì 
là đường cao của tam giác DBC nên 
Vậy 
Tương tự 
và 
Nhân theo vế các BĐT (1), (2), (3) ta được 
( đpcm)
các mặt của tứ diện ABMC là tam giác vuông
các mặt của tứ diện ABMC là tam giác vuông cân
tam giác ACM vuông tại A.
tam giác ACM vuông cân tại M
Chọn A
a) Ta có 
suy ra các tam giác ABM và ABC vuông tại B.
Tiếp theo ta có 
hay tam giác ACM vuông tại M
A, B đều đúng
A, B đều sai
Chọn D
b) Ta có 
Vậy 
H thuộc đường tròn đường kính BK
H thuộc đường tròn đường kính AC
H thuộc đường tròn đường kính BM
H thuộc đường tròn đường kính AB
Chọn A
c) Dễ thấy BK cố định và 
nên điểm H thuộc đường tròn đường kính BK. Từ đó ta có tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BK.
Chọn A
d) 
mà AB không đỏi nên AM lớn nhất khi MB lớn nhất 
M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính 
M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính 
M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính 
M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính 
Chọn D
e) Ta có 
không đổi nên
, lúc này vuông cân tại H nên 
Ta có 
nên 
Vậy 
<=> M là các giao điểm của đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính 
a) 
vuông tại 
mà 
Tương tự ta có 
nên 
Ta có
Vậy SA = a
Cả A, B, C đều đúng
Chọn B
b) Do 
Lại có 
Dế thấy 
Từ (1), (2) suy ra 
Lập luận tương tự ta có 
Do 
Do đó tam giác SAO vuông cân tại O nên 
Chọn A
Ta có: 
Mặt khác:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 
và
. Giả sử tồn tại tiết diện của hình chóp với mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện.
Gọi K là hình chiếu của A trên SC thì 
.Trong (SAC) gọi 
Ta có 
, mặt khác 
nên 
Vậy 
Thiết diện là tứ giác AHKL
Do 
Ta có 
cân tại., mà 
nên K là trung điểm của SC
Vậy 
Cho tam giác ABC tại Ccó cạnh huyền nằm trên mặt phẳng (P) và các cạnh góc vuông tạo với (P) các góc . Giả sử 
là độ lớn góc giữa đường cao CK với (P). Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
Chọn B
Kẻ 
thì 
là góc giữa CK và (P) và dễ thấy
Đặt CH = h, ta có 
Xét tam giác ABC có CK.AB = CA.CB
Ta có 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, 
, đường thẳng SA tạo với hai mặt phẳng (ABCD) và (SBC) các góc bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của A trên (SBC)
a)Tính SA khi 
Chọn A
a) Dễ thấy 
nên 
Gọi I là trung điểm của BC thì ta có 
Kẻ 
thì 
nên 
Kẻ 
cắt CK tại H, khi đó ta có 
nên 
do đó 
Từ (1), (2) ta có AH = SO
Khi 
thì trong tam giác vuông HAB có
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 
, SC = a. Góc giữa đường thẳng SC với các mặt phẳng (ABCD) và (SAB) lần lượt là 
và 
Chọn A
a) Do 
Tương tự 
Chọn D
b)
Cho tứ diện ABCD có 
. Hình chiếu H của D trên mặt phẳng ABC là trực tâm tam giác ABC.
a) Tính 
Tương tự ta có 
, vì vậy
Từ (1), (2) suy ra 
hay 
Chọn A
b) Từ câu a) ta thấy tứ diện ABCD có các cạnh DA, DB, DC đôi một vuông góc.
Theo BĐT Cauchy-Schwraz ta có
Mà 
nên 
Đẳng thức xảy ra khi 
đều, kết hợp với chân đường cao của D trùng với tâm đáy ta được D.ABC là hình chóp đều đỉnh D.
Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Gọi 
, kẻ 
thì ta có
kẻ 
. Khi đó
Suy ra 
Tương tự gọi B1, C1 là các điểm tương tự như A1 thì ta có
Từ (1), (2), (3) ta có 
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì ta đã biết kết quả quen thuộc
nên 
Mặt khác 
Tương tự 
nên 
Do đó 
do 
Vậy minT = 2 khi 
Cách 2. Đặt 
. Do A, B, C, M đồng phẳng nên tồn tại x, y, z sao cho 
Ta có 
bình phương vô hướng ta được
Tương tự 
Vì vậy 
( Theo Cauchy-Schwarz)Vậy minT = 2
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
