Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng vuông góc đường thẳng có đáp
35 câu hỏi
Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ABCD và ΔABC vuông ở B , AH là đường cao của ΔSAB. Khẳng định nào sau đây sai?
SA⊥BC
AH⊥BC
AH⊥AC
AH⊥SC
Chọn C.
Do SA⊥ABC nên câu A đúng.
Do BC⊥SAB nên câu B và D đúng.
Vậy câu C sai.
Cho tứ diện SABC có là tam giác ABC vuông tại B và SA⊥ABC
a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh BC⊥SAB
BC⊥SAB
BC⊥SAC
AD,BC^=450
AD,BC^=800
Chọn A
a) Ta có SA⊥ABC nên SA⊥BC
Do đó BC⊥SABC⊥AB⇒BC⊥SAB
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ÁB, thì khẳng định nào sau đây đúng nhất. Chứng minh AH⊥SC
AH⊥AD
AH⊥SC
AH⊥SAC
AH⊥AC
Chọn B
b) Ta có BC⊥SAB⇒BC⊥AH
Vậy AH⊥BCAH⊥SB⇒AH⊥SC
Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?
AB⊥ABC
AC⊥BD
CD⊥ABD
BC⊥AD
Chọn D.
Gọi E là trung điểm của BC .
Khi đó ta có AE⊥BCDE⊥BC⇒BC⊥ADE⇒BC⊥AD
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC) và AB⊥BC. Số các mặt của tứ diện S.ABC là tam giác vuông là:
1
3
2
4
Chọn D
Có AB⊥BC⇒ΔABC là tam giác vuông tại B
Ta có SA⊥(ABC)⇒SA⊥ABSA⊥AC⇒ΔSAB,ΔSAC là các tam giác vuông tại A
Mặt khác AB⊥BCSA⊥BC⇒BC⊥SB⇒ΔSBC là tam giác vuông tại B
Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông. Nên đáp án D đúng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA = SC và SB = SD . Khẳng định nào sau đây sai?
SO⊥ABCD
CD⊥SBD
AB⊥SAC
CD⊥AC
Chọn B.
Tam giác SAC cân tại S có SO là trung tuyến => SO cũng là đường cao ⇒SO⊥AC
Tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến => SO cũng là đường cao ⇒SO⊥BD
Từ đó suy ra SO⊥ABCD .
Do ABCD là hình thoi nên CD không vuông góc với BD . Do đó CD không vuông góc với (SBD) .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD). Gọi AE, AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
SC⊥AFB.
SC⊥AEC.
SC⊥AED.
SC⊥AEF.
Chọn D
Ta có: AB⊥BCSA⊥BC⇒BC⊥SAB⇒BC⊥AE.
Vậy: AE⊥SBAE⊥BC⇒AE⊥SC1
Tương tự : AF⊥SC2
Từ 1;2⇒SC⊥AEF. vậy đáp án D đúng.
Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA⊥ABC và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai?
CH⊥SA
CH⊥SB
CH⊥AK
AK⊥SB
Chọn D.
Do tam giác ABC cân tại C nên CH⊥AB. Suy ra CH⊥SAB. Vậy các câu A, B, C đúng nên D sai.
Cho tứ diện ABCD . Vẽ AH⊥(BCD) . Biết H là trực tâm tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
CD⊥BD
AC=BD
AB=CD
AB⊥CD
Chọn D
CD⊥AHCD⊥BH⇒CD⊥(ABH)⇒CD⊥AB
Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA⊥(ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây có thể sai ?
CH⊥AK
CH⊥SB
CH⊥SA
AK⊥SB
Chọn D
Ta có CH⊥ABCH⊥SA⇒CH⊥(SAB)
Từ đó suy ra CH⊥AK,CH⊥SB,CH⊥SA nên A, B, C đúng.
Đáp án D sai trong trường hợp SA và AB không bằng nhau -> Chọn đáp án D.
Cho tứ diện S.ABC thoả mãn SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC) .Đối với tam giác ABC ta có điểm H là:
Trực tâm.
Tâm đường tròn nội tiếp.
Trọng tâm.
Tâm đường tròn ngoại tiếp.
Chọn D
Xét ba tam giác vuông ΔSHA, ΔSHB, ΔSHC có
SA=SB=SCSH chung⇒ΔSHA=ΔSHB=ΔSHC⇒HA=HB=HC mà H∈ABC⇒H
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi Hlà hình chiếu của O trên mp(ABC) . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:
H là trực tâm ΔABC
H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
1OH2=1OA2+1OB2+1OC2
CH là đường cao của ΔABC
Chọn B
Ta có OA⊥(OBC)⇒OA⊥BC và OH⊥BC⇒BC⊥(OAH)⇒BC⊥AH
Tương tự, ta có AB⊥CH, suy ra đáp án A, D đúng.
Ta có 1OH2=1OA2+1OI2=1OA2+1OB2+1OC2, với I=AH∩BC, suy ra đáp án C đúng.
Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?
AB⊥ ABC.
BC⊥AD.
CD⊥ ABD.
AC⊥BD.
Chọn B
Gọi M là trung điểm của BC.AB=ACDB=DC⇒BC⊥AMBC⊥DM⇒BC⊥ADM⇒BC⊥AD.
Cho hình chóp SABC có SA⊥ABC. Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
BC⊥SAH.
HK⊥SBC.
BC⊥SAB.
SH, AK và BC đồng quy
Chọn C
Ta có BC⊥SA, BC ⊥SH ⇒ BC⊥(SAH)
Ta có CK⊥AB, CK⊥SA ⇒ CK ⊥(SAB) hay CK ⊥SB
Mặt khác có CH⊥SB nên suy ra SB ⊥(CHK) hay SB⊥HK, tương tự SC⊥HK nên HK ⊥(SBC)
Gọi M là giao điểm của SH và BC. Do BC⊥(SAH) ⇒BC⊥AM hay đường thẳng
AM trùng với đường thẳng AK. Hay SH, AK, BC đồng quy.
Do đó BC⊥SAB. sai
Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường thẳng AC và BF vuông góc với nhau. Gọi CH và FK lần lượt là đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh rằng :
a) Khẳng định nào sau đây là đúng về 2 tam giác ΔACH và ΔBFK?
ΔACH và ΔBFK là các tam giác vuông
ΔACH và ΔBFK là các tam giác tù
ΔACH và ΔBFK là các tam giác nhọn
ΔACH và ΔBFK là các tam giác cân
Chọn A
a) Ta có AB⊥BCAB⊥BE⇒AB⊥BCE
Vậy CH⊥ABCH⊥BE⇒CH⊥ABEF
⇒CH⊥AH hay ΔACH vuông tại H
Tương tự FK⊥ADFK⊥AB⇒FK⊥ABCD
⇒ΔBFK vuông tại K
b) Khẳng định nào sau đây là sai?
BF⊥AH
BF,AH^=450
AC⊥BK
AC⊥BKF
Chọn B
b) Ta có CH⊥ABEF⇒CH⊥BF, mặt khác AC⊥BF⇒BF⊥ACH⇒BF⊥AH
Tương tự AC⊥KFAC⊥BF⇒AC⊥BKF⇒AC⊥BK
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC, SB = SD.
a)Khẳng định nào sau đây là sai?
SO⊥ABCD
SO⊥AC
SO⊥BD
Cả A, B, C đều sai
Chọn D
a) Ta có O là trung điểm của AC và SA=SC⇒SO⊥AC
Tương tự SO⊥BD
Vậy SO⊥ACSO⊥BD⇒SO⊥ABCD
b) Khẳng định nào sau đây là sai?
AC⊥SBD
AC⊥SO
AC⊥SB
Cả A, B, C đều sai
Chọn D
b) Ta có AC⊥BD (do ABCD là hình thoi).
Lại có AC⊥SO( do SO⊥ABCD)
Suy ra AC⊥SBD⇒AC⊥SD
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥(ABCD). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
SA⊥BD
SC⊥BD
SO⊥BD
AD⊥SC
Chọn D
Ta có SA⊥(ABCD) ⇒ SA ⊥BD
Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD⊥AC, mà SA⊥BD nên BD⊥(SAC) hay BD⊥SC, BD⊥SO
AD không vuông góc SC
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA⊥ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
IJK//SAC
BD⊥IJK
Góc giữa SC và BD có số đo 60o
BD⊥SAC
Chọn C
Do IJ // AC và IK // SA nên (IJK) // (SAC) . Vậy A đúng.
Do BD⊥AC và BD⊥SA nên BD⊥SAC nên D đúng.
Do BD⊥SAC và (IJK) // (SAC) nên BD⊥IJK nên B đúng.
Vậy C sai.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Gọi H là trung điểm của AB và SH⊥ABCD. Gọi K là trung điểm của cạnh AD.
a) Khẳng định nào sau đây là sai?
AC⊥SH
AC⊥KH
AC⊥SHK
Cả A, B, C đều sai
Chọn D
a) Ta có SH⊥ABCD⇒SH⊥AC lại có HK∥BDAC⊥BD⇒AC⊥HK
⇒AC⊥SHK
b) Khẳng định nào sau đây là sai?.
CK⊥SD
DH⊥CK
DKC^+ADH^=900
Cả A, B, C đều sai
Chọn D
b) Dễ thấy ΔAHD=ΔDKC⇒AHD^=DKC^ mà AHD^+ADH^=900
⇒DKC^+ADH^=900 hay DH⊥CK, mặt khác ta có SH⊥CK⇒CK⊥SDH
⇒CK⊥SD
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?
OA⊥BC.
1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.
H là trực tâm ΔABC.
3OH2=AB2+AC2+BC2.
Chọn D
OA⊥OBOA⊥OC⇒OA⊥OBC⇒OA⊥BC⇒ đáp án A đúng.
Tương tự chứng minh được OC⊥AB.
Hạ OI⊥BCOH⊥AI.
Ta có: OI⊥BCBC⊥OA⇒BC⊥OAI⇒BC⊥OH⇒OH⊥ABC.
1OH2=1OA2+1OI2=1OA2+1OB2+1OC2⇒Đáp án B đúng.
Ta có: AB⊥OCAB⊥OH⇒AB⊥OCH⇒AB⊥HC 1. Tương tự BC⊥OH 2.
Từ (1) và (2) => H là trực tâm ΔABC⇒ Đáp án C đúng.
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm O cách đều bốn điểm A, B, C, D.
O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
O là trọng tâm tam giác ACD
O là trung điểm cạnh BD
O là trung điểm cạnh AD
Chọn D
Gọi O là trung điểm của AD
Từ giả thiết ta có AB⊥CDBC⊥CD⇒CD⊥ABC⇒CD⊥AC Vậy ΔACD vuông tại C.
Do đó OA = OC = OD (1)
Mặt khác AB⊥CDAB⊥BC⇒AB⊥BCD⇒AB⊥BD⇒ΔABD vuông tại B
Do đó OA = OB = OD (2)
Từ (1) và (2) ta có OA = OB = OC = OD.
Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?
AB⊥ABC
AC⊥BD
CD⊥ABD
BC⊥AD
Chọn D.
Gọi E là trung điểm của BC. Khi đó ta có AE⊥BCDE⊥BC⇒BC⊥ADE⇒BC⊥AD
Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH⊥BCD. Biết H là trực tâm tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây không sai?
AB=CD
AC=BD
AB⊥CD
CD⊥BD
Chọn C.
Do AH⊥BCD⇒AH⊥CD
Mặt khác, H là trực tâm ΔABC nên BH⊥CD
Suy ra CD⊥ABH nên CD⊥AB
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC=a2 . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
a) Khẳng định nào sau đây là sai?.
SH⊥ABCD
SH⊥HC
A, B đều đúng
A, B là sai
Chọn D
a) Vì H là trung điểm của AB và tam giác SAB đều nên SH⊥AB
Lại có SH=a32,SC=a2, HC=DH2+DC2=a52
Do đó HC2+HS2=3a24+5a24=2a2=SC2
⇒ΔHSC vuông tại H⇒SH⊥HC
Vậy SH⊥HCSH⊥AB⇒SH⊥ABCD
b) Khẳng định nào sau đây là sai?
CK⊥HD
CK⊥SD
AC⊥SK
Cả A, B, C đều sai
Chọn D
b) Ta có AC⊥HK và AC⊥SH⇒AC⊥SHK
⇒AC⊥SK
Tương tự CK⊥HD và CK⊥SH⇒CK⊥SDH⇒CK⊥SD
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng AC' vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
(A'BD)
(A'DC')
(A'CD')
(A'B'CD)
Chọn A
Ta có:A'D⊥AD' t/c HVA'D⊥C'D' C'D'⊥A'D'DA⇒A'D⊥AC'D'⇒A'D⊥AC' 1A'B⊥AB' t/c HVA'B⊥B'C' B'C'⊥A'D'DA⇒A'B⊥AB'C'⇒A'B⊥AC' 2Từ 1,2⇒AC'⊥A'BD
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA = SC. Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
SA⊥ABCD
BD⊥SAC
AC⊥SBD
AB⊥SAC
Chọn C
Ta có: SA = SC => SAC là tam giác cân
Mặt khác: O là trung điểm của AC (tính chất hình thoi)
Khi đó ta có: AC⊥SO
⇒AC⊥BD t/c hinh thoiAC⊥SO ⇒AC⊥SBD
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥ABCD. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại H, M, K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
AK⊥HK
HK⊥AM
BD⊥HK
AH⊥SB
Chọn A
Ta có:
BD⊥AC t/c HVBD⊥SA gt ⇒BD⊥SAC⇒BD⊥AM
Gọi O=AC∩BD,I=SO∩HK
(P) là mặt phẳng A và vuông góc với SC
Qua I kẻ Δ∥BD⇒Δ⊥AM⇒Δ⊂P
Khi đó: K=Δ∩SD,H=Δ∩SB
Ta có: AK⊥SDC, mà HK∩SDC=K⇒AK không vuông góc với HK
Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật, SA⊥ABCD. Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông.
ΔSBC
ΔSCD
ΔSAB
ΔSBD
Chọn D
Ta có AB⊥AD tc HV AB⊥SA SA⊥ABCD⇒AB⊥SAD⇒AB⊥SD
Giả sử SB⊥SD⇒SD⊥SAB (vô lý)
Hay ΔSBD không thể là tam giác vuông
Cho hình chóp S.ABC có BSC^=1200,CSA^=600,ASB^=900,SA=SB=SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
I là trung điểm AB
I là trọng tâm tam giác ABC
I là trung điểm AC
I là trung điểm BC
Chọn B
Gọi SA=SB=SC=a
Ta có: △SAC đều => AC = SA = a
△SAB vuông cân tại ⇒AB=a2
BC=SB2+SC2−2SB.SC.cosBSC^=a3
⇒AC2+AB2=BC2⇒△ABC vuông tại A
Gọi I là trung điểm của AC thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi d là trục của tam giác ABC thi d đi qua I và d⊥ABC
Mặt khác: SA=SB=SC nên S∈d. Vậy SI⊥ABC nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC)
Vì H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC nên H và K lần lượt thuộc AA' và SA'
Vậy AH, SK, BC đồng quy tại A'
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Xét các mệnh đề sau :
I. Vì OC⊥OA,OC⊥OB nên OC⊥OAB
II. Do AB⊂OAB nên AB⊥OC. 1
III. Có OH⊥ABC và AB⊂ABC nên AB⊥OH. 2
IV. Từ (1) và (2) AB⊥OCH.
I, II, III, IV
I, II, III
II, III, IV
I, IV
Chọn A
Ta có:
OC⊥OAOC⊥OBOA∩OB=OOA,OB⊂OAB⇒OC⊥OAB Vậy I đúng.
OC⊥OABAB⊂OAB⇒AB⊥OC Vậy II đúng.
OH⊥ABCAB⊂ABC⇒AB⊥OH Vậy III đúng.
AB⊥OCAB⊥OHOC∩OH=OOC,OH⊂OCH⇒AB⊥OCH Vậy IV đúng.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Có đáy là hình thoi BAD^=600 và A'A = A'B = A'D. Gọi O=AC∩BD. Hình chiếu của A' trên (ABCD) là :
trung điểm của AO
trọng tâm ΔABD.
giao của hai đoạn AC và BD
trọng tâm ΔBCD.
Chọn B
Vì A'A = A'B = A'D => hình chiếu của A' trên (ABCD) trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABD 1.
Mà tứ giác ABCD là hình thoi và BAD^=600 nên ΔBAD là tam giác đều (2)
Từ (1) & (2) => H là trọng tâm ΔABD .
