Dạng 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có đáp án
31 câu hỏi
Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB
Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB
Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB
Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD
Chọn A.
Từ giả thiết ta có AB⊥BCAB⊥CD⇒AB⊥BCD
Do đó AC,BCD=ACB^
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA=a62. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC)
30°
45°
60°
90°
Chọn D.
SA⊥ABC⇒SA,ABC=90°
Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD^
Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB^
Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB^
Góc giữa AD và (ABD) là góc CBA^
Chọn B
Do AB, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một nên AB⊥BCD, suy ra BC là hình chiếu của AC lên BCD
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).
30°
45°
60°
75°
Chọn C.
Gọi H là trung điểm của BC suy ra AH=BH=CH=12BC=a2
Ta có: SH⊥ABC⇒SH=SB2−BH2=a32
SA,ABC^=SAH^=α⇒tanα=SHAH=3⇒α=60°
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA⊥ABCD. Biết SA=a63. Tính góc giữa SC và (ABCD)
30°
45°
60°
75°
Chọn A.
Ta có: SA⊥ABCD⇒SA⊥AC
⇒SC;ABCD^=SCA^=α
ABCD là hình vuông cạnh a⇒AC=a2,SA=a63⇒tanα=SAAC=33⇒α=30°
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)
60°
75°
45°
30°
Chọn C
Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nên SH⊥ABC
Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)
⇒SA;ABC=SA;AH=SAH^
Ta có: SH⊥ABC⇒SH⊥AH
Mà: △ABC=△SBC⇒SH=AH
Vậy tam giác SAH vuông cân tại H ⇒SAH^=450
Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a, BD = 2AC. Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO⊥ABCD. Biết tanSBO^=12. Tính số đo của góc giữa SC và (ABCD)
30°
45°
60°
75°
Chọn B.
Ta có: AC=2a;BD=2AC=4a⇒OB=2a
⇒tanSBO^=SOOB=12⇔SO=12OB=a
Mặt khác SC,ABCD^=SCO^;SOOC=aa=1
Suy ra số đo của góc giữa SC và (ABCD) bằng 45°
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)
30°
45°
60°
75°
Chọn B
Ta có: SH⊥ABC⇒SH⊥AH⇒SA;ABC^=SAH^=α
ΔABC và ΔSBC là hai tam giác đều cạnh a⇒AH=SH=a32
⇒AH=SH=a32⇒ΔSHA vuông cân tại H⇒α=45°
Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD),SA=a6. Gọi α là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
α=300.
cosα=33.
α=450.
α=600.
Chọn D
Vì SA⊥(ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)
=> Góc giữa giữa SC và mp (ABCD) bằng góc SC và SA⇒α=SCA^.
Xét tam giác SAC vuông tại A có: tanα=SAAC=a6a2=3⇒α=600.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA⊥ABCD. Biết SA=a63. Tính góc giữa SC và (ABCD)
30°
60°
75°
45°
Chọn A
Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên AC=a2.
SA⊥ABCD⇒AC là hình chiếu vuông góc của SC lên ABCD⇒SCA^ là góc giữa SC và (ABCD)
Tam giác SAC vuông tại A nên tanSCA^=SAAC=a63.1a2=13⇒SCA^=300.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi α là góc giữa AC' và mp (A'BCD'). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
α = 300.
tanα=23.
α = 450.
tanα=2.
Chọn D
Gọi A'C∩AC'=IC'D∩CD'=H
mà C'D⊥CD'C'D⊥A'D'⇒C'D⊥A'BCD'⇒IH là hình chiếu vuông góc của AC' lên A'BCD'⇒C'IH^ là góc giữa AC' và (A'BCD')Mà tanC'IH^=C'HIH=12.2=2.
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC) và tam giác ABC không vuông, gọi H, K lần lượt là trực tâm các ΔABC và ΔSBC. Số đo góc tạo bởi HK và mp(SBC) là?
65°
90°
45°
120°
Chọn B
Gọi I=AH∩BC. Ta có BC⊥SABC⊥AI⇒BC⊥(SAI)⇒(SBC)⊥(SAI) và K∈SI
Ta lại có SB⊥CKSB⊥CH⇒SB⊥(CHK)⇒(SBC)⊥(CHK)
Mà HK=(SAI)∩(SHK), suy ra HK⊥(SBC)
Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
H là trực tâm tam giác ABC
H là trọng tâm tam giác ABC
H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Chọn C
Do hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và 
nên SH là trục của hình chóp S.ABC. => HA = HB = HC. Nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a.Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a.Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)
30°
45°
60°
75°
Chọn C
Có 
nên AM là hình chiếu của SA lên mp(ABC)
Áp dụng định lý Pytago
Xét tam giác SAM có
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ABC và tam giác ABC vuông ở B. AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai ?
SA⊥BC.
AH⊥BC.
AH⊥AC.
AH⊥SC.
Chọn C
Do 
nên 
. Nên Phương án A đúng.
Có 
. Phương án D đúng.
Suy ra 
, 
. Phương án B, D đúng.
Phương án C sai. Thật vậy với 
, ta có 
(vô lý).
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) khi a và b song song (hoặc a trùng với b).
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q)
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a song song với b
Chọn B.
Cho góc tam diện Sxyz với xSy^=1200, ySz^=600, zSx^=900,Trên các tia Sx, Sy, Sz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho SA = SB = SC = a. Tam giác ABC có đặc điểm nào trong các số các đặc điểm sau :
Vuông cân.
Đều.
Cân nhưng không vuông.
Vuông nhưng không cân.
Chọn D
Xét ΔSAB có AB2=SA2+SB2−2SA.SB.cosASB^=3a2⇒AB=a3
ΔSBC đều => BC = a
ΔSAC có AB=SA2+SC2=a2
Từ đó tam giác ABC vuông tại C
Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ABCD và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là tâm của ABCD và I là trung điểm của SC. Khẳng định nào sau đây sai ?
IO⊥ABCD.
BC⊥SB.
(SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD
Tam giác SCD vuông ở D
Chọn C
Có IO là đường trung bình tam giác SAC nên IO // SA nên 
. Phương án A đúng.
Có BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥SB. Phương án B đúng
Và CD⊥ADCD⊥SA⇒CD⊥SD nên phương án D đúng.
Phương án C sai. Thật vậy nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực của ⇒BD⊥AC (vô lý).
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Với mỗi điểm A∈α và mỗi điểm B∈βthì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của α và β
Nếu hai mặt phẳng α và β đều vuông góc với mặt phẳng γ thì giao tuyến d của α và β nếu có sẽ vuông góc với γ.
Chọn D
Phương án A sai vì nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
Phương án B sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau.
Phương án C sai.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ABCD, SA=a6. Gọi α là góc giữa SC và mp(SAB). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
tanα=18.
tanα=17.
α=300.
tanα=16.
Chọn B
Do BC⊥SAB nên SB là hình chiếu của SC lên (SAB)
⇒SC,SAB=SC,SB=BSC^
Xét tam giác SBC có tanBSC^=BCSB=aa7=17.
Cho hình chóp S.ABCD, với đáy ABCD là hình bình hành tâm O, AD, SA, AB đôi một vuông góc AD = 8, SA = 6. (P) là mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng?
20
16
17
36
Chọn D
Thiết diện là hình thang vuông đi qua trung điểm các cạnh AB, CD, CS, SB nên diện tích thiết diện là
dt=(BC+12BC).12SA2=(8+4)62=36
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Độ dài SG là:
9b2+3a23
b2−3a23
9b2−3a23
b2+3a23
Chọn C
Theo bài ra hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều. Gọi H là trung điểm của BC, ta có SG⊥(ABC), G∈AH
Mặt khác ta có:
AH=a32,SH=b2−a24→SG=SA.sinSAG⏜=b.1−(AGSA)2=b1−a23b2=3b2−a23
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm C1 nằm giữa S và C.
b>a2
b<a2
a<b2
a>b2
Chọn C
Để C1 nằm giữa S và C thì ASC⏜<900→cosASC⏜>0↔2b2−a22b2>0↔b2>a
Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc. Điểm A, B, C,D cách đều là:
Trung điểm BC
Trung điểm AD
Trung điểm AC
Trung điểm AB
Chọn B
Sử dụng tính chất trung điểm của tam giác vuông
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây đúng ?
AB⊥(SAC)
CD⊥AC
SO⊥(ABCD)
CD⊥(SBD)
Chọn C
Do hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD nên SO⊥(ABCD)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp(ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
α=600
α=300
cosα=322
sinα=322
Chọn D
Gọi i là trung điểm AS, suy ra BI⊥(SAD)→α=IDB⏜Ta có: BI=AB32,BD=AB2 Suy ra sinα=BIBD=322
Cho tứ diện ABCD đều. Gọi α là góc giữa AB và mp(BCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
cosα=33
cosα=34
cosα=0
cosα=32
Chọn A
Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD), a là độ dài cạnh của tứ diện ABCD.
Ta có α=ABH^, BH=a33.cosα=BHAB=33
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA=a62. Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và (ABC)
75°
30°
45°
60°
Chọn D
SB,(ABC)^=SBA^=α⇒tanα=SAAB=a62a2=3⇒α=60ο
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi α là góc giữa AC1 và mp(ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
α=450
tanα=12
tanα=23
α=300
Chọn B
Ta có: AC1,ABCD^=CAC1^=α⇒tanα=CC1AC=aa2=12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là α, khi đó tanα nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
tanα=2
tanα=3
tanα=12
tanα=1
Chọn C
Ta có:
S∈SAB⇒S là hình chiếu của S trên (SAB) (1)
BC⊥AB t/c HVBC⊥SA SA⊥ABCD⇒BC⊥SAB
=> B là hình chiếu của trên SAB (2)
Từ 1,2⇒SC,SAB^=SC,SB^=BSC^=α
Xét tam giác SAB vuông tại A ta có: SB=SA2+AB2=a2
Xét tam giác SBC vuông tại B ta có: tanα=BCSB=aa2=12
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ABC và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:
45°
120°
90°
65°
Chọn C
Ta có: BH⊥AC gt BH⊥SA SA⊥ABCD⇒BH⊥SAC⇒BH⊥SCMà BK⊥SC⇒SC⊥BHK
