DẠNG 3. MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN VÀ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
24 câu hỏi
\(S = \int_b^a f (x)dx.\)
\(S = \int_b^a | f(x)|dx.\)
\(S = \left| {\int_a^b f (x)dx} \right|.\)
\(S = \int_a^b | f(x)|dx.\)
Chọn đáp án D
\(S = \left| {\int_a^b {(f(} x) - g(x))dx} \right|.\)
\(S = \int_b^a \mid (f(x) - g(x))dx.\)
\(S = \int_a^b \mid (f(x) - g(x))dx.\)
\(S = \int_b^a {(f(} x) - g(x))dx.\)
Chọn đáp án C
\(\int_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}} ({\rm{x}}){\rm{dx}} = {\rm{S}}.\)
\(\int_a^b f (x)dx = (a - b)S.\)
\(\int_a^b f (x)dx = - S.\)
\(\int_a^b f (x)dx = (b - a)S.\)
Chọn đáp án A
\(\int_a^b f (x)dx = S.\)
\(\int_a^b f (x)dx = (a - b)S.\)
\(\int_a^b f (x)dx = - S.\)
\(\int_a^b f (x)dx = (b - a)S.\)
Chọn đáp án C
\({{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\({{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\(\int_a^b f (x)dx = \int_a^c f (x)dx + \int_c^b f (x)dx = {S_1} - {S_2}.\) Chọn B.
\({{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\({{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\(\int_a^b f (x)dx = \int_a^c f (x)dx + \int_c^b f (x)dx = - {S_1} + {S_2}.\) Chọn C.
\({{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\({{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\({{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\({{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\(\int_a^b f (x)dx = \int_a^c f (x)dx + \int_c^b f (x)dx = - {S_1} - {S_2}.\) Chọn D.
\({{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\({S_1} - {S_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\(f(b) - f(a) = \int_a^b {{f^\prime }} (x)dx = \int_a^c {{f^\prime }} (x)dx + \int_c^b {{f^\prime }} (x)dx = - {S_1} + {S_2}.\) Chọn C.
\({{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\({{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\(f(b) - f(a) = \int_a^b {{f^\prime }} (x)dx = \int_a^c {{f^\prime }} (x)dx + \int_c^b {{f^\prime }} (x)dx = {S_1} - {S_2}.\) Chọn B.
\({{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\({{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\(f(b) - f(a) = \int_a^b {{f^\prime }} (x)dx = \int_a^c {{f^\prime }} (x)dx + \int_c^b {{f^\prime }} (x)dx = {S_1} + {S_2}.\) Chọn A.
\({{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\({{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}.\)
\( - {{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2}.\)
\(f(b) - f(a) = \int_a^b {{f^\prime }} (x)dx = \int_a^c {{f^\prime }} (x)dx + \int_c^b {{f^\prime }} (x)dx = - {S_1} - {S_2}.\) Chọn D.
Cho hàm số \(y = f(x)\) thoả mãn hàm \(y = {f^\prime }(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình bên. Giá trị của biểu thức \({\rm{f}}(4) - {\rm{f}}( - 4)\) bằng
12.
3.
24.
6.
\(f(4) - f( - 4) = \int_{ - 4}^4 {{f^\prime }} (x)dx = \int_{ - 4}^1 {{f^\prime }} (x)dx + \int_1^4 {{f^\prime }} (x)dx = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 12.\) Chọn A.
Cho hàm số \(y = f(x)\) thoả mãn hàm \(y = {f^\prime }(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình bên. Giá trị của biểu thức \({\rm{f}}(6) - {\rm{f}}(1)\) bằng
\(4\pi - 2.\)
\(2\pi + 2.\)
\(2\pi - 4.\)
\(2\pi - 2.\)
\(f(6) - f(1) = \int_1^6 {{f^\prime }} (x)dx = \int_1^5 {{f^\prime }} (x)dx + \int_5^6 {{f^\prime }} (x)dx = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot {2^2} - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2\pi - 2.\) Chọn D.
\(\frac{4}{3}.\)
\(\frac{2}{3}.\)
\(\frac{8}{3}.\)
\(\frac{{20}}{3}.\)
\( - {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0\;x = 2}\end{array}} \right..\)
\(S = \int_0^2 {\left| { - {x^2} + 2x} \right|} dx = \int_0^2 {\left( { - {x^2} + 2x} \right)} dx = \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + {x^2}} \right)||{0^2} = \frac{4}{3}.\) Chọn A.
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {{\rm{x}}^2}\) và đường thẳng \({\rm{y}} = 2{\rm{x}} + 3\) có diện tích là
\(\frac{{49}}{3}.\)
\(\frac{{29}}{3}.\)
\(\frac{{22}}{3}.\)
\(\frac{{32}}{3}.\)
\({x^2} = 2x + 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1\;x = 3}\end{array}} \right..\)
\({\rm{S}} = \int { - {1^3}} \left| {{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 3} \right|d{\rm{x}} = \int_{ - 1}^3 {\left( { - {{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 3} \right)} {\rm{dx}} = \left. {\left( {\frac{{ - {{\rm{x}}^3}}}{3} + {{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}}} \right)} \right|_{ - 1}^3 = \frac{{32}}{3}{\rm{.}}\)Chọn D.
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {{\rm{e}}^{\rm{x}}}\) và các đường thẳng \({\rm{y}} = 1,{\rm{x}} = - 1\) có diện tích là
\(\frac{1}{{\rm{e}}}.\)
\(1 - \frac{1}{{\rm{e}}}.\)
\({\rm{e}} - 1.\)
e.
\(S = \int_{ - 1}^0 {\left| {1 - {{\rm{e}}^{\rm{x}}}} \right|} {\rm{dx}} = \int_{ - 1}^0 {\left( {1 - {{\rm{e}}^{\rm{x}}}} \right)} {\rm{dx}} = \left. {\left( {{\rm{x}} - {{\rm{e}}^{\rm{x}}}} \right)} \right| - {1^0} = \frac{1}{{\rm{e}}}.\) Chọn A.
Hình vẽ bên biểu diễn trục hoành cắt đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}})\) tại ba điểm có hoành độ \({{\rm{x}}_1},{{\rm{x}}_2},{{\rm{x}}_3}\)\(\left( {{x_1} < {x_2} < {x_3}} \right).\) Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và trục hoành là
![Hình vẽ bên biểu diễn trục hoành cắt đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}})\) tại ba điểm có hoành độ \({{\rm{x}}_1},{{\rm{x}}_2},{{\rm{x}}_3}\) \(\left( {{x_1} < {x_2} < {x_3}} \right).\) Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và trục hoành là A. \(\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx + \int_{{x_2}}^{{x_3}} f (x)dx.\) B. \(\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx - \int_{{x_2}}^{{x_3}} f (x)dx.\) C. \[\left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx + \int_{{x_2}}^{{x_3}} f (x)dx} \right|.\] D. \(\left| {\int_{{{\rm{x}}_1}}^{{{\rm{x}}_3}} {\rm{f}} ({\rm{x}}){\rm{dx}}} \right|.\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/09/blobid3-1727016691.png)
\(\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx + \int_{{x_2}}^{{x_3}} f (x)dx.\)
\(\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx - \int_{{x_2}}^{{x_3}} f (x)dx.\)
\[\left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx + \int_{{x_2}}^{{x_3}} f (x)dx} \right|.\]
\(\left| {\int_{{{\rm{x}}_1}}^{{{\rm{x}}_3}} {\rm{f}} ({\rm{x}}){\rm{dx}}} \right|.\)
\(S = \int {{x_1}^{{x_3}}} |f(x)|dx = \int_{{x_1}}^{{x_2}} | f(x)|dx + \int_{{x_2}}^{{x_3}} | f(x)|dx = \int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx - \int_{{x_2}}^{{x_3}} f (x)dx.\) Chọn B.
Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ sau có diện tích là
\(S = \int_a^b | h(x) - g(x)|dx + \int_b^c | h(x) - f(x)|dx.\)
\(S = \int_a^c | f(x) - g(x)|dx + \int_b^c | f(x) - h(x)|dx.\)
\(S = \int_a^c | h(x) - g(x)|dx + \int_b^c | h(x) - f(x)|dx.\)
\(S = \int_a^b | f(x) - g(x)|dx + \int_b^c | f(x) - h(x)|dx.\)
\(S = {S_1} + {S_2}.\)
\({{\rm{S}}_1}\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}}),{\rm{y}} = {\rm{g}}({\rm{x}})\) và các đường thẳng \({\rm{x}} = {\rm{a}},{\rm{x}} = {\rm{b}}.\)
\({{\rm{S}}_2}\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}}),{\rm{y}} = {\rm{h}}({\rm{x}})\) và các đường thẳng \({\rm{x}} = {\rm{b}},{\rm{x}} = {\rm{c}}.\)
\(S = {S_1} + {S_2} = \int_a^b | f(x) - g(x)|dx + \int_b^c | f(x) - h(x)|dx{\rm{.}}\)Chọn D.
Hình vẽ bên biểu diễn đường thẳng\({\rm{y}} = {\rm{m}}\)cắt đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}})\) tại ba điểm có hoành độ \({{\rm{x}}_1}\), \({{\rm{x}}_2},{{\rm{x}}_3}\left( {{{\rm{x}}_1} < {{\rm{x}}_2} < {{\rm{x}}_3}} \right).\) Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên là
\(\int_{{x_1}}^{{x_2}} {(f(} x) - m)dx + \int_{{x_2}}^{{x_2}} {(f(} x) - m)dx.\)
\(\int_{{x_1}}^{{x_2}} {(f(} x) - m)dx - \int_{{x_2}}^{{x_2}} {(f(} x) - m)dx.\)
\(\int_{{x_1}}^{{x_2}} {(m - f(} x))dx + \int_{{x_2}}^{{x_2}} {(m - f(} x))dx.\)
\(\left| {\int_{{x_1}}^{{x_1}} {(f(} x) - m)dx} \right|.\)
\(S = \int_{{x_1}}^{{x_3}} | f(x) - m|dx\)
\( = \int_{{x_1}}^{{x_2}} | f(x) - m|dx + \int_{x2}^{{x_3}} | f(x) - m|dx = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {(f(} x) - m)dx - \int_{{x_2}}^{{x_3}} {(f(} x) - m)dx.\)
Chọn B.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \({\rm{y}} = \sqrt {\rm{x}} ,{\rm{y}} = 2 - {\rm{x}}\) và trục Ox được tính bởi công thức
\(\int_0^2 {(\sqrt x - 2 + x)} dx.\)
\(\int_0^2 {(2 - x - \sqrt x )} dx.\)
\(\int_0^1 {\sqrt x } dx + \int_1^2 {(2 - x)} dx.\)
\(\int_0^2 {\sqrt x } dx + \int_0^2 {(2 - x)} dx.\)
\(\sqrt x = 2 - x \Leftrightarrow x = 1.\)
\(S = {S_1} + {S_2}.\)
\({{\rm{S}}_1}\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \({\rm{y}} = \sqrt {\rm{x}} \) và các đường thẳng \({\rm{x}} = 1,{\rm{y}} = 0.\)
\({{\rm{S}}_2}\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \({\rm{y}} = 2 - {\rm{x}}\) và các đường thẳng \({\rm{x}} = 1,{\rm{y}} = 0.\)
\(S = \int_0^1 {\sqrt x } dx + \int_1^2 {(2 - x)} dx.\) Chọn C.
\(\int_1^2 {\left( {{2^x} - 2} \right)} dx.\)
\(\int_{ - 1}^2 {\left( {{2^x} - 2} \right)} dx.\)
\(\int_{ - 1}^2 {\left( {2 - {2^x}} \right)} dx.\)
\(\int_{ - 1}^1 {\left( {2 - {2^x}} \right)} dx + \int_1^2 {\left( {{2^x} - 2} \right)} dx.\)
\(S = \int_{ - 1}^2 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx = \int_{ - 1}^1 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx = \int_{ - 1}^1 {\left( {2 - {2^x}} \right)} dx + \int_1^2 {\left( {{2^x} - 2} \right)} dx.\)
Chọn D.
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị cắt trục Ox tại đúng 4 điểm phân biệt (hình bên). Biết rằng \(\int_{ - 1}^1 {\rm{f}} ({\rm{x}}){\rm{dx}} = 21\), \(\int_1^2 f (x)dx = - 2,\int_2^3 f (x)dx = 3.\) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}})\) và trục Ox bằng
22.
20.
16.
26.
\(S = \int_{ - 1}^1 | f(x)|dx + \int_1^2 | f(x)|dx + \int_2^3 | f(x)|dx = 21 + 2 + 3 = 26.\) Chọn D.
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị cắt trục Ox tại đúng 4 điểm phân biệt (hình bên). Biết rằng \(\int_{ - 1}^1 {\rm{f}} ({\rm{x}}){\rm{dx}} = 21\), \(\int_1^2 f (x)dx = - 2,\int_2^3 f (x)dx = 3.\) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}})\) và trục Ox bằng
22.
20.
16.
26.
\(S = \int_{ - 1}^1 | f(x)|dx + \int_1^2 | f(x)|dx + \int_2^3 | f(x)|dx = 21 + 2 + 3 = 26.\) Chọn D.
