Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc và các bài toán liên quan có đáp án
16 câu hỏi
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?
A'C'⊥BD
BB'⊥BD
A'B⊥DC'
BC'⊥A'D
Chọn B.
Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi.
A đúng vì: A'C'⊥B'D'B'D' // BD⇒A'C'⊥BD
C đúng vì: A'B⊥AB'AB' // DC'⇒A'B⊥DC'
D đúng vì: BC'⊥B'CB'C // A'D⇒BC'⊥A'D
Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu AB→.AC→=AC→.AD→=AD→.AB→ thì AB⊥CD, AC⊥BD, AD⊥BC. Điều ngược lại đúng không?
Sau đây là lời giải:
Bước 1: AB→.AC→=AC→.AD→⇔AC→.AB→−AD→=0⇔AC→.DB→=0⇔AC⊥BD
Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC.AD = AD.AB ta được AD⊥BC và AB.AC = AD.AB ta được AB⊥CD .
Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương.
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?
Đúng.
Sai từ bước 1.
Sai từ bước 1.
Sai ở bước 3.
Chọn A.
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD . Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Hình thang.
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Tứ giác không phải là hình thang.
Chọn C.
Ta có: MNPQ//ABMNPQ∩ABC=MQ⇒MQ//AB.
Tương tự ta có: MN//CD, NP//AB, QP//CD
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành lại có MN⊥MQdo AB⊥CD
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC .
a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
MN⊥RP,MN⊥RQ
MN⊥RP, MN cắt RQ
MN chéo RP; MN chéo RQ
Cả A, B, C đều sai
Chọn A
a) Ta có MC=MD=a32 nên tam giác MCD cân tại M , do đó MN⊥CD
Lại có RP∥CD⇒MN⊥RQ
b) Tính góc của hai đường thẳng AB và CD?
AB,CD^=600
AB,CD^=300
AB,CD^=450
AB,CD^=900
b) Tương tự ta có QP⊥AD
Trong tam giác vuông PDQ ta có QP2=QD2−DP2=a322−a22=a22
Ta có RQ2+RP2=a22+a22=a2=QP2
Do đó tam giác RPQ vuông tại R , hay RP⊥RQ
Vì vậy AB∥RQCD∥RPRP⊥RQ⇒AB⊥CD
Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC' và C'A . Tứ giác MNPQ là hình gì?
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Hình vuông.
Hình thang.
Chọn B.
Vì M, N, P, Q nên dễ thấy tứ giác MNPQ là hình bhình hành.
Gọi H là trung điểm của AB.
Vì hai tam giác ABC và ABC' nên CH⊥ABC'H⊥AB
Suy ra AB⊥CHC'. Do đó AB⊥CC'
Ta có: PQ//ABPN//CC'AB⊥CC'⇒PQ⊥PN
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a .
Tam giác SAB vuông cân tại A ,M M là một điểm trên cạnh AD ( M khác A và D ). Mặt phẳng (α) đi qua và song song với (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q .
a) MNPQ là hình gi?.
MNPQlà hình thang vuông.
MNPQ là hình vuông.
MNPQlà hình chữ nhật.
MNPQlà hình bình hành.
Chọn A
a) Ta có α∥SABSAB∩ABCD=ABα∩ABCD=MN
Tương tự α∥SABSBC∩SAB=SBα∩SBC=NP⇒NP∥SB
α∥SABSAD∩SAB=SAα∩SAD=MQ⇒MQ∥SA
Dễ thấy MN∥PQ∥AB∥CD nên MNPQ là hình bình hành
Lại có MN∥ABMQ∥SAAB⊥SA⇒MN⊥MQ
Vậy MNPQ là hình thang vuông.
b)Tính diện tích của MNPQ theo a
SMNPQ=3a28
SMNPQ=a28
SMNPQ=3a24
SMNPQ=a24
Chọn A
b) Ta có MN=AB=a, MQ=SA2=a2, PQ=CD2=a2
Vậy SMNPQ=12MN+PQ.MQ=12a+a2a2=3a28
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Trên các cạnh DC và BB' lấy các điểm M và N sao cho MD=NB=x0≤x≤a.
a) Khẳng định nào sau đây là đúng?
AC'⊥B'D'
AC’ cắt B’D’
AC’và B’D’ đồng phẳng
Cả A, B, C đều đúng
Chọn A
Đặt AA'→=a→,AB→=b→,AD→=c→
a) Ta có AC'→=a→+b→+c→, B'D'→=c→−b→
nên AC'→.B'D'→=a→+b→+c→c→−b→
=a→c→−b→+c→2−b→2=a2−a2=0⇒AC'⊥B'D'
b) khẳng định nào sau đây là đúng ?
AC'⊥MN
AC’ và MN cắt nhau
AC’ và MN đồng phẳng
Cả A, B, C đều đúng
Chọn A
b) MN→=AN→−AM→=AB→+BN→−AD→+DM→
=b→+xaa→-c→+xab→=xaa→+1-xab→-c→
Từ đó ta có AC'→.MN→=a→+b→+c→[b→+xaa→-c→+xab→=xaa→+1-xab→-c→]
=xaa→2+1−xab→2−c→2=x.a+1−xaa2−a2=0
Vậy AC'⊥MN
Cho tứ diện ABCD có AC = a , BD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN .
MN=a102
MN=a63
MN=3a22
MN=2a33
Chọn A.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD .
Ta có: EN // ACNF // BD⇒AC,BD=NE,NF=90°⇒NE⊥NF(1).
Mà: NE=FM=12ACNF=ME=12BD (2).
Từ (1), (2) => MENF là hình chữ nhật.
Từ đó ta có: MN=NE2+NF2=AC22+BD22=a22+3a22=a102
Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng?
2AB→.AC→=AB2+AC2−BC2
2AB→.AC→=AB2+AC2−2BC2
AB→.AC→=AB2+AC2−2BC2
AB→.AC→=AB2+AC2−BC2
Chọn A.
BC2=AB2+AC2−2AB.AC.cosAB,AC=AB2+AC2−2.AB→.AC→
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính AB→.EG→
a23
a2
a222
a22
Chọn B.
Ta có AB→.EG→=AB→.AC→, mặt khác AC→=AB→+AD→
Suy ra AB→.EG→=AB→.AC→=AB→AB→+AD→=AB2→+AB→.AD→=a2
Cho tứ diện ABCD có AB = a, BD = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN
MN=a63
MN=a102
MN=2a33
MN=3a22
Chọn B.
Kẻ NP//AC P∈AB, nối MP
NP là đường trung bình ΔABC⇒PN=12AC=a2
MP là đường trung bình ΔABD⇒PM=12BD=3a2
Lại có AC,BD=PN,PM=NPM→=90°
=> tam giác MNP vuông tại P
Vậy MN=PN2+PM2=a102
Cho tứ diện ABCD trong đó AB = 6, CD = 3, góc giữa AB và CD là 60o và điểm M trên BC sao cho BM = 2MC. Mặt phẳng (P) qua M song song với AB và CD cắt BD, AD, AC lần lượt tại M, N, Q. Diện tích MNPQ bằng:
22
2
23
32
Chọn C.
Thiết diện MNPQ là hình bình hành.
Ta có AB,CD=QM,MP=QMP^=60°
Suy ra SMPNQ=QN.QN.sin60°
Lại có
ΔCMQ≠ ΔCBA⇒CMAB=MOAB=13⇒MQ=2ΔAQN ≠ ΔACD⇒AQAC=QNCD=23⇒QN=2
Do đó SMPNQ=QM.QN.sin60°=2.2.sin60°=23
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = 4, CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2BM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD. Diện tích thiết diện của (P) với tứ diện là?
5
6
173
163
Chọn D
Ta có 
Suy ra thiết diện MNPQ là hình chữ nhật.
Lại có:
Suy ra SMNPQ = MN.NP = 163
