CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
12 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, độ dài của vectơ \(\overrightarrow {\rm{a}} (2;3;6)\) bằng bao nhiêu?
Đáp số: 7. \(|\overrightarrow {\rm{a}} | = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} = 7.\)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \({\rm{A}}(1;5;7),{\rm{B}}(3;2;1).\) Độ dài đoạn thẳng AB bằng bao nhiêu?
Đáp số: 7. \({\rm{AB}} = \sqrt {{{(3 - 1)}^2} + {{(2 - 5)}^2} + {{(1 - 7)}^2}} = 7.\)
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec a(1;1; - 3),\vec b( - 5; - 1;0).\) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {\rm{a}} ,\overrightarrow {\rm{b}} \) có giá trị bằng bao nhiêu?
Đáp số: \( - 6 \cdot \vec a \cdot \vec b = 1 \cdot ( - 5) + 1 \cdot ( - 1) + ( - 3) \cdot 0 = - 6.\)
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\vec a( - 1;3;2),\vec b(x;0;1).\) Giá trị của \(x\) để \(\overrightarrow {\rm{a}} \bot \overrightarrow {\rm{b}} \) là bao nhiêu?
Đáp số: 2. \(\vec a \cdot \vec b = ( - 1) \cdot x + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = - x + 2,\vec a \cdot \vec b = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \({\rm{A}}(6;4; - 1),{\rm{B}}(0;0;3)\) và \({\rm{M}}({\rm{a}};{\rm{b}};{\rm{c}})\) là trung điểm của đoạn thẳng AB. Giá trị của biểu thức \({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}\) là bao nhiêu?
Đáp số: 6. \({\rm{M}}(3;2;1),{\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}} = 3 + 2 + 1 = 6.\)
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh \({\rm{A}}(2;1; - 3)\), \({\rm{B}}(4;2;1),{\rm{C}}(3;0;5)\) và \({\rm{G}}({\rm{a}};{\rm{b}};{\rm{c}})\) là trọng tâm của tam giác ABC. Giá trị của biểu thức \({\rm{P}} = {\rm{abc}}\) là bao nhiêu?
Đáp số: 3. \({\rm{G}}(3;1;1)\), \({\rm{abc}} = 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3.\)
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow {\rm{a}} (0; - 1;0),\overrightarrow {\rm{b}} (\sqrt 3 ;1;0).\) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {\rm{a}} ,\overrightarrow {\rm{b}} \) là \({{\rm{n}}^o }\) với n là số thực. Giá trị của n là bao nhiêu?
Đáp số: 120.
\(\cos (\overrightarrow {\rm{a}} ,\overrightarrow {\rm{b}} ) = \frac{{0 \cdot \sqrt 3 + ( - 1) \cdot 1 + 0 \cdot 0}}{{\sqrt {{0^2} + {{( - 1)}^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow (\overrightarrow {\rm{a}} ,\overrightarrow {\rm{b}} ) = {120^o }\)
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \({\rm{A}}(3;1;2)\) đến mặt phẳng \(({\rm{P}}):2{\rm{x}} + 2{\rm{y}} - {\rm{z}} + 6 = 0\) là bao nhiêu?
Đáp số: 4.
\({\rm{d}}({\rm{A}},({\rm{P}})) = \frac{{|2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 2 + 6|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{12}}{3} = 4.\)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 8}}{1} = \frac{{y - 9}}{1} = \frac{z}{5},{\Delta ^\prime }:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z - 9}}{3}\) là \({n^o }\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, n là số nguyên dương). Giá trị của n là bao nhiêu?
Đáp số: 29.
\(\cos \left( {\Delta ,{\Delta ^\prime }} \right) = \frac{{|1 \cdot 1 + 1 \cdot ( - 1) + 5 \cdot 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {5^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{15}}{{\sqrt {297} }} \Rightarrow \left( {\Delta ,{\Delta ^\prime }} \right) \approx {29^o}.\)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{{\rm{P}}_1}} \right):x + y + z - 1 = 0,\left( {{P_2}} \right):x + 2y - 2z - 3 = 0\) là \({{\rm{n}}^o }\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, n là số nguyên dương). Giá trị của n là bao nhiêu?
Đáp số: 79.
\(\cos \left( {\left( {{\rm{P}}1} \right),\left( {{\rm{P}}2} \right)} \right) = \frac{{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }} \Rightarrow \left( {\left( {{\rm{P}}1} \right),\left( {{\rm{P}}2} \right)} \right) \approx {79^o}\)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, góc giữa đường thẳng \(\Delta :\frac{{{\rm{x}} - 2}}{1} = \frac{{{\rm{y}} - 3}}{1} = \frac{{{\rm{z}} + 1}}{2}\) và mặt phẳng \(({\rm{P}}):{\rm{x}} + 2{\rm{y}} - {\rm{z}} + 1 = 0\) là \({{\rm{n}}^o }\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, n là số nguyên dương). Giá trị của n là bao nhiêu?
Đáp số: 10.
\(\sin ((\Delta ),({\rm{P}})) = \frac{{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{6}.\)
Suy ra \(((\Delta ),(P)) = {10^o }.\)
Một phần thiết kế của một công trình đang xây dựng có dạng như hình bên, trong đó ABCD là hình vuông cạnh \(6\;{\rm{m}},{\rm{AM}},{\rm{BN}},{\rm{DP}}\) cùng vuông góc với \(({\rm{ABCD}}),{\rm{AM}} = 4\;{\rm{m}}\), \({\rm{BN}} = 3\;{\rm{m}},{\rm{DP}} = 2\;{\rm{m}}.\) Góc giữa hai mặt phẳng \(({\rm{ABCD}})\) và \(({\rm{MNP}})\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) là \({{\rm{n}}^o }\) với n là số nguyên dương. Giá trị của n là bao nhiêu?
Đáp số: 20.
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ với đơn vị của mỗi trục là mét, \({\rm{A}}(0;0;0),{\rm{B}}(6;0;0)\), \({\rm{D}}(0;6;0),{\rm{M}}(0;0;4),{\rm{N}}(6;0;3),{\rm{P}}(0;6;2).\) Phương trình mặt phẳng (MNP) là \({\rm{x}} + 2{\rm{y}} + \) \(6{\rm{z}} - 24 = 0\), vectơ pháp tuyến của (MNP) là \(\overrightarrow {\rm{n}} = (1;2;6).\)
\(({\rm{ABCD}})\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {\rm{k}} = (0;0;1).\)
\(\cos {{\rm{n}}^o } = \cos (({\rm{ABCD}}),({\rm{MNP}})) = \frac{{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 6 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {6^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{6\sqrt {41} }}{{41}}.\)
Suy ra \({\rm{n}} = 20.\)
