Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Đề số 5)
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\) với \(x > 0\).
\(P = \sqrt x \).
\(P = {x^{\frac{1}{3}}}\).
\(P = {x^{\frac{1}{9}}}\).
\(P = {x^2}\).
Đáp án đúng là: A
\(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \).
Với \(a,b,x\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x = 5{\log _2}a + 3{\log _2}b\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(x = 3a + 5b\).
\(x = 5a + 3b\).
\(x = {a^5} + {b^3}\).
\(x = {a^5}{b^3}\).
Đáp án đúng là: D
\({\log _2}x = 5{\log _2}a + 3{\log _2}b\)\( \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}{a^5} + {\log _2}{b^3} = {\log _2}{a^5}{b^3} \Rightarrow x = {a^5}{b^3}\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào sau đây là hàm số mũ?
\(y = {x^2}\).
\(y = {2^x}\).
\(y = {x^\pi }\).
\(y = \sqrt x \).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = {2^x}\) là hàm số mũ.
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({\log _2}x > 2\) là:
\(S = \left( {2; + \infty } \right)\).
\(S = \left( {0;2} \right)\).
\(S = \left( {0;4} \right)\).
\(S = \left( {4; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \(x > 0\).
Ta có \({\log _2}x > 2\)\( \Leftrightarrow x > {2^2} = 4\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {4; + \infty } \right)\).
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{6^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }}{{.3}^{1 + \sqrt 5 }}}}\) bằng
\({6^{ - \sqrt 5 }}\).
\(18\).
\(1\).
\(9\).
Đáp án đúng là: B
\(A = \frac{{{{\left( {2.3} \right)}^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }}{{.3}^{1 + \sqrt 5 }}}}\)\( = \frac{{{2^{3 + \sqrt 5 }}{{.3}^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }}{{.3}^{1 + \sqrt 5 }}}}\)\( = {2.3^2} = 18\).
Tìm \(a\) để hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có đồ thị là hình bên
\(a = \sqrt 2 \).
\(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
\(a = \frac{1}{2}\).
\(a = 2\).
Đáp án đúng là: A
Vì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến nên loại đáp án B, C.
Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) đi qua điểm \(\left( {2;2} \right)\) nên \(2 = {\log _a}2 \Rightarrow {a^2} = 2 \Rightarrow a = \sqrt 2 \).
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng cùng vuông góc gới một đường thẳng thì song song với nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại.
Đáp án đúng là: A
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Trong không gian mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Hãy chọn mệnh đề phát biểu đúng trong các mệnh đề dưới đây?
Tồn tại duy nhất một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( P \right)\).
Không tồn tại mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)chứa đường thẳng \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( P \right)\).
Tồn tại duy nhất một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với \(\left( P \right)\).
Tồn tại duy nhất một đường thẳng \(\Delta \) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\Delta \) vuông góc với \(d\).
Đáp án đúng là: C
Tồn tại duy nhất một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với \(\left( P \right)\).
Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không vuông góc với nhau. Gọi \(a'\) là hình chiếu vuông góc của \(a\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Giả sử \(b\) là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(b \bot a'\).
Khi đó
Đường thẳng \(a\) luôn luôn chéo \(b\).
Đường thẳng \(a\) luôn luôn cắt \(b\).
\(a//b\).
\(a \bot b\).
Đáp án đúng là: D
Dựa vào định lí 3 đường vuông góc suy ra \(a \bot b\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(M\) là trung điểm \(BC\). Khi đó mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) không vuông góc với mặt phẳng nào?
\(\left( {SAB} \right)\).
\(\left( {SAM} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
\(\left( {SBC} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) mà \(SA \subset \left( {SAB} \right),SA \subset \left( {SAM} \right),SA \subset \left( {SAC} \right)\).
Do đó \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right),\left( {SAM} \right) \bot \left( {ABC} \right),\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\). Khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
\(IB\).
\(IA\).
\(IC\).
\(IO\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(I\) là trung điểm của \(SC\), \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(IO\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\).
Suy ra \(IO//SA\) mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Do đó \(d\left( {I,\left( {ABCD} \right)} \right) = IO\).
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SCD\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SIG} \right)\).
\(\left( {SIG} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
\(\left( {SAD} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\).
Ta có \(\Delta SAB\) cân nên \(SI \bot AB\) mà \(AB \bot IK\). Suy ra \(AB \bot \left( {SIK} \right)\) mà \(AB \subset \left( {SAB} \right)\).
Do đó \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SIK} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SIG} \right)\).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho phương trình \({9^{2x}}{.27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}\).
a) \(x = 0\) là một nghiệm của phương trình.
b) \(x = - 1\)không phải là nghiệm của phương trình.
c) Tổng các nghiệm của phương trình là \(0\).
d) \(x_1^2 + x_2^2 = \frac{{10}}{9}\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình trên.
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) S, d) Đ
a) Thay \(x = 0\) vào phương trình ta được \({9^{2.0}}{.27^{{0^2}}} = \frac{1}{3}\) (sai).
Do đó \(x = 0\)không là nghiệm của phương trình.
b) Thay \(x = - 1\) vào phương trình ta được \({9^{2.\left( { - 1} \right)}}{.27^{{{\left( { - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{3}\) (đúng).
Do đó \(x = - 1\)là nghiệm của phương trình.
c) Ta có \({9^{2x}}{.27^{{x^2}}} = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow {3^{4x}}{.3^{3{x^2}}} = {3^{ - 1}}\)\( \Leftrightarrow {3^{4x + 3{x^2}}} = {3^{ - 1}}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x = - 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\).
Do đó tổng các nghiệm là \( - \frac{4}{3}\).
d) \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)^2} = \frac{{10}}{9}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\). \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), \(SA = AC,SC = 2a,AB = 2AD = 2DC\).
a) \(SA\) vuông góc với \(BC\).
b) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ \).
c) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(60^\circ \).
d) Khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{a}{2}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).
b) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của đường thẳng \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).
Mà \(SA = AC\) nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\). Suy ra \(\widehat {SCA} = 45^\circ \).
c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\).
Dễ thấy \(CI = \frac{1}{2}AB\). Suy ra \(\Delta ACB\) vuông tại \(C\). Do đó \(AC \bot CB\)
Mà \(SA \bot BC\). Suy ra \(BC \bot \left( {SAC} \right)\) mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\). Do đó \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
d) Giả sử \(AD \cap BC = \left\{ K \right\}\).
Ta có \(\frac{{d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{KD}}{{KA}} = \frac{1}{2}\). Suy ra \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Hạ \(AH \bot SC\) mà \(BC \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(BC \bot AH\). Do đó \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{2}{{A{C^2}}}\).
Vì tam giác \(SAC\) vuông cân cạnh \(SC = 2a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \). Do đó \(AH = a\).
Do đó \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{a}{2}\).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 15 đến câu 18.
Anh Toàn được tuyển dụng vào một công ty đầu năm 2013. Công ty trả lương cho anh theo nguyên tắc. Lương khởi điểm anh nhận là 6 triệu đồng/tháng và cứ sau 3 năm công ty lại tăng lương cho anh thêm 25% số lương đang hưởng. Hiện nay (năm 2024) anh đang được hưởng lương là bao nhiêu triệu đồng một tháng? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 11,7
Số tiền anh Toàn nhận được sau \(n\) lần tăng lương là \({S_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n}\) trong đó:
\(A\) là số tiền lương tháng đầu tiên người đó nhận được
\(r\) là số % lương người đó được tăng
\(n\) là kì hạn người đó được tăng lương.
Từ năm 2013 đến năm 2024 anh Toàn được 3 lần tăng lương.
Do đó số tiền anh nhận được ở năm 2024 là \(6{\left( {1 + 25\% } \right)^3} \approx 11,7\) triệu đồng.
Cho \(a\) là số thực dương \(a \ne 1\). Tính \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 9
Ta có \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3} = \frac{{\log {a^3}}}{{\log \sqrt[3]{a}}} = \frac{{3\log a}}{{\frac{1}{3}\log a}} = 9\).
Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có độ dài cạnh đáy khoảng 230m, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219 m. Gọi \(\varphi \) là số đo của góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp. Tính \(\tan \varphi \) (tính chính xác đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1,28
Giả sử kim tự tháp có dạng hình chóp \(S.ABCD\) như hình vẽ
Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Khi đó \(OH \bot CD,SH \bot CD\).
Do đó góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp là góc \(\widehat {SHO}\).
Vì \(\Delta SCD\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot CD\).
Có \(SH = \sqrt {S{C^2} - C{H^2}} = \sqrt {{{219}^2} - {{115}^2}} \approx 186,4\).
Có \(SO = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}} = \sqrt {186,{4^2} - {{115}^2}} \approx 146,7\).
Xét \(\Delta SOH\) có \(\tan \varphi = \frac{{SO}}{{OH}} = \frac{{146,7}}{{115}} \approx 1,28\).
Cho hình chóp \(S.ABC\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = \frac{3}{2}\), diện tích đáy bằng \(8\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 4
Ta có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{2}.8 = 4\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Rút gọn biểu thức \(P = {\log _3}\left( {{x^3} + x} \right) - {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right)\) với \(x > 0\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(P = {\log _3}\left( {{x^3} + x} \right) - {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right)\)\( = {\log _3}\frac{{{x^3} + x}}{{{x^2} + 1}}\)\( = {\log _3}\frac{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = {\log _3}x\).
Lốc xoáy là hiện tượng một luồng không khí xoáy tròn mở rộng ra từ một đám mây dông xuống tới mặt đất. Các cơn lốc xoáy thường có sức tàn phá rất lớn. Tốc độ của gió (đơn vị: dặm/giờ) gần tâm của một cơn lốc xoáy được tính bởi công thức \(S = k.\log d + 65\) (Nguồn: Ron Larson, Intermediate Algebra, Cengage) trong đó \(d\)(đơn vị: dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy di chuyển được. Biết tốc độ của gió ở gần tâm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường là 10 dặm là 158 (dặm/giờ). Hãy tính tốc độ của gió ở gần tâm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường là 12 dặm.
Hướng dẫn giải
Theo đề \(d = 10\) thì \(S = 158\). Do đó \(158 = k.\log 10 + 65\)\( \Leftrightarrow k = 93\).
Khi đó \(S = 93.\log d + 65\).
Tốc độ của gió ở gần tâm khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường là 12 dặm là
\(S = 93.\log 12 + 65 \approx 165\)(dặm/giờ).
Một cái hộp hình lập phương, bên trong nó đựng một mô hình đồ chơi có dạng hình chóp tứ giác đều mà đỉnh của hình chóp đó trùng với tâm của một mặt chiếc hộp, giả sử hình vuông đáy của hình chóp trùng với một mặt của chiếc hộp (mặt này cùng với mặt chứa đỉnh hình chóp là hai mặt đối nhau). Biết cạnh của chiếc hộp bằng 30 cm, hãy tính thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi dạng hình chóp (mô hình đồ chơi được làm bởi chất liệu nhựa đặc bên trong, kết quả có đơn vị là dm3).
Hướng dẫn giải
Đổi 30 cm = 3 dm.
Thể tích của hình lập phương là \({S_1} = {3^3} = 27\) dm3.
Thể tích của khối chóp là \({S_2} = \frac{1}{3}{.3^2}.3 = 9\) dm3.
Thể tích phần không gian bên trong chiếc hộp không bị chiếm bởi mô hình đồ chơi dạng hình chóp là \(S = {S_1} - {S_2} = 27 - 9 = 18\) dm3.
