Bộ 5 đề thi Cuối kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
\(\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \).
\(\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha \).
\(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \sin \alpha \).
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \).
\(\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \). Chọn D.
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
\(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\).
\(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\).
\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).
\(\cos 2x = 2\cos x\).
\(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\). Chọn D.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 2n - 3\). Viết 5 số hạng đầu của dãy số.
\({u_1} = - 1;{u_2} = 3;{u_3} = 5;{u_4} = 7;{u_5} = 9\).
\({u_1} = - 1;{u_2} = 1;{u_3} = 3;{u_4} = 5;{u_5} = 7\).
\({u_1} = 1;{u_2} = 3;{u_3} = 5;{u_4} = 7;{u_5} = 9\).
\({u_1} = - 3;{u_2} = - 1;{u_3} = 1;{u_4} = 3;{u_5} = 7\).
5 số hạng đầu của dãy số \({u_n} = 2n - 3\)là \({u_1} = - 1;{u_2} = 1;{u_3} = 3;{u_4} = 5;{u_5} = 7\). Chọn B.
Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \({u_n}\left( {n \ge 2} \right)\) được xác định bằng công thức nào sau đây?
\({u_n} = {u_1}{q^{n + 1}}\).
\({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)q\).
\({u_n} = {u_1}{q^n}\).
\({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\). Chọn B.
Mẫu số liệu sau cho biết số tiền mà sinh viên chi cho thanh toán cước điện thoại trong tháng
Số tiền (nghìn đồng) | \(\left[ {0;50} \right)\) | \(\left[ {50;100} \right)\) | \(\left[ {100;150} \right)\) | \(\left[ {150;200} \right)\) | \(\left[ {200;250} \right)\) |
Số sinh viên | 4 | 13 | 15 | 10 | 5 |
Số sinh viên thanh toán cước điện thoại trong tháng ít hơn một trăm nghìn đồng là
\(15\).
\(17\).
\(4\).
\(13\).
Số sinh viên thanh toán cước điện thoại trong tháng ít hơn một trăm nghìn đồng là:
4 + 13 = 17. Chọn B.
Cho bảng khảo sát về tiền điện của một số hộ gia đình
Số tiền (nghìn đồng) | \(\left[ {350;400} \right)\) | \(\left[ {400;450} \right)\) | \(\left[ {450;500} \right)\) | \(\left[ {500;550} \right)\) | \(\left[ {550;600} \right)\) |
Số hộ gia đình | 6 | 14 | 21 | 17 | 2 |
Các nhóm số liệu ở bảng trên có độ dài là bao nhiêu?
\(45\).
\(50\).
\(48\).
\(54\).
Các nhóm số liệu ở bảng trên có độ dài là 50. Chọn B.
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết điều nào sau đây?
Ba điểm không thẳng hàng mà nó đi qua.
Hai điểm thuộc mặt phẳng.
Một đường thẳng và một điểm thuộc nó.
Ba điểm mà nó đi qua.
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu đi qua ba điểm không thẳng hàng. Chọn A.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Hai đường thẳng không song song thì cắt nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung là mệnh đề đúng. Chọn A.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung.
Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến đó song song với nhau.
Cho hai đường thẳng \(a,b\) nếu \(a \subset \left( P \right),b \subset \left( Q \right)\) và \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) thì \(a//b\).
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Cho hai đường thẳng \(a,b\) nếu \(a \subset \left( P \right),b \subset \left( Q \right)\) và \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) thì \(a//b\) là mệnh đề sai. Chọn C.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng trùng nhau.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng chéo nhau.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Chọn C.
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) có \(\lim {u_n} = 8\) và \(\lim {v_n} = - 2\). Khi đó \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) bằng
\(10\).
\(6\).
\( - 16\).
\( - 10\).
\(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n} = 8 - 2 = 6\). Chọn B.
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L < 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = - \infty \). Kết quả nào dưới đây là đúng?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right) = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right) = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right) = M < 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right) = L\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right) = + \infty \). Chọn B.
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,AD\). Khi đó
a) \(M \in \left( {SAD} \right)\).
b) \(ON//AB\).
c) \(OM//\left( {SAC} \right)\).
d) \(\left( {OMN} \right)//\left( {SCD} \right)\).
a) Có \(M \in SA \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow M \in \left( {SAD} \right)\).
b) Xét \(\Delta ABD\), có \(O\) là trung điểm của \(BD\), \(N\) là trung điểm của \(AD\) nên \(ON\) là đường trung bình của \(\Delta ABD\).
Suy ra \(ON//AB\).
c) Tương tự \(OM//SC\). Mà \(OM \subset \left( {SAC} \right)\) nên OM không song song (SAC).
d) Có \(OM//SC\) mà \(SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow OM//\left( {SCD} \right)\)(1).
Có \(ON//AB\) mà \(AB//CD\) nên \(ON//CD\) mà \(CD \subset \left( {SCD} \right)\). Suy ra \(ON//\left( {SCD} \right)\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(\left( {OMN} \right)//\left( {SCD} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}\). Khi đó
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty \).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 4\).
c) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
d) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
a) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x + 1} \right) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\) và \(x \to {1^ + }\) thì \(x - 1 > 0\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 3\).
c) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Do đó hàm số gián đoạn tại điểm \({x_0} = 1\).
d) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có \({u_1} = 4\), công sai \(d = - 3\). Tìm \({u_{10}}\).
Ta có \({u_{10}} = {u_1} + 9d = 4 + 9.\left( { - 3} \right) = - 23\).
Trả lời: −23.
Cho mẫu số liệu về thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của một số học sinh lớp 11 như sau:
Tìm tứ phân vị \({Q_1}\) của mẫu số liệu trên (làm tròn đến 1 chữ số thập phân).
Cỡ mẫu \(n = 7 + 12 + 5 + 7 + 3 + 5 + 1 = 40\).
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{40}}\) là thời gian đi từ nhà đến trường của 40 học sinh lớp 11 được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có \({Q_1} = \frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\) mà \({x_{10}};{x_{11}} \in \left[ {20;25} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.
Ta có \({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{40}}{4} - 7}}{{12}}.5 \approx 21,3\).
Trả lời: 21,3.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh 4 tâm \(O\). Gọi \(M,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SC,SD\) và \(\left( H \right)\) là ảnh của \(MPQ\) qua phép chiếu song song lên \(\left( {ABCD} \right)\) theo phương chiếu \(MA\). Tính diện tích của hình \(\left( H \right)\).
Ta có \(P,O\) lần lượt là trung điểm của \(SC,AC\) nên \(PO\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\).
Suy ra \(PO//MA\). Do đó \(O\) là ảnh của điểm \(P\) qua phép chiếu song song \(MA\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
\(A\) là ảnh của điểm \(M\) theo phương chiếu song song \(MA\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Gọi I là trung điểm của AD và Q là trung điểm của SD. Suy ra OI là đường trung bình của DSAD.
Suy ra \(QI//MA\). Do đó I là ảnh của Q theo phương chiếu song song MA trên mặt phẳng (ABCD).
Do đó \(\Delta AIO\) là ảnh của \(\Delta MQP\) theo phương chiếu song song MA trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Ta có \({S_{\Delta AIO}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ADC}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}} = \frac{1}{8}{.4^2} = 2\).
Trả lời: 2.
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 8n + 1}}{{10{n^2} + n}} = \frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, với \(a\) nguyên, \(b\) nguyên dương). Tính \(3a - 4b\)
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 8n + 1}}{{10{n^2} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2 + \frac{8}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{10 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{5}\).
Suy ra \(a = 1;b = 5\). Do đó \(3a - 4b = 3.1 - 4.5 = - 17\).
Trả lời: −17.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sau \(h\) (mét) của mực nước trong kênh tại thời điểm \(t\) (giờ) \(\left( {0 \le t \le 24} \right)\) được cho bởi công thức: \(h = 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{6}} \right) + 10\). Tại thời điểm nào trong ngày thì độ sâu của mực nước trong kênh bằng 12 mét.
Độ sâu của mực nước trong kênh bằng 12 mét khi \(2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{6}} \right) + 10 = 12\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{6} = k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = - 2 + 24k\).
Vì \(0 \le t \le 24\) nên \(0 \le - 2 + 24k \le 24\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{13}}{{12}}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow k = 1\).
Do đó \(t = 22\).
Vậy vào lúc 22 giờ thì độ sau của mực nước trong kênh bằng 12 mét.
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CD,SA\) và \(Q\) là giao điểm của \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{QB}}{{QS}}\).
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có \(I = MN \cap AB\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có \(Q = IP \cap SB\) mà \(IP \subset \left( {MNP} \right)\). Do đó \(Q = SB \cap \left( {MNP} \right)\).
Có \(IB//CN\) nên \(\frac{{IB}}{{CN}} = \frac{{MB}}{{MC}} = 1\) \( \Rightarrow \frac{{IB}}{{IA}} = \frac{1}{3}\).
Áp dụng định lí Menelaus cho \(\Delta SAB\) có \(\frac{{SP}}{{PA}}.\frac{{AI}}{{IB}}.\frac{{BQ}}{{QS}} = 1\)\( \Leftrightarrow 1.3.\frac{{BQ}}{{QS}} = 1\)\( \Rightarrow \frac{{BQ}}{{QS}} = \frac{1}{3}\).
Một nhà máy tuyển kỹ sư làm việc trong thời hạn 5 năm với mức lương năm đầu là 220 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số tiền lương mà kỹ sư nhận được sau 4 năm làm việc.
Mức lương năm thứ hai kỹ sư nhận được là \(220 + 220.5\% = 220.\left( {1 + 5\% } \right)\) triệu đồng.
Mức lương năm thứ ba kỹ sư nhận được là \(220\left( {1 + 5\% } \right) + 220\left( {1 + 5\% } \right).5\% = 220.{\left( {1 + 5\% } \right)^2}\) triệu đồng.
Mức lương năm thứ tư kỹ sư nhân được là \(220.{\left( {1 + 5\% } \right)^3}\) triệu đồng.
Tổng số tiền lương mà kỹ sư nhận được sau 4 năm làm việc là:
\(220 + 220.\left( {1 + 5\% } \right) + 220.{\left( {1 + 5\% } \right)^2} + 220.{\left( {1 + 5\% } \right)^3} = 220.\frac{{1 - {{\left( {1 + 5\% } \right)}^4}}}{{1 - \left( {1 + 5\% } \right)}} \approx 948\) triệu đồng.
