Bộ 5 đề thi Cuối kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Mệnh đề nào sau đây là sai?
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\left( {\cos \alpha \ne 0} \right)\).
\(\tan \alpha + \cot \alpha = 2\).
\(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\).
\(\tan \alpha + \cot \alpha = 2\)là mệnh đề sai. Chọn C.
Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì là
\(3\pi \).
\(\frac{\pi }{2}\).
\(2\pi \).
\(\pi \).
Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \). Chọn D.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 1\end{array} \right.\) với \(n \ge 1\). Số hạng thứ ba của dãy số là số nào dưới đây?
\(5\).
\(4\).
\(3\).
\(2\).
Ta có \({u_2} = {u_1} + 1 = 3;{u_3} = {u_2} + 1 = 4\). Chọn B.
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
\({u_n} = 2n + 1\).
\({u_n} = {n^2}\).
\({u_n} = \frac{7}{{3n}}\).
\({u_n} = {3^n}\).
Xét dãy số \({u_n} = 2n + 1\).
Ta có \({u_{n + 1}} = 2n + 3\).
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2\). Do đó dãy số \({u_n} = 2n + 1\) là một cấp số cộng. Chọn A.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong 40 ngày
Có bao nhiêu ngày có nhiệt độ từ 25°C đến dưới 28°C.
\(6\).
\(15\).
\(7\).
\(12\).
Dựa vào bảng mẫu số liệu ghép nhóm, ta có 12 ngày có nhiệt độ từ 25°C đến dưới 28°C. Chọn D.
Điều tra về chiếu cao (đơn vị cm) của học sinh khối lớp 11 của trường THPT C, được mẫu số liệu sau:
Số nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là
\(5\).
\(6\).
\(7\).
\(12\).
Số nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 6. Chọn B.
Cho tam giác \(ABC\). Lấy điểm \(M\)trên cạnh \(AC\) kéo dài (như hình)
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
\(A \in \left( {MBC} \right)\).
\(B \in \left( {ACM} \right)\).
\(M \in \left( {ABC} \right)\).
\(C \in \left( {ABM} \right)\).
Vì \(A,C,M\) thẳng hàng nên không tồn tại mặt phẳng \(\left( {ACM} \right)\). Chọn B.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành (như hình vẽ).
Hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) là hai đường thẳng.
Song song.
Chéo nhau.
Cắt nhau.
Trùng nhau.
Ta có \(SB\) và \(CD\) không cùng thuộc một mặt phẳng nên chúng chéo nhau. Chọn B.
Cho đường thẳng d nằm trên mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Khi đó mệnh đề nào sau đây sai?
d có hai điểm chung phân biệt thuộc \(\left( Q \right)\).
\(d \subset \left( Q \right)\).
\(M \in d,d \subset \left( Q \right) \Rightarrow M \notin \left( Q \right)\).
d và \(\left( Q \right)\)có vô số điểm chung.
\(M \in d,d \subset \left( Q \right) \Rightarrow M \in \left( Q \right)\). Chọn C.
Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu
chúng có hai điểm chung.
chúng có một đường thẳng chung.
chúng có đúng một điểm chung.
chúng không có điểm chung.
Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Chọn D.
Cho hai hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = 25;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 5\). Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{g\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\) bằng
\(20\).
\(5\).
\( - 5\).
\(25\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{g\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\)\( = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right)}} = \frac{{25}}{{ - 5}} = - 5\). Chọn C.
Cho mệnh đề đúng.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại một điểm của khoảng đó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại ba điểm của khoảng đó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại hai điểm của khoảng đó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Chọn B.
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong một đề tài nghiên cứu về bệnh nhân, người ta ghi lại độ tuổi của bệnh nhân mắc bệnh này, số liệu thống kê được trình bày trong bảng sau
Khi đó:
a) Cỡ mẫu là \(n = 50\).
b) Giá trị đại diện của nhóm 5 bằng 60.
c) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là \(\left[ {25;35} \right)\).
d) Trung vị của mẫu số liệu gần bằng 37,14.
a) Cỡ mẫu \(n = 10 + 12 + 14 + 9 + 5 = 50\).
b) Giá trị đại diện của nhóm 5 là \(\frac{{55 + 65}}{2} = 60\).
c) Nhóm \(\left[ {35;45} \right)\) là nhóm có tần số lớn nhất nên nhóm này chứa mốt của mẫu số liệu.
d) Gọi \({x_1};...;{x_{50}}\) lần lượt là số tuổi của bệnh nhân mắc bệnh được sắp theo thứ tự không giảm.
Ta có \({M_e} = \frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\) mà \({x_{25}},{x_{26}} \in \left[ {35;45} \right)\) nên ta có \({M_e} = 35 + \frac{{\frac{{50}}{2} - 22}}{{14}}.10 = \frac{{260}}{7} \approx 37,14\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho lăng trụ tứ giác \(ABCD.A'B'C'D'\) có hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\)là hai hình bình hành.
a) Lăng trụ tứ giác \(ABCD.A'B'C'D'\)là hình hộp.
b) Tứ giác \(ABC'D'\) là hình chữ nhật.
c) Đường thẳng \(AD'\)song song với mặt phẳng \(\left( {BDC'} \right)\).
d) Mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\)song song với mặt phẳng \(\left( {BA'C'} \right)\).
a) Lăng trụ tứ giác \(ABCD.A'B'C'D'\) có hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\)là hai hình bình hành nên \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp.
b) Có \(AB//C'D'\) và \(AB = C'D'\) nên \(ABC'D'\) là hình bình hành.
c) Vì \(ABC'D'\) là hình bình hành nên \(AD'//BC'\) mà \(BC' \subset \left( {BDC'} \right)\). Suy ra \(AD'//\left( {BDC'} \right)\).
d) Có \(AC//A'C'\) mà \(A'C' \subset \left( {BA'C'} \right)\) nên \(AC//\left( {BA'C'} \right)\) (1).
Có \(AD'//BC'\) mà \(BC' \subset \left( {BA'C'} \right)\)nên \(AD'//\left( {BA'C'} \right)\)(2).
Từ (1) và (2), suy ra \(\left( {ACD'} \right)//\left( {BA'C'} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Nếu \(a,b\) là hai góc nhọn và \(\sin a = \frac{1}{3},\sin b = \frac{1}{2}\) thì \(\cos 2\left( {a + b} \right)\) có giá trị bằng \(\frac{{7 - m\sqrt 6 }}{n},n \ne 0\). Hãy tính giá trị của \(m + 2n\).
Vì \(a,b\) là hai góc nhọn nên \(\cos a > 0;\cos b > 0\).
Vì \(\sin a = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\); \(\sin b = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos b = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\cos 2\left( {a + b} \right) = \cos \left( {2a + 2b} \right)\)\( = \cos 2a\cos 2b - \sin 2a\sin 2b\)
\( = \left( {2{{\cos }^2}a - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}b - 1} \right) - 4\sin a\cos a\sin b\cos b\)
\( = \left( {2.\frac{8}{9} - 1} \right)\left( {2.\frac{3}{4} - 1} \right) - 4.\frac{1}{3}.\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\( = \frac{7}{{18}} - \frac{{2\sqrt 6 }}{9}\)\( = \frac{{7 - 4\sqrt 6 }}{{18}}\). Suy ra \(m = 4;n = 18\). Do đó \(m + 2n = 4 + 2.18 = 40\).
Trả lời: 40.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và số hạng thứ hai \({u_2} = - 6\). Tính \({u_4}\).
Ta có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2\).
Suy ra \({u_4} = {u_1}.{q^3} = 3.{\left( { - 2} \right)^3} = - 24\).
Trả lời: −24.
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Gọi \(N\)là hình chiếu song song của điểm \(M\) lên \(\left( {AA'B'} \right)\) theo phương chiếu \(CB\). Tính \(\frac{{MN}}{{BC}}\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\), M là trung điểm \(AC\).
Suy ra \(MN\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\). Do đó \(MN//BC\).
Do đó \(N\)là hình chiếu song song của điểm \(M\) lên \(\left( {AA'B'} \right)\) theo phương chiếu \(CB\).
Do đó \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2} = 0,5\).
Trả lời: 0,5.
Tìm giới hạn \(\lim \frac{{3{n^2} + n}}{{1 - 2{n^2}}}\).
\(\lim \frac{{3{n^2} + n}}{{1 - 2{n^2}}} = \lim \frac{{3 + \frac{1}{n}}}{{\frac{1}{{{n^2}}} - 2}}\)\( = \lim \frac{{3 + \frac{1}{n}}}{{\frac{1}{{{n^2}}} - 2}} = - 1,5\).
Trả lời: −1,5.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, … cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Tính số hàng cây của khu vườn.
Giả sử trồng được \(n\) hàng cây \(\left( {n \ge 1;n \in \mathbb{N}} \right)\).
Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 1;d = 1\).
Theo đề ta có \({S_n} = 465\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2} = 465\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).1} \right]n}}{2} = 465\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 930 = 0\)
\( \Leftrightarrow n = 30\).
Vậy khu vườn có 30 hàng cây.
Hình bên dưới là kệ sách gỗ có bốn mặt kệ, với thanh gỗ đứng (xem như đường thẳng d1) và thanh gỗ xiên (xem như đường thẳng d2). Giả sử các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí \(A,B,C,D,E,F,G,H\). Biết rằng \(EF = 32\) cm và các điểm \(A,B,C,D\) cách đều nhau. Các mặt kệ đặt song song với mặt đất. Tính độ dài HE.
Các mặt kệ sách đặt song song với mặt đất nên là hình ảnh của các mặt phẳng song song nhau, ta kí hiệu các mặt phẳng từ đáy kệ sách lên trên lần lượt là \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right),\left( {{P_4}} \right)\).
Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right)\) với hai cát tuyến \({d_1};{d_2}\) ta có \(\frac{{FG}}{{BC}} = \frac{{GH}}{{CD}} \Rightarrow \frac{{FG}}{{GH}} = \frac{{BC}}{{CD}}\).
Mà \(BC = CD\) nên \(\frac{{FG}}{{GH}} = 1 \Rightarrow FG = GH\).
Tương tự áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right),\left( {{P_3}} \right),\left( {{P_4}} \right)\) với hai cát tuyến \({d_1};{d_2}\) ta có \(EF = FG\).
Từ đó suy ra \(GH = FG = EF = 32\) cm.
Vậy \(HE = EF + FG + GH = 96\)cm.
Từ sảnh tầng 2 của dãy nhà G trường THPT A với độ cao 7,2 m so với mặt sân, một học sinh khối 11 thả một quả bóng cao su xuống sân trường. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quá bóng lại nảy lên một độ cao bằng \(\frac{3}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi \({S_n}\) là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ \(n\). Nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi, hay tính tổng quãng đường bóng di chuyển được?
Gọi \({h_n}\) là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ \(n\).
Theo bài ra ta có \({h_n} = \frac{3}{{10}}{h_{n - 1}}\) nên \(\left( {{h_n}} \right)\) là 1 cấp số nhân với \({h_1} = \frac{3}{{10}}.7,2\) với công bội \(q = \frac{3}{{10}}\) (là cấp số nhân lùi vô hạn).
Gọi \({v_n}\) là độ dài quãng đường bóng rơi từ trên xuống đất lần thứ \(n\).
Theo bài ta ta có \({v_n} = \frac{3}{{10}}{v_{n - 1}}\) nên \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với \({v_1} = 7,2\) và công bội \(q = \frac{3}{{10}}\) (là cấp số nhân lùi vô hạn).
Nếu quá trình bóng rơi xuống, nảy lên diễn ra mãi thì tổng quãng đường bóng di chuyển được bằng:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {\left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_n} + ...} \right) + \left( {\left( {{h_1} + {h_2} + ... + {h_n} + ...} \right)} \right)} \right]\)
\( = \left( {7,2.\frac{1}{{1 - \frac{3}{{10}}}}} \right) + \left( {7,2.\frac{3}{{10}}.\frac{1}{{1 - \frac{3}{{10}}}}} \right) = \frac{{468}}{{35}} \approx 13,4\) (m).
