Bộ 5 Đề kiểm tra học kì 1 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra 45 phút có đáp án (Đề 2)

Ta có ${\cos }^{2}2x+\cos 2x-\frac{3}{4}=0\iff 4{\cos }^{2}2x+4\cos 2x-3=0$

$\iff \left(2\cos 2x+3\right)\left(2\cos 2x-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}\cos 2x=\frac{1}{2}\\ \cos 2x=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Do $-1\le \cos 2x\le 1$ nên $\cos 2x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$

Ta có $3{\sin }^2\frac{x}{2}+\sqrt{3}\sin x+{\cos }^2\frac{x}{2}=0\iff 3\frac{1-\cos x}{2}+\sqrt{3}\sin x+\frac{1+\cos x}{2}=0$

$\iff \sqrt{3}\sin x-\cos x+2=0\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x=-1\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=-1$

$\iff x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Ta có $\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+4{\cos }^{2}x+1}\le m+1\iff \frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+2\cos 2x+3}\le m+1$

Do $\sin 2x+2\cos 2x+1>0\forall x\Rightarrow$ hàm số có tập xác định $D=ℝ$

Đặt $y=\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+2\cos 2x+3}\iff \left(3-y\right)\sin 2x+\left(1-2y\right)\cos 2x=3y$ (1)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ${\left(3-y\right)}^2+{\left(1-2y\right)}^2\ge 9y^2$

$\iff 2y^2+5y-5\le 0\iff \frac{-5-\sqrt{65}}{4}\le y\le \frac{-5+\sqrt{65}}{4}$

Suy ra $\max y=\frac{-5+\sqrt{65}}{4}$

Để bất phương trình $\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+4{\cos }^{2}x+1}\le m+1$ đúng với mọi  $x\in ℝ$thì $\frac{-5+\sqrt{65}}{4}\le m+1\iff m\ge \frac{\sqrt{65}-9}{4}$

Điều kiện $\sin x\ne 0$.

Ta có $2\sin x+\cot x=2\sin 2x+1\Rightarrow 2{\sin }^{2}x+\cos x=4{\sin }^{2}x\cos x+\sin x$

$\iff \sin x\left(2\sin x-1\right)=\cos x\left(4{\sin }^{2}x-1\right)$

$\iff \left(2\sin x-1\right)\left[\cos x\left(2\sin x+1\right)-\sin x\right]=0\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2}\\ 2\sin x\cos x+\cos x-\sin x=0\end{array}\right.$

Trường hợp 1:  $\sin x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (thỏa mãn điều kiện)

Trường hợp 2:  $2\sin x\cos x-\left(\sin x-\cos x\right)=0$ (1)

Đặt $t=\sin x-\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right)\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$

Phương trình (1) trở thành $\left(1-t^2\right)-t=0\iff t^2+t-1=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\ t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

Do $\left|t\right|\le \sqrt{2}$ nên $t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \sin x-\cos x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\arcsin \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\right)+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{4}-\arcsin \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\right)+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ;$ $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;$