Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm \[M\left( {1;1;\frac{3}{2}} \right)\] vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta được \[1 - 1 + 2.\frac{3}{2} - 3 = 0\].

Do đó \(M \in \left( \alpha \right)\).

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\overrightarrow {AB} = (1;2;2)\).

Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} = (1;2;2)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình: \(1(x - 0) + 2(y - 0) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 2 = 0\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)//\left( Q \right)\\A\left( {8;0;0} \right) \in \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {8 + 2.0 + 2.0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{3}.\]

Đáp án đúng là: B

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 1}} = 1\).

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nên

\[\left( P \right)\,:\]\(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y - z + m = 0\,\,\,\left( {m \ne - 1} \right)\).

Do \[D\left( {1;1;1} \right) \in \left( P \right)\]có: \(\frac{1}{2}.1 + \frac{1}{3}.1 - 1 + m = 0\,\,\, \Leftrightarrow m - \frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{6}\).

Vậy \(\left( P \right):\,\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y - z + \frac{1}{6} = 0\,\,\, \Leftrightarrow 3x + 2y - 6z + 1 = 0\).

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} \).

b) \(a\left( t \right) = s''\left( t \right)\).

c) Có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = - \int {3dt} = - 3t + C\).

Mà \(v\left( 0 \right) = 15{\rm{m/s}}\) nên \(C = 15\).

Do đó \(v\left( t \right) = - 3t + 15\).

Xe dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 5\).

d) Quãng đường xe đi được là \(\int\limits_0^5 {\left( { - 3t + 15} \right)} dt = 37,5\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{2}{{x + 1}}dx} \).

b) \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_2^3 {\left( {2x - 1} \right)dx} \).

c) \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {\left( {2x - 1} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_1^3 = 9 - 3 - \left( {1 - 1} \right) = 6\).

d) \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\frac{2}{{x + 1}}dx} + 6\)\( = \left. {2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_0^1 + 6 = 2\ln 2 + 6 = \ln 4 + 6\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {2 - x} \right)}^2}dx} = \frac{{7\pi }}{3}\).

b) Ta có \({S_1} = \int\limits_0^1 {\sqrt x dx} + \int\limits_1^2 {\left| {2 - x} \right|dx} \)\( = \left. {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^1 + \left. {\left( {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2\)\( = \frac{2}{3} + 4 - 2 - \left( {2 - \frac{1}{2}} \right) = \frac{7}{6}\).

c) Ta có \({S_2} = {S_{\Delta OAB}} - {S_1} = \frac{1}{2}.2.2 - \frac{7}{6} = \frac{5}{6}\). (với \(A\left( {0;2} \right),B\left( {2;0} \right)\))

d) \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx} + \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {2 - x} \right)}^2}dx} \)\( = \left. {\pi \frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 - \left. {\pi \frac{{{{\left( {2 - x} \right)}^3}}}{3}} \right|_1^2\)\[ = \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6}\].

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {3; - 2; - 1} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(\left( {3; - 2; - 1} \right)\).

b) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2; - 1} \right)\) có dạng

\(3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0\) hay \(3x - 2y - z - 3 = 0\).

c) Thay tọa độ điểm \(M\left( {3;1;2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) ta được \(3.3 - 2.1 - 2 - 3 = 2 \ne 0\).

Do đó điểm \(M\left( {3;1;2} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

d) Có \(\overrightarrow {{n_R}} = \left( {6; - 4; - 2} \right) = 2\left( {3; - 2; - 1} \right) = 2\overrightarrow {{n_Q}} \) và \( - 6 = 2.\left( { - 3} \right)\).

Do đó \(\left( Q \right) \equiv \left( R \right)\).

Ta có \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx = {x^3} + x + C} \).

Do đó \(a = 1;b = 0;c = 1\). Suy ra \(a + b + c = 2\).

\(\int {\frac{{4x + 1}}{{2x + 3}}dx} = \int {\frac{{2\left( {2x + 3} \right) - 5}}{{2x + 3}}dx} = \int {2dx} - \int {\frac{5}{{2x + 3}}dx} \)\( = 2x - \frac{5}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C\)\( = 2x - \frac{5}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C\) vì \(x \in \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\).

Suy ra \(a = 2;b = 5\). Do đó \(2a - b = - 1\).

Theo đề ta có \(\int\limits_0^5 {\left( {3a{t^2} + bt} \right)dt} = \left. {\left( {a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}} \right)} \right|_0^5 = 125a + \frac{{25}}{2}b = 150\).

Tương tự ta có \(1000a + 50b = 1100\).

Từ đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}125a + \frac{{25}}{2}b = 150\\1000a + 50b = 1100\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\).

Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là \(\int\limits_0^{20} {\left( {3{t^2} + 2t} \right)dt} \)\( = \left. {\left( {{t^3} + {t^2}} \right)} \right|_0^{20} = 8400\).

Bán kính đường tròn là 4.

Vì cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại \(x\left( { - 4 \le x \le 4} \right)\).

Suy ra cạnh của tam giác đều là \(2\sqrt {16 - {x^2}} \).

Do đó diện tích tam giác đều là \(S = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {2\sqrt {16 - {x^2}} } \right)^2} = \sqrt 3 \left( {16 - {x^2}} \right)\).

Thể tích vật thể là \(V = \int\limits_{ - 4}^4 {\left[ {\sqrt 3 \left( {16 - {x^2}} \right)} \right]dx} = \frac{{256\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra \(a = 256;b = 3\). Do đó \(a + b = 259\).

Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có dạng:\(x - 2y + 2z + d = 0\left( {d \ne 2} \right)\).

Có \(d\left( {M,\left( \beta \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 2.2 + 2.\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {d - 5} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\left( {TM} \right)\\d = 2\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).

Do đó \(\left( \beta \right):x - 2y + 2z + 8 = 0\). Suy ra \(b = 2;c = 2;d = 8\).

Vậy \(S = 3.2 - 2 + 8 = 12\).

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) (điều kiện \(a > 0,b > 0,c > 0\)).

Độ dài \(OA,OB,OC\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 3.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}OB = 3OA\\OC = 3OB\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\c = 3b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\c = 9a\end{array} \right.\).

Do đó \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;3a;0} \right),C\left( {0;0;9a} \right)\).

Khi đó ta có phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{{3a}} + \frac{z}{{9a}} = 1\).

Vì \(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( \alpha \right)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{2}{{3a}} + \frac{3}{{9a}} = 1 \Leftrightarrow 6 = 3a \Leftrightarrow a = 2\).

Suy ra \(\left( \alpha \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{6} + \frac{z}{{18}} = 1 \Leftrightarrow 9x + 3y + z - 18 = 0\).

Do đó \(d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {9.0 + 3.0 + 0 - 18} \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{18\sqrt {91} }}{{91}} \approx 1,9\).