Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án (Đề 9)
22 câu hỏi
Cho hàm số \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f(x)\] trên \[K\]. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
\[\int {f(x)dx = } F(x) + C\].
\({\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = f(x)\).
\({\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = f'(x)\).
\({\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = F'(x)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\int {f(x)dx = } F(x) + C \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\] nên phương án A, B, D đúng.
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(K\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\[\int {2f(x)dx = } 2F'(x) + C\].
\[\int {2f(x)dx = } 2f(x) + C\].
\[\int {2f(x)dx = } 2F(x) + C\].
\[\int {2f(x)dx = } F(2x) + C\].
Đáp án đúng là: C
\[\int {2f(x)dx = } 2F(x) + C\].
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục, có đạo hàm trên \(\left[ { - 1;2} \right],f\left( { - 1} \right) = 8;f\left( 2 \right) = - 1\). Tích phân \(\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)} dx\) bằng
\(1.\)
\(7.\)
\( - 9.\)
\(9.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_{ - 1}^2 = f\left( 2 \right) - f\left( { - 1} \right) = - 1 - 8 = - 9.\]
Nếu \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 3\) và \(\int\limits_0^2 {g\left( x \right)dx} = - 3\) thì \(\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} \) bằng
\(9.\)
\( - 9.\)
\( - 3.\)
\(3.\)
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - 2\int\limits_0^2 {g\left( x \right)dx} \)\( = 3 - 2\left( { - 3} \right) = 9\).
Viết công thức tính thể tích \(V\) của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = \ln 4\), biết khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le \ln 4} \right)\), ta được thiết diện là hình vuông có độ dài cạnh là \(\sqrt {x{e^x}} \).
\(V = \int\limits_0^{\ln 4} {x{e^x}dx} .\)
\(V = \pi \int\limits_0^{\ln 4} {x{e^x}dx} .\)
\(V = \pi \int\limits_0^{\ln 4} {{{\left( {x{e^x}} \right)}^2}dx} .\)
\(V = \int\limits_0^{\ln 4} {\sqrt {x{e^x}} dx} .\)
Đáp án đúng là: A
\(V = \int\limits_0^{\ln 4} {x{e^x}dx} .\)
Tính diện tích \(S\) hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2},y = - 1,x = 0\) và \(x = 1\).
\(S = \frac{1}{3}.\)
\(S = \frac{5}{3}.\)
\(S = \frac{{47}}{{15}}.\)
\(S = \frac{{5\pi }}{3}.\)
Đáp án đúng là: B
\(S = \int\limits_0^1 {\left| {2{x^2} + 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} + 1} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_0^1\)\( = \frac{5}{3}\).
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + z - 5 = 0\]. Điểm nào dưới đây thuộc \[\left( P \right)\]?
\[P\left( {0;0; - 5} \right)\].
\[M\left( {1;1;6} \right)\].
\[Q\left( {2; - 1;5} \right)\].
\[N\left( { - 5;0;0} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \[1 - 2.1 + 6 - 5 = 0\] nên \[M\left( {1;1;6} \right)\] thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\].
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 3z + 1 = 0\]. Hỏi vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
\[\left( {1; - 2;3} \right)\].
\[\left( {1;2;3} \right)\].
\[\left( { - 2;3;1} \right)\].
\[\left( {2; - 2;4} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 3z + 1 = 0\] có vectơ pháp tuyến là \[\left( {1; - 2;3} \right)\].
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\) là
\(2x - y + 3z + 9 = 0\).
\(2x - y + 3z - 4 = 0\).
\(x - 2y - 4 = 0\).
\(2x - y + 3z + 4 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\)có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\) là
\(2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0\) hay \(2x - y + 3z + 9 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua ba điểm \(M\left( {1;0;1} \right),N\left( {1;3;0} \right),P\left( {0;2;1} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là
\[\overrightarrow n = \left( { - 2;1;3} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {2;1; - 3} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;3; - 1} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 1;2;0} \right)\).
Có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {2;1;3} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {2;3;4} \right)\). Điểm đối xứng với \(A\) qua trục \(Oy\) có tọa độ là
\[\left( {0;3;0} \right)\].
\[\left( {2; - 3;4} \right)\].
\[\left( { - 2;3; - 4} \right)\].
\[\left( {2;3;4} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Điểm đối xứng với \(A\) qua trục \(Oy\) có tọa độ là\[\left( { - 2;3; - 4} \right)\].
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( {2;1; - 3} \right)\), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):x + y + 3z = 0,\left( R \right):2x - y + z = 0\) là
\(4x + 5y - 3z + 22 = 0\).
\(4x + 5y - 3z - 12 = 0\).
\(2x + y - 3z - 14 = 0\).
\(4x + 5y - 3z - 22 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng \(\left( Q \right):x + y + 3z = 0,\left( R \right):2x - y + z = 0\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;3} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;1} \right)\).
Vì \(\left( P \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right)\), \(\left( R \right)\) nên \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {4;5; - 3} \right)\).
Ta lại có \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( {2;1; - 3} \right)\) nên \(\left( P \right):4\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y - 1} \right) - 3\left( {z + 3} \right) = 0\) hay \(4x + 5y - 3z - 22 = 0\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = 8{x^3} + \sin x,\forall x \in \mathbb{R}\).
a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\).
b) Biết \(f\left( 0 \right) = 3\). Khi đó, \(f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 3\).
c) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 3} \right)dx} = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 3x + C\) với \(C\) là hằng số.
d) Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Khi đó \(F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1\).
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\).
b) Ta có \(\int {f'\left( x \right)} dx = \int {\left( {8{x^3} + \sin x} \right)dx} = 2{x^4} - \cos x + {C_1}\).
Vì \(f\left( 0 \right) = 3 \Rightarrow {C_1} = 4\). Do đó \(f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 4\).
c) \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 4} \right)} dx = \frac{{2{x^5}}}{5} - \sin x + 4x + C\).
d) Có \(F\left( x \right) = \frac{{2{x^5}}}{5} - \sin x + 4x + C\) và \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2\).
Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{2{x^5}}}{5} - \sin x + 4x + 2\). Vậy \(F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
a)\(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = 0\).
b) Biết \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\) thì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
c)\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx = 2} \).
d)\(\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = 4} \).
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_0^\pi {\sin 2xdx} \)\( = \left. {\left( { - \frac{{\cos 2x}}{2}} \right)} \right|_0^\pi \)\( = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\).
b) Ta có \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x} dx = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1 + F\left( 0 \right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx = } \)\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} } \]\[ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} } \]\[ = 1 - 1 = 0\].
d) \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = 2\int\limits_0^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} - 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {f\left( x \right)dx} \)\( = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} - 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\sin 2xdx} \)
\( = 2 + 2 = 4\).
Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = \frac{1}{2}\sqrt x \) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\).
a)Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 0,\)\(y = \sqrt x \), \(x = 0,x = 4\) quanh trục \(Ox\). Khi đó \({V_1} = \pi \int\limits_0^4 {x{\rm{d}}x} .\).
b)Gọi \({V_2}\) là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 0,\)\(y = \frac{1}{2}\sqrt x \), \(x = 0,x = 4\) quanh trục \(Ox\). Khi đó \({V_2} = \pi \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}x{\rm{d}}x} .\)
c)Giá trị của biểu thức \({V_1} - {V_2}\) bằng \(12\pi \).
d)Một vật thể A có hình dạng được tạo thành khi quay hình phẳng \(D\)quanh trục \(Ox\)( đơn vị trên hai trục tính theo centimét). Thể tích của vật thể đó (làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị centimét khối) là \(37,7{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
Ta có: \({V_1} = \pi \int\limits_0^4 {{{(\sqrt x )}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^4 x \;{\rm{d}}x = 8\pi \); \({V_2} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\frac{1}{2}\sqrt x } \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}x} \;{\rm{d}}x = 2\pi \).
Khi đó, \({V_1} - {V_2} = 6\pi \). Vậy thể tích của vật thể \({\rm{A}}\) là \(6\pi \approx 18,8\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2x - y - 2z + 19 = 0\).
a)\(\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0\) không đi qua điểm \(M\left( {2;1;3} \right)\).
b)\(\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0\) song song với mặt phẳng \(\left( {P'} \right):2x - y - 2z + 1 = 0\).
c) Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến \(\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0\) lớn hơn 6.
d) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0\) và cách \(\left( P \right)\) một khoảng bằng 5 thì cách gốc tọa độ một khoảng bằng \(\frac{{11}}{3}\).
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {2;1;3} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0\) ta được \(2.2 - 1 - 2.3 + 19 = 16 \ne 0\).
Do đó \(\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0\) không đi qua điểm \(M\left( {2;1;3} \right)\).
b) Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{P'}}} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_{P'}}} \\1 \ne 19\end{array} \right.\) nên \(\left( P \right)//\left( {P'} \right)\).
c) \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{3} > 6\).
d) Vì \(\left( Q \right)//\left( P \right)\) nên mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có dạng: \(2x - y - 2z + D = 0\left( {D \ne 19} \right)\).
Ta có \(A\left( {0;19;0} \right) \in \left( P \right)\) nên \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 19 + D} \right|}}{3} = 5\)
\( \Leftrightarrow \left| { - 19 + D} \right| = 15\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 19 + D = 15\\ - 19 + D = - 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 34\\D = 4\end{array} \right.\).
TH1: \(\left( Q \right):2x - y - 2z + 34 = 0\)
Có \(d\left( {O,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {34} \right|}}{3} = \frac{{34}}{3}\).
TH2: \(\left( Q \right):2x - y - 2z + 4 = 0\)
Có \(d\left( {O,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| 4 \right|}}{3} = \frac{4}{3}\).
Biết \(\int\limits_1^3 {\left( {x + \frac{2}{x}} \right)dx = a + 2\ln b} \), với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(a + b\).
\(\int\limits_1^3 {\left( {x + \frac{2}{x}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^3} = \frac{9}{2} + 2\ln 3 - \frac{1}{2} = 4 + 2\ln 3\).
Suy ra \(a = 4;b = 3\). Do đó \(a + b = 7\).
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x\) và thỏa mãn \(F\left( \pi \right) = 1\). Phương trình \(F\left( x \right) = 1\) có tất cả bao nhiêu nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;3\pi } \right]\)?
Có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\cos 2xdx} = \frac{1}{2}\sin 2x + C.\)
Vì \(F\left( \pi \right) = 1\) nên \(\frac{1}{2}\sin 2\pi + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\).
Do đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + 1\).
Phương trình \(F\left( x \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 2x + 1 = 1\)\( \Leftrightarrow \sin 2x = 0\)\( \Leftrightarrow 2x = k\pi \)\( \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
Vì \(x \in \left[ {0;3\pi } \right]\) nên \(x = 0;x = \frac{\pi }{2};x = \pi ;x = \frac{{3\pi }}{2};x = 2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{2},x = 3\pi \).
Hằng ngày anh An đi làm bằng xe máy trên cùng một cung đường từ nhà đến cơ quan mất 15 phút. Hôm nay khi đang di chuyển trên đường với vận tốc \({v_0}\) thì bất chợt anh gặp một chướng ngại vật nên anh đã hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a = - 6{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\). Biết rằng tổng quãng đường từ lúc anh nhìn thấy chướng ngại vật (trước khi hãm phanh 2 giây) và quãng đường anh đã đi được trong 3 giây đầu tiên kể từ lúc hãm phanh là 35,5 m. Tính \({v_0}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Quãng đường anh nhìn thấy chướng ngại vật trước khi hãm phanh là \({S_1} = 2{v_0}\left( {\rm{m}} \right)\).
Vận tốc kể từ khi hãm phanh là \(v\left( t \right) = \int { - 6dt} = - 6t + C\).
Mà \(v\left( 0 \right) = {v_0}\) nên \(v\left( t \right) = - 6t + {v_0}\).
Quãng đường anh đi được trong 3 giây đầu tiên kể từ lúc hãm phanh là
\({S_2} = \int\limits_0^3 {\left( { - 6t + {v_0}} \right)} dt = \left. {\left( { - 3{t^2} + {v_0}t} \right)} \right|_0^3 = - 27 + 3{v_0}\).
Vì \({S_1} + {S_2} = 35,5\) nên \(5{v_0} - 27 = 35,5 \Leftrightarrow {v_0} = 12,5\;{\rm{m/s}}\).
Một sân bóng hình chữ nhật với diện tích \(200{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Người ta muốn trồng cỏ trên sân bóng theo hình một parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh của sân bóng như hình vẽ bên. Biết chi phí trồng cỏ là 300 nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Xác định chi phí trồng cỏ cần có cho sân bóng trên là bao nhiêu triệu đồng?
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là m, chiều rộng là n \(\left( {m > n > 0} \right)\).
Ta có diện tích hình chữ nhật là \(s = mn = 200\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho đỉnh của parabol là \(I\left( {0;n} \right)\). Parabol đi qua hai điểm \(A\left( { - \frac{m}{2};0} \right)\) và \(B\left( {\frac{m}{2};0} \right)\).
Do đó parabol có dạng \(y = - \frac{{4n}}{{{m^2}}}{x^2} + n\).
Vậy phần diện tích trồng cỏ là \(S = 2\int\limits_0^{\frac{m}{2}} {\left( { - \frac{{4n}}{{{m^2}}}{x^2} + n} \right)dx} = \frac{{2mn}}{3}\).
Vậy số tiền trồng cỏ cần là: \(\frac{{2mn}}{3}.300000 = \frac{{2.200}}{3}.300000 = 40000000 = 40\) triệu đồng.
Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(M,N,P\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2; - 3;1} \right)\) lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) có dạng \(ax + by + cz - 12 = 0\). Tính \(a + b + c\).
Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(M,N,P\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2; - 3;1} \right)\) lên các mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\).
Khi đó, \(M\left( {2; - 3;0} \right),N\left( {2;0;1} \right),P\left( {0; - 3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {MN} = \left( {0;3;1} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 2;0;1} \right)\).
\(\left( {MNP} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {3; - 2;6} \right)\).
Mặt khác, \(\left( {MNP} \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 3;0} \right)\) nên có phương trình là:
\(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 3} \right) + 6\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \(3x - 2y + 6z - 12 = 0\).
Suy ra \(a = 3;b = - 2;c = 6\). Do đó \(a + b + c = 7\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;2} \right)\) và cắt tia \(Oy\) tại điểm \(C\) sao cho thể tích khối chóp \(OABC\) bằng 2. Biết điểm \(S\left( { - 1;6;m} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) thì \(m\) bằng bao nhiêu?
Gọi \(C\left( {0;y;0} \right) \in Oy\) với \(y > 0\).
Ta có \(OA = 1,OB = 2,OC = y\) và \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc.
Suy ra \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{3}y\).
Theo đề ta có \(\frac{1}{3}y = 2 \Leftrightarrow y = 6 \Rightarrow C\left( {0;6;0} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{6} + \frac{z}{2} = 1\).
Điểm \(S\left( { - 1;6;m} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{1} + \frac{6}{6} + \frac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 2\).
