Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4
21 câu hỏi
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Nguyên hàm \(\int {5{x^4}dx} \) bằng
\(20{x^3} + C\).
\(\frac{1}{5}{x^5} + C\).
\(5{x^5} + C\).
\({x^5} + C\).
Đáp án đúng là: D
Vì \({\left( {{x^5} + C} \right)^\prime } = 5{x^4}\) nên \(\int {5{x^4}dx} = {x^5} + C\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\int {0dx} = C\) (\(C\) là hằng số).
\(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\) (\(C\) là hằng số).
\(\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C\) (\(C\) là hằng số).
\(\int {dx} = x + C\) (\(C\) là hằng số).
Đáp án đúng là: B
\(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\), \(\alpha \ne - 1\).
Cho \[\int_0^2 f \left( x \right)dx = 3\] và \[\int_0^2 g \left( x \right)dx = 7\], khi đó \(\int_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx\) bằng
\(24\).
\( - 18\).
\(10\).
\(16\).
Đáp án đúng là: A
\(\int_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx\)\( = \int_0^2 {f\left( x \right)} dx + 3\int_0^2 {g\left( x \right)} dx\)\( = 3 + 3.7 = 24\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục, có đạo hàm trên \(\left[ { - 1;2} \right],f\left( { - 1} \right) = - 8;f\left( 2 \right) = 1\). Tích phân \(\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)} dx\) bằng
\( - 9.\)
\(9.\)
\(1.\)
\(7.\)
Đáp án đúng là: B
\(\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)} dx = f\left. {\left( x \right)} \right|_{ - 1}^2 = f\left( 2 \right) - f\left( { - 1} \right) = 1 + 8 = 9\).
Nếu \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = 2\) thì \(\int\limits_2^5 {3f\left( x \right)dx} \) bằng
\(2\).
\(18\).
\(6\).
\(3\).
Đáp án đúng là: C
\(\int\limits_2^5 {3f\left( x \right)dx} \)\( = 3\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = 3.2 = 6\).
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x\), trục hoành, hai đường thẳng \(x = 0\) và \(x = 1\) quanh trục hoành là
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx} \).
\(V = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \).
\(V = \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx} \).
\(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \).
Đáp án đúng là: A
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx} \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - 6y - 4z - 7 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
n4→=1 ; −3 ; −2
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2\,; - \,6\,;4} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2\,;\, - 6\,; - 7} \right)\).
n2→=1 ; −3 ; 2
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 6; - 4} \right) = 2\left( {1; - 3; - 2} \right) = 2\overrightarrow {{n_4}} \).
Do đó n4→=1 ; −3 ; −2 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng \(\left( P \right): - 2x + y - 5 = 0\).
\(\left( {2;1;0} \right)\).
\(\left( { - 2;1; - 5} \right)\).
\(\left( { - 2;2; - 5} \right)\).
\(\left( {1; - 7;5} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Thay tọa độ điểm \(\left( { - 2;1; - 5} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right): - 2x + y - 5 = 0\) ta được:
\( - 2.\left( { - 2} \right) + 1 - 5 = 0\) (luôn đúng).
Vậy điểm \(\left( { - 2;1; - 5} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxyz\), mặt phẳng nào dưới đây nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1; - 7} \right)\) là một vectơ pháp tuyến?
\(3x + z + 7 = 0\).
\(3x - y - 7z + 1 = 0\).
\(3x + y - 7 = 0\).
\(3x + y - 7z - 3 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng \(3x + y - 7z - 3 = 0\)nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1; - 7} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\), biết \(F\left( 0 \right) = 1\).
\(F\left( x \right) = \cos 2x + 1\).
\(F\left( x \right) = - \cos 2x + \frac{3}{2}\).
\(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{3}{2}\).
\(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là: D
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\sin 2xdx} = - \frac{1}{2}\cos 2x + C\).
Vì \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \( - \frac{1}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{3}{2}\).
Do đó \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{3}{2}\).
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\), khi đó giá trị của \(\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) + {e^x}} \right]dx} \) bằng
\(3 + e\).
\(5 + e\).
\(3 - e\).
\(5 - e\).
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) + {e^x}} \right]dx} \)\( = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} \)\( = 2.2 + \left. {{e^x}} \right|_0^1\)\( = 3 + e\).
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 1;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
\(x - 2y - 2z - 1 = 0\).
\(x - 2y + 2z - 12 = 0\).
\(x + 2y - 2z + 3 = 0\).
\(x - 2y + 2z - 6 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 1;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) có phương trình là:
\(\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y + 2z - 6 = 0\).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người ta nhìn thấy một chướng ngại vật nên đạp nhanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 2t + 20\), trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc đạp phanh.
Ô tô dừng lại sau 10 giây.
Quãng đường \(s\left( t \right)\) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số \(v\left( t \right)\).
Từ thời điểm đạp phanh đến khi dừng lại, ô tô đi được quãng đường là 90 m.
Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối bằng 125 m.
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Ô tô dừng lại thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 2t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 10\) giây.
b) \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} \).
c) Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là:
\(s\left( t \right) = \int\limits_0^{10} {\left( { - 2t + 20} \right)dt} = 100\) (m).
d) Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối bằng \(20.5 + 100 = 200\)(m).
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2; - 3;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y - z + 1 = 0\). \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và song song với \(\left( \alpha \right)\).
Mọi mặt phẳng có phương trình dạng \(x + 2y - z + m = 0\) (m là tham số thực) đều song song với \(\left( \alpha \right)\).
\(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x - 3y - 4z = 0\).
\(\left( P \right)\) có phương trình dạng \(ax + by + cz + d = 0\) với \(\frac{a}{d} = \frac{1}{5}\).
\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 1} \right)\).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Mặt phẳng song song với \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(x + 2y - z + m = 0\) với \(m \ne 1\).
b) Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 3; - 4} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 1.2 + 2.\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = 0\). Do đó \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\).
c) \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {2; - 3;1} \right)\) nên \(2 + 2.\left( { - 3} \right) - 1 + m = 0 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa mãn).
Vậy \(\left( P \right):x + 2y - z + 5 = 0\).
d) Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;2; - 1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được:
\(1 + 2.2 - \left( { - 1} \right) + 5 \ne 0\). Vậy \(\left( P \right)\)không đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 1} \right)\).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 5\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\3{x^2} + 4\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\). Giả sử \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Giá trị của \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 27
Ta có \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + {C_1}\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\{x^3} + 4x + {C_2}\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\).
Vì \(F\left( 0 \right) = 2\) nên \(F\left( 0 \right) = {0^3} + 4.0 + {C_2} = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\).
Vì \(F\left( x \right)\) liên tục nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow 6 + {C_1} = 7 \Rightarrow {C_1} = 1\).
Do đó \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + 1\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\{x^3} + 4x + 2\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\).
Ta có \(F\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) + 2 = - 3;F\left( 2 \right) = {2^2} + 5.2 + 1 = 15\).
Do đó \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = - 3 + 2.15 = 27\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), biết \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = 9\) và \(F\left( 2 \right) = 2\). Tính \(F\left( 5 \right)\).
Trả lời: 11
Ta có \(9 = \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_2^5 = F\left( 5 \right) - F\left( 2 \right) = F\left( 5 \right) - 2 \Rightarrow F\left( 5 \right) = 11\).
Trong không gian \(Oxyz\). Tìm giá trị của \(m\) để hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):7x - 3y + mz - 3 = 0\) và \(\left( \beta \right):x - 3y + 4z + 5 = 0\) vuông góc với nhau.
Trả lời: −4
Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {7; - 3;m} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1; - 3;4} \right)\).
Để \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_\beta }} = 0 \Leftrightarrow 7.1 + \left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) + m.4 = 0 \Leftrightarrow m = - 4\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;0;0} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y - 1 = 0\) có dạng \( - x + by + cz + d = 0\). Tính \(b + c - 3d\).
Trả lời: −2,5
Mặt phẳng \(\left( P \right)//\left( \alpha \right)\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng: \(2x - y + d = 0\left( {d \ne - 1} \right)\).
Vì \((P)\) đi qua \(M\left( {1;0;0} \right)\) nên \(2.1 - 0 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 2\).
Do đó \((P):2x - y - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow - x + \frac{1}{2}y + 1 = 0\).
Suy ra \(b = \frac{1}{2};c = 0;d = 1\). Do đó \(b + c - 3d = - 2,5\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Cho \(g\left( x \right) = \int\limits_0^x {f\left( t \right){\rm{d}}t} ,\,\left( {0 \le x \le 7} \right)\) trong đó \(f\left( t \right)\) là hàm số có đồ thị như hình. Tính \(g\left( 3 \right)\).
Ta có: \(g\left( 3 \right) = \int\limits_0^3 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} + \int\limits_1^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} + \int\limits_2^3 {f\left( t \right){\rm{d}}t} \)
\( = \int\limits_0^1 {{\rm{2d}}t} + \int\limits_1^2 {{\rm{2}}t{\rm{d}}t} + \int\limits_2^3 {\left( {12 - 4t} \right){\rm{d}}t} \)
\( = \left. {2t} \right|_0^1 + \left. {{t^2}} \right|_1^2 + \left. {\left( {12t - 2{t^2}} \right)} \right|_2^3 = 7\).
Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (tham khảo hình vẽ). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(A\left( {30;0} \right),B\left( {0;20} \right)\).
Khi đó, parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh là \(B\left( {0;20} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {30;0} \right)\) nên \(\left( P \right)\) có phương trình là \(y = - \frac{1}{{45}}{x^2} + 20\).
Khi đó tổng diện tích các phần parabol là \(4\int\limits_0^{30} {\left( { - \frac{1}{{45}}{x^2} + 20} \right)dx} = 1600\) (m2).
Vậy diện tích phần sân chơi là \(60.80 - 1600 = 3200\) (m2).
Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, người ta đưa ra một cách kiểm tra bốn nút lưới (đỉnh hình lập phương) bất kì có đồng phẳng hay không bằng cách gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) vào khung lưới ô vuông và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba nút lưới trong bốn nút lưới đã cho. Giả sử có ba nút lưới mà tọa độ lần lượt là \(\left( {1;1;10} \right),(4;3;1),(3;2;5)\) và mặt phẳng (P) đi qua ba nút lưới đó có phương trình \(x + my + nz + p = 0\). Xác định phương trình của mặt phẳng (P).
Giả sử \(A\left( {1;1;10} \right),B(4;3;1),C(3;2;5)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;2; - 9} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2;1; - 5} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\).
Chọn \(\overrightarrow n = \left( {1;3;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).
Suy ra \(\left( P \right)\) có phương trình là \(\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + \left( {z - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + z - 14 = 0\).
