Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5
21 câu hỏi
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hai hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \).
\[\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx} \].
\(\int {2024f\left( x \right)dx} = 2024\int {f\left( x \right)dx} \).
\[\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} - \int {g\left( x \right)dx} \].
Đáp án đúng là: C
\(\int {2024f\left( x \right)dx} = 2024\int {f\left( x \right)dx} \).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 7{x^6}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{6}{x^5} + C\).
\[\int {f\left( x \right)dx} = 42{x^5} + C\].
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{7}{x^6} + C\).
\[\int {f\left( x \right)dx} = {x^7} + C\].
Đáp án đúng là: D
Vì \({\left( {{x^7} + C} \right)^\prime } = 7{x^6}\) nên \[\int {f\left( x \right)dx} = {x^7} + C\].
Biết \[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = - 2} \] và \[\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx = 3} ,\] khi đó \[\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \] bằng
\[ - 5.\]
\[5.\]
\[ - 1.\]
\[1.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx - } \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = - 2 - 3 = - 5.\]
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và \(F\left( 2 \right) = 6,F\left( 4 \right) = 12\). Tích phân \(\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} \) bằng
\[2.\]
\[ - 6.\]
\[6.\]
\[18.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_2^4 = F\left( 4 \right) - F\left( 2 \right) = 12 - 6 = 6\).
Nếu \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 4\) thì \(\int\limits_0^3 {3f\left( x \right)dx} \) bằng
\[12.\]
\[3.\]
\[36.\]
\[4.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\int\limits_0^3 {3f\left( x \right)dx} = 3\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 3.4 = 12\).
Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^x},y = 0,x = 0\) và \(x = 1\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) bằng
\[\pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} .\]
\[\pi \int\limits_0^1 {{e^x}dx} .\]
\[\int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} .\]
\[\int\limits_0^1 {{e^x}dx} .\]
Đáp án đúng là: A
\[V = \pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} .\]
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1;2;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;3; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Từ phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0\) ta có vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1;2;3} \right).\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y + 4z + 20 = 0\) và \(\left( Q \right):2x - 3y + 4z + 40 = 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\left( P \right)//\left( Q \right)\).
\(\left( P \right) \equiv \left( Q \right)\).
\(\left( P \right)\) cắt \(\left( Q \right)\).
\(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \\20 \ne 40\end{array} \right.\) nên \(\left( P \right)//\left( Q \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\). Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
\(C\left( {3;2; - 2} \right)\).
\(B\left( {1;2; - 2} \right)\).
\(D\left( {1;2; - 1} \right)\).
\(A\left( {1;2;4} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;2;4} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\) ta được:
\(1 + 2.2 - 4 - 1 = 0\) (đúng). Do đó \(A \in \left( P \right)\).
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \frac{3}{x}\) là
\({x^3} + \ln \left| x \right| + C\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + C\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} + \ln \left| x \right| + C\).
\({x^3} + 3\ln \left| x \right| + C\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + \frac{3}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + C\).
Biết \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3,\) khi đó \(\int\limits_0^1 {\left[ {4x - 3f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng
\( - 5\).
\(11\).
\( - 9\).
\( - 7\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\int\limits_0^1 {\left[ {4x - 3f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {4x{\rm{d}}x - 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} } = \left. {2{x^2}} \right|_0^1 - 3.3 = 2 - 9 = - 7.\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;3;0} \right)\)và \(B\left( {5;1; - 2} \right)\). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là
\(2x - y - z + 5 = 0\).
\(2x - y - z - 5 = 0\).
\(x + y + 2z - 3 = 0\).
\(3x + 2y - z - 14 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có tọa độ trung điểm \(I\)của \(AB\) là \(I\left( {3;2; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2; - 2} \right)\).
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua \(I\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \) nên có phương trình là \(4\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - z - 5 = 0\).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 2x - {x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\) như hình vẽ bên. Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi \((P)\) và trục hoành.
Diện tích hình \(\left( H \right)\) được tính theo công thức \(S = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).
Diện tích hình \(\left( H \right)\) bằng \(\frac{4}{3}\).
Khi cho hình \(\left( H \right)\) xoay quanh trục \(Ox\) ta được một vật thể có thể tích được tính theo công thức \(V = \pi \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).
Khi cho hình \(\left( H \right)\) xoay quanh trục \(Ox\) ta được một vật thể có thể tích bằng \(\frac{{16}}{{15}}\).
a) S, b) Đ, c) S, d) S
a) \(S = \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) .
b) \(S = \int\limits_0^2 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} = \frac{4}{3}\).
c) \[V = \pi \int\limits_0^2 {{f^2}\left( x \right)dx} \].
d) \[V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}} \right)dx} = \frac{{16\pi }}{{15}}\].
Trong mặt phẳng \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 5;8;1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) là \(5x + 8y - z - 8 = 0\).
Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(1;1;5)\).
Khoảng cách từ điểm \(B\left( {1; - 2; - 1} \right)\) đến \((P)\) là \(\sqrt {10} \).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là \[5x - 8y - z + 3 = 0\].
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 5;8;1} \right)\) có phương trình là:
\( - 5\left( {x - 1} \right) + 8\left( {y - 2} \right) + \left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5x - 8y - z + 8 = 0\).
b) Thay tọa độ điểm \(A(1;1;5)\) vào phương trình mặt phẳng \((P)\), ta được
\(5.1 - 8.1 - 5 + 8 = 0\) đúng. Vậy điểm \(A \in \left( P \right)\).
c) Ta có \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {5.1 - 8.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right) + 8} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {8^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{30}}{{3\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \).
d) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là \[5x - 8y - z = 0\].
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Biết \(\int {\frac{{2x + 3}}{{{e^x}}}dx} = \left( {ax + b} \right){e^{ - x}} + C\) (với \(a,b \in \mathbb{R}\)). Tính giá trị của \(a - 2b\).
Trả lời: 8
Ta có \({\left[ {\left( {ax + b} \right){e^{ - x}} + C} \right]^\prime } = a{e^{ - x}} - \left( {ax + b} \right){e^{ - x}} = - ax{e^{ - x}} + \left( {a - b} \right){e^{ - x}}\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - a = 2\\a - b = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 5\end{array} \right.\). Vậy \(a - 2b = 8\).
Biết \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 4\) và \(\int\limits_3^7 {f\left( x \right)dx} = - 3\). Tích phân \(\int\limits_1^7 {f\left( x \right)dx} \) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 1
\(\int\limits_1^7 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^7 {f\left( x \right)dx} = 4 - 3 = 1\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 4y + 3z - 5 = 0\) và \(\left( Q \right):mx - ny - 6z + 2 = 0\). Khi mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì \(m + n\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 4
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;4;3} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {m; - n; - 6} \right)\).
Để \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = k\overrightarrow {{n_Q}} \\ - 5 \ne k.2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = km\\4 = k.\left( { - n} \right)\\3 = k.\left( { - 6} \right)\\ - 5 \ne k.2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\n = 8\\k = - \frac{1}{2}\\ - 5 \ne \left( { - \frac{1}{2}} \right).2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\n = 8\end{array} \right.\).
Do đó \(m + n = 4\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + 2y - z + m = 0\) (\(m\)là tham số). Tìm giá trị \(m\) dương để khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng 1.
Trả lời: 3
Ta có \(d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{3} = 1\)\( \Leftrightarrow m = 3\) (do \(m > 0\)).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Một vận động viên đua xe F đang chạy với vận tốc 10 (m/s) thì anh ta tăng tốc với gia tốc a(t) = 6t (m/s2), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc. Hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu mét?
Ta có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {6tdt} = 3{t^2} + C\).
Do khi bắt đầu tăng tốc \({v_0} = 10{\rm{m/s}}\). Suy ra \(C = 10\).
Do đó \(v\left( t \right) = 3{t^2} + 10\).
Quãng đường anh ta đi được trong thời gian 10 giây là \(S = \int\limits_0^{10} {\left( {3{t^2} + 10} \right)dt} = 1100\)(m).
Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên
Cho \(AB = 4{\rm{dm}}\) và \(BC = 8{\rm{dm}}\). Tính diện tích phần trắng.
Vì \(AB = 4{\rm{dm}}\) và \(BC = 8{\rm{dm}}\)nên \(A\left( { - 2;4} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {2; - 4} \right),D\left( { - 2; - 4} \right)\).
Ta có \(\left( P \right):y = {x^2}\) hoặc \(y = - {x^2}\).
Diện tích phần tô đậm là \({S_1} = 4\int\limits_0^2 {{x^2}dx} = \frac{{32}}{3}\)(dm2).
Diện tích hình chữ nhật là \(S = 4.8 = 32\)(dm2).
Diện tích phần trắng là: \({S_2} = S - {S_1} = 32 - \frac{{32}}{3} = \frac{{64}}{3}\)(dm2).
Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\) cạnh 1. Điểm \(M\) được cho thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {CD} \). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {EBD} \right)\).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Ta có \(A\left( {0;0;0} \right),\overrightarrow {AE} = \left( {0;0;1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {0; - 1;0} \right)\).
Đặt \(M\left( {a;b;c} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {a;b;c} \right)\).
Để cho \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {CD} \) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}a + 0 = 0\\b + 0 = - 3\\c + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 3\\c = - 1\end{array} \right.\). Suy ra \(M\left( {0; - 3; - 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {EBD} \right)\) có dạng: \(x + y + z - 1 = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {EBD} \right)\) bằng
\(d\left( {M,\left( {EBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 3 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy khoảng cách cần tìm bằng \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
