Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án (Đề 2)
22 câu hỏi
Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\int {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} \), với mọi hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\)
\(\int {kf\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), với mọi hằng số \(k\) và với mọi hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(\int {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} \), với mọi hàm số \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\)
\(\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = f\left( x \right) + C\) với mọi hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int {kf\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) đúng với \[\forall k \ne 0\].
Cho biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). Tìm \(I = \int {\left[ {2f\left( x \right) + 1} \right]{\rm{d}}x} \).
\(I = 2F\left( x \right) + 1 + C\).
\(I = 2xF\left( x \right) + 1 + C\).
\(I = 2xF\left( x \right) + x + C\).
\(I = 2F\left( x \right) + x + C\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(I = \int {\left[ {2f\left( x \right) + 1} \right]{\rm{d}}x} \)\( = 2\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int {1{\rm{d}}x} \)\( = 2F\left( x \right) + x + C\).
Nếu \(\int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}x} = 5\) và \(\int\limits_2^3 {f(x){\rm{d}}x} = - 2\) thì \(\int\limits_1^3 {f(x){\rm{d}}x} \) bằng
\[3\].
\[7\].
\[ - 10\].
\[ - 7\].
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_1^3 {f(x){\rm{d}}x} \, = \int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_2^3 {f(x){\rm{d}}x} = 5 + ( - 2) = 3\,\).
Cho hàm số \(f(x)\) và \(F(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(F'(x) = f(x),\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(F(0) = 2\) và \(F(1) = 9\), mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\int_0^1 f (x){\rm{d}}x = - 3\).
\(\int_0^1 f (x){\rm{d}}x = 7\).
\(\int_0^1 f (x){\rm{d}}x = 1\).
\(\int_0^1 f (x){\rm{d}}x = 3\).
Đáp án đúng là: B
\(\int_0^1 f (x){\rm{d}}x = F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) = 9 - 2 = 7\).
Diện tích \[S\] của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \[y = 3{x^2} + 1\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 0,x = 2\] được tính bởi công thức
\[S = \int\limits_0^2 {{{\left( {3{x^2} + 1} \right)}^2}dx} \].
\[S = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {3{x^2} + 1} \right)}^2}dx} \].
\[S = \int\limits_0^2 {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} \].
\[S = \pi \int\limits_0^2 {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} \].
Đáp án đúng là: C
\[S = \int\limits_0^2 {\left| {3{x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} \].
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^2}\] và \[y = 4x - 3\] là
\[S = \frac{3}{4}\].
\[S = \frac{4}{3}\].
\[S = \frac{2}{3}\].
\[S = 2\].
Đáp án đúng là: B
Phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} = 4x - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\].
Khi đó \(S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|{\rm{d}}x} = \frac{4}{3}\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 1;1;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1;1; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;1;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
\(\left( P \right):x + y + z + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;1;1} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y + 2z - 1 = 0\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( Q \right):3x + 3y + 6z - 1 = 0\).
\(\left( P \right):2x + 2y + 4z - 2 = 0\).
\(\left( R \right):x + y - z - 1 = 0\).
\(\left( S \right): - x - y - 2z + 1 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 3y + 6z - 1 = 0\) vì \(\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}}\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\,:\,x - 3y + 5z - 2 = 0\). Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
\(N\left( {1\,;\,1\,;\,7} \right)\).
\(Q\left( {4\,;\,4\,;\,2} \right)\).
\(P\left( {4\,;\, - 1\,;\,3} \right)\).
\(M\left( {0\,;\,0\,;\,2} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Tọa độ điểm \(Q\left( {4\,;4\,;\,2} \right)\) thỏa mãn phương trình \(\left( P \right)\) nên \(Q \in \left( P \right)\).
Cho mặt phẳng\[\left( P \right):x + 2y + 2z - 6 = 0\]; \[M\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\]. Khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) bằng
\[d\left( {M,\,\left( P \right)} \right) = \frac{5}{9}\].
\[d\left( {M,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{11}}{9}\].
\[d\left( {M,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{11}}{3}\].
\[d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{5}{3}\].
Đáp án đúng là: D
\[d\left( {M,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.3 - 6} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{5}{3}\].
Trong không gian \[Oxyz\], cho 3 điểm\(M\left( {2;1; - 3} \right)\), \(N\left( {1;0;2} \right)\); \(P\left( {2; - 3;5} \right)\). Tìm một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {12;4;8} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {8;12;4} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {3;1;2} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {3;2;1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 1;5} \right);\,\,\,\overrightarrow {MP} = \left( {0; - 4;8} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {12;8;4} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) cùng phương với \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {MP} } \right]\).
Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {3;2;1} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;0; - 4} \right)\). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(OA\) có phương trình là
\[x - 2y - 5z = 0\].
\[x - 2y - 5 = 0\].
\[x - 2z - 5 = 0\].
\[x - 2z - 10 = 0\].
Đáp án đúng là: D
Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(OA\) là \(\left( {1;0; - 2} \right)\).
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(OA\) đi qua điểm \(I\) có VTPT \(\overrightarrow {OA} = \left( {2;0; - 4} \right)\)có phương trình là \[2x - 4z - 10 = 0 \Leftrightarrow x - 2z - 10 = 0\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - 6x + 7\).
a) Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F'\left( 4 \right) = - 17\).
b)\(F\left( x \right) = - 3{x^2} + 7x + 21\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
c) Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) và \(F\left( 1 \right) = 2\) thì \(F\left( 2 \right) = - 4\).
d) Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F\left( { - x} \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( { - x} \right)\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Có \(F'\left( 4 \right) = f\left( 4 \right) = - 6.4 + 7 = - 17\).
b) Có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( { - 6x + 7} \right)dx} = - 3{x^2} + 7x + C\), \(C\) là hằng số.
Do đó \(F\left( x \right) = - 3{x^2} + 7x + 21\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
c) Có \(F\left( x \right) = - 3{x^2} + 7x + C\) mà \(F\left( 1 \right) = 2\) nên \( - {3.1^2} + 7.1 + C = 2 \Leftrightarrow C = - 2\).
Do đó \(F\left( x \right) = - 3{x^2} + 7x - 2\). Suy ra \(F\left( 2 \right) = - {3.2^2} + 7.2 - 2 = 0\).
d) Có \(F\left( { - x} \right) = - 3{x^2} - 7x + C\), \(f\left( { - x} \right) = 6x + 7\).
Vì \(F'\left( { - x} \right) = - 6x - 7 \ne f\left( { - x} \right)\) nên \(F\left( { - x} \right)\)không là một nguyên hàm của \(f\left( { - x} \right)\).
Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian \(t\left( s \right)\) là \(a\left( t \right) = 2t - 7\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\). Biết vận tốc ban đầu bằng \(6{\rm{m/s}}\).
Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t\left( s \right)\) xác định bởi \(v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 10\).
Tại thời điểm \(t = 7\left( {\rm{s}} \right)\), vận tốc của chất điểm là \(6\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 7\) là \(18{\rm{m}}\).
Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là \(t = 7\left( {\rm{s}} \right)\).
a) S, b) Đ, c) S, d) S
a) Ta có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {2t - 7} \right)dt} = {t^2} - 7t + C\).
Vì \(v\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow C = 6\). Do đó \(v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 6\).
b) \(v\left( 7 \right) = {7^2} - 7.7 + 6 = 6\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
c) Có
d) Tọa độ của chất điểm tại thời điểm \(t\) là \(x\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {{t^2} - 7t + 6} \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{7{t^2}}}{2} + 6t + C\)
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(x\left( t \right)\) với \(t \in \left[ {0;8} \right]\).
Ta có \(x'\left( t \right) = v\left( t \right) = 0\) khi \(t = 1\) hoặc \(t = 6\).
Lại có \(x\left( 0 \right) = C,x\left( 1 \right) = \frac{{17}}{6} + C,x\left( 6 \right) = - 18 + C,x\left( 8 \right) = - \frac{{16}}{3} + C\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(x\left( t \right)\) với \(t \in \left[ {0;8} \right]\) đạt được khi \(t = 1\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đồ thị như hình vẽ sau. Biết diện tích các miền \(A,B,C\) lần lượt là \({S_A} = 2,35,{S_B} = 4,3,{S_C} = 8,35\).
a) \(\int\limits_{ - 3}^2 {f\left( x \right)dx} = 6,65\).
b) \(\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = 12,65} \).
c) \(\int\limits_{ - 3}^5 {\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]dx} = 7,4\).
d)\(\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x + f\left( x \right)} \right]dx} = 16,05\).
a) S, b) Đ, c) S, d) S
a) \(\int\limits_{ - 3}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = {S_A} - {S_B} = 2,35 - 4,3 = - 1,95\).
b) \[\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = } \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_2^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} \]
\[ = {S_B} + {S_C} = 4,3 + 8,35 = 12,65\].
c) \(\int\limits_{ - 3}^5 {\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]dx} = \int\limits_{ - 3}^5 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 3}^5 {1dx} \)\( = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 3}^5 {1dx} \)
\( = {S_A} - {S_B} + {S_c} + \left. x \right|_{ - 3}^5 = 2,35 - 4,3 + 8,35 + 8 = 14,4\).
d) \(\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x + f\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_{ - 1}^5 {2xdx} + \int\limits_{ - 1}^5 {f\left( x \right)dx} \)\[ = \int\limits_{ - 1}^5 {2xdx} + \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} \]
\[ = \left. {{x^2}} \right|_{ - 1}^5 - {S_B} + {S_C} = 24 - 4,3 + 8,35 = 28,05\].
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho điểm \(A\left( {0; - 1;1} \right)\) và hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 1;0;2} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {2;1;0} \right)\).
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) nhận \(\overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - x + 2z - 2 = 0.\)
b) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) làm vặp vectơ chỉ phương có phương trình \(2x - 4y - z - 3 = 0\).
c) Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,B\left( { - 3;1;2} \right),C\left( {1;0;1} \right)\) có phương trình \(x - y + 5z - 6 = 0\).
d) Gọi \(M\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục \(Ox\), \(N\)là giao điểm của \(\left( Q \right)\) và trục \(Oz\). Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,M,N\) có phương trình là \(3x + 8y + 2z + 6 = 0\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) nhận \(\overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\( - x + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 2z - 2 = 0\).
b) Có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 2;4; - 1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là \( - 2x + 4\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 4y - z + 5 = 0\).
c) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;2;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;0} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;1; - 5} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là
\( - x + 1.\left( {y + 1} \right) - 5\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - x + y - 5z + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow x - y + 5z - 6 = 0\).
d) \(M\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục \(Ox\) nên \(M\left( { - 2;0;0} \right)\),
\(N\)là giao điểm của \(\left( Q \right)\) và trục \(Oz\) nên \(N\left( {0;0;5} \right)\).
Có \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 2;1; - 1} \right),\overrightarrow {AN} = \left( {0;1;4} \right),\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right] = \left( {5;8; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) có phương trình là \(5x + 8\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5x + 8y - 2z + 10 = 0\).
Biết \(F\left( x \right) = a{x^2} + bx + 1,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 1\). Tổng \(a + b\) bằng bao nhiêu?
Ta có \(F'\left( x \right) = 2ax + b = f\left( x \right)\). Suy ra \(a = 1;b = 1\). Do đó \(a + b = 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(F\left( x \right),G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) + G\left( 2 \right) = 8\) và \(F\left( 0 \right) + G\left( 0 \right) = - 2\). Khi đó \(\int\limits_0^{16} f \left( {\frac{x}{8}} \right){\rm{d}}x\) bằng bao nhiêu?
Ta có: \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + C \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G\left( 2 \right) = F\left( 2 \right) + C\\G\left( 0 \right) = F\left( 0 \right) + C\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}F\left( 2 \right) + G\left( 2 \right) = 8\\F(0) + G(0) = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2F(2) + C = 8\\2F(0) + C = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow F(2) - F(0) = 5.\)
Vậy: \(\int\limits_0^{16} f \left( {\frac{x}{8}} \right){\rm{d}}x = 8\int\limits_0^2 {f(t)dt = 8\left( {F(2) - F(0)} \right) = 40} \).
Một người lái xe ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hiện có hàng rào ngăn đường ở phía trước cách 45 m (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vì vậy, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 5t + 20\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe ô tô còn cách hàng rào ngăn cách bao nhiêu mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)?
Xe dừng hẳn khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 4\) (giây).
Quãng đường xe đi được từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn là
\(s = \int\limits_0^4 {\left( { - 5t + 20} \right)dt} = 40\) m.
Xe ô tô còn cách hàng rào \(45 - 40 = 5\) m.
Ông An xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30 m và chiều dài 50 m. Để giảm bởi chi phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô đen và không tô đen) như hình vẽ. Phần tô đen gồm hai phần diện tích bằng nhau và đường cong \(AIB\) là một parabol đỉnh I được trồng cỏ nhân tạo với giá 130000 đồng/m2 và phần còn lại được trồng với giá 90000 đồng/m2. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền (triệu đồng) để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng đá.
Chọn hệ trục tọa độ sao O là trung điểm của \(AB\), \(I \in Oy\) và \(I\left( {0;10} \right),A\left( { - 15;0} \right),B\left( {15;0} \right)\).
Giả sử \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).
Có \(\left( P \right)\) đi qua \(I\left( {0;10} \right),A\left( { - 15;0} \right),B\left( {15;0} \right)\) nên ta có hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}225a + 15b + c = 0\\225a - 15b + c = 0\\c = 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{{45}}\\b = 0\\c = 10\end{array} \right.\). Do đó \(\left( P \right):y = \frac{{ - 2}}{{45}}{x^2} + 10\).
Do đó diện tích phần tô đen là \({S_1} = 2\int\limits_{ - 15}^{15} {\left( { - \frac{2}{{45}}{x^2} + 10} \right)dx} = 400\) m2.
Diện tích phần không tô đen là \({S_2} = 30.50 - {S_1} = 1100\) m2.
Số tiền ông An phải trả là: \(400.130000 + 1100.90000 = 151000000\) đồng = 151 triệu đồng.
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((\alpha ):x + by + cz + d = 0\) vuông góc với mặt phẳng \((\beta ):x + 2y + 3z + 4 = 0\) và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng \((P):x + 3y + z - 7 = 0,\)\((Q):x - y + z + 1 = 0.\) Khi đó \(d\) bằng bao nhiêu?
Ta có vectơ pháp tuyến của \[\left( \beta \right),\left( P \right),\left( Q \right)\] lần lượt là \[\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;2;3} \right),\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;3;1} \right),\,\overrightarrow {{n_3}} \left( {1; - 1;1} \right)\].
Khi đó \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\left[ {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right]} \right] = \left( { - 8;16; - 8} \right) = - 8\left( {1; - 2;1} \right)\].
Gọi \[A\left( {x;y;z} \right) \in d\] là giao tuyến của \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\], khi đó toạ độ điểm \[A\] thoả mãn hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + z - 7 = 0\\x - y + z + 1 = 0\end{array} \right.\]. Cho \[x = 0\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l}3y + z - 7 = 0\\ - y + z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\z = 1\end{array} \right.\], khi đó \[A\left( {0;2;1} \right)\].
Do \[\left( \alpha \right)\] chứa giao tuyến của \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] nên \[\left( \alpha \right)\] đi qua \[A\left( {0;2;1} \right)\].
Phương trình \[\left( \alpha \right):x - 2\left( {y - 2} \right) + z - 1 = 0 \Leftrightarrow x - 2y + z + 3 = 0\]. Vậy \[d = 3\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - z + 10 = 0\) và điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\), vuông góc với \(\left( P \right)\), cách gốc tọa độ \(O\) một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) và cắt các tia \(Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(B,C\) không trùng \(O\). Thể tích khối tứ diện \(OABC\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Giả sử \(B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) với \(b > 0,c > 0\).
Do đó phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
Ta có \(\frac{1}{{{d^2}\left( {O,\left( \alpha \right)} \right)}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{9}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{5}{4}\).
Vì \(\left( P \right) \bot \left( \alpha \right)\) nên \(1 - \frac{1}{c} = 0 \Leftrightarrow c = 1\). Suy ra \(b = 2\).
Vậy \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;1} \right)\).
Do đó \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.1.2.1 = \frac{1}{3} \approx 0,33\).
