Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 8 Cánh diều có đáp án - Đề 4
38 câu hỏi
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?
\(\frac{1}{x} + y\).
\( - \frac{{{x^2}z}}{5}\).
\(\left( {2 - x} \right){y^2}\).
\(\sqrt {xyz} \).
Đáp án đúng là: B
Biểu thức \[ - \frac{{{x^2}z}}{5} = - \frac{1}{5}{x^2}z\] là đơn thức.
Khi nhân đa thức \(M + N\) với đa thức \(P\)ta được kết quả là
\[MP + NP\].
\[MP + N\].
\[MN + NP\].
\[M + NP\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\left( {M + N} \right)\,\,.\,P = M\,.\,P + N\,.\,P = MP + NP\].
Cho các đơn thức \(A = 4{x^3}y\left( { - 5xy} \right)\), \(B = {x^4}{y^2}\), \(C = - 5{x^2}{y^4}\). Các đơn thức nào sau đây đồng dạng với nhau?
Đơn thức \(A\) và đơn thức \(C\).
Đơn thức \(B\) và đơn thức \(C\).
Đơn thức \(A\) và đơn thức \(B\).
Cả ba đơn thức \(A,B,C\) đồng dạng với nhau.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(A = 4{x^3}y\left( { - 5xy} \right) = - 20{x^4}{y^2}\) nên suy ra \(A\) và \(B\) là hai đơn thức đồng dạng, nhưng không đồng dạng với đơn thức \(C.\)
Giá trị của biểu thức \(A = {x^4} + 4{x^2}y - 6z\) tại \(x = 4,y = - 5,z = - 2\) là
\( - 76\).
\( - 52\).
\( - 25\).
\(37\).
Đáp án đúng là: B
Thay \(x = 4,y = - 5,z = - 2\) vào biểu thức \(A\) ta được:
\(A = {4^4} + {4.4^2}.\left( { - 5} \right) - 6.\left( { - 2} \right) = 256 - 320 + 12 = - 52\).
Cho \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64 = {\left( {x + a} \right)^3}\). Giá trị của \(a\) là
\( - 64\).
64.
\( - 4\).
4.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64 = {\left( {x + 4} \right)^3}\). Vậy \(a = 4.\)
Đa thức \(14{x^2}y - 21x{y^2} + 28{x^2}{y^2}\) được phân tích thành
\(7xy\left( {2x - 3y + 4xy} \right)\).
\(xy\left( {14x - 21y + 28xy} \right)\).
\(7{x^2}y\left( {2 - 3y + 4xy} \right)\).
\(7x{y^2}\left( {2x - 3y + 4x} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(14{x^2}y - 21x{y^2} + 28{x^2}{y^2} = 7xy\left( {2x - 3y + 4xy} \right)\).
Phân thức nào sau đây không phải là phân thức đối của phân thức \(\frac{{1 - x}}{x}\)?
\( - \frac{{1 - x}}{x}\).
\(\frac{{ - \left( {1 - x} \right)}}{x}\).
\(\frac{{x - 1}}{x}\).
\(\frac{{x + 1}}{x}\).
Đáp án đúng là: D
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{1 - x}}{x}\) là \( - \frac{{1 - x}}{x} = \frac{{ - \left( {1 - x} \right)}}{x} = \frac{{x - 1}}{x}\).
Mẫu thức chung của hai phân thức \(\frac{{3x}}{{{x^2} - 4}}\) và \(\frac{x}{{x + 2}}\) là
\[{x^2} - 4\].
\[x + 2\].
\[x - 2\].
\[\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 2} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Mẫu thức chung của hai phân thức \(\frac{{3x}}{{{x^2} - 4}}\) và \(\frac{x}{{x + 2}}\) là \[{x^2} - 4\].
Hình chóp tam giác đều có bao nhiêu mặt?
3.
4.
5.1
6.
Đáp án đúng là: B
Hình chóp tam giác đều có 4 mặt.
Đặc điểm nào sau đây là sai đối với hình chóp tam giác đều \(S.ABC?\)
Đáy \(ABC\) là tam giác đều.
\(SA = SB = SC\).
Tam giác \(SBC\) là tam giác đều.
\(\Delta SAB = \Delta SBC = \Delta SCA\).
Đáp án đúng là: C
Hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có mặt bên là các tam giác cân nên \(\Delta SBC\) là tam giác cân.
Cho tam giác \(ABC\) vuông có cạnh huyền \(AB = \sqrt {117} \;\;{\rm{cm}}{\rm{,}}\,\,BC = 6\;\;{\rm{cm}}.\) Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\). Độ dài \(BK\) là
\(3\;\;{\rm{cm}}\).
\(4,5\;\;{\rm{cm}}\).
\(7,5\;\;{\rm{cm}}\).
\(10\;\;{\rm{cm}}\).
Đáp án đúng là: C
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\), theo định lí Pythagore, ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} - B{C^2} = {\left( {\sqrt {117} } \right)^2} - {6^2} = 81\).
Suy ra \(AC = \sqrt {81} = 9\;({\rm{cm)}}\).
Do \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\) nên \(CK = \frac{1}{2}AC = 4,5\;\;({\rm{cm)}}.\)
Xét \(\Delta BCK\) vuông tại \(C\), theo định lí Pythagore ta có:
\(B{K^2} = B{C^2} + C{K^2} = {6^2} + {4,5^2} = 56,25\).
Suy ra \(BK = \sqrt {56,25} = 7,5\;\;({\rm{cm)}}\).
Tổng số đo các góc trong tứ giác bằng
\(90^\circ \).
\(120^\circ \).
\(180^\circ \).
\(360^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Tổng số đo các góc trong tứ giác bằng \(360^\circ .\)
Cho hai đa thức:
\(A = {x^2}y + 5xy - 1\) và \(B = 3y\left( {3y - x} \right) + \left( { - 2{x^2}{y^2} - 6x{y^3} + 4xy} \right):\frac{2}{3}xy\).
a)Đa thức \(A\)có bậc là 2.
b) Đa thức \(B\)không chia hết cho 6.
c) Với \(x = \frac{1}{2};\)\(y = 4\) thì \(B = - 6\).
d) Tổng của hai đa thức \(A\) và \(B\) có hạng tử tự do là 6.
Đáp án: a) S. b) S. c) Đ. d) S.
⦁Đa thức \(A\)có bậc là 3. Do đó ý a) sai.
⦁ Ta có\(B = 3y\left( {3y - x} \right) + \left( { - 2{x^2}{y^2} - 6x{y^3} + 4xy} \right):\frac{2}{3}xy\)
\[ = 3y \cdot 3y - 3y \cdot x - 2{x^2}{y^2}:\left( {\frac{2}{3}xy} \right) - 6x{y^3}:\left( {\frac{2}{3}xy} \right) + 4xy:\left( {\frac{2}{3}xy} \right)\]
\[ = 9{y^2} - 3xy - 3xy - 9{y^2} + 6\]
\[ = \left( {9{y^2} - 9{y^2}} \right) + \left( { - 3xy - 3xy} \right) + 6\]
\[ = - 6xy + 6 = 6\left( { - xy + 1} \right).\]
Vì \(6\left( { - xy + 1} \right)\, \vdots \,\,6\) với mọi giá trị nguyên của \(x,y\) nên \(B\) luôn chia hết cho 6 với mọi giá trị nguyên của biến \(x,y.\) Do đó ý b) sai.
⦁ Thay \(x = \frac{1}{2};\)\(y = 4\) vào biểu thức \(A = - 6xy + 6\) đã thu gọn được ở câu a, ta được:
\(A = - 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 + 6 = - 12 + 6 = - 6.\)
Vậy \(A = - 6\) khi \(x = \frac{1}{2};\)\(y = 4.\) Do đó ý c) sai.
⦁Tổng của hai đa thức \(A\) và \(B\) là:
\[A + B = \left( {{x^2}y + 5xy - 1} \right) + \left( { - 6xy + 6} \right)\]
\[ = {x^2}y + 5xy - 1 - 6xy + 6\]
\[ = {x^2}y + \left( {5xy - 6xy} \right) + \left( {6 - 1} \right)\]
\[ = {x^2}y - xy + 5.\]
Như vậy,tổng của hai đa thức \(A\) và \(B\) có hạng tử tự do là 5. Do đó ý d) sai.
Đỉnh Fansipan (Lào Cai) cao \(3143{\rm{ m}}{\rm{,}}\) là đỉnh núi cao nhất Đông Dương. Trên đỉnh núi, người ta đặt một chóp làm bằng inox có dạng hình chóp tam giác đều dài \(60{\rm{ cm}}{\rm{,}}\)chiều cao \(90{\rm{ cm}}\)(như hình vẽ).
a) Tam giác đều \(ABC\) có \(CH\) là đường trung tuyến.
b) Độ dài cạnh \(CH\) bằng \(30\sqrt 3 {\rm{ cm}}\).
c) Độ dài cạnh \(SH\) nhỏ hơn độ dài cạnh \(CH\).
d) Diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABC\) là \(8635{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
⦁Mặt đáy của hình chóp \(S.ABC\) là một tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(60{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Gọi đường cao của mặt đáy là \(CH\) nên\(CH\) đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đều \(ABC.\)
Do đó ý a) đúng.
⦁Vì \(HA = HB = \frac{{AB}}{2} = 30{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Áp dụng định lý Pythagore vào \(\Delta BHC\) vuông tại \(H\), ta có:
\(C{B^2} = H{B^2} + H{C^2}\) hay \({60^2} = {30^2} + H{C^2}\)
Suy ra \(C{H^2} = {60^2} - {30^2} = 2{\rm{ }}700\) nên \(CH = \sqrt {2700} = 30\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\). (1)
Gọi \(G\) là trọng tâm của mặt đáy nên \(GH = \frac{1}{3}HC = \frac{{30\sqrt 3 }}{3} = 10\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Hình chóp \(S.ABC\) có đường cao \(SG\) nên \(SG \bot HC.\)
Áp dụng định lý Pythagore vào \[\Delta SHG\] vuông tại \(G\), ta có:
\(S{H^2} = S{G^2} + H{G^2}\)\( = {90^2} + {30^2} = 9000\)
Suy ra \(SH = \sqrt {9000} = 30\sqrt {10} {\rm{ cm}}{\rm{.}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra độ dài cạnh \(SH\) lớn hơn độ dài cạnh \(CH\). Do đó ý c) sai.
⦁Nửa chu vi đáy là: \(P = \frac{1}{2}\left( {60 + 60 + 60} \right) = 90{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Vậy diện tích xung quanh của hình chóp\(S.ABC\) là
\(S = P.d = 90.30\sqrt {10} \approx 8538{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Do đó ý d) sai.
Kết quả của phép chia \(\left( {5{x^5}{y^4}z + \frac{1}{2}{x^4}{y^2}{z^3} - 2x{y^3}{z^2}} \right):\frac{1}{4}x{y^2}z\) là đa thức bậc mấy?
Đáp số: 6.
Ta có \[\left( {5{x^5}{y^4}z + \frac{1}{2}{x^4}{y^2}{z^3} - 2x{y^3}{z^2}} \right):\frac{1}{4}x{y^2}z\]
\[ = 5{x^5}{y^4}z:\frac{1}{4}x{y^2}z + \frac{1}{2}{x^4}{y^2}{z^3}:\frac{1}{4}x{y^2}z - 2x{y^3}{z^2}:\frac{1}{4}x{y^2}z\]
\[ = 20{x^4}{y^2} + 2{x^3}{z^2} - 8yz\].
Đa thức \[20{x^4}{y^2} + 2{x^3}{z^2} - 8yz\] có bậc 6 nên bậc của đa thức cần tìm có bậc là 6.
Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn\[{x^3} + 9{x^2} + 27x + 19 = 0\].
Đáp số: −1.
Ta có \[{x^3} + 9{x^2} + 27x + 27 - 8 = 0\]
\[{\left( {x + 3} \right)^3} = 8\]
\[x + 3 = 2\]
\(x = - 1.\)
Vậy \(x = - 1.\)
Một khối bê tông có dạng như hình vẽ bên. Phần đáy của bê tông có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông có cạnh 40 cm, chiều cao 25 m. Phần trên của khối bê tông có dạng hình chóp tứ giác đều, chiều cao 100 cm. Tính thể tích của khối bê tông đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị với đơn vị \[{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}).\]
![Một khối bê tông có dạng như hình vẽ bên. Phần đáy của bê tông có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông có cạnh 40 cm, chiều cao 25 m. Phần trên của khối bê tông có dạng hình chóp tứ giác đều, chiều cao 100 cm. Tính thể tích của khối bê tông đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị với đơn vị \[{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}).\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid9-1750320212.png)
Đáp số: 93.
Thể tích phần trên khối bê tông có dạng hình chóp tứ giác đều là:
\[{V_1} = \frac{1}{3} \cdot {40^2} \cdot 100 = \frac{{160\,\,000}}{3}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\].
Thể tích phần dưới đáy khối bê tông có dạng hình hộp chữ nhật là:
\({V_2} = 40 \cdot 40 \cdot 25 = 40\,\,000\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Thể tích khối bê tông là:
\(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{160\,\,000}}{3} + 40\,\,000 = \frac{{280\,\,000}}{3}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right) \approx 93\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Tìm \(x\) trong hình vẽ bên dưới (đơn vị: độ). 
Đáp số: 70.
Vì góc ngoài tại \(K\) có số đo là \(100^\circ \) nên \(\widehat {IKL} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
Góc ngoài tại \(L\) có số đo là \(60^\circ \) nên \(\widehat {KLR} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Ta có tổng các góc trong tứ giác là \(360^\circ \) nên \(\widehat {IKL} + \widehat {KLR} + \widehat {R\,} + \widehat {I\,} = 360^\circ \)
Suy ra \(80^\circ + 120^\circ + 90^\circ + x = 360^\circ \)
Do đó \(x = 70^\circ \).
Cho biểu thức \(A = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(B = \frac{2}{{1 - x}} + \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}}\) với \(x \ne 1.\)
a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = - 2.\)
b) Tìm biểu thức \(C\) biết \(A = B + C\).
c) Chứng minh giá trị của biểu thức \(C\) luôn nhận giá trị dương với mọi \(x \ne 0,x \ne 1.\)
Ta có \(A = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(B = \frac{2}{{1 - x}} + \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}}\) với \(x \ne 0,x \ne 1.\)
a) Thay \(x = - 2\) (thỏa mãn) vào biểu thức \(A\) ta được:
\[A = \frac{4}{{{{\left( { - 2} \right)}^2} + \left( { - 2} \right) + 1}} = \frac{4}{{4 - 2 + 1}} = \frac{4}{3}.\]
b) Ta có \(A = B + C\) nên \(C = A - B\)
\(C = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}} - \left( {\frac{2}{{1 - x}} + \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}}} \right)\)
\( = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{1 - x}} - \frac{{2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}}\)
\( = \frac{4}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}} - \frac{{2{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{4\left( {x - 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + 4x} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{4x - 4 + 2{x^2} + 2x + 2 - 2{x^2} - 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{2x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{{{x^2} + x + 1}}\)
Vậy với \(x \ne 1\) ta có \(C = \frac{2}{{{x^2} + x + 1}}.\)
c) Với \(x \ne 1\) ta có \[C = \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{2}{{{x^2} + 2.x.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}}} = \frac{2}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}\].
Mà \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\), do đó \[C = \frac{2}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}} > 0\] với mọi \(x \ne 1.\)
1. Một chiếc thang có chiều dài \[AB = 3,7\,\,{\rm{m}}\]đặt cách một bức tường khoảng cách \[BH = 1,2\,\,{\rm{m}}.\]Biết rằng khoảng cách “an toàn” khi \(2,0 < \frac{{AH}}{{BH}} < 2,2\)(xem hình vẽ).Tính chiều cao \[AH.\] Từ đó kiểm tra xem khoảng cách đặt thang cách chân tường là \[BH\]có “an toàn” không?![Một chiếc thang có chiều dài \[AB = 3,7\,\,{\rm{m}}\] đặt cách một bức tường khoảng cách \[BH = 1,2\,\,{\rm{m}}.\] Biết rằng khoảng cách “an toàn” khi \(2,0 < \frac{{AH}}{{BH}} < 2,2\) (xem hình vẽ). Tính chiều cao \[AH.\] Từ đó kiểm tra xem khoảng cách đặt thang cách chân tường là \[BH\] có “an toàn” không? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid0-1750320479.png)
2.Người ta làm mô hình một kim tự tháp ở cổng vào của bảo tàng Louvre. Mô hình có dạng hình chóp tứ giác đều, chiều cao \(21{\rm{ m}}{\rm{,}}\) độ dài cạnh đáy là \(34{\rm{ m}}\).
![Một chiếc thang có chiều dài \[AB = 3,7\,\,{\rm{m}}\] đặt cách một bức tường khoảng cách \[BH = 1,2\,\,{\rm{m}}.\] Biết rằng khoảng cách “an toàn” khi \(2,0 < \frac{{AH}}{{BH}} < 2,2\) (xem hình vẽ). Tính chiều cao \[AH.\] Từ đó kiểm tra xem khoảng cách đặt thang cách chân tường là \[BH\] có “an toàn” không? (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid1-1750320488.png)
Tính tổng diện tích của các tấm kính để phủ kín bốn mặt bên của bảo tàng này (các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
1.Áp dụng định lí Pytthagore vào tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) ta có:
\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\)
Suy ra \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\)
Do đó \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{3,7}^2} - {{1,2}^2}} = 3,5\;\left( {\rm{m}} \right)\)
Ta có \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{3,5}}{{1,2}} \approx 2,9\).
Mà \(2,9 > 2,2\) nên khoảng cách đặt thang cách chân tường là không an toàn.
2.Ta minh họa bảo tàng bằng hình chóp tứ giác sau:
![Một chiếc thang có chiều dài \[AB = 3,7\,\,{\rm{m}}\] đặt cách một bức tường khoảng cách \[BH = 1,2\,\,{\rm{m}}.\] Biết rằng khoảng cách “an toàn” khi \(2,0 < \frac{{AH}}{{BH}} < 2,2\) (xem hình vẽ). Tính chiều cao \[AH.\] Từ đó kiểm tra xem khoảng cách đặt thang cách chân tường là \[BH\] có “an toàn” không? (ảnh 3)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid2-1750320534.png)
Đường cao của hình chóp \(SO\) vuông góc với mặt đáy \(ABCD\) nên \(SO \bot OH.\)
Dễ thấy \(OH = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}.34 = 17{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(SOH\) vuông tại \(O\), ta có:
\(S{H^2} = S{O^2} + O{H^2}\)\( = {21^2} + {17^2} = 730\).
Suy ra \(SH = \sqrt {730} \approx 27{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Nửa chu vi mặt đáy là: \(P = \frac{1}{2}\left( {34 + 34 + 34 + 34} \right) = 68{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)
Tổng diện tích các tấm kính để phủ kín bốn mặt bên của bảo tàng hình chóp này là:
\({S_{xq}} = P \cdot d = 68 \cdot 27 = 1836{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy tổng diện tích của các tấm kính để phủ kín bốn mặt bên của bảo tàng Louvre là \(1836{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)
Đa thức nào sau đây chưa thu gọn?
\[4{x^2} + x - y\];
\[{x^4}y + x - 2y{x^4}\];
\[ - {x^3}y + \frac{2}{5}{y^2}\];
\[\frac{{x + 2y}}{5}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[{x^4}y + x - 2y{x^4} = {x^4}y - 2{x^4}y + x = - {x^4}y + x\]
Vậy đa thức \[{x^4}y + x - 2y{x^4}\] là đa thức chưa thu gọn.
Tích của hai đơn thức \(\frac{1}{2}x{y^3}\) và \(x\left( { - 8y} \right)x{z^2}\) có phần hệ số là
\(\frac{1}{2}\);
\( - 8\);
\( - 4\);
\(7\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{1}{2}x{y^3} \cdot x\left( { - 8y} \right)x{z^2} = - 4{x^3}{y^4}{z^2}\), đa thức này có phần hệ số là \( - 4\).
Biết \(M + 5{x^2} - 2xy = 6{x^2} + 10xy - {y^2}\). Đa thức \(M\) là
\(M = {x^2} + 12xy - {y^2}\);
\(M = {x^2} - 12xy - {y^2}\);
\(M = {x^2} - 12xy + {y^2}\);
\(M = - {x^2} - 12xy + {y^2}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(M + 5{x^2} - 2xy = 6{x^2} + 10xy - {y^2}\)
Suy ra \(M = 6{x^2} + 10xy - {y^2} - 5{x^2} + 2xy\)
Do đó \(M = {x^2} + 12xy - {y^2}\).
Các đơn thức điền vào ô trống trong khai triển lần lượt là
\(3b\) và \(3{b^3}\);
\(b\) và \(3{b^3}\);
\(3b\) và \(27{b^3}\);
\(3b\) và \(9{b^2}\).
Đáp án đúng là: C
Kết quả của biểu thức \({\left( {x - 5} \right)^2} - {\left( {x + 5} \right)^2}\) là
\( - 20x\)
\(50\)
\(20x\);
\(2{x^2} + 50\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\left( {x - 5} \right)^2} - {\left( {x + 5} \right)^2} = \left( {x - 5 + x + 5} \right)\left( {x - 5 - x - 5} \right) = 2x \cdot \left( { - 10} \right) = - 20x\).
Phân tích đa thức \({x^3} - 2{x^2} + x\) thành nhân tử ta được
\(x{\left( {x - 1} \right)^2}\);
\({x^2}\left( {x - 1} \right)\);
\(x\left( {{x^2} - 1} \right)\);
\(x{\left( {x + 1} \right)^2}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({x^3} - 2{x^2} + x = x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\).
Đâu là tính chất đúng của phân thức đại số?
\(\frac{A}{B} = \frac{{A \cdot M}}{{B \cdot M}}\,\,\left( {B,M \ne 0} \right)\);
\(\frac{A}{B} = \frac{{A \cdot M}}{B}\,\,\left( {B,M \ne 0} \right)\);
\(\frac{A}{B} = \frac{A}{{B \cdot M}}\,\,\left( {B,M \ne 0} \right)\);
\(\frac{A}{B} = \frac{{A \cdot M}}{{B \cdot N}}\,\,\left( {B,M,N \ne 0,N \ne M} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Với \(B,M \ne 0\) ta có: \(\frac{A}{B} = \frac{{A \cdot M}}{{B \cdot M}}.\)
Thực hiện phép tính \(\frac{{x - 1}}{{x - y}} + \frac{{1 - y}}{{y - x}}\) ta được kết quả là
\(0\);
\(\frac{{x - y + 2}}{{x - y}}\);
\(\frac{{x + y - 2}}{{x - y}}\);
\(1\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{{x - 1}}{{x - y}} + \frac{{1 - y}}{{y - x}} = \frac{{x - 1}}{{x - y}} - \frac{{1 - y}}{{x - y}} = \frac{{x - 1 - 1 + y}}{{x - y}} = \frac{{x + y - 2}}{{x - y}}\).
Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu đường trung đoạn?
\(1\);
\(2\);
\(3\);
\(4\).
Đáp án đúng là: D
Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt bên nên có 4 đường trung đoạn.
Hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều có chung đặc điểm nào sau đây?
Đáy là tam giác đều;
Đáy là hình vuông;
Các cạnh bên bằng nhau;
Mặt bên là các tam giác đều.
Đáp án đúng là: C
Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông.
Hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều có mặt bên là tam giác cân.
Hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên bằng nhau.
Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH.\) Biết \(AC = 15\;\;{\rm{cm}},\,\,AH = 12\;\;{\rm{cm}}{\rm{,}}\,\,BH = 9\;\;{\rm{cm}}.\) Hỏi tam giác \(ABC\) là tam giác gì?
Tam giác vuông;
Tam giác cân;
Tam giác đều;
Tam giác tù.
Đáp án đúng là: B
Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore ta có \(C{H^2} = A{C^2} - A{H^2} = {15^2} - {12^2} = 81\)
Do đó \(CH = \sqrt {81} = 9\;\;{\rm{cm}}\)
Suy ra \(BH = CH = 9\;\;{\rm{cm}}\) hay \(H\) là trung điểm của \(BC\)
Tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\) đồng thời là đường trung tuyến nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\).
Các góc của tứ giác có thể là
4 góc nhọn;
4 góc tù;
2 góc vuông, 1 góc nhọn và 1 góc tù;
1 góc vuông và 3 góc nhọn.
Đáp án đúng là: C
Giả sử có một tứ giác có 4 góc nhọn có số đo nhỏ hơn \[90^\circ \], khi đó tổng số đo các góc của tứ giác nhỏ hơn \(4 \cdot 90^\circ = 360^\circ \), điều này mâu thuẫn với định lí tổng số đo các góc của tứ giác bằng \(360^\circ \). Như vậy, không tồn tại tứ giác có 4 góc nhọn.
Tương tự như vậy, cũng không tồn tại tứ giác có 4 góc tù.
Giả sử có một tứ giác có 1 góc vuông, 3 góc nhọn, khi đó tổng số đo các góc của tứ giác cũng nhỏ hơn \(90^\circ + 3 \cdot 90^\circ = 360^\circ \). Vậy không tồn tại tứ giác như vậy.
Ta chọn phương án C.
Thu gọn biểu thức:
a) \(\left( {30{x^4}{y^3} - 25{x^2}{y^3} - 3{x^4}{y^4}} \right):5{x^2}{y^3};\) b) \({x^3}{y^4}\left( {{x^2} - 2{y^3}} \right) - 2{x^3}{y^3}\left( {{x^4} - {y^4}} \right).\)
a) \(\left( {30{x^4}{y^3} - 25{x^2}{y^3} - 3{x^4}{y^4}} \right):5{x^2}{y^3}\)
\( = 30{x^4}{y^3}:5{x^2}{y^3} - 25{x^2}{y^3}:5{x^2}{y^3} - 3{x^4}{y^4}:5{x^2}{y^3}\)
\( = 6{x^2} - 5 - \frac{3}{5}{x^2}y.\)
b) \({x^3}{y^4}\left( {{x^2} - 2{y^3}} \right) - 2{x^3}{y^3}\left( {{x^4} - {y^4}} \right)\)
\( = {x^3}{y^4} \cdot {x^2} - {x^3}{y^4} \cdot 2{y^3} - 2{x^3}{y^3} \cdot {x^4} + 2{x^3}{y^3} \cdot {y^4}\)
\( = {x^5}{y^4} - 2{x^3}{y^7} - 2{x^7}{y^3} + 2{x^3}{y^7}\)
\( = {x^5}{y^4} - 2{x^7}{y^3}.\)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) \(5{x^2}\left( {x - y} \right) - 15xy\left( {y - x} \right)\); b) \({\left( {x + y} \right)^2} - 6\left( {x + y} \right) + 9\); c) \({x^2} - 5x + 6\).
a) \(5{x^2}\left( {x - y} \right) - 15xy\left( {y - x} \right)\)
\( = 5{x^2}\left( {x - y} \right) + 15xy\left( {x - y} \right)\)
\[ = \left( {x - y} \right)\left( {5{x^2} + 15xy} \right)\]
\[ = 5x\left( {x - y} \right)\left( {x + 3y} \right).\]
b) \({\left( {x + y} \right)^2} - 6\left( {x + y} \right) + 9\)
\( = {\left( {x + y} \right)^2} - 2 \cdot \left( {x + y} \right) \cdot 3 + {3^2}\)
\( = {\left( {x + y - 3} \right)^2}.\)
c) \({x^2} - 5x + 6\)
\( = {x^2} - 2x - 3x + 6\)
\( = \left( {{x^2} - 2x} \right) - \left( {3x - 6} \right)\)
\( = x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 2} \right)\)
\( = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\).
Cho \[P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\] với \(x \ne 1.\)
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 2.\)
c) Chứng minh \(P > 0\) với \(x > 0,\,x \ne 1.\)
\[P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\] với \(x \ne 1.\)
a) Với \(x \ne 1\) ta có:
\[P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\]
\[ = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\]
\( = \frac{{{x^2} + x + 1 + x\left( {x - 1} \right) - 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^2} + x + 1 + {x^2} - x - 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{2{x^2} - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\).
Vậy với \(x \ne 1\) thì \(P = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}.\)
b) Với \(x = 2\) (thỏa mãn) thay vào biểu thức \(P\) ta được: \(P = \frac{{2 \cdot 2}}{{{2^2} + 2 + 1}} = \frac{4}{7}.\)
c) Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có:
⦁ \(2x > 0;\)
⦁ \({x^2} + x + 1 = {x^2} + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0.\)
Do đó \(P = \frac{{2x}}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}} > 0\) với mọi \(x > 0,x \ne 1\).
Vẽ, cắt và gấp mảnh bìa như đã chỉ ra ở hình bên dưới để được hình chóp tứ giác đều.
a) Trong hình chóp tứ giác đều trên có bao nhiêu tam giác cân bằng nhau?
b) Tính diện tích tất cả các mặt của hình chóp tứ giác đều này. Biết độ dài trung đoạn của hình chóp tứ giác đều là 9,68 cm.
a) Trong hình chóp tứ giác đều có 4 tam giác cân bằng nhau.
b) Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là:
\({S_{xq}} = \frac{1}{2}.C.d = \frac{1}{2}.\left( {5.4} \right).9,68 = 96,8\;\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích tất cả các mặt của hình chóp tứ giác đều là:
\(96,8 + {5^2} = 121,8\;\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
a) Tìm \(x\) trong hình vẽ bên.b) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ nhà máy \(C\) trên bờ biển đến một điểm \(B\) trên đất liền. Điểm \(A\) trên đảo cách điểm \(B\) là \(9\,\;{\rm{km}}.\) Giá để xây dựng đường ống từ nhà máy (điểm \(C)\) đến điểm \(B\) trên đất liền là \(5\,\,000\,\,{\rm{USD}}/{\rm{km}}.\) Khoảng cách từ \(A\) đến \(C\) là \(12\;\,{\rm{km}}{\rm{.}}\) Em hãy tính chi phí làm đường ống từ điểm \(C\) tới điểm \(B\) của công ty trên bằng tiền VNĐ (kết quả làm tròn đến hàng nghìn). Biết \(1\,\,{\rm{USD}} = 24\,\,300\) VNĐ tại thời điểm đó.
a) Vì góc ngoài tại đỉnh \(K\) của tứ giác \(IKLR\) có số đo là \(100^\circ \) nên \(\widehat {IKL} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
Góc ngoài tại đỉnh \(L\) của tứ giác \(IKLR\) có số đo là \(60^\circ \) nên \(\widehat {KLR} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Ta có tổng các góc trong tứ giác \(IKLR\) là \(360^\circ \) nên \(\widehat {IKL} + \widehat {KLR} + \widehat {R\,} + \widehat {I\,} = 360^\circ \)
Suy ra \(80^\circ + 120^\circ + 90^\circ + x = 360^\circ \)
Do đó \(x = 70^\circ \).
b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(B\) ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) suy ra \(B{C^2} = A{C^2} - A{B^2} = {12^2} - {9^2} = 144 - 81 = 63\)
Suy ra \(BC = \sqrt {63} \) (km).
Chi phí làm đường ống từ \(C\) tới điểm \(B\) của công ty trên bằng tiền VNĐ là:
\(\sqrt {63} \cdot 5\,\,000 \cdot 24\,\,300 \approx 964\,\,376\,\,352,9\) (VNĐ) \( \approx 964\,\,376\,\,000\) (VNĐ).
Cho \(x,y,z\) là ba số thỏa mãn điều kiện:
\[2{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2xy - 2xz + yz - 3y - 5z + 17 = 0.\]
Tính giá trị của biểu thức \(S = {\left( {x - 4} \right)^{2023}} + {\left( {y - 4} \right)^{2025}} + {\left( {z - 4} \right)^{2027}}.\)
Ta có: \[2{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2xy - 2xz + yz - 3y - 5z + 17 = 0.\]
Suy ra \(4{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0\)
\(4{x^2} - \left( {4xy + 4xz} \right) + \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right) + {y^2} + {z^2} - 6y - 10z + 34 = 0\)
\(\left[ {4{x^2} - 4x\left( {y + z} \right) + {{\left( {y + z} \right)}^2}} \right] + \left( {{y^2} - 6y + 9} \right) + \left( {{z^2} - 10z + 25} \right) = 0\)
\({\left( {2x - y - z} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 0\,\,\left( * \right)\)
Với mọi \(x,y,z\) ta có: \({\left( {2x - y - z} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {z - 5} \right)^2} \ge 0\)
Do đó \(\left( * \right)\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y - z} \right)^2} = 0\\{\left( {y - 3} \right)^2} = 0\\{\left( {z - 5} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)
Hay \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - z = 0\\y - 3 = 0\\z - 5 = 0\end{array} \right.\), tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z = 5\end{array} \right.\)
Khi đó \(S = {\left( {4 - 4} \right)^{2023}} + {\left( {3 - 4} \right)^{2025}} + {\left( {5 - 4} \right)^{2027}} = 0 - 1 + 1 = 0.\)
