Đáp án đúng là: A

Phân thức đối của phân thức \(\frac{{1 - x}}{x}\) là \( - \frac{{1 - x}}{x} = \frac{{ - \left( {1 - x} \right)}}{x} = \frac{{x - 1}}{x}\)

Vậy phương án A là sai.

Đáp án đúng là: C

Hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có mặt bên là các tam giác cân nên \(\Delta SBC\) là tam giác cân.

Đáp án đúng là: C

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\), theo định lí Pythagore ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} - B{C^2} = {\left( {\sqrt {117} } \right)^2} - {6^2} = 81\)

Suy ra \(AC = \sqrt {81}  = 9\;\;{\rm{cm}}\)

Do \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\) nên \(CK = \frac{1}{2}AC = 4,5\;\;{\rm{cm}}\)

Xét \(\Delta BCK\) vuông tại \(C\), theo định lí Pythagore ta có:

\(B{K^2} = B{C^2} + C{K^2} = {6^2} + {4,5^2} = 56,25\)

Suy ra \(BK = \sqrt {56,25}  = 7,5\;\;{\rm{cm}}\).

Đáp án đúng là: C

Tứ giác \(ABCD\) có các cặp góc đối nhau là \(\widehat {A\,\,}\) và \(\widehat {C\,};\) \(\widehat {B\,}\) và \(\widehat {D\,}\).

Do đó phương án C là khẳng định sai.

a) \(\left( { - 9{x^2}{y^3} + 6{x^3}{y^2} - 4x{y^2}} \right):3x{y^2}\)

\( =  - 9{x^2}{y^3}:3x{y^2} + 6{x^3}{y^2}:3x{y^2} - 4x{y^2}:3x{y^2}\)

a) \[3x\left( {3 - x} \right) - 6\left( {x - 3} \right)\]

\( = 3x\left( {3 - x} \right) + 6\left( {3 - x} \right)\)

\[ = \left( {3 - x} \right)\left( {3x + 6} \right)\]

\(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\) với \(x \ne  \pm 2.\)

a) Với \(x \ne  \pm 2\), ta có:

\(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\)

\[ = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + 3x + 2 + {x^2} - 3x + 2 - {x^2} - 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\].

Vậy với \(x \ne  \pm 2\) ta có \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}.\)

b) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn) vào biểu thức \(A\) ta có: \(A = \frac{{4 - 2}}{{4 + 2}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\)

c) Với \(x \ne  \pm 2\) và \(x \in \mathbb{Z}\) ta có: \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2 - 4}}{{x + 2}} = 1 - \frac{4}{{x + 2}}\)

Khi đó, để \(A\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 2 \in \)Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(x \in \left\{ { - 3; - 4; - 6} \right\}.\)

a) Thể tích của lọ nước hoa hình kim tự tháp là: \[{V_1} = \frac{1}{3} \cdot {5^2} \cdot \left( {5 + 5} \right) = \frac{{250}}{3}\;\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\]

b) Thể tích của nắp lọ nước hoa là: \[{V_2} = \frac{1}{3} \cdot {2,5^2} \cdot 5 = \frac{{125}}{{12}}\;\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\]

Dung tích của lọ nước hoa đó là: \(V = {V_1} - {V_2} = \frac{{250}}{3} - \frac{{125}}{{12}} = \frac{{875}}{{12}} \approx 73\;\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = 73\,\,ml\).

) Do \(AC\) là tia phân giác \(\widehat {BAD}\) nên ta có \(\widehat {BAD} = 2\widehat {DAC} = 2 \cdot 40^\circ  = 80^\circ \)

Xét tứ giác \(ABCD\) có: \[\widehat {BAD} + \widehat {B\,} + \widehat {BCD} + \widehat {D\,} = 360^\circ \]

Suy ra \[\widehat {BCD} = 360^\circ  - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {B\,} + \widehat {D\,}} \right) = 360^\circ  - \left( {80^\circ  + 90^\circ  + 90^\circ } \right) = 100^\circ \].

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), theo định lí Pythagore ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {7,66^2} + {6,43^2} = 100,0205\)

Suy ra \(AC = \sqrt {100,0205}  \approx 10,0\) m.

Khi đó vận động viên cần bơi với vận tốc là \(\frac{{10,0}}{{20}} = 0,5\) (m/s).

Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)

\[\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 6\left( {x + y} \right) + {y^2} + 8 = 0\]

\[{\left( {x + y} \right)^2} + 2 \cdot \left( {x + y} \right) \cdot 3 + 9 - 1 =  - {y^2}\]

\[{\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 =  - {y^2}\]

\[\left( {x + y + 3 - 1} \right)\left( {x + y + 3 + 1} \right) =  - {y^2}\]

\[\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + y + 4} \right) =  - {y^2}\]

\[\left( {x + y + 2024 - 2022} \right)\left( {x + y + 2024 - 2020} \right) =  - {y^2}\]

\[\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) =  - {y^2}\]

Mà \({y^2} \ge 0\) với mọi \(y\) nên \( - {y^2} \le 0\) với mọi \(y\)

Do đó \[\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) \le 0\] \(\left( * \right)\)

Lại có \(\left( {P - 2020} \right) - 2 < P - 2020\) hay \(P - 2022 < P - 2020\)

Suy ra \(\left( * \right)\) xảy ra khi \(P - 2022 \le 0 \le P - 2020\)

Nên \(2020 \le P \le 2022\)

Vậy GTLN của \(P\) bằng 2022 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\end{array} \right.\);

GTNN của \(P\) bằng 2020 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 0\end{array} \right.\).