Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 8 Cánh diều có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
Biểu thức nào không phảilà đa thức trong các biểu thức sau?
\(2{x^2}y + 3 + xy\).
\(\frac{{x + y}}{2}\).
\(2 - \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).
\(x\left( {x + 2y} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Biểu thức \(2 - \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)không phải là đa thức.
Đơn thức nào sau đây đồng dạng với đơn thức \( - 3{x^2}y\)?
\(3{x^2}yz\).
\(\frac{1}{2}xyx\).
\(x{y^2}\).
\( - 3{x^2}z\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{1}{2}xyx = \frac{1}{2}{x^2}y\), đơn thức này đồng dạng với đơn thức \( - 3{x^2}y\).
Bậc của đa thức \({x^2}{y^5} - {x^2}{y^4} + {y^6} + 1\) là
\[4\].
\(5\).
\(6\).
\(7\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \({x^2}{y^5}\) có bậc là 7; \({x^2}{y^4}\) có bậc là \(6;\)\({y^6}\) có bậc là \(6;\)\(1\) có bậc là 0.
Vậy đa thức đã cho có bậc là 7.
Hệ số của \[{x^4}\] trong đa thức \[A = \left( {{x^3} - 2{x^2} + x - 1} \right)\left( {5{x^3} - x} \right)\]là
\[4\].
\[ - 4\].
\[ - 6\].
\[6\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[A = \left( {{x^3} - 2{x^2} + x - 1} \right)\left( {5{x^3} - x} \right)\]
\[ = 5{x^6} - {x^4} - 10{x^5} + 2{x^3} + 5{x^4} - {x^2} - 5{x^3} + x\]
\[ = 5{x^6} - 10{x^5} + \left( {5{x^4} - {x^4}} \right) + \left( {2{x^3} - 5{x^3}} \right) - {x^2} + x\]
\[ = 5{x^6} - 10{x^5} + 4{x^4} - 3{x^3} - {x^2} + x\].
Hệ số của \[{x^4}\] trong đa thức \[A\]là \(4\).
Hằng đẳng thức bình phương của một hiệu là
\[{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2\,.\,A\,.\,B + {B^2}\].
\[{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} + 2\,.\,A\,.\,B + {B^2}\].
\[{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2\,.\,A\,.\,B + {B^2}\].
\[{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2\,.\,A\,.\,B - {B^2}\].
Đáp án đúng là: C
Hằng đẳng thức bình phương của một hiệu là: \[{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2\,.\,A\,.\,B + {B^2}\].
Khai triển của \({x^3} - 27\) là
\(\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\).
\(\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)\).
\(\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9} \right)\).
\(\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({x^3} - 27 = {x^3} - {3^3} = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)\).
Đâu là tính chất đúng của phân thức đại số?
\(\frac{A}{B} = \frac{{A \cdot M}}{{B \cdot M}}\,\,\left( {B,M \ne 0} \right)\).
\(\frac{A}{B} = \frac{{A \cdot M}}{B}\,\,\left( {B,M \ne 0} \right)\).
\(\frac{A}{B} = \frac{A}{{B \cdot M}}\,\,\left( {B,M \ne 0} \right)\).
\(\frac{A}{B} = \frac{{A \cdot M}}{{B \cdot N}}\,\,\left( {B,M \ne 0,N \ne M} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Với \(B,M \ne 0\) ta có: \(\frac{A}{B} = \frac{{A \cdot M}}{{B \cdot M}}.\)
Phân thức \(\frac{{ - x - y}}{3}\) bằng với phân thức nào sau đây?
\(\frac{{x - y}}{{ - 3}}\).
\(\frac{{x + y}}{3}\).
\(\frac{{x - y}}{3}\).
\(\frac{{x + y}}{{ - 3}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\frac{{ - x - y}}{3} = \frac{{ - \left( { - x - y} \right)}}{{ - 3}} = \frac{{x + y}}{{ - 3}}.\)
Cho các miếng bìa sau:
Miếng bìa nào sau khi gấp và dán lại thì được một hình chóp tứ giác đều?
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Đáp án đúng là: A
Hình 1 sau khi gấp và dán lại ta sẽ được một hình chóp tứ giác đều.
Diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABCD\) (hình bên) gồm diện tích những mặt nào?
Mặt \(SBC,\,\,ABCD,\,\,SAB\).
Mặt \(SAB,\,\,SBC,\,\,SCD,\,\,SDA\).
Mặt \(SAB,\,\,SAD,\,\,SBC,\,\,ABCD\).
Mặt \(ABCD.\)
Đáp án đúng là: B
Diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABCD\) gồm diện tích những mặt \(SAB,\,\,SBC,\,\,SCD,\,\,SDA.\)
Một cây cao \[12\,\,{\rm{m}}\]mọc cạnh bờ sông. Trên đỉnh cây có một con chim đang đậu và chuẩn bị sà xuống bắt con cá trên mặt nước (như Hình 1 và được mô phỏng như Hình 2). Hỏi con chim sẽ bay một đoạn ngắn nhất bằng bao nhiêu mét thì bắt được con cá? (Biết con cá cách gốc cây \[5\,\,{\rm{m}}\] và nước cao mấp mé bờ sông). 
\(12\;\;{\rm{cm}}\).
\(13\,\;{\rm{cm}}\).
\(15\;\;{\rm{cm}}\).
\(18\;\;{\rm{cm}}\).
Đáp án đúng là: B
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại\[A\], theo định lý Pythagore, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 25 + 144 = 169.\)
Suy ra \[BC = 13\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]
Vậy con chim bay được một đoạn bằng \[13\,\,{\rm{m}}\] thì bắt được con cá.
Cho tứ giác \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(AB\) và \(BC\) là hai cạnh kề nhau.
\(BC\) và \(AD\) là hai cạnh đối nhau.
\(\widehat A\) và \(\widehat B\) là hai góc đối nhau.
\(AC\) và \(BD\) là hai đường chéo.
Đáp án đúng là: C
Tứ giác \(ABCD\) có các cặp góc đối nhau là \(\widehat {A\,\,}\) và \(\widehat {C\,};\)\(\widehat {B\,}\) và \(\widehat {D\,}.\)
Do đó phương án C là khẳng định sai.
Cho hai biểu thức \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(45{x^6}{y^3}:A = 5{x^3}{y^2}\) và \(\left( {B + 7{x^4}{y^2}} \right):A = 3x{y^2} + 2xy.\)
a) Biểu thức \(A\) là đơn thức bậc 3.
b) Với \(x = - 1\,;\,\,y = 2\) thì giá trị của biểu thức \(A\) bằng \( - 18.\)
c) Đa thức \(B\) có hai hạng tử.
d) Tích của hai biểu thức \(A\) và \(B\) là \(36{x^7}{y^5} + 20{x^7}{y^3}.\)
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
⦁Ta có \(45{x^6}{y^3}:A = 5x{y^2}\).
Suy ra \(A = 45{x^6}{y^3}:5{x^3}{y^2} = 9{x^3}y\).
Như vậy, biểu thức \(A\) là đơn thức bậc 4. Do đó ý a) sai.
⦁Thay \(x = - 1\,;\,\,y = 2\) vào biểu thức \(A\), ta có: \(A = 9 \cdot {\left( { - 1} \right)^3} \cdot 2 = - 9 \cdot 2 = - 18.\)
Vậy với \(x = - 1\,;\,\,y = 2\) thì \(A = - 18\).Do đó ý b) đúng.
⦁Với \(A = 9{x^3}y\), ta có \(\left( {B + 7{x^4}{y^2}} \right):9{x^3}y = 3x{y^2} + 2xy\)
Suy ra \(B + 7{x^4}{y^2} = 9{x^3}y\left( {3x{y^2} + 2xy} \right) = 27{x^4}{y^4} + 18{x^4}{y^2}.\)
Do đó \(B = 27{x^4}{y^4} + 18{x^4}{y^2} - 7{x^4}{y^2} = 27{x^4}{y^4} + 11{x^4}{y^2}\).
Như vậy, đa thức \(B\) có hai hạng tử là \(27{x^4}{y^4}\) và \(11{x^4}{y^2}\). Do đó ý c) đúng.
⦁Ta có \(A \cdot B = 9{x^3}y \cdot \left( {27{x^4}{y^4} + 11{x^4}{y^2}} \right)\)
\( = 9{x^3}y \cdot 27{x^4}{y^4} + 9{x^3}y \cdot 11{x^4}{y^2}\)
\( = 243{x^7}{y^5} + 99{x^7}{y^3}.\)
Như vậy, tích của hai biểu thức \(A\) và \(B\) là \(243{x^7}{y^5} + 99{x^7}{y^3}.\) Do đó ý d) sai.
Bác Khôi làm một chiếc hộp gỗ có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy là 2 m, trung đoạn của hình chóp là 3 m. Bác Khôi muốn sơn tất cả các mặt của hộp gỗ. Cứ mỗi mét vuông sơn cần trả \[30\,\,000\] đồng (tiền sơn và tiền công).
a) Diện tích mặt đáy hộp gỗ là \(4\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
b) Diện tích xung quanh của khối gỗ là \(24\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
c) Diện tích cần sơn là\(16{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).
d) Chi phí bác Khôi cần phải trả là \(420\,\,000\) đồng.
![Bác Khôi làm một chiếc hộp gỗ có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy là 2 m, trung đoạn của hình chóp là 3 m. Bác Khôi muốn sơn tất cả các mặt của hộp gỗ. Cứ mỗi mét vuông sơn cần trả \[30\,\,000\] đồng (tiền sơn và tiền công). a) Diện tích mặt đáy hộp gỗ là \(4\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). b) Diện tích xung quanh của khối gỗ là \(24\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). c) Diện tích cần sơn là \(16{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\). d) Chi phí bác Khôi cần phải trả là \(420\,\,000\) đồng. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid3-1750319090.png)
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
⦁Diện tích mặt đáy của khối gỗ là: \[{2^2} = 4\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\]Do đó ý a) đúng.
⦁Diện tích xung quanh của khối gỗ là: \(\frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 2} \right) \cdot 3 = 12\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)Do đó ý b) sai.
⦁Diện tích cần sơn là: \(4 + 12 = 16\) (m2). Do đó ý c) đúng.
⦁Chi phí bác Khôi cần phải trả là: \(16 \cdot 30\,\,000 = 480\,\,000\) (đồng).
Do đó ý d) sai.
Cho đa thức \(A = - \frac{1}{3}x{y^2} + \frac{1}{2}{x^2}y + x{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}y.\) Tính giá trị của \(A\) tại \(x = - 2;y = 3\).
Đáp số: \[ - {\bf{15}}\].
Ta có: \(A = - \frac{1}{3}x{y^2} + \frac{1}{2}{x^2}y + x{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}y\)
\( = \left( { - \frac{1}{3}x{y^2} + x{y^2}} \right) + \left( {\frac{1}{2}{x^2}y - \frac{3}{4}{x^2}y} \right)\)
\( = \frac{2}{3}x{y^2} - \frac{1}{4}{x^2}y\).
Thay \(x = - 2\) và \(y = 3\) vào biểu thức \(A\) ta được:
\(A = \frac{2}{3} \cdot \left( { - 2} \right) \cdot {3^2} - \frac{1}{4} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} \cdot 3 = - 12 - 3 = - 15.\)
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \[12{x^3}--27x = 0\]?
Đáp số: 3.
Ta có \[12{x^3}--27x = 0\]
\[3x\left( {4{x^2} - 9} \right) = 0\]
\[3x\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0\]
\(3x = 0\) hoặc \(2x - 3 = 0\) hoặc \(2x + 3 = 0\)
\(x = 0\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\) hoặc \(x = - \frac{3}{2}.\)
Do đó\[x \in \left\{ {0\,;\,\,\frac{3}{2}\,;\,\, - \frac{3}{2}} \right\}.\]
Vậy có 3 giá trị \(x\) thỏa mãn \[12{x^3}--27x = 0\].
Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước như hình vẽ.
Tính thể tích hình chóp tam giác đều\(O.A'B'C'D'\) (đơn vị: \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}).\)
Đáp án: 84.
Diện tích đáy của hình lăng trụ là: \(S = {6^2} = 36\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Thể tích hình lăng trụ là \(V = S \cdot h = 36 \cdot 7 = 252\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Khi đó,thể tích khối chóp \(O.A'B'C'D'\)là:
\({V_{O.A'B'C'D'}} = \frac{1}{3}V = \frac{1}{3} \cdot 252 = 84\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Vậy thể tích khối chóp \(O.A'B'C'D'\)là\(84\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.\)
Cho hình vẽ, biết \[\widehat B + \widehat D = 135^\circ \,,\,\,\widehat {BAD} = \frac{{7x}}{2}\].
![Cho hình vẽ, biết \[\widehat B + \widehat D = 135^\circ \,,\,\,\widehat {BAD} = \frac{{7x}}{2}\]. Tính số đo \[\widehat {{C_1}}\] (đơn vị: độ). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid5-1750319289.png)
Tính số đo \[\widehat {{C_1}}\] (đơn vị: độ).
Đáp số: 30.
Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {BAD} + \widehat B + \widehat {BCD} + \widehat D = 360^\circ \).
Suy ra \(\frac{{7x}}{2} + 4x + 135^\circ = 360^\circ \) hay \(\frac{{15x}}{2} = 225^\circ \) nên \(x = 30^\circ .\)
Cho \[P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\] với \(x \ne 1.\)
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 2.\)
c) Chứng minh \(P > 0\) với \(x > 0\,;\,\,x \ne 1.\)
a) Với \(x \ne 1\), ta có:
\[P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\]
\[ = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\]
\( = \frac{{{x^2} + x + 1 + x\left( {x - 1} \right) - 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^2} + x + 1 + {x^2} - x - 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{2{x^2} - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\).
b) Với \(x = 2\) (thỏa mãn) thay vào biểu thức \(P\), ta được: \(P = \frac{{2 \cdot 2}}{{{2^2} + 2 + 1}} = \frac{4}{7}.\)
Vậy với \(x = 2\)thì \(P = \frac{4}{7}.\)
c) Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có:
⦁\(2x > 0;\)
⦁\({x^2} + x + 1 = {x^2} + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0.\)
Do đó \(P = \frac{{2x}}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}} > 0\).
1.Khi xây móng nhà, để kiểm tra xem hai phần móng có vuông góc với nhau hay không, người thợ xây thường lấy \[AB = 3\,\,{\rm{cm}},{\rm{ }}AC = 4\,\,{\rm{cm}}\]\[(A\]là điểm chung của hai phần móng nhà hay còn gọi là góc nhà), rồi đo đoạn \[BC\]nếu \[BC = 5\,\,{\rm{cm}}\]thì hai phần móng đó vuông góc với nhau. Hãy giải thích vì sao? 
2. Một khối bê tông có dạng như hình dưới đây. Phần dưới của khối bê tông có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông có cạnh \(4{\rm{ dm}}{\rm{,}}\) chiều cao \({\rm{2}}{\rm{,5 dm}}{\rm{.}}\) Phần trên của khối bê tông có dạng hình chóp tứ giác đều, chiều cao \({\rm{10 dm}}{\rm{.}}\)
![1. Khi xây móng nhà, để kiểm tra xem hai phần móng có vuông góc với nhau hay không, người thợ xây thường lấy \[AB = 3\,\,{\rm{cm}},{\rm{ }}AC = 4\,\,{\rm{cm}}\] \[(A\] là điểm chung của hai phần móng nhà hay còn gọi là góc nhà), rồi đo đoạn \[BC\] nếu \[BC = 5\,\,{\rm{cm}}\] thì hai phần móng đó vuông góc với nhau. Hãy giải thích vì sao? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid6-1750319356.png)
1.Xét tam giác \[ABC\] ta có:
\(B{C^2} = {5^2} = 25;\)\(A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\).
Do đó \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}.\)
Theo định lý Pythagore đảo thì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\]
Vậy hai phần móng đó vuông góc với nhau. 
2. Thể tích của khối bê tông dạng hình hộp chữ nhật là:
\({V_1} = S \cdot h = {4^2} \cdot 2,5 = 40{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Phần trên của khối bê tông có dạng hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh của mặt đáy là \(4{\rm{ dm}}{\rm{,}}\) chiều cao là \({\rm{10 dm}}{\rm{.}}\)
Do đó, thể tích của khối bê tông hình chóp này là:
\({V_2} = \frac{1}{3}S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot {4^2} \cdot 10 = \frac{{160}}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Thể tích của khối bê tông trên gồm hai khối là khối hình hộp chữ nhật và khối hình chóp tứ giác đều.
Vậy thể tích của khối bê tông này là: \(40 + \frac{{160}}{3} = \frac{{280}}{3}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Biểu thức nào sau đây là đa thức?
\[\frac{{x + 2y}}{3}\];
\[x + \frac{1}{y}\];
\[ - x + \frac{2}{x}y - 3{y^2}\];
\[\frac{1}{{2x}} + {y^2}\].
Đáp án đúng là: A
Biểu thức \[\frac{{x + 2y}}{3} = \frac{1}{3}\left( {x + 2y} \right)\] là đa thức, các đa thức \[x + \frac{1}{y},\,\, - x + \frac{2}{x}y - 3{y^2}\] và \[\frac{1}{{2x}} + {y^2}\] không phải là đa thức do có chứa biến dưới mẫu.
Cặp đơn thức nào dưới đây là hai đơn thức đồng dạng?
\(12{x^4}{y^4}\) và \(12{x^4}{y^6}\);
\( - 12{x^4}{y^4}\) và \(12{x^6}{y^6}\);
\(12{x^6}{y^4}\) và \( - 2{x^6}{y^4}\);
\(12{x^4}{y^6}\) và \(12{x^6}{y^6}\).
Đáp án đúng là: C
Hai đơn thức \(12{x^6}{y^4}\) và \( - 2{x^6}{y^4}\) là hai đơn thức đồng dạng vì cùng có hệ số khác 0 và cùng phần biến \({x^6}{y^4}\).
Đa thức \(7{x^3}{y^2}z - 2{x^4}{y^3}\) chia hết cho đơn thức nào dưới đây?
\(3{x^4}\);
\( - 3{x^4}\);
\( - 2{x^3}y\);
\(2x{y^3}\).
Đáp án đúng là: C
Đa thức \(7{x^3}{y^2}z - 2{x^4}{y^3}\) chia hết cho \( - 2{x^3}y\).
Hạng tử \(7{x^3}{y^2}z\) không chia hết cho đơn thức \(3{x^4}\), \( - 3{x^4}\) và \(2x{y^3}\) nên đa thức \(7{x^3}{y^2}z - 2{x^4}{y^3}\) cũng không chia hết cho \(3{x^4}\), \( - 3{x^4}\) và \(2x{y^3}\).
Kết quả của phép nhân \(\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\) là
\({x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\);
\({x^3} + 3{x^2} + 3x - 1\);
\({x^3} - 3{x^2} + 3x + 1\);
\({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\).
Kết quả của biểu thức \({\left( {x + 2} \right)^2} - 4\left( {x + 2} \right) + 4\) là
\({x^2} + 16\);
\({x^2} + 8x + 16\);
\({x^2} - 4x\);
\({x^2}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({\left( {x + 2} \right)^2} - 4\left( {x + 2} \right) + 4 = {\left( {x + 2 - 2} \right)^2} = {x^2}.\)
Đa thức \(14{x^2}y - 21x{y^2} + 28{x^2}{y^2}\) được phân tích thành
\(7xy\left( {2x - 3y + 4xy} \right)\);
\(xy\left( {14x - 21y + 28xy} \right)\);
\(7{x^2}y\left( {2 - 3y + 4xy} \right)\);
\(7x{y^2}\left( {2x - 3y + 4x} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(14{x^2}y - 21x{y^2} + 28{x^2}{y^2} = 7xy\left( {2x - 3y + 4xy} \right)\).
Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức đại số?
\(\frac{1}{x}\);
\(x\);
\(\frac{0}{x}\);
\(\frac{x}{0}\).
Đáp án đúng là: D
Biểu thức \(\frac{x}{0}\) không phải là phân thức đại số do mẫu thức bằng 0.
Phân thức nào sau đây không phải là phân thức đối của phân thức \(\frac{{1 - x}}{x}\)?
\(\frac{{x + 1}}{x}\);
\(\frac{{ - \left( {1 - x} \right)}}{x}\);
\( - \frac{{1 - x}}{x}\);
\(\frac{{x - 1}}{x}\).
Đáp án đúng là: A
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{1 - x}}{x}\) là \( - \frac{{1 - x}}{x} = \frac{{ - \left( {1 - x} \right)}}{x} = \frac{{x - 1}}{x}\)
Vậy phương án A là sai.
Đặc điểm nào sau đây là sai đối với hình chóp tam giác đều \(S.ABC?\)
Đáy \(ABC\) là tam giác đều;
\(SA = SB = SC\);
Tam giác \(SBC\) là tam giác đều;
\(\Delta SAB = \Delta SBC = \Delta SCA\).
Đáp án đúng là: C
Hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có mặt bên là các tam giác cân nên \(\Delta SBC\) là tam giác cân.
Diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABCD\) (hình bên) gồm diện tích những mặt nào?
Mặt \(SBC,\,\,ABCD,\,\,SAB\);
Mặt \(SAB,SBC,SCD,SDA\);
Mặt \(SAB,SAD,SBC,ABCD\);
Mặt \(ABCD\).
Đáp án đúng là: B
Diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABCD\) gồm diện tích những mặt \(SAB,SBC,SCD,SDA.\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông có cạnh huyền \(AB = \sqrt {117} \;\;{\rm{cm}}\) và cạnh góc vuông \(BC = 6\;\;{\rm{cm}}.\) Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\). Độ dài \(BK\) là
\(3\;\;{\rm{cm}}\);
\(4,5\;\;{\rm{cm}}\);
\(7,5\;\;{\rm{cm}}\);
\(10\;\;{\rm{cm}}\).
Đáp án đúng là: C
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\), theo định lí Pythagore ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} - B{C^2} = {\left( {\sqrt {117} } \right)^2} - {6^2} = 81\)
Suy ra \(AC = \sqrt {81} = 9\;\;{\rm{cm}}\)
Do \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\) nên \(CK = \frac{1}{2}AC = 4,5\;\;{\rm{cm}}\)
Xét \(\Delta BCK\) vuông tại \(C\), theo định lí Pythagore ta có:
\(B{K^2} = B{C^2} + C{K^2} = {6^2} + {4,5^2} = 56,25\)
Suy ra \(BK = \sqrt {56,25} = 7,5\;\;{\rm{cm}}\).
Cho tứ giác \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(AB\) và \(BC\) là hai cạnh kề nhau;
\(BC\) và \(AD\) là hai cạnh đối nhau;
\(\widehat A\) và \(\widehat B\) là hai góc đối nhau;
\(AC\) và \(BD\) là hai đường chéo.
Đáp án đúng là: C
Tứ giác \(ABCD\) có các cặp góc đối nhau là \(\widehat {A\,\,}\) và \(\widehat {C\,};\) \(\widehat {B\,}\) và \(\widehat {D\,}\).
Do đó phương án C là khẳng định sai.
Thu gọn biểu thức:
a) \(\left( { - 9{x^2}{y^3} + 6{x^3}{y^2} - 4x{y^2}} \right):3x{y^2};\) b) \(\frac{1}{2}xy\left( {{x^5} - {y^3}} \right) - {x^2}y\left( {\frac{1}{4}{x^4} - {y^3}} \right).\)
a) \(\left( { - 9{x^2}{y^3} + 6{x^3}{y^2} - 4x{y^2}} \right):3x{y^2}\)
\( = - 9{x^2}{y^3}:3x{y^2} + 6{x^3}{y^2}:3x{y^2} - 4x{y^2}:3x{y^2}\)
\( = - 3xy + 2{x^2} - \frac{4}{3}.\)
b) \(\frac{1}{2}xy\left( {{x^5} - {y^3}} \right) - {x^2}y\left( {\frac{1}{4}{x^4} - {y^3}} \right)\)
\( = \frac{1}{2}xy \cdot {x^5} - \frac{1}{2}xy \cdot {y^3} - {x^2}y \cdot \frac{1}{4}{x^4} + {x^2}y \cdot {y^3}\)
\( = \frac{1}{2}{x^6}y - \frac{1}{2}x{y^4} - \frac{1}{4}{x^6}y + {x^2}{y^4}\)
\( = \left( {\frac{1}{2}{x^6}y - \frac{1}{4}{x^6}y} \right) - \frac{1}{2}x{y^4} + {x^2}{y^4}\)
\[ = \frac{1}{4}{x^6}y - \frac{1}{2}x{y^4} + {x^2}{y^4}.\]
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) \[3x\left( {3 - x} \right) - 6\left( {x - 3} \right)\]; b) \({\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - 4{x^2}\); c) \[{x^6} + {x^3} - {x^2} - 1\].
a) \[3x\left( {3 - x} \right) - 6\left( {x - 3} \right)\]
\( = 3x\left( {3 - x} \right) + 6\left( {3 - x} \right)\)
\[ = \left( {3 - x} \right)\left( {3x + 6} \right)\]
\[ = 3\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right).\]
b) \({\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - 4{x^2}\)
\( = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - {\left( {2x} \right)^2}\)
\( = \left( {{x^2} + 1 - 2x} \right)\left( {{x^2} + 1 + 2x} \right)\)
\( = {\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^2}.\)
c) \[{x^5} + {x^3} - {x^2} - 1\]
\( = \left( {{x^5} + {x^3}} \right) - \left( {{x^2} + 1} \right)\)
\( = {x^3}\left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} + 1} \right)\)
\( = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right)\)
\( = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right).\)
Cho \(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\) với \(x \ne \pm 2.\)
a) Rút gọn biểu thức \(A.\)
b) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4.\)
c) Tìm giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) nhận giá trị nguyên dương.
\(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\) với \(x \ne \pm 2.\)
a) Với \(x \ne \pm 2\), ta có:
\(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\)
\[ = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{{x^2} + 3x + 2 + {x^2} - 3x + 2 - {x^2} - 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\].
Vậy với \(x \ne \pm 2\) ta có \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}.\)
b) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn) vào biểu thức \(A\) ta có: \(A = \frac{{4 - 2}}{{4 + 2}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\)
c) Với \(x \ne \pm 2\) và \(x \in \mathbb{Z}\) ta có: \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2 - 4}}{{x + 2}} = 1 - \frac{4}{{x + 2}}\)
Khi đó, để \(A\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 2 \in \)Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\)
Ta có bảng sau:
\(x + 2\) | \( - 1\) | \(1\) | \( - 2\) | \(2\) | \( - 4\) | \(4\) |
\(x\) \((x \ne \pm 2\) và \(x \in \mathbb{Z})\) | \( - 3\) (thỏa mãn) | \( - 1\) (thỏa mãn) | \( - 4\) (thỏa mãn) | \(0\) (thỏa mãn) | \( - 6\) (thỏa mãn) | \(2\) (không thỏa mãn) |
\(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\) \((A\) nguyên dương) | \(5\) (thỏa mãn) | \( - 3\) (không thỏa mãn) | \(3\) (thỏa mãn) | \( - 1\) (không thỏa mãn) | \(2\) (thỏa mãn) |
|
Vậy \(x \in \left\{ { - 3; - 4; - 6} \right\}.\)
Hình ảnh bên là ảnh của một lọ nước hoa hình kim tự tháp. Khi đậy nắp, lọ có dạng hình chóp tứ giác đều (tính cả thân lọ và nắp lọ) trong đó nắp lọ cũng là hình chóp tứ giác đều có chiều cao 5 cm, cạnh đáy 2,5 cm. Chiều cao thân lọ và cạnh đáy lọ đều bằng chiều cao của nắp lọ. Bỏ qua độ dày của vỏ.
a) Tính thể tích của lọ nước hoa hình kim tự tháp đó.
b) Tính dung tích của lọ nước hoa đó ra đơn vị mi – li – lít (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
a) Thể tích của lọ nước hoa hình kim tự tháp là: \[{V_1} = \frac{1}{3} \cdot {5^2} \cdot \left( {5 + 5} \right) = \frac{{250}}{3}\;\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\]
b) Thể tích của nắp lọ nước hoa là: \[{V_2} = \frac{1}{3} \cdot {2,5^2} \cdot 5 = \frac{{125}}{{12}}\;\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\]
Dung tích của lọ nước hoa đó là: \(V = {V_1} - {V_2} = \frac{{250}}{3} - \frac{{125}}{{12}} = \frac{{875}}{{12}} \approx 73\;\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = 73\,\,ml\).
Một hồ bơi có dạng tứ giác \(ABCD\) được mô tả như hình vẽ bên. Biết \(AC\) là tia phân giác \(\widehat {BAD}\) và \(\widehat {DAC} = 40^\circ \).
a) Tính \(\widehat {BCD}.\)
b) Biết \(AB = 7,66\) m và \(BC = 6,43\) m. Một vận động viên bơi lội muốn bơi từ \(A\) đến \(C\) trong 20 giây thì cần bơi với vận tốc là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
) Do \(AC\) là tia phân giác \(\widehat {BAD}\) nên ta có \(\widehat {BAD} = 2\widehat {DAC} = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ \)
Xét tứ giác \(ABCD\) có: \[\widehat {BAD} + \widehat {B\,} + \widehat {BCD} + \widehat {D\,} = 360^\circ \]
Suy ra \[\widehat {BCD} = 360^\circ - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {B\,} + \widehat {D\,}} \right) = 360^\circ - \left( {80^\circ + 90^\circ + 90^\circ } \right) = 100^\circ \].
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), theo định lí Pythagore ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {7,66^2} + {6,43^2} = 100,0205\)
Suy ra \(AC = \sqrt {100,0205} \approx 10,0\) m.
Khi đó vận động viên cần bơi với vận tốc là \(\frac{{10,0}}{{20}} = 0,5\) (m/s).
Cho \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0.\) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y + 2024.\)
Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)
\[\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 6\left( {x + y} \right) + {y^2} + 8 = 0\]
\[{\left( {x + y} \right)^2} + 2 \cdot \left( {x + y} \right) \cdot 3 + 9 - 1 = - {y^2}\]
\[{\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 = - {y^2}\]
\[\left( {x + y + 3 - 1} \right)\left( {x + y + 3 + 1} \right) = - {y^2}\]
\[\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + y + 4} \right) = - {y^2}\]
\[\left( {x + y + 2024 - 2022} \right)\left( {x + y + 2024 - 2020} \right) = - {y^2}\]
\[\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) = - {y^2}\]
Mà \({y^2} \ge 0\) với mọi \(y\) nên \( - {y^2} \le 0\) với mọi \(y\)
Do đó \[\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) \le 0\] \(\left( * \right)\)
Lại có \(\left( {P - 2020} \right) - 2 < P - 2020\) hay \(P - 2022 < P - 2020\)
Suy ra \(\left( * \right)\) xảy ra khi \(P - 2022 \le 0 \le P - 2020\)
Nên \(2020 \le P \le 2022\)
Vậy GTLN của \(P\) bằng 2022 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 0\end{array} \right.\);
GTNN của \(P\) bằng 2020 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 0\end{array} \right.\).
