Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 8 Cánh diều có đáp án - Đề 1
38 câu hỏi
Đơn thức \( - 36{a^2}{b^2}{x^2}{y^3}\) (với \(a,\,\,b\) là hằng số) có hệ số là
\[ - 36{a^2}{b^2}\].
\[ - 36\].
\[36{a^2}{b^2}\].
\[ - 36{a^2}\].
Đáp án đúng là: A
Vì \(a,\,\,b\) là hằng số nên đơn thức \( - 36{a^2}{b^2}{x^2}{y^3}\) có hệ số là \( - 36{a^2}{b^2}\).
Đơn thức nào sau đây đồng dạng với đơn thức \( - 3{x^2}y\)?
\(3{x^2}yz\).
\(\frac{1}{2}xyx\).
\(x{y^2}\).
\( - 3{x^2}z\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\frac{1}{2}xyx = \frac{1}{2}{x^2}y\), đơn thức này đồng dạng với đơn thức \( - 3{x^2}y\).
Tích của đa thức \[6xy\]và đa thức \[2{x^2} - 3y\]là đa thức
\[12{x^2}y + 18x{y^2}\].
\[12{x^3}y - 18x{y^2}\].
\[12{x^3}y + 18x{y^2}\].
\[12{x^2}y - 18x{y^2}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \(6xy\left( {2{x^2} - 3y} \right)\)\( = 12{x^3}y - 18x{y^2}\).
Điều kiện của số tự nhiên \(n\)để phép chia \(\left( {4{x^{10}}y - x{y^7} + {x^5}{y^4}} \right):2{x^n}{y^n}\)là phép chia hết là
\(n = 0\).
\(n = 1\).
\(n = 5\).
\(n \in \left\{ {0\,;\,\,1} \right\}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\left( {4{x^{10}}y - x{y^7} + {x^5}{y^4}} \right):2{x^n}{y^n}\]
\[ = 4{x^{10}}y:2{x^n}{y^n} - x{y^7}:2{x^n}{y^n} + {x^5}{y^4}:2{x^n}{y^n}\].
Để phép chia \(\left( {4{x^{10}}y - x{y^7} + {x^5}{y^4}} \right):2{x^n}{y^n}\)là phép chia hết thì \(n \le 1\)và \(n\) là số tự nhiên.
Do đó \(n \in \left\{ {0\,;\,\,1} \right\}\).
Hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) có tên là
bình phương của một tổng.
bình phương của một hiệu.
tổng hai bình phương.
hiệu hai bình phương.
Đáp án đúng là: D
Hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) có tên làhiệu hai bình phương.
Kết quả của khai triển phép tính \({\left( {\frac{1}{2}x - 1} \right)^2}\) là
\(\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x + 1\).
\(\frac{1}{4}{x^2} - 1\).
\(\frac{1}{4}{x^2} - \frac{1}{2}x + 1\).
\(\frac{1}{4}{x^2} - x + 1\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \({\left( {\frac{1}{2}x - 1} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{2}x} \right)^2} - 2 \cdot \frac{1}{2}x \cdot 1 + {1^2} = \frac{1}{4}{x^2} - x + 1\).
Phân thức\(\frac{A}{B}\) xác định khi nào?
\(B < 0\).
\(B = 0\).
\(B \ne 0\).
\(B > 0\).
Đáp án đúng là: C
Phân thức\(\frac{A}{B}\) xác định khi\(B \ne 0\).
Phân thức nào sau đây bằng với phân thức \(\frac{y}{{3x}}\) (với giả thiết các phân thức đều có nghĩa)?
\(\frac{{3{y^2}}}{{9x{y^2}}}\).
\(\frac{{{y^2}}}{{9x{y^2}}}\).
\(\frac{{3{y^2}}}{{9xy}}\).
\(\frac{{3y}}{{9x{y^2}}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\frac{y}{{3x}} = \frac{{3y.y}}{{3y.3x}} = \frac{{3{y^2}}}{{9xy}}\).
Cho các hình vẽ sau:
 |  |  |
|
Trong những hình dưới đây, những hình nào là hình chóp tam giác đều?
Hình a.
Hình b.
Hình c.
Hình d.
Đáp án đúng là: B
Hình b có đáy là tam giác đều (vì độ dài các cạnh đáy bằng nhau) và các mặt bên là tam giác cân (vì các cạnh bên bằng nhau).
Thể tích của hình chóp tam giác đều bằng
diện tích đáy nhân với chiều cao.
\(\frac{1}{3}\) diện tích đáy nhân với chiều cao.
\(\frac{1}{2}\) chiều cao nhân với diện tích đáy.
\(\frac{3}{2}\) diện tích đáy nhân với chiều cao.
Đáp án đúng là: B
Thể tích của hình chóp tam giác đều bằng \(\frac{1}{3}\) diện tích đáy nhân với chiều cao.
Độ dài cạnh \(BC\) trong \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) ở hình vẽ bên là 
\(4\;\;{\rm{cm}}\).
\(5\;\;{\rm{cm}}\).
\(6\;\;{\rm{cm}}\).
\(7\;\;{\rm{cm}}\).
Đáp án đúng là: C
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên
\(AB = AC = AH + HC = 7 + 2 = 9\;\;\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có: \(C{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {9^2} - {7^2} = 32\) (định lí Pythagore).
Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \(H\) có: \(B{C^2} = B{H^2} + C{H^2} = 32 + {2^2} = 36\) (định lí Pythagore).
Suy ra \(BC = \sqrt {36} = 6\;\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Tứ giác có 4 cạnh, 2 đường chéo, 4 đỉnh và 4 góc.
Tứ giác có 4 cạnh, 3 đường chéo, 4 đỉnh và 4 góc.
Tứ giác có 4 cạnh, 4 đường chéo, 4 đỉnh và 4 góc.
Tứ giác có 4 cạnh, 1 đường chéo, 4 đỉnh và 4 góc.
Đáp án đúng là: A
Tứ giác có 4 cạnh, 2 đường chéo, 4 đỉnh và 4 góc.
Cho hai biểu thức \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(45{x^6}{y^3}:A = 5{x^3}{y^2}\) và \(\left( {B + 7{x^4}{y^2}} \right):A = 3x{y^2} + 2xy.\)
a) Biểu thức \(A\) là đơn thức bậc 3.
b) Với \(x = - 1\,;\,\,y = 2\) thì giá trị của biểu thức \(A\) bằng \( - 18.\)
c) Đa thức \(B\) có hai hạng tử.
d) Tích của hai biểu thức \(A\) và \(B\) là \(36{x^7}{y^5} + 20{x^7}{y^3}.\)
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
⦁Ta có \(45{x^6}{y^3}:A = 5x{y^2}\).
Suy ra \(A = 45{x^6}{y^3}:5{x^3}{y^2} = 9{x^3}y\).
Như vậy, biểu thức \(A\) là đơn thức bậc 4. Do đó ý a) sai.
⦁Thay \(x = - 1\,;\,\,y = 2\) vào biểu thức \(A\), ta có: \(A = 9 \cdot {\left( { - 1} \right)^3} \cdot 2 = - 9 \cdot 2 = - 18.\)
Vậy với \(x = - 1\,;\,\,y = 2\) thì \(A = - 18\).Do đó ý b) đúng.
⦁Với \(A = 9{x^3}y\), ta có \(\left( {B + 7{x^4}{y^2}} \right):9{x^3}y = 3x{y^2} + 2xy\)
Suy ra \(B + 7{x^4}{y^2} = 9{x^3}y\left( {3x{y^2} + 2xy} \right) = 27{x^4}{y^4} + 18{x^4}{y^2}.\)
Do đó \(B = 27{x^4}{y^4} + 18{x^4}{y^2} - 7{x^4}{y^2} = 27{x^4}{y^4} + 11{x^4}{y^2}\).
Như vậy, đa thức \(B\) có hai hạng tử là \(27{x^4}{y^4}\) và \(11{x^4}{y^2}\). Do đó ý c) đúng.
⦁Ta có \(A \cdot B = 9{x^3}y \cdot \left( {27{x^4}{y^4} + 11{x^4}{y^2}} \right)\)
\( = 9{x^3}y \cdot 27{x^4}{y^4} + 9{x^3}y \cdot 11{x^4}{y^2}\)
\( = 243{x^7}{y^5} + 99{x^7}{y^3}.\)
Như vậy, tích của hai biểu thức \(A\) và \(B\) là \(243{x^7}{y^5} + 99{x^7}{y^3}.\) Do đó ý d) sai.
Bạn Uyên dự định làm 4 hộp quà có dạng hình chóp tứ giác đều như hình bên có cạnh đáy \(6{\rm{ cm}}{\rm{,}}\) chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh là \(4{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
a) Mỗi hộp quà có 5 mặt.
b) Diện tích xung quanh của một hộp quà là\(48{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).
c) Diện tích các mặt của hộp quà là\(60{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).
d) Diện tích giấy mà bạn Uyên cần dùng để làm 4 hộp quà \(240{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)
a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
⦁Mỗi hộp quà có 5 mặt gồm 4 mặt bên và 1 mặt đáy. Do đó ý a) đúng.
⦁Diện tích xung quanh của một hộp quà là:\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 6} \right) \cdot 4 = 48{\rm{\;}}\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)Do đó ý b) đúng.
⦁Diện tích các mặt của hộp quà là: Do đó ý c) sai.
⦁Để làm 4 hộp quà bạn Uyên cần dùng diện tích giấy là:\(4 \cdot 84 = 336{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\) Do đó ý d) sai.
Cho \(B - \left( {5{x^2} - 2xyz} \right) = 2{x^2} + 2xyz + 1\). Hạng tử tự do của đa thức \(B\) là bao nhiêu?
Đáp số: 1.
Ta có \(B - \left( {5{x^2} - 2xyz} \right) = 2{x^2} + 2xyz + 1\)
Suy ra \[B = \left( {2{x^2} + 2xyz + 1} \right) + \left( {5{x^2} - 2xyz} \right)\]
\( = 2{x^2} + 2xyz + 1 + 5{x^2} - 2xyz\)
\( = \left( {2{x^2} + 5{x^2}} \right) + \left( {2xyz - 2xyz} \right) + 1 = 7{x^2} + 1\).
Do đó, hạng tử tự do của đa thức \(B\) là 1.
Cho biểu thức \[{x^3} - 9{x^2} + 27x - m\] là lập phương của một tổng. Tính giá trị của\(m.\)
Đáp số: 27.
Ta có \[{x^3} - 9{x^2} + 27x - m = {x^3} - 3 \cdot {x^2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot {3^2} - m\].
Để biểu thức trên là lập phương của một tổng thì \(m = {3^3} = 27\).
Khi đó, \[{x^3} - 9{x^2} + 27x - 27 = {x^3} - 3 \cdot {x^2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot {3^2} - {3^3} = {\left( {x - 3} \right)^3}\].
Bộ nam châm xếp hình có dạng hình chóp tam giác đều (như hình ảnh) có độ dài cạnh đáy khoảng 6 cm và mặt bên có đường cao khoảng 7 cm. Tính diện tích xung quanh bộ nam châm xếp hình đó theo đơn vị \[{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\].
![Bộ nam châm xếp hình có dạng hình chóp tam giác đều (như hình ảnh) có độ dài cạnh đáy khoảng 6 cm và mặt bên có đường cao khoảng 7 cm. Tính diện tích xung quanh bộ nam châm xếp hình đó theo đơn vị \[{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid4-1750305079.png)
Đáp số: 63.
Diện tích xung quanh bộ nam châm xếp hình đó là:
\[{S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \left( {3 \cdot 6} \right) \cdot 7 = 63\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].
Vậy diện tích xung quanh bộ nam châm xếp hình đó là \[63\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\]
Cho tứ giác \(MNPQ\) có \(\widehat N = \widehat M + 10^\circ ,\)\(\widehat P = \widehat N + 10^\circ ,\)\(\widehat Q = \widehat P + 10^\circ .\)Tính số đo của \(\widehat M\) của tứ giác \(MNPQ\) (đơn vị: độ).
Đáp số: 75.
Xét tứ giác \(MNPQ\) có \(\widehat M + \widehat N + \widehat P + \widehat Q = 360^\circ \) (định lí tổng các góc của một tứ giác).
Thay \(\widehat N = \widehat M + 10^\circ \), \(\widehat P = \widehat N + 10^\circ = \widehat M + 20^\circ \), \(\widehat Q = \widehat P + 10^\circ = \widehat M + 30^\circ \) vào biểu thức trên, ta được:
\(\widehat M + \widehat M + 10^\circ + \widehat M + 20^\circ + \widehat M + 30^\circ = 360^\circ \)
\(4\widehat M + 60^\circ = 360^\circ \)
\(4\widehat {M\,} = 300^\circ \)
\(\widehat M = 75^\circ \)
Vậy \(\widehat M = 75^\circ \).
Cho biểu thức \(A = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{x}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}}.\)
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(A.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\).
c) Tìm giá trị của \(x\) để \(A = 2.\)
a) Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là: \({x^2} - 4 \ne 0;\,\,x - 2 \ne 0;\,\,x + 2 \ne 0\)
Ta có \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\).
Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x - 2 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne - 2\,;\,\,x \ne 2.\)
b) Với điều kiện xác định \(x \ne - 2\,;\,\,x \ne 2\), ta có:
\(A = \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{x}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}}\)
\( = \frac{{2{x^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{2{x^2} - {x^2} - 2x - 2x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}.\)
c) Với \(x \ne - 2\,;\,\,x \ne 2\), để \(A = 2\) thì \(\frac{{x - 2}}{{x + 2}} = 2\).
Suy ra \(x - 2 = 2\left( {x + 2} \right)\)
Do đó \(x - 2 = 2x + 4\)
Hay \(x = - 6\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy \(x = - 6.\)
1. Người ta buộc chú cún bằng sợi dây có một đầu buộc cố định tại điểm \(O\) làm cho chú cún cách điểm \(O\) xa nhất là \(9{\rm{\;m}}.\) Hỏi với các kích thước đã cho như hình trên, chú cún có thể đến các vị trí \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) để canh giữ mảnh vườn hình chữ nhật \[ABCD\] hay không?
![1. Người ta buộc chú cún bằng sợi dây có một đầu buộc cố định tại điểm \(O\) làm cho chú cún cách điểm \(O\) xa nhất là \(9{\rm{\;m}}.\) Hỏi với các kích thước đã cho như hình trên, chú cún có thể đến các vị trí \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) để canh giữ mảnh vườn hình chữ nhật \[ABCD\] hay không? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid5-1750305147.png)
2. Bạn Nam đo một chiếc đèn thả trang trí như hình vẽ bên thì nhận thấy các cạnh đều có cùng độ dài là \[20{\rm{ cm}}.\]
a) Tính độ dài trung đoạn của hình chóp.
b) Tính diện tích xung quanh của chiếc đèn.
c) Bạn Nam đọc và thấy rằng khi treo đèn thì khoảng cách từ đáy của đèn cách mặt trền là \[1{\rm{ m}}\] là tốt nhất. Vậy bạn Nam cần đưa đoạn dây điện từ đầu đèn (vị trí \(A)\) tới mặt trần là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
1. Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông \(AMO,\,\,ONC,\,\,OMD,\,\,OBE,\) ta tính được:
⦁ \(O{A^2} = {3^2} + {4^2} = 25\) hay \(OA = 5{\rm{\;m;}}\)
⦁ \(O{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\) hay \(OC = 10{\rm{\;m}};\)
⦁ \(O{D^2} = {3^2} + {8^2} = 73\) hay \(OD = \sqrt {73} {\rm{\;m}};\)
⦁ \(O{B^2} = {4^2} + {6^2} = 52\) hay \(OB = \sqrt {52} {\rm{\;m}}{\rm{.}}\)
Ta thấy \[OA = 5{\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OD = \sqrt {73} {\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OB = \sqrt {52} {\rm{\;m}} < 9{\rm{\;m}},\,\,OC = 10{\rm{\;m}} > 9{\rm{\;m}}\,{\rm{.}}\]
Do đó, chú cún có thể đến các vị trí \(A,\,\,D,\,\,B\) nhưng không thể đến được vị trí \(C.\)
2.a) Chiếc đèn được mô phỏng thành hình chóp tam giác đều \(A.BCD\) như hình vẽ. Gọi \(AH\) là trung đoạn kẻ từ đỉnh \(A\) của hình chóp.
Theo bài ta có: \(AB = AC = AD = 20\,\,{\rm{cm;}}\)
\[BC = CD = DB = 20\,\,{\rm{cm}}.\]
\(\Delta ACD\) đều nên \(AH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.
Do đó \(DH = CH = \frac{1}{2}CD = 10\) cm.
Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore ta có:
\(A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = {20^2} - {10^2} = 300\)
Suy ra \[AH = \sqrt {300} = \sqrt {100.3} = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 3 } \right)}^2}} = 10\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]
Vậy độ dài trung đoạn của hình chóp là \[10\sqrt 3 \,\,{\rm{cm}}.\]
b) Chu vi đáy của hình chóp là: \[C = 3BD = 3 \cdot 20 = 60\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]
Diện tích xung quanh của chiếc đèn là:
\[{S_{xq}} = \frac{1}{2}C \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 10\sqrt 3 = 300\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\]
Vậy diện tích xung quanh của chiếc đèn là \[300\sqrt 3 \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\]
c) Vì \(\Delta ADC\) và \(\Delta BDC\) đều là các tam giác đều có cạnh 20 cm nên hai đường cao \(AH\) và \(BH\) của hai tam giác bằng nhau.
Vì \(O\) là trọng tâm \(\Delta BDC\) nên \(OH = \frac{1}{3}BH = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
\(\Delta AOH\)vuông tại \(O\), theo định lí Pythagore, ta có:
\(A{O^2} = A{H^2} - O{H^2} = 300 - {\left( {\frac{{10\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = 300 - \frac{{300}}{9} = \frac{{800}}{3}\).
Suy ra \(AO = \sqrt {\frac{{800}}{3}} \approx 16,3\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Khi đó, bạn Nam cần đưa dây diện từ đầu đèn tới trần nhà khoảng là \(100 - 16,3 = 83,7\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?
\(\frac{1}{x} + y\);
\( - \frac{{{x^2}z}}{5}\);
\(\left( {2 - x} \right){y^2}\);
\(\sqrt {xyz} \).
Đáp án đúng là: B
Biểu thức \[ - \frac{{{x^2}z}}{5} = - \frac{1}{5}{x^2}z\] là đơn thức.
Đa thức nào sau đây không phải là đa thức bậc 4?
\(4x{y^2}z\);
\({x^4} - {3^5}\);
\(x{y^2} + xyzt\);
\({x^4} - \frac{1}{2}x{y^3}z\).
Đáp án đúng là: D
Đa thức \({x^4} - \frac{1}{2}x{y^3}z\) có bậc là \(5.\)
Cho đa thức \(A = - \frac{1}{3}x{y^2} + \frac{1}{2}{x^2}y + x{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}y.\) Giá trị của \(A\) tại \(x = - 2;y = 3\) là
\(A = - \frac{{15}}{{13}}\);
\(A = - 12\);
\(A = - 15\);
\(A = 14\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(A = - \frac{1}{3}x{y^2} + \frac{1}{2}{x^2}y + x{y^2} - \frac{3}{4}{x^2}y\)
\( = \left( { - \frac{1}{3}x{y^2} + x{y^2}} \right) + \left( {\frac{1}{2}{x^2}y - \frac{3}{4}{x^2}y} \right)\)
\( = \frac{2}{3}x{y^2} - \frac{1}{4}{x^2}y\).
Thay \(x = - 2\) và \(y = 3\) vào biểu thức \(A\) ta được:
\(A = \frac{2}{3} \cdot \left( { - 2} \right) \cdot {3^2} - \frac{1}{4} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} \cdot 3 = - 12 - 3 = - 15.\)
Câu 4.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) = {x^3} + {\left( {2y} \right)^3}\);
\(\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) = {x^3} - {\left( {4y} \right)^3}\);
\(\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) = {x^3} + {\left( {4y} \right)^3}\);
\(\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) = {x^3} - {\left( {2y} \right)^3}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) = {x^3} - {\left( {2y} \right)^3}.\)
Điền vào chỗ trống sau:
\(2x\);
\(4x\);
\(2\);
\(4\).
Đáp án đúng là: B
Kết quả phân tích đa thức \(6{x^2}y - 12x{y^2}\) là
\(6xy\left( {x - 2y} \right)\);
\(6xy\left( {x - y} \right)\);
\(6xy\left( {x + 2y} \right)\);
\(6xy\left( {x + y} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(6{x^2}y - 12x{y^2} = 6xy\left( {x - 2y} \right).\)
Phân thức \(\frac{A}{B}\) xác định khi nào?
\(B < 0\);
\(B = 0\);
\(B \ne 0\);
\(B > 0\).
Đáp án đúng là: C
Phân thức \(\frac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\).
Ta không nên quy đồng cho bài toán nào dưới đây?
\(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - x}}\);
\(\frac{2}{{x - y}} - \frac{3}{{x + y}}\);
\(x - \frac{1}{{x + y}}\);
\(\frac{1}{{a - 1}} + \frac{1}{{{a^2} - 1}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - x}} = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{x - 1}} = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\]. Do đó ta không cần quy đồng mẫu cho phép trừ phân thức này.
Hình chóp tứ giác đều có mặt bên là hình gì?
Tam giác cân;
Tam giác đều;
Hình chữ nhật;
Hình vuông.
Đáp án đúng là: A
Các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là hình tam giác cân.
Cho hình chóp tam giác đều \(A.BCD\) như hình vẽ bên. Đoạn thẳng nào sau đây là trung đoạn của hình chóp?
\(AC\);
\(AM\);
\(BN\);
\(AP\).
Đáp án đúng là: B
Trung đoạn của hình chóp \(A.BCD\) là đoạn thẳng \(AM\).
Độ dài cạnh \(BC\) trong \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) ở hình vẽ bên là
\(4\;\;{\rm{cm}}\);
\(5\;\;{\rm{cm}}\);
\(6\;\;{\rm{cm}}\);
\(7\;\;{\rm{cm}}\).
Đáp án đúng là: C
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC = AH + HC = 7 + 2 = 9\;\;{\rm{cm}}\)
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có: \(B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {9^2} - {7^2} = 32\) (định lí Pythagore)
Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \(H\) có: \(B{C^2} = B{H^2} + C{H^2} = 32 + {2^2} = 36\) (định lí Pythagore)
Suy ra \(BC = \sqrt {36} = 6\;\;{\rm{cm}}.\)
Tổng số đo các góc trong tứ giác bằng
\(90^\circ \);
\(120^\circ \);
\(180^\circ \);
\(360^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Tổng số đo các góc trong tứ giác bằng \(360^\circ .\)
Thu gọn biểu thức:
a) \(\left( { - 12{x^{13}}{y^{15}} + 6{x^{10}}{y^{14}}} \right):\left( { - 3{x^{10}}{y^{14}}} \right);\) b) \[\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - 2x + y} \right) - {x^3} + {x^2}y.\]
a) \(\left( { - 12{x^{13}}{y^{15}} + 6{x^{10}}{y^{14}}} \right):\left( { - 3{x^{10}}{y^{14}}} \right)\)
\( = \left( { - 12{x^{13}}{y^{15}}} \right):\left( { - 3{x^{10}}{y^{14}}} \right) + \left( {6{x^{10}}{y^{14}}} \right):\left( { - 3{x^{10}}{y^{14}}} \right)\)
\( = 4{x^3}y - 2.\)
b) \[\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - 2x + y} \right) - {x^3} + {x^2}y\]
\[ = x\left( {{x^2} - 2x + y} \right) - y\left( {{x^2} - 2x + y} \right) - {x^3} + {x^2}y\]
\[ = {x^3} - 2{x^2} + xy - {x^2}y + 2xy - {y^2} - {x^3} + {x^2}y\]
\[ = - 2{x^2} + 3xy - {y^2}.\]
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) \[xy + {y^2}--x--y;\] b) \({\left( {{x^2}{y^2} - 8} \right)^2} - 1;\) c) \[{x^2}--7x--8.\]
a) \[xy + {y^2}--x--y\]
\( = \left( {xy + {y^2}} \right)--\left( {x + y} \right)\)
\( = y\left( {x + y} \right)--\left( {x + y} \right)\)
\( = \left( {x + y} \right)\left( {y - 1} \right).\)
b) \({\left( {{x^2}{y^2} - 8} \right)^2} - 1\)
\[ = \left( {{x^2}{y^2} - 8 - 1} \right)\left( {{x^2}{y^2} - 8 + 1} \right)\]
\[ = \left( {{x^2}{y^2} - 9} \right)\left( {{x^2}{y^2} - 7} \right)\]
\[ = \left( {xy - 3} \right)\left( {xy + 3} \right)\left( {{x^2}{y^2} - 7} \right).\]
c) \[{x^2}--7x--8\]
\( = {x^2} + x - 8x - 8\)
\( = x\left( {x + 1} \right) - 8\left( {x + 1} \right)\)
\( = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 8} \right).\)
Cho biểu thức \(A = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{x}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}}.\)
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(A.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\).
c) Tìm giá trị của \(x\) để \(A = 2.\)
\(A = \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{x}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}}.\)
a) Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là: \({x^2} - 4 \ne 0;\,\,x - 2 \ne 0;\,\,x + 2 \ne 0\)
Mà \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\)
Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x - 2 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne \pm 2.\)
b) Với điều kiện xác định \(x \ne \pm 2\) ta có:
\(A = \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{x}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}}\)
\( = \frac{{2{x^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{2{x^2} - {x^2} - 2x - 2x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}.\)
c) Với \(x \ne \pm 2,\) để \(A = 2\) thì \(\frac{{x - 2}}{{x + 2}} = 2\)
Suy ra \(x - 2 = 2\left( {x + 2} \right)\)
Do đó \(x - 2 = 2x + 4\)
Hay \(x = - 6\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy \(x = - 6.\)
Một chiếc lều có dạng hình chóp tứ giác đều ở trại hè của học sinh có kích thước như hình bên.
a) Tính thể tích không khí bên trong chiếc lều.
b) Tính số tiền mua vải phủ bốn phía và trải nền đất cho chiếc lều (coi các mép nối không đáng kể). Biết chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của chiếc lều là \(3,18\;\;{\rm{m}}\) và giá vải là \(15\,\,000\) đồng/m2. Ngoài ra, nếu mua vải với hóa đơn trên \(20\) m2 thì được giảm giá \(5\% \) trên tổng hóa đơn.
a) Diện tích đáy hình vuông của chiếc lều là:
Thể tích không khí bên trong chiếc lều là:
Chú ý: Có thể không cần bước tính diện tích đáy.
b) Diện tích xung quanh của chiếc lều là:
\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 3} \right) \cdot 3,18 = 19,08\;\;\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Diện tích vải phủ bốn phía và trải nền đất cho chiếc lều là:
\(S = 9 + 19,08 = 28,08\) (m2).
Do \(28,08 > 20\) nên số tiền mua vải được giảm giá \(5\% \) trên tổng hóa đơn.
Vậy số tiền mua vải là: \(28,08 \cdot 15\,\,000 \cdot \left( {100\% - 5\% } \right) = 400\,\,140\) (đồng).
Một chiếc diều được mô tả như hình vẽ bên.
a) Tính số đo góc \(D\) ở đuôi chiếc diều biết các góc ở đỉnh \(\widehat {A\,\,} = \widehat {B\,} = \widehat {C\,} = 102^\circ .\)
b) Tính độ dài khung gỗ đường chéo \(BD\) biết \(OD = 26,7\;\;{\rm{cm}}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
a) Số đo góc \(D\) ở đuôi chiếc diều là:
\(\widehat D = 360^\circ - \left( {\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,}} \right) = 360^\circ - \left( {102^\circ + 102^\circ + 102^\circ } \right) = 54^\circ .\)
b) Xét \(\Delta OAD\) vuông tại \(O\), theo định lí Pythagore ta có:
\(O{A^2} = A{D^2} - O{D^2} = {30^2} - {26,7^2} = 187,11\)
Xét \(\Delta OAB\) vuông tại \(O,\) theo định lí Pythagore ta có:
\(O{B^2} = A{B^2} - O{A^2} = {17,5^2} - 187,11 = 119,14\)
Do đó \(OB = \sqrt {119,14} \approx 10,9\) (cm).
Suy ra \(BD = OB + OD \approx 10,9 + 26,7 = 37,6\) (cm).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + 3{y^2} + 2025.\)
Ta có:
\(M = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + 3{y^2} + 2025\)
\( = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} - \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + 3{y^2} + 2025\)
\( = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} + 2{y^2} - 2y + 2024\)
\( = \left[ {{x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right] + 2\left( {{y^2} - y + \frac{1}{4}} \right) + 2024 - \frac{1}{2}\)
\( = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{4047}}{2}.\)
Nhận xét: với mọi \(x,y\) ta có:
• \({\left( {x - y - 1} \right)^2} \ge 0;\)
• \(2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\)
Do đó \(M = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{4047}}{2} \ge \frac{{4047}}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y - 1} \right)^2} = 0\\2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\y - \frac{1}{2} = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) là \(\frac{{4047}}{2}\) khi \(x = \frac{3}{2}\) và \(y = \frac{1}{2}.\)
