Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 7
76 câu hỏi
Đổi số đo góc \(135^\circ \) ra số đo rađian ta được
\(\frac{{3\pi }}{2}\).
\(\frac{{3\pi }}{4}\).
\(\frac{{5\pi }}{6}\).
\(\frac{{3\pi }}{5}\).
Giá trị \(\sin 30^\circ \) bằng
\(1\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
\[\cos 2a = {\cos ^2}a--{\sin ^2}a.\]
\[\cos 2a = {\cos ^2}a + {\sin ^2}a.\]
\[\cos 2a = 2{\cos ^2}a--1.\]
\[\cos 2a = 1--2{\sin ^2}a.\]
Cho \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[\sin a > 0\], \[\cos a > 0\].
\[\sin a < 0\], \[cosa < 0\].
\[\sin a > 0\], \[cosa < 0\].
\[\sin a < 0\], \[cosa > 0\].
Rút gọn biểu thức\(P = \sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)\).
\( - \frac{3}{2}\cos 2a\).
\(\frac{1}{2}\cos 2a\).
\( - \frac{2}{3}\cos 2a\).
\( - \frac{1}{2}\cos 2a\).
Cho \[\tan \alpha + \cot \alpha = m\]. Giá trị của biểu thức \[{\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \] là
\[{m^3} + 3m\].
\[3{m^3} + m\].
\[3{m^3} - m\].
\[{m^3} - 3m\].
Cho \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) thỏa mãn \(\cos x = \frac{5}{{13}}\). Giá trị của \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) bằng
\[ - \frac{{17}}{7}\].
\[\frac{7}{{17}}\].
\[\frac{{17}}{7}\].
\[ - \frac{7}{{17}}\].
Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Khi đó \(\cos \alpha \) có giá trị là
\(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{8}{9}\).
\(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Cho hàm số \(y = \tan x.\) Khẳng định sau đây là sai?
Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Hàm số đã cho tuần hoàn theo chu kì \(\pi .\)
Cho các đồ thị hàm số sau :
Hình nào là đồ thị hàm số \(y = \sin x?\)
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Trong các hàm số \(y = \tan x\); \(y = \sin 2x\); \(y = \sin x\); \(y = \cot x\), có bao nhiêu hàm số thỏa mãn tính chất \(f\left( {x + k\pi } \right) = f\left( x \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
1.
2.
3.
\(4\).
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right)\).
\(\left( {\frac{{9\pi }}{4};\frac{{11\pi }}{4}} \right)\).
\(\left( {\frac{{7\pi }}{4};3\pi } \right)\).
\(\left( {\frac{{7\pi }}{4};\frac{{9\pi }}{4}} \right)\).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\sin x - 2}}\) là
\(\left( { - 2;\, + \infty } \right)\)
\(\left( {2;\, + \infty } \right)\)
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
\(\mathbb{R}\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
\(y = \cot 4x.\)
\(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\cos x}}.\)
\(y = {\tan ^2}x.\)
\(y = \left| {\cot x} \right|.\)
Nghiệm của phương trình \[\cos x = - 1\] là:
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pi + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\[x = k\pi \], \(k \in \mathbb{Z}\).
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
\(\cos x = \frac{1}{2}\).
\(\sin x = \sqrt 2 \).
\(\tan x = \pi \).
\(\cot 2x - 3 = 0\).
Nghiệm của phương trình \[\sin \frac{x}{2} = 1\] là
\(x = \pi + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Phương trình \(\sin 4x = \cos x\) tương đương với
\(\left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\4x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}.\)
\(\left[ \begin{array}{l}4x = x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\4x = x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}.\)
\(\left[ \begin{array}{l}4x = x + k2\pi \\4x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}.\)
\(4x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}.\)
Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) để phương trình \(2023\cos x + \cos 90^\circ = m\) có nghiệm. Số phần tử của tập \(S\) là
\(10\).
\(20\).
\(11\).
\(21\).
Nghiệm của phương trình \(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \) có dạng \[x = - \frac{\pi }{m} + \frac{{k\pi }}{n}\], \(k \in \mathbb{Z}\), \(m,\) \(n \in {\mathbb{N}^*}\) và \(\frac{k}{n}\) là phân số tối giản. Khi đó \(m - n\) bằng
\[5\].
\[ - 3\].
\[ - 5\].
\[3\].
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \[{u_n} = \frac{n}{{{3^n} - 1}}\]. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}.\]
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}.\]
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{{16}}.\]
\[\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}.\]
Cho dãy số: \[5\,;10\,;15\,;20\,;25\,;\,\,\,...\,\,\]. Số hạng tổng quát của dãy số là
\[{u_n} = 5\left( {n - 1} \right)\].
\[{u_n} = 5n\].
\[{u_n} = 5 + n\].
\[{u_n} = 5n + 1\].
Xét tính bị chặn của dãy số sau: \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)
Bị chặn.
Bị chặn trên, không bị chặn dưới.
Không bị chặn.
Bị chặn dưới, không bị chặn trên.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n + 1}}\). Số \(\frac{8}{{15}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
8.
6.
5.
7.
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]cho bởi số hạng tổng quát \[{u_n}\] sau, dãy số nào là dãy số tăng?
\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\].
\[{u_n} = \frac{1}{n}\].
\[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\].
\[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\].
Trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng?
\(2\).
3.
Vô số.
Một và chỉ một.
Cho bốn điểm \(A,\,\,B,\,C,\,\,D\) không cùng nằm trên một mặt phẳng. Trên cạnh \(AB,\,\,AC\) lần lượt lấy hai điểm \(M,\,N\) sao cho \(MN\) cắt \(BC\) tại \(E\) . Điểm \(E\) thuộc mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {ABD} \right)\).
\(\left( {MND} \right)\).
\(\left( {BCD} \right)\).
\(\left( {ACD} \right)\).
Cho tứ diện\[ABCD\], \[M\] là trung điểm của\[AB\], \[N\] là điểm trên \[AC\] mà \[AN = \frac{1}{4}AC,\]\[P\] là điểm trên đoạn \[AD\] mà \[AP = \frac{2}{3}AD\]. Gọi \[E\] là giao điểm của \[MP\] và \[BD\], \[F\] là giao điểm của \[MN\] và \[BC\]. Khi đó giao tuyến của \[\left( {BCD} \right)\] và \[\left( {CMP} \right)\] là
\[CP\].
\[NE\].
\[MF\].
\[CE\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. \(M,\,N\) lần lượt thuộc đoạn \(AB,\,SC\,.\)Khẳng định nào sau đây đúng?
Giao điểm của \(MN\) và \(\left( {SBD} \right)\) là giao điểm của \(MN\) và \(SB\,.\)
Đường thẳng \(MN\) không cắt mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Giao điểm của \(MN\) và \(\left( {SBD} \right)\) là giao điểm của \(MN\) và \(SI\), trong đó \(I\) là giao điểm của \(CM\) và \(BD\).
Giao điểm của \(MN\) và \(\left( {SBD} \right)\) là giao điểm của \(MN\) và \(BD\,.\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD.\)Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(AN\) và \(BC\) cắt nhau.
\(AN\) và \(BC\) chéo nhau.
\(AN\) và \(CM\) song song với nhau.
\(AC\) và \(BD\) cắt nhau.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA.\) Giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {CMD} \right)\) là
Không có giao điểm.
Giao điểm của đường thẳng \(SB\) và \(MC.\)
Trung điểm của đoạn thẳng \(SB\).
Giao điểm của đường thẳng \(SB\) và \(MD.\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N\) là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng \(AB\); \(P\,,\,\,Q\) là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng \(CD\). Xác định vị trí tương đối của \(MQ\) và \(NP\).
\(MQ\) cắt \(NP\).
\(MQ\,{\rm{//}}\,NP\).
\(MQ \equiv NP\).
\(MQ,\,\,NP\) chéo nhau.
Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Số điểm chung của \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) là
0.
1.
2.
vô số.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(N\) là điểm nằm trên cạnh \(AD\) sao cho \(AN = 2ND\). Khi đó ta có
\(MN\,{\rm{//}}\,\left( {BCD} \right)\).
\(MN\) cắt \(BD\).
\(MN\,{\rm{//}}\,CD\).
\(AC\) cắt \(BD\).
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,5 điểm)
a) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\sin x = m - 2\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\)?
b) Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \[\frac{{\tan x - \sqrt 3 }}{{2\sin x - \sqrt 3 }} = 0\].
c) Số giờ có ánh mặt trời của một thành phố \(X\) ở vĩ độ \(40^\circ \) bắc trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10\), với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Hỏi vào ngày nào trong năm thì thành phố \(X\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?
(0,5 điểm) Xét tính tăng giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}.\)
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(SD\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ACD\) và \(I\) là trung điểm của đoạn \(SG\).
a) Chứng minh rằng \(MI\,{\rm{//}}\,BD\).
b) Xác định giao điểm \(F\) của \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {CMI} \right)\) và tính tỉ số \(\frac{{FS}}{{FA}}\).
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\): “Nếu a chia hết cho 2 thì a chia hết cho 4” là
Nếu a không chia hết cho 2 thì a không chia hết cho 4;
Nếu a chia hết cho 2 thì a không chia hết cho 4;
Nếu a không chia hết cho 4 thì a không chia hết cho 2;
Nếu a chia hết cho 4 thì a chia hết cho 2.
Phủ định của mệnh đề \(A:\) “Tất cả số thập phân đều là số hữu tỉ” là mệnh đề nào?
\(\overline A :\) “Có duy nhất một số thập phân không là số hữu tỉ”;
\(\overline A :\) “Tất cả số thập phân đều không là số hữu tỉ”;
\(\overline A :\) “Tất cả số hữu tỉ đều viết được dưới dạng số thập phân”;
\(\overline A :\) “Có ít nhất một số thập phân không phải là số hữu tỉ”.
Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 = 0\)” được phát biểu là
Tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0;
Mọi số thực đều có bình phương của nó cộng với 1 bằng 0;
Tồn tại một số thực mà tổng của nó với 1 tất cả bình phương bằng 0;
Mọi số thực đều có tổng của nó với 1 tất cả bình phương bằng 0.
Cho hai tập \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x + 2022 \le 2021 + 2x} \right\}\), \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|3x - 6 \le 2x - 1} \right\}\). Có bao nhiêu số tự nhiên thuộc cả hai tập \(A\) và \(B\)?
\(5\);
\(6\);
\(7\);
\(4\).
Cho bất phương trình \(x - 2y + 5 > 0\) có tập nghiệm là \(S\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\left( { - 2;\,2} \right) \in S\);
\(\left( {2;\,2} \right) \in S\);
\(\left( { - 2;\,4} \right) \in S\);
\(\left( {1;\,3} \right) \in S\).
Lớp 10D có \(45\) học sinh, trong đó có \(25\) em thích môn Văn, \(20\) em thích môn Toán, \(18\) em thích môn Tiếng Anh, \(6\) em không thích môn nào, \(5\) em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?
\(34\);
\(11\);
\(20\);
\(1\).
Cho ba tập hợp \(A,\,\,B,D\) như hình bên dưới:
Phần không tô màu trong hình tương ứng với tập hợp nào sau đây?
\(D\);
\({C_D}\left( {A \cap B} \right)\);
\({C_D}\left( {A \cup B} \right)\);
\(A \cup B\).
Cặp số \(\left( {3;\,\,2} \right)\) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\(4x - 2x > 1\);
\(2x + 3y < 0\);
\(20x - y > 100\)
\(5x - y < 10\).
Miền không gạch chéo (không kể bờ \(d\)) trong hình sau là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình dưới đây?
\[2x + 3y > - 9\].
\[3x + 2y \le - 9\].
\[3x + 2y > 6\].
\[2x + 3y < 9\].
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(2x - 5y + 3z \le 0\).
\(2x + 3y < 5\).
\(3{x^2} + 2x - 4 > 0\).
\(2{x^2} + 5y > 3\).
Cho hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx - 2y \le 5\\\left( {m - 1} \right)y \ge 3\end{array} \right.\). Tìm điều kiện của \(m\) để cặp số \(\left( {1;\,\,1} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình.
\(\left[ {2;5} \right]\);
\(\left[ {2;7} \right]\);
\(\left( {4;5} \right)\);
\(\left[ {4;7} \right]\).
Phần không gạch chéo ở hình sau đây (kể cả biên) là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn đáp án \[A\,,\,\,B\,,\,\,C\,,\,\,D\]?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > - 4\\x < 2y\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge - 4\\x < 2y\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > - 4\\2x \ge y\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge - 4\\2x > y\end{array} \right.\).
Bạn Hằng là du học sinh tại Hàn Quốc, vào mùa hè bạn ấy có hai công việc làm thêm là gia sư và thu ngân ở siêu thị. Mỗi giờ gia sư bạn được trả 12 000 won và mỗi giờ làm thu ngân ở siêu thị được trả 9 500 won. Gọi \(x\) là số giờ bạn Hằng làm gia sư và \(y\) là số giờ bạn ấy làm nhân viên thu ngân. Bạn ấy có thể làm việc không quá 20 giờ mỗi tuần. Hỏi cặp số \(\left( {x;\,y} \right)\) nào sau đây thể hiện bạn Hằng kiếm được ít nhất 220 000 won mỗi tuần?
\(\left( {10;\,\,10} \right)\);
\(\left( {12;\,\,8} \right)\);
\(\left( {11;\,\,10} \right)\);
\(\left( {9;\,\,9} \right)\).
Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 3x} \). Giá trị của \(y\) khi \(x = - 1\) là
không tồn tại;
\(y = 2\);
\(y = - 2\);
\(y = \pm 2\).
Tìm tập xác định \[D\] của hàm số \[y = \sqrt {6 - x} + \frac{{2x + 1}}{{1 + \sqrt {x - 1} }}\]?
\[D = \left( {1;\, + \infty } \right)\];
\[D = \left( {1;\,6} \right)\];
\[D = \left[ {1;\,6} \right]\];
\[D = \mathbb{R}\].
Cho hàm số bậc hai \(y = 2{x^2}\). Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\);
\(\left( { - 1;0} \right)\);
\(\left( {0;4} \right)\);
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?
\(y = x\);
\(y = \frac{1}{{{x^2}}} - x\);
\(y = 2{x^2} - 9\);
\(y = {x^2}.y\).
Tìm giá trị nhỏ nhất \[{y_{\min }}\] của hàm số \[y = {x^2} - 4x + 5\]?
\[{y_{\min }} = 0\];
\[{y_{\min }} = 1\];
\[{y_{\min }} = 2\];
\[{y_{\min }} = 3\].
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
\(\sin \alpha = \sin \beta \);
\(\cos \alpha = - \cos \beta \);
\(\tan \alpha = - \tan \beta \);
\(\cot \alpha = \cot \beta \).
Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
\(\sin 0^\circ + {\rm{cos}}0^\circ = 1\);
\({\sin ^2}30^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}60^\circ = 1\);
\(\sin 90^\circ + {\rm{cos9}}0^\circ = 1\);
\({\sin ^2}120^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}120^\circ = 1\).
Cho góc \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Biết rằng \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\). Tính giá trị của \(\cos \alpha \).
\(\cos \alpha = \frac{2}{3}\).
\(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\).
Từ vị trí \(A\) cách mặt đất \(1m\), một bạn nhỏ quan sát một cây đèn đường (hình vẽ).
Biết \(HB = 6\,\,m\), \(\widehat {BAC} = 44^\circ \). Chiều cao của cây đèn đường gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(5,1\,\,m\);
\(7,2\,m\);
\(5,9\,\,m\);
\(8,3\,\,m\).
Cho tam giác \(ABC\) thỏa mãn \({\sin ^2}A = \sin B.\sin C\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\[{\rm{cos}}\frac{A}{2} \le \frac{1}{2}\];
\[{\rm{cos}}A \ge \frac{1}{2}\];
\[{\rm{cos}}A = 0\];
\[{\rm{cos}}A < \frac{1}{2}\].
Cho tam giác \(ABC\) có \[BC = a,\,AC = b,\,AB = c\] và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Công thức nào sau đây sai?
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\);
\(\sin A = \frac{a}{{2R}}\);
\(b\sin B = 2R\);
\(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2\,\,cm\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \), \(\widehat {BAC} = 75^\circ \). Diện tích tam giác \(ABC\) gần nhất với giá trị nào sau đây?
\(2,37\,\,c{m^2}\);
\(0,63\,\,c{m^2}\);
\(2,45\,\,c{m^2}\);
\(1,58\,\,c{m^2}\).
Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là \(r\). Khi đó tỉ số \(\frac{R}{r}\) là
\(1 + \sqrt 2 \);
\(\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{\sqrt 2 - 1}}{2}\);
\(\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\).
Cho hình chữ nhật \[ABCD\] tâm \(O\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \];
\[\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \].
Phát biểu nào dưới đây là đúng?
Vectơ là một tia có điểm gốc và có hướng;
Vectơ là một đường thẳng.
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Vectơ là một điểm.
Hai vectơ được gọi là đối nhau khi
giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau;
chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau;
chúng ngược hướng và độ dài của chúng bằng nhau;
chúng cùng phương và độ dài của chúng đối nhau.
Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vật tại một điểm làm vật đứng yên (xem hình vẽ). Xét \(\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} \). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {{F_4}} \);
\(\overrightarrow {{F_1}} = - \overrightarrow {{F_4}} \);
\(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {{F_4}} + \overrightarrow {{F_2}} \);
\(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {{F_4}} + \overrightarrow {{F_3}} \).
Cho hình thoi \(ABCD\) cạnh \(a\), \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Độ dài vectơ \(\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} \) là
\(2a\);
\(a\sqrt 3 \);
\(2a\sqrt 3 \);
\(a\).
Cho đoạn thẳng \(AB\). Gọi \(M\) là một điểm trên \(AB\) sao cho \[AM = \frac{1}{4}AB\]. Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {MA} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \);
\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \);
\(\overrightarrow {BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BA} \);
\(\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MA} \).
Vectơ tổng \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \) bằng
\(\overrightarrow {MN} \);
\(\overrightarrow {PN} \);
\(\overrightarrow {MR} \);
\(\overrightarrow {NP} \).
Tìm giá trị của \(m\) sao cho \(\overrightarrow a = m\overrightarrow b \), biết rằng hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 10,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 18\).
\(m = - \frac{5}{9}\);
\(m = - \frac{9}{5}\).
\(m = \frac{5}{9}\);
\(m = \frac{9}{5}\).
Cho tam giác \[ABC\] và điểm \[I\] thỏa mãn \[\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB} \]. Biểu diễn \[\overrightarrow {IC} \] theo các vectơ \[\overrightarrow {AB} \], \[\overrightarrow {AC} \] ta được
\(\overrightarrow {IC} = - 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \);
\(\overrightarrow {IC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \).
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
(1 điểm)
a) Xác định điều kiện của \(a,b\) để \(A \cap B = \emptyset \) với \(A = \left[ {a - 1;\,\,a + 2} \right]\) và \(B = \left( {b;\,\,b + 4} \right]\).
b) Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm. Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là các điểm thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} = x\overrightarrow {AC} \). Tìm \(x\) để ba điểm \(D,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng. Với giá trị tìm được của \(x\), hãy tính tỉ số \(\frac{{DG}}{{DE}}\).
Để đo đường kính của một hồ hình tròn, người ta làm như sau: Lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) như hình vẽ sao cho \(AB = 7,5\,\,{\rm{m}};\,\,AC = 10,5\,\,{\rm{m}};\,\widehat {BAC} = 135^\circ \). Hãy tính đường kính của hồ nước đó.
(1 điểm)
Một trang trại cần thuê xe vận chuyển ít nhất \(450\) con lợn và \(35\) tấn cám. Nơi cho thuê xe chỉ có không quá \(12\) xe lớn và \(10\) xe nhỏ. Một chiếc xe lớn có thể chở \(50\) con lợn và \(5\) tấn cám. Một chiếc xe nhỏ có thể chở \(30\) con lợn và \(1\) tấn cám. Tiền thuê một xe lớn là \(4\) triệu đồng, một xe nhỏ là \(2\) triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thuê xe là thấp nhất?
