Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 6
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = {x^3}\). Phát biểu nào sau đây đúng?
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C\].
\[f\left( x \right) = 3{x^2}\].
\[f\left( x \right) = 4{x^3}\].
\[f\left( x \right) = 3{x^4}\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\int {{x^3}} {\rm{d}}x = \frac{{{x^4}}}{4} + C\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {a\,;\,b} \right]\) như hình. Hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\); \(x = b\) quay quanh trục \(Ox\) tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng 
\(V = \pi \int\limits_b^a {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} \).
\(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \).
\(V = \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} \).
\(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} \).
Đáp án đúng là: D
Ta có : \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx.\)
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {15^x}\)?
\({F_1}(x) = {15^x}\).
\({F_2}(x) = {15^x}\ln 15\).
\({F_3}(x) = \frac{{{{15}^x}}}{{\log 15}}\).
\({F_4}(x) = \frac{{{{15}^x}}}{{\ln 15}}\).
Đáp án đúng là: D
Vì: \({\left( {\frac{{{{15}^x}}}{{\ln 15}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{\ln 15}}{.15^x}.\ln 15 = {15^x}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn . Giá trị của biểu thức \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
7.
1.
12.
0,75.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)
\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4 - 3 = 1\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình. Gọi \(S\) là phần diện tích hình phẳng được tô màu. Phát biểu nào sau đây là đúng? 
\[S = \int\limits_{ - 1}^{ - 0,5} {f\left( x \right)dx} \].
\[S = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} \].
\[S = - \left| {\int\limits_1^{ - 0,5} {f\left( x \right)dx} } \right|\].
\[S = - \int\limits_{ - 1}^{0,5} {f\left( x \right)dx} \].
Đáp án đúng là: D
Ta có \[S = \int\limits_{ - 1}^{0,5} {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_{ - 1}^{0,5} {f\left( x \right)dx} \].
Vi khuẩn E.coli sống chủ yếu ở đường ruột và có số lượng lớn nhất trong hệ vi sinh vật của cơ thể . Một quần thể vi khuẩn E. coli được quan sát trong điều kiện thích hợp, có tốc độ sinh trưởng được cho bởi hàm số \[f\left( t \right) = {480.2^t}\ln 2.\] Trong đó \[t\] tính bằng giờ \[\left( {t > 0} \right)\], \[f\left( t \right)\] tính bằng cá thể/giờ (Nguồn: R Larson and B.Edwards,Calculus 10e, Cengage). Biết tại thời điểm bắt đầu quan sát, số lượng cá thể được ước tính một cách chính xác khoảng 480 cá thể. Hàm số biểu thị số lượng cá thể theo thời gian \[t\] là:
\[F\left( t \right) = {480.2^t} + \ln 2\].
\[F\left( t \right) = {480.2^t}\].
\[F\left( t \right) = 480.\frac{{{2^t}}}{{\ln 2}}\].
\[F\left( t \right) = 480.\frac{{{2^t}}}{{\ln 2}} + C\].
Đáp án đúng là: B
Do \[\int {f\left( t \right)dt} = \int {{{480.2}^t}\ln 2{\rm{ }}dt} = 480.\ln 2.\frac{{{2^t}}}{{\ln 2}} + C = {480.2^t} + C = F(t)\].
Biết tại thời điểm bắt đầu quan sát, số lượng cá thể được ước tính một cách chính xác khoảng 480 cá thể nên
\[F(0) = {480.2^0} + C = 480 \Rightarrow C = 0\]. Suy ra \[F\left( t \right) = {480.2^t}\].
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(K(1;1;1)\) nhận \(\vec u = (1;0;1)\), \(\vec v = (1;1;0)\) là căp vectơ chỉ phương có phương trình tổng quát là:
\(x + y + z - 3 = 0\).
\(x - y + z - 1 = 0\).
\(x + y - z - 1 = 0\).
\( - x + y + z - 1 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 1\;;\;1\;;\;1} \right)\)là 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm nên chỉ có phương án D thỏa mãn.
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 5}}{8} = \frac{{y - 9}}{6} = \frac{{z - 12}}{3}\).
\(\overrightarrow {{u_1}} = (8;6;3)\).
\({\vec u_2} = (8;6; - 3)\).
\({\vec u_3} = ( - 8;6; - 3)\).
\({\vec u_4} = (5;9;12)\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 5}}{8} = \frac{{y - 9}}{6} = \frac{{z - 12}}{3}\) có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {8;\;6\;;\;3} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( { - 6; - 9;15} \right)\) và đường kính bằng 10 có phương trình là:
\({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 100\).
\({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z + 15} \right)^2} = 100\).
\({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z + 15} \right)^2} = 25\).
Đáp án đúng là: B
Do mặt cầu có đường kính bằng 10 nên bán kính bằng 5.
Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( { - 6; - 9;15} \right)\) và đường kính bằng 10 có phương trình là:\({\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 25\) .
Trong không gian\(Oxyz\), mặt phẳng cắt ba trục toa độ tại ba điểm \(D(3;0;0)\), \(E(0; - 2;0),G(0;0; - 7)\) có phương trình chính tắc là:
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} + 1 = 0\).
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{7} = 1\).
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} = 1\).
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} + \frac{z}{7} = 1\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình mặt chắn là: \(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} = 1\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện biến cố \(B\) đã xảy ra được gọi là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\), ký hiệu là PAB. Phát biểu nào sau đây đúng?
Nếu \(P\left( A \right) > 0\) thì \(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Nếu \(P\left( {A \cap B} \right) > 0\) thì \(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( A \right)}}{{P\left( {A \cap B} \right)}}\).
Nếu \(P\left( {A \cap B} \right) > 0\) thì \(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( B \right)}}{{P\left( {A \cap B} \right)}}\).
Đáp án đúng là: B
Công thức tính xác suất của biến cố \(A\) khi biết biến cố \(B\) đã xảy ra\(\left( {P\left( B \right) > 0} \right)\) là: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Cho sơ đồ hình cây như hình. Xác suất của biến cố \(B\) là
\(0,42\).
\(0,62\).
\(0,28\).
\(0,48\).
Đáp án đúng là: B
\(P\left( B \right) = 0,2.0,7 + 0,8.0,6 = 0,62\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + x\).
\(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Giá trị tích phân \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} \left( {a < b} \right)\) luôn dương.
Với \(t = 2x\) thì \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\sin 2x + 2x} \right)dx} \).
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = \frac{\pi }{3},x = 2\pi \) có dạng \(\frac{a}{b}{\pi ^2} - \frac{1}{2}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khi đó \(a + b = 35\).
a) S, b) Đ, c) S, d) S
a) \(f'\left( x \right) = \cos x + 1\).
Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\)\( \Rightarrow 0 \le \cos x + 1 \le 2\)\( \Rightarrow 0 \le f'\left( x \right) \le 2\).
b) \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} = f\left( b \right) - f\left( a \right)\).
Vì \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(a < b \Rightarrow f\left( a \right) < f\left( b \right) \Rightarrow f\left( b \right) - f\left( a \right) > 0\).
c) Đổi cận: \(t = 0 \Rightarrow x = 0;t = \frac{\pi }{3} \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\).
Do đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {\sin 2x + 2x} \right)dx} \).
d) \(S = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{2\pi } {\left| {\sin x + x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{2\pi } {\left( {\sin x + x} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - \cos x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{2\pi }\)\( = - 1 + 2{\pi ^2} + \frac{1}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{18}}\)\( = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{35{\pi ^2}}}{{18}}\).
Suy ra \(a + b = 35 + 18 = 53\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {2;1;0} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\).
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với \(d\) có phương trình tổng quát là \(2x + by + cz + d = 0\). Khi đó \(b + c + d = - 5\).
Gọi \(M'\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(d\). Khi đó \(M'\left( {1;0; - 2} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{a} = \frac{z}{b}\) đi qua \(M\) cắt và vuông góc với đường thẳng \(d\). Khi đó \(a + b = - 6\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\).
b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;1;0} \right)\) và vuông góc với \(d\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) - z = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - z - 5 = 0\).
Suy ra \(b = 1;c = - 1;d = - 5\). Do đó \(b + c + d = - 5\).
c) Gọi H là giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Khi đó tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ x=1+2ty=−2+tz=−t2x+y−z−5=0 ⇔x=1+2ty=−2+tz=−t2+4t−2+t+t−5=0 ⇔x=83y=−76z=−56t=56
Suy ra H83;−76;−56
Vì \(M'\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(d\) nên \(H\) là trung điểm của \(M'M\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2.\frac{8}{3} - 2\\{y_{M'}} = 2.\left( { - \frac{7}{6}} \right) - 1\\{z_{M'}} = 2.\left( { - \frac{5}{6}} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = \frac{{10}}{3}\\{y_{M'}} = - \frac{{10}}{3}\\{z_{M'}} = - \frac{{10}}{6}\end{array} \right.\). Vậy \(M'\left( {\frac{{10}}{3}; - \frac{{10}}{3}; - \frac{{10}}{6}} \right)\).
d) Giả sử \(\Delta \) cắt đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) tại \(K\). Suy ra \(K\left( {1 + 2t; - 2 + t; - t} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MK} = \left( {2t - 1;t - 3; - t} \right)\).
Vì \(\Delta \bot d\) nên \(\overrightarrow {MK} .\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2t - 1} \right).2 + \left( {t - 3} \right).1 + t = 0\)\( \Leftrightarrow t = \frac{5}{6}\).
Suy ra \(\overrightarrow {MK} = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{{13}}{6}; - \frac{5}{6}} \right) = \frac{2}{3}\left( {1; - \frac{{13}}{4}; - \frac{5}{4}} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {2;1;0} \right)\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {1; - \frac{{13}}{4}; - \frac{5}{4}} \right)\) có phương trình là
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - \frac{{13}}{4}}} = \frac{z}{{ - \frac{5}{4}}}\). Suy ra \(a + b = - \frac{9}{2}\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và điểm \(M\left( { - 1;0;2} \right)\).
Mặt cầu tâm \(I\) đi qua điểm \(M\) có bán kính là \(R = IM = \sqrt 3 \).
Phương trình mặt cầu tâm \(I\) và đi qua điểm \(M\) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \(M\) là \( - 2x + 2y - z = 0\).
Phương trình mặt cầu tâm \(I\), cắt trục \(Ox\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho độ dài đoạn \(AB = 2\sqrt 3 \) là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 16\).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) \(IM = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 + 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2}} = 3\).
b) Phương trình mặt cầu tâm \(I\) và đi qua điểm \(M\) có phương trình là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).
c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \(M\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - 2\left( {x + 1} \right) + 2y - \left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 2y - z = 0\).
d) Gọi \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên trục \(Ox\). Khi đó \(M\left( {1;0;0} \right)\).
Suy ra \(IM = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} \).
Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(MB = \sqrt 3 \).
Suy ra \(R = \sqrt {I{M^2} + M{B^2}} = \sqrt {16} \).
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\).
Xác suất để một chuyến bay khởi hành đúng giờ là \(P\left( D \right) = 0,83\); xác suất để nó đến đúng giờ là \(P\left( A \right) = 0,82\); xác suất để nó khởi hành và đến đều đúng giờ là \(P\left( {D \cap A} \right) = 0,78\).
Xác suất để một máy bay đến đúng giờ biết rằng nó đã khởi hành đúng giờ là 0,94.
Xác suất để một máy bay khởi hành đúng giờ biết rằng nó sẽ đến đúng giờ là 0,85.
Xác suất để một máy bay đến đúng giờ biết rằng nó khởi hành không đúng giờ là 0,24.
Xác suất để một máy bay khởi hành đúng giờ biết rằng nó sẽ đến không đúng giờ là 0,95.
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Ta có \(P\left( {A|D} \right) = \frac{{P\left( {A \cap D} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{0,78}}{{0,83}} \approx 0,94\).
b) \(P\left( {D|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap D} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,78}}{{0,82}} \approx 0,95\).
c) \(P\left( {A|\overline D } \right) = \frac{{P\left( {A \cap \overline D } \right)}}{{P\left( {\overline D } \right)}} = \frac{{P\left( A \right) - P\left( {A \cap D} \right)}}{{1 - P\left( D \right)}} = \frac{{0,82 - 0,78}}{{1 - 0,83}} \approx 0,24\).
d) \(P\left( {D|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {D \cap \overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( D \right) - P\left( {D \cap A} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0,83 - 0,78}}{{1 - 0,82}} \approx 0,28\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Cho đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và hình phẳng được tô màu như hình bên dưới. Tính diện tích hình phẳng đó (làm tròn đến hàng đơn vị).
Trả lời: 4
Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \cos x,\,y = x\) và hai đường thẳng \(x = 1,\,x = 3\). Khi đó diện tích hình phẳng được tính theo công thức
\(S = \int\limits_1^3 {\left| {\cos x - x} \right|{\rm{d}}x} \). Vì \(x \ge \cos x,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\) nên ta có:
\(S = \int\limits_1^3 {\left( {x - \cos x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \sin x} \right)} \right|_1^3 = 4 - \sin 3 + \sin 1 \approx 4\).
Cho \(\int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} + 3}}} = a\ln 2 + b\ln 5\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: −1
Ta có \(\int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} + 3}}} = \int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{d\left( {{e^x} + 3} \right)}}{{{e^x} + 3}}} = \left. {\ln \left| {{e^x} + 3} \right|} \right|_0^{\ln 2}\)\( = \ln 5 - \ln 4\)\( = \ln 5 - 2\ln 2\).
Suy ra \(a = - 2;b = 1\). Do đó \(a + b = - 1\).
Bạn Hải nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol \[y = f\left( x \right)\] và \[y = g\left( x \right)\] như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét). Bạn Hải cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi kí hợp đồng. Diện tích của logo là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Trả lời: 9,8
Gọi parabol \(y = f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\). Parabol \(y = f\left( x \right)\) nhận \(Oy\) làm trục đối xứng nên ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\). Lại có đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) và điểm \(\left( {2;0} \right)\) nên \(a = \frac{1}{4}\) và \(c = - 1\).
Vậy parabol\(y = f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^2} - 1\).
Tương tự, ta cũng có parabol \(y = g\left( x \right) = - \frac{1}{4}{x^2} + 2\).
Phương trình hoành độ giao điểm của \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là:
\(\frac{1}{4}{x^2} - 1 = - \frac{1}{4}{x^2} + 2 \Leftrightarrow x = \sqrt 6 \) hoặc \(x = - \sqrt 6 \).
Khi đó, diện tích của logo là:
\[\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left[ {\left( { - \frac{1}{4}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]dx} \\\,\,\, = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left( {3 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx = } \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } = 4\sqrt 6 \approx 9,8\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\end{array}\].
Khi gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí \(A\left( {3;\, - 2;\,3} \right)\) đến vị trí \(B\left( {8;\,8;\,0} \right)\). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng \(AB\) và sân bay (một phần của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Trả lời: 15
Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (5;\,10;\, - 3)\), mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (0\,;0\,;1)\).
Từ đó, góc \(\alpha \)giữa đường bay (một phần của đường thẳng \(AB\)) và sân bay (một phần của mặt phẳng\((Oxy))\) có \(\sin \alpha = \frac{3}{{\sqrt {134} }}\).
Suy ra\(\alpha \approx 15^\circ \).
Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (kết quả là tròn đến một chữ số thập phân).
Trả lời: 23,9
Đặt \(O\) là vị trí giao nhau giữa hai bức tường và nền nhà.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Ta có \(M\left( {18;17;21} \right)\).
Vì khoảng cách từ tâm quả bóng đến bức tường bằng nhau nên tâm của quả bóng có tọa độ là \(I\left( {r;r;r} \right)\).
Do \(M\) nằm trên bề mặt bóng nên khoảng cách từ tâm I đến M chính bằng r.
Do đó ta có \(\sqrt {{{\left( {18 - r} \right)}^2} + {{\left( {17 - r} \right)}^2} + {{\left( {21 - r} \right)}^2}} = r\)\( \Leftrightarrow 3{r^2} - 112r + 1054 = {r^2}\)
\( \Leftrightarrow 2{r^2} - 112r + 1054 = 0\)\( \Leftrightarrow r \approx 44,03\) hoặc \(r \approx 11,96\).
Vì quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm nên chọn \(r \approx 11,96\).
Do đó đường kính của bóng rổ khoảng 23,9 cm.
Một cuộc thi khoa học có \(36\) bộ câu hỏi, trong đó có \(20\) bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên và \(16\) bộ câu hỏi về chủ đề xã hội. Bạn An lấy ngẫu nhiên \(1\) bộ câu hỏi (lấy không hoàn lại), sau đó bạn Bình lấy ngẫu nhiên \(1\) bộ câu hỏi. Xác suất bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 13
Xét các biến cố:
A: “Bạn An lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên”;
B: “Bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội”.
Khi đó, \(P\left( A \right) = \frac{{20}}{{36}} = \frac{5}{9};P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\).
Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn \(35\) bộ câu hỏi, trong đó có \(16\) câu hỏi về chủ đề xã hội, suy ra \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{16}}{{35}}\).
Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn \(35\) bộ câu hỏi, trong đó có \(15\) câu hỏi về chủ đề xã hội, suy ra \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{15}}{{35}}\).
Xác suất bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội là
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = \frac{5}{9}.\frac{{16}}{{35}} + \frac{4}{9}.\frac{{15}}{{35}} = \frac{4}{9}\).
Suy ra \(a + b = 13\).
