Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 4
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Nếu \(\int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}x} = 5\) và \(\int\limits_2^3 {f(x){\rm{d}}x} = - 2\) thì \(\int\limits_1^3 {f(x){\rm{d}}x} \) bằng
\[3\].
\[7\].
\[ - 10\].
\[ - 7\].
Đáp án đúng là: A
\(\int\limits_1^3 {f(x){\rm{d}}x} \, = \int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_2^3 {f(x){\rm{d}}x} = 5 + ( - 2) = 3\,\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x = - 1\) và \(x = 4\) (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 
\(S = - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).
\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).
\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).
\(S = - \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1;2;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;3; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;3; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Từ phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0\) ta có vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1;2;3} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{3}\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của \(d\)?
\[\overrightarrow {{u_2}} \left( {2;4; - 1} \right)\].
\[\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; - 5;3} \right)\].
\[\overrightarrow {{u_3}} \left( {2;5;3} \right)\].
\[\overrightarrow {{u_4}} \left( {3;4;1} \right)\].
Đáp án đúng là: B
\[\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; - 5;3} \right)\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2z - 7 = 0\). bán kính của mặt cầu đã cho bằng
\(\sqrt 7 \).
\(9\).
\(3\).
\(\sqrt {15} \).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2z - 7 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {3^2}\)
Suy ra bán kính của mặt cầu đã cho bằng \(R = 3\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua \(O\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;\, - 2;\,5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(x + 2y - 5z = 0\).
\(x + 2y - 5z + 1 = 0\).
\(x - 2y + 5z = 0\).
\(x - 2y + 5z + 1 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua \(O\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;\, - 2;\,5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x - 2y + 5z = 0\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d\)đi qua điểm \(M\left( {3;\, - 1;\,4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;\,4;\,5} \right)\). Phương trình của \(d\)là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + 3t}\\{y = 4 - t}\\{z = 5 + 4t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = - 1 + 4t}\\{z = 4 + 5t}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - 2t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = 4 + 5t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - 2t}\\{y = - 1 + 4t}\\{z = 4 + 5t}\end{array}} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Vì đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {3;\, - 1;\,4} \right)\)và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;\,4;\,5} \right)\) nên phương trình của đường thẳng \(d\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - 2t}\\{y = - 1 + 4t}\\{z = 4 + 5t}\end{array}} \right.\).
Tính góc tạo bởi đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + y + z - 1 = 0\).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \)
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2;1;1} \right)\).
\(\sin \left( {d,\left( \alpha \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \left( {d,\left( \alpha \right)} \right) = 30^\circ \).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\) và \(B\left( {4;1;2} \right)\). Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(AB\) có phương trình là
\(3x + y + 2z - 17 = 0\).
\(3x + y + 2z - 3 = 0\).
\(5x + y + 2z - 5 = 0\).
\(5x + y + 2z - 25 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\left( {1;0;0} \right)\) và vuông góc với \(AB\).
Do \(\left( P \right) \bot AB\) nên vectơ \(\vec n = \overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)cần lập là: \(3x + y + 2z - 3 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,0\,;\, - 3} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)\). Phương trình của \(\left( S \right)\) là
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\).
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 5\).
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\).
\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 5\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,0\,;\, - 3} \right)\) và bán kính \(R\) là: \({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {R^2}\).
Ta có: \(M \in \left( S \right) \Rightarrow {4^2} + {0^2} + {\left( {0 + 3} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow {R^2} = 25\).
Vậy phương trình cần tìm là: \({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\).
Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.
\[\frac{2}{6}\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{1}{6}\].
\[\frac{5}{6}\].
Đáp án đúng là: C
Gọi \[A\] là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”
Gọi \[B\] là biến cố “ Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.
Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì \[P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{6}\].
Cho \(A,B\) là các biến cố của một phép thử \(T.\) Biết rằng \(0 < P\left( A \right) < 1,\) xác suất của biến cố \(B\) được tính theo công thức nào sau đây?
\(P\left( B \right) = P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {\left. A \right|\bar B} \right).\)
\(P\left( B \right) = P\left( B \right).P\left( {\left. B \right|A} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {\left. B \right|\bar A} \right).\)
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {\left. A \right|\bar B} \right).\)
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {\left. B \right|\bar A} \right).\)
Đáp án đúng là: D
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {\left. B \right|\bar A} \right).\)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3x - 2\).
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
\(\int {F\left( x \right)} dx = f\left( x \right)\).
Đồ thị hàm số \(y = F\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;10} \right)\). Giá trị \(F\left( { - 2} \right) = 6\).
\(F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = - 6\).
a)Đ, b) S, c) S, d) S
a) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
b) \(\int {f\left( x \right)} dx = F\left( x \right)\).
c) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^3} + 3x - 2} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + 3\frac{{{x^2}}}{2} - 2x + C\).
Vì đồ thị hàm số \(y = F\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;10} \right)\) nên \(F\left( 2 \right) = 10\).
Suy ra \(\frac{{{2^4}}}{4} + 3.\frac{{{2^2}}}{2} - 2.2 + C = 10\)\( \Leftrightarrow C = 4\).
Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + 3\frac{{{x^2}}}{2} - 2x + 4\).
Vậy \(F\left( { - 2} \right) = \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^4}}}{4} + 3\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} - 2.\left( { - 2} \right) + 4 = 18\).
d) Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} + 3x - 2} \right)dx} = 6 = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\).
Biết rằng hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \frac{7}{2}\), \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = - 2} \) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).
\(F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) = - \frac{7}{2}\).
Cho \(F\left( 0 \right) = 3\) thì khi đó \(F\left( 2 \right) = 5\).
\(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx\).
\(a + b + 3c = - 12\).
a) Đ, b) S, c) S, d) S
a) \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^1 = F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) = - \frac{7}{2}\).
b) \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = - 2} \) mà \(F\left( 0 \right) = 3\) nên \(F\left( 2 \right) = 1\).
c) \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx + C\).
d) Vì \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \frac{7}{2}\) nên \(\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = - \frac{7}{2}\) (1) và \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = - 2} \) nên \(\frac{{8a}}{3} + 2b + 2c = - 2\) (2).
Từ (1) và (2), ta có a3+b2+c=−728a3+2b+2c=−2 ⇒2a+3b+6c=−218a+6b+6c=−6 ⇒2a+3b+6c=−212a+b=5
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3\left( {5 - 2a} \right) + 6c = - 21\\b = 5 - 2a\end{array} \right.\)\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 3c = - 18\\b = 5 - 2a\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{{ - 18 + 2a}}{3}\\b = 5 - 2a\end{array} \right.\].
Do đó \(a + b + 3c = a + 5 - 2a - 18 + 2a = a - 13\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;3; - 1} \right)\) cắt đường thẳng \(d:\frac{{x - 11}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 25}}{{ - 2}}\) tại hai điểm \(A,B\) sao cho \(AB = 16\).
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {5; - 3; - 31} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(I\left( {2;3; - 1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là \(2x + y - 2z - 9 = 0\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 225\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {5; - 3; - 31} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \(\frac{{5 - 11}}{2} = \frac{{ - 3}}{1} = \frac{{ - 31 + 25}}{{ - 2}}\) (sai).
Do đó đường thẳng \(d\)không đi qua điểm \(A\left( {5; - 3; - 31} \right)\).
c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(I\left( {2;3; - 1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\) có phương trình là \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 3} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0\) hay \(2x + y - 2z - 9 = 0\).
d)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \(AB\). Suy ra \(HA = HB = 8\).
Tọa độ điểm \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 2t\\y = t\\z = - 25 - 2t\\2x + y - 2z - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 2t\\y = t\\z = - 25 - 2t\\2\left( {11 + 2t} \right) + t - 2\left( { - 25 - 2t} \right) - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 25\\y = 7\\z = - 39\\t = 7\end{array} \right.\).
Suy ra \(H\left( {25;7; - 39} \right)\).
Ta có \(IH = \sqrt {{{\left( {25 - 2} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 39 + 1} \right)}^2}} = 3\sqrt {221} \).
Do đó \(R = \sqrt {I{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {1989 + 64} = \sqrt {2053} \).
Vậy \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2053\).
Một thùng hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm loại I và 17 sản phẩm loại II. Trong quá trình vận chuyển, một sản phẩm bị thất lạc không rõ chất lượng. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 19 sản phẩm còn lại.
Xác suất sản phẩm bị thất lạc là sản phẩm loại II là \(\frac{3}{{20}}\).
Xác suất lấy được sản phẩm loại I nếu sản phẩm bị thất lạc là sản phẩm loại II là xấp xỉ \(13,4\% \).
Xác suất lấy được sản phẩm loại I nếu sản phẩm bị thất lạc cũng là sản phẩm loại I là xấp xỉ \(2,4\% \).
Xác suất lấy được sản phẩm loại I là \(15\% \).
a) S, b) S, c) S, d) Đ
Gọi A là biến cố: “Sản phẩm bị thất lạc là sản phẩm loại II”
B là biến cố: “Sản phẩm bị thất lạc là sản phẩm loại I”
C là biến cố “Lấy được sản phẩm loại I từ 19 sản phẩm còn lại”.
a) Xác suất sản phẩm bị thất lạc là sản phẩm loại II là \(P\left( A \right) = \frac{{17}}{{20}}\).
b) Ta có \(P\left( {C|A} \right) = \frac{{P\left( {C \cap A} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{3}{{19}}\).
c) Ta có \(P\left( {C|B} \right) = \frac{2}{{19}}\).
d) Ta có \(P\left( C \right) = P\left( A \right).P\left( {C|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {C|B} \right) = \frac{{17}}{{20}}.\frac{3}{{19}} + \frac{3}{{20}}.\frac{2}{{19}} = \frac{3}{{20}} = 15\% \).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Cho \(\int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 3}}} dx = a\ln 2 + b\ln 5\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: −1
Ta có \(\int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 3}}} dx = \int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{d\left( {{e^x} + 3} \right)}}{{{e^x} + 3}}} = \left. {\ln \left| {{e^x} + 3} \right|} \right|_0^{\ln 2} = \ln 5 - \ln 4 = \ln 5 - 2\ln 2\).
Suy ra \(a = - 2;b = 1\). Do đó \(a + b = - 1\).
Cho hình phẳng \[\left( H \right)\] giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt x - 2\], trục hoành và đường thẳng \[x = 9\]. Khối tròn xoay tạo thành khi quay \[\left( H \right)\] quanh trục hoành có thể tích \[V\] bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Trả lời: 5,8
Xét phương trình hoành độ giao điểm \[\sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4\].
Thể tích khối tròn xoay tạo thành là
\[V = {\rm{\pi }}\int\limits_4^9 {{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} = {\rm{\pi }}\int\limits_4^9 {\left( {x - 4\sqrt x + 4} \right){\rm{d}}x} = \left. {{\rm{\pi }}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{8}{3}x\sqrt x + 4x} \right)} \right|_4^9 = \frac{{11\pi }}{6} \approx 5,8\].
Một bác thợ gốm làm một cái chậu trồng cây, phần trong chậu cây có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm như hình sau quanh trục \(Ox\)(đơn vị trên trục là đềximét), biết đường cong trong hình là đồ thị của hàm số \(y = \sqrt {x + 1} \), đáy chậu và miệng chậu có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Dung tích của chậu là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Trả lời: 23,6
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Theo đề ta có \(\sqrt {x + 1} = 2 \Leftrightarrow x = 3\).
Dung tích của chậu là \(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)}^2}dx} \)\( = \pi \int\limits_0^3 {\left( {x + 1} \right)dx} = \frac{{15\pi }}{2} \approx 23,6\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {4; - 2;4} \right),B\left( { - 2;6;4} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 1\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(M\) là điểm di động thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) và \(N\) là điểm di động thuộc \(d.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(MN.\)
Trả lời: 2
\(\left( {Oxy} \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
\(d\) có 1 vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)\). Nên \(d \bot \left( {Oxy} \right)\).
Gọi \(P = d \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow P\left( {5; - 1;0} \right)\)
Gọi \(I\)là trung điểm \(AB\)\( \Rightarrow I\left( {1;2;4} \right)\).
\(\widehat {AMB} = 90^\circ \)\( \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\), bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {8^2} + {0^2}} }}{2} = 5.\)
Mà \(M \in \left( {Oxy} \right)\) nên \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) là giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)\[ \Rightarrow H\left( {1;2;0} \right)\].
Suy ra \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \[H\left( {1;2;0} \right)\], bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {25 - 16} = 3\).
Ta có: \(MN \ge MP \ge HP - r = \sqrt {16 + 9} - 3 = 2\).
Vậy \(M{N_{\min }} = 2\).
Dấu “=” xảy ra khi \(N \equiv P\) và \(H,M,P\) thẳng hàng (\(M\) nằm giữa \(H,P\)).
Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ \(Oxyz\) để theo dõi vị trí của quả bóng M. Cho biết \[M\] đang nằm trên mặt sân có phương trình \(z = 0\), đồng thời thuộc mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 32} \right)^2} + {\left( {y - 50} \right)^2} + {\left( {z - 8} \right)^2} = 100\) (đơn vị độ dài tính theo mét). Tính khoảng cách từ vị trí \(M\) của quả bóng đến điểm \(J\) với \(J\) là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt sân.
Trả lời: 6
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( {32;50;8} \right)\) và \(R = 10\).
Vì \(J\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt sân nên \(J\left( {32;50;0} \right)\).
Ta có tam giác \(IJM\) vuông tại \(J\).
Có \(IJ = \sqrt {{{\left( {32 - 32} \right)}^2} + {{\left( {50 - 50} \right)}^2} + {{\left( {0 - 8} \right)}^2}} = 8\).
Suy ra \(JM = \sqrt {{R^2} - I{J^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}} = 6\).
Tại một khu phố có 100 căn nhà, trong đó có 40 căn nhà gắn biển số lẻ. Biết rằng có 25 căn nhà gắn biển số lẻ và 15 nhà gắn biển số chẵn có ô tô. Chọn ngẫu nhiên một nhà trong khu phố đó. Tính xác suất nhà được chọn gắn biển số lẻ, biết rằng nhà đó không có ô tô.
Trả lời: 0,25
Gọi A là biến cố “Nhà đó gắn biển số lẻ”.
B là biến cố “Nhà đó có ô tô”.
Cần tính \(P\left( {A|\overline B } \right)\).
Số nhà biển lẻ và không có ô tô là \(40 - 25 = 15\).
Số nhà không có ô tô là: \(\left( {40 - 25} \right) + \left( {60 - 15} \right) = 60\).
Suy ra \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{15}}{{60}} = 0,25\).
