Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 2
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hai tích phân \(\int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 8\) và \(\int\limits_5^{ - 2} {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 3\). Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left[ {f\left( x \right) - 4g\left( x \right) - 1} \right]{\rm{d}}x} \).
\[I = - 11\].
\[I = 13\].
\[I = 27\].
\[I = 3\].
Đáp án đúng là: B
Ta có:\(I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left[ {f\left( x \right) - 4g\left( x \right) - 1} \right]{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 4\int\limits_5^{ - 2} {g\left( x \right){\rm{d}}x} - \left. x \right|_{ - 2}^5\)\( = 8 + 4.3 - \left( {5 + 2} \right) = 13\).
Cho \(\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 2x} \right]dx} = 1\). Khi đó \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx\)bằng:
\[1\].
\[ - 3\].
\[3\].
\[ - 1\].
Đáp án đúng là: A
\[\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 2x} \right]dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx - 2\int\limits_1^2 {xdx} } = 1 \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx - 2.} \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^2 = 1\\ \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 4 \Leftrightarrow } \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 1} .\end{array}\]
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( P \right):3x - z + 2 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3\,;\,0\,;\, - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3\,;\, - 1\,;\,2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 3\,;\,0\,;\, - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3\,;\, - 1\,;\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng \(\left( P \right):3x - z + 2 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3\,;\,0\,;\, - 1} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\). Điểm nào sau đây không thuộc \(d\)?
\(Q\left( { - 3\,;\, - 2\,;\,1} \right)\).
\(M\left( {4\,;\, - 1\,;\,1} \right)\).
\(N\left( {2\,;\,5\,;\, - 3} \right)\).
\(P\left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Thay tọa độ của \(Q\left( { - 3\,;\, - 2\,;\,1} \right)\) vào \(d\) ta có \(\frac{{ - 3 - 3}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 - 2}}{3} = \frac{{1 + 1}}{{ - 2}}\) vô lý.
Vậy điểm \(Q\left( { - 3\,;\, - 2\,;\,1} \right)\) không thuộc \(d\).
Trong không gian \[Oxyz\] cho mặt cầu \[\left( S \right)\]có phương trình:\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 4z - 7 = 0\]. Xác định tọa độ tâm \[I\] và bán kính \[R\] của mặt cầu\[\left( S \right)\]:
\[I\left( { - 1; - 2;2} \right)\];\[R = 3\].
\[I\left( {1;2; - 2} \right)\];\[R = \sqrt 2 \].
\[I\left( { - 1; - 2;2} \right)\];\[R = 4\].
\[I\left( {1;2; - 2} \right)\];\[R = 4\].
Đáp án đúng là: D
\[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 4z - 7 = 0\]\( \Rightarrow a = 1\);\(\,b = 2\);\(\,c = - 2\);\(d = - 7\)
\( \Rightarrow R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)\( = 4\); \[I\left( {1;2; - 2} \right)\].
Trong không gian \[Oxyz\], cho \[A\left( {9;\,0;\,0} \right),\,B\left( {0;\,9;\,0} \right),\,C\left( {0;\,0;\,9} \right)\]. Tìm tọa độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].
\[\left( {1;\,2;\,3} \right)\].
\[\left( {81;81;81} \right)\].
\[\left( {9;\,0;\,0} \right)\].
\[\left( {9;\,0;\,9} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 9;\,9;\,0} \right)\]; \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 9;\,0;\,9} \right)\].
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {81;\,81;\,81} \right)\].
Gọi hai điểm \({M_1},{M_2}\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\left( {2;5;4} \right)\) lên trục \(Oy\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({M_1}{M_2}\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;5;4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2; - 5;4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {2;5;4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2; - 5;4} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({M_1}\left( {0;5;0} \right)\) và \({M_2}\left( {2;0;4} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {2; - 5;4} \right)\).
Đường thẳng \({M_1}{M_2}\)nhận \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \overrightarrow {{u_3}} = \left( {2; - 5;4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là \(x - z - 3 = 0\). Tính góc giữa \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
\(30^\circ \).
\(60^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: C
\(\left( P \right)\) có một véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;0; - 1)\)
\(\left( {Oxy} \right)\) có một véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'} = (0;0;1)\)
Do đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = 45^\circ \).
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[I\left( {1\,;\,4\,;\,0} \right)\]. Mặt cầu \[\left( S \right)\] tâm \[I\] và đi qua \[M\left( {1\,;\,4\,;\, - 2} \right)\] có phương trình là
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 4\].
\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 2\].
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 4\].
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 2\].
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {1\,;\,4\,;\,0} \right)\], bán kính bằng \[IM = 2\] nên phương trình của mặt cầu \[\left( S \right)\] là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 4\].
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 1 = 0\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại điểm \(A\left( {1;1;3} \right)\).
\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {z^2} = 27\).
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 27\).
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 27\).
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 27\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\left( {1;1;3} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Khi đó đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) thì \(I = d \cap \left( {Oxy} \right)\), suy ra \(I\left( {4;4;0} \right)\).
Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = IA = \sqrt {27} \).
Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {z^2} = 27\).
Cho \(A,B\) là các biến cố của một phép thử \(T.\) Biết rằng \(P\left( A \right) > 0\) và \(0 < P\left( B \right) < 1.\) Xác suất của biến cố \(B\) với điều kiện biến cố \(A\) đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
\[P\left( {\left. B \right|A} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\left. A \right|B} \right)}}{{P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {\left. A \right|\bar B} \right)}}.\]
\[P\left( {\left. B \right|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {\left. B \right|\bar A} \right)}}.\]
\[P\left( {\left. B \right|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right)}}{{P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {\left. A \right|\bar B} \right)}}.\]
\[P\left( {\left. B \right|A} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\left. A \right|B} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right) + P\left( {\left. B \right|\bar A} \right)}}.\]
Đáp án đúng là: C
Theo công thức Bayes, ta có \[P\left( {\left. B \right|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right)}}{{P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {\left. A \right|\bar B} \right)}}.\]
Dây chuyền lắp ráp được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp 60% chi tiết, máy thứ hai cung cấp 40% chi tiết. Khoảng 90% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất là đạt tiêu chuẩn, còn 85% chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền một sản phẩm, lấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất.
\(0,713\).
\(0,715\).
\(0,814\).
\(0,614\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(A\) là biến cố “Sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất”
B là biến cố “Sản phẩm đó đạt tiêu chuẩn”.
Theo đề ta có: \(P\left( A \right) = 0,6;P\left( {\overline A } \right) = 0,4\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,9;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,85\).
Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,6.0,9 + 0,4.0,85 = 0,88\).
Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,6.0,9}}{{0,88}} \approx 0,614\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = {e^x} - 2x\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\).
\(F'\left( 0 \right) = 0\).
\(F\left( 1 \right) = e - 1\).
\(\int {F\left( x \right)} dx = {e^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + C\).
\(\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{x{e^x}}}dx = \ln \left| x \right|} - 2{e^x} + C\).
a)S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Suy ra \(F'\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = {e^0} - 2.0 = 1\).
b) Có \(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} - 2x} \right)dx} = {e^x} - {x^2} + C\).
Mà \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \(F\left( 0 \right) = {e^0} - 0 + C = 1 \Rightarrow C = 0\).
Do đó \(F\left( x \right) = {e^x} - {x^2}\). Suy ra \(F\left( 1 \right) = {e^1} - {1^2} = e - 1\).
c) \(\int {F\left( x \right)} dx = \int {\left( {{e^x} - {x^2}} \right)dx} = {e^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + C\).
d) \[\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{x{e^x}}}dx = } \int {\frac{{{e^x} - 2x}}{{x{e^x}}}dx = } \int {\left( {\frac{1}{x} - 2{e^{ - x}}} \right)dx} = \ln \left| x \right| + 2{e^{ - x}} + C\].
Cho một viên gạch men có dạng hình vuông \(OABC\) như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;1} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( {1;0} \right)\) và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) và \(y = \sqrt[3]{x}\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\), trục \(Ox\), đường thẳng \(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt[3]{x}} \right|dx} \).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục \(Ox\), đường thẳng \(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\) có giá trị bằng \(\frac{3}{4}\) (đvdt).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) và \(y = \sqrt[3]{x}\), đường thẳng \(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - \sqrt[3]{x}} \right)dx} \).
Diện tích phần không được tô đậm trên viên gạch mem có giá trị bằng \(\frac{1}{2}\) (đvdt).
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\), trục \(Ox\), đường thẳng \(x = 0\) và đường thẳng \(x = 1\) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt[3]{x}} \right|dx} \).
b) Ta có \({S_1} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3}} \right|dx} = \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{1}{4}\).
c) \({S_2} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - \sqrt[3]{x}} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt[3]{x} - {x^3}} \right)dx} \).
d) Ta có \({S_2} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt[3]{x} - {x^3}} \right)dx} = \frac{1}{2}\)
Diện tích phần không tô đậm là \({S_3} = {S_{OABC}} - {S_2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(x + 2y - z + 3 = 0\) và điểm \(A\left( {1;1;2} \right)\).
Tọa độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\left( {1;2; - 1} \right)\).
Điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Phương trình mặt cầu tâm \(A\) và có bán kính bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 8\).
Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là \(x + 2y - z - 1 = 0\).
a)Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;1;2} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0\) ta được:
\(1 + 2.1 - 2 + 3 = 4 \ne 0\). Do đó điểm \(A \notin \left( P \right)\).
c) \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.1 - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 6 }}\).
Phương trình mặt cầu cần tìm là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{{16}}{6} = \frac{8}{3}\).
d) Vì \(\left( Q \right)//\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right):x + 2y - z + D = 0\left( {D \ne 3} \right)\).
Vì \(A \in \left( Q \right)\) nên \(1 + 2.1 - 2 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 1\).
Vậy \(\left( Q \right):x + 2y - z - 1 = 0\).
Một nhà máy thực hiện khảo sát toàn bộ công nhân về sự hài lòng của họ về điều kiện làm việc tại phân xưởng, Kết quả khảo sát như sau
Gặp ngẫu nhiên một công nhân của nhà máy. Gọi \(A\) là biến cố “Công nhân đó làm việc tại phân xưởng I” và B là biến cố “Công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng”.
Xác suất của biến cố \(A\) là \(\frac{7}{{15}}\).
Xác suất của biến cố \(B\) là \(0,65\).
Xác suất gặp được công nhân không hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng biết công nhân đó thuộc xưởng I là \(\frac{{12}}{{35}}\).
Xác suất gặp được công nhân thuộc phân xưởng II biết công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng là 0,52.
a)Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Số công nhân làm ở phân xưởng I là \(23 + 12 = 35\).
Tổng số công nhân của hai phân xưởng là \(23 + 12 + 25 + 15 = 75\).
Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{35}}{{75}} = \frac{7}{{15}}\).
b) Số công nhân hài lòng với điều kiện làm việc của phân xưởng là: \(23 + 25 = 48\).
Suy ra \(P\left( B \right) = \frac{{48}}{{75}} = 0,64\).
c) \(P\left( {\overline B |A} \right) = \frac{{12}}{{35}}\).
d) \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{25}}{{40}} = 0,625\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Biết \(F\left( x \right) = {e^x}\left( {m\sin x + n\cos x} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x}\left( {2\sin x - 3\cos x} \right)\). Tính \(S = {m^2} + {n^2}\).
Trả lời: 6,5
\(F'\left( x \right) = {e^x}\left( {m\sin x + n\cos x} \right) + {e^x}\left( {m\cos x - n\sin x} \right)\)\( = {e^x}\left[ {\left( {m - n} \right)\sin x + \left( {n + m} \right)\cos x} \right]\).
Vì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}m - n = 2\\m + n = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{1}{2}\\n = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\).
Suy ra \(S = {m^2} + {n^2} = \frac{{13}}{2} = 6,5\).
Biết tích phân \(I = \int\limits_0^1 {{e^{x + 1}}dx} \) có dạng \(a{e^2} + be\). Tính giá trị biểu thức \(S = {\log _2}{\left( {a - b} \right)^{2026}}.\)
Trả lời: 2026
Ta có \(I = \int\limits_0^1 {{e^{x + 1}}dx} \)\( = \int\limits_0^1 {{e^{x + 1}}d\left( {x + 1} \right)} = \left. {{e^{x + 1}}} \right|_0^1 = {e^2} - e\).
Suy ra \(a = 1;b = - 1\).
Do đó \(S = {\log _2}{2^{2026}} = 2026\).
Để trang trí cho một phòng trong một tòa nhà, người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm có một cánh hoa hình parabol, đỉnh của parabol cách cạnh 3 dm và nằm phía ngoài hình lục giác, đường parabol đó đi qua hai đầu mút của mỗi cạnh (xem hình sau). Hãy tính diện tích của hình nói trên (kể cả hình lục giác đều) để mua sơn trang trí cho phù hợp. (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Trả lời: 34,4
Xét một cánh hoa trong hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ
Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Ta có \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\) và có đỉnh \(I\left( {0;3} \right)\).
Suy ra \(\left( P \right):y = - 3{x^2} + 3\).
Do đó diện tích mỗi cánh hoa là \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( { - 3{x^2} + 3} \right)dx} = 4\;{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Hơn nữa diện tích của lục giác đều cạnh 2 dm bằng 6 lần diện tích của tam giác đều cạnh 2 dm.
Vậy diện tích của hình trên là \({S_H} = 6\left( {\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} + 4} \right) = 6\sqrt 3 + 24 \approx 34,4\) dm2.
Biết góc quan sát ngang của một camera là \(116^\circ \). Trong không gian \(Oxyz\), camera được đặt tại điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 13 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số phần mười).
Trả lời: 6,4
Gọi \(BC\) là đường kính của hình tròn.
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(H\) lên \(BC\).
Ta có \(AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 - 2.5 + 13} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{6}{3} = 2\).
Suy ra \(HC = AH.\tan 58^\circ = 2.\tan 58^\circ \approx 3,2\).
Do đó \(BC = 2HC = 6,4\).
Vùng quan sát được trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) của camera là hình tròn có đường kính bằng 6,4.
Trong không gian \(Oxyz\), một viên đạn được bắn ra từ điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi, vectơ vận tốc (trên giây) là \(\overrightarrow v = \left( {2;1;5} \right)\). Khi viên đạn trúng mục tiêu tại điểm \(B\left( {5;a;b} \right)\) thì giá trị của biểu thức \(b - a\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 9
Phương trình đường viên đạn đi là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.\).
Khi viên đạn trúng mục tiêu tại điểm \(B\left( {5;a;b} \right)\) nên \(1 + 2t = 5 \Leftrightarrow t = 2\).
Do đó tọa độ điểm B là \(B\left( {5;4;13} \right)\). Vậy \(b - a = 13 - 4 = 9\).
Trong 1 đám đông, số người nam bằng số người nữ. Xác suất mắc cận thị của nam là \(0,4\) và nữ là \(0,6\). Chọn ngẫu nhiên 1 người. Xác suất chọn được nam không cận thị (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Trả lời: 0,6
Gọi biến cố A “Người được chọn là nam”.
Biến cố B “Người được chọn bị cận thị”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,5\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,4;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,6\).
Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,5.0,4 + 0,5.0,6 = 0,5\).
Ta có \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0,5;P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Suy ra \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,5.0,6}}{{0,5}} = 0,6\).
