Bộ 10 đề thi Cuối kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 4
39 câu hỏi
Trên đường tròn lượng giác, gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo $\alpha $. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
$\sin \alpha = {y_0}$.
$\sin \alpha = {x_0}$.
$\sin \alpha = - {x_0}$.
$\sin \alpha = - {y_0}$.
Chọn A
Hàm số nào sau đây là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi $.
$y = \sin x$.
$y = \cos x$.
$y = \tan 2x$.
$y = \cot x$.
Chọn D
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là hình vẽ dưới đây
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số đồng biến trên $\left( { - \pi ;0} \right)$.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.
Hàm số đồng biến trên $\left( {0;\pi } \right)$.
Hàm số đồng biến trên $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.
Chọn D
Tìm nghiệm của phương trình $2\sin x - 3 = 0$.
$x \in \emptyset $.
$\left[ \begin{gathered}
x = \arcsin \frac{3}{2} + k2\pi \hfill \\
x = \pi - \arcsin \frac{3}{2} + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
$\left[ \begin{gathered}
x = \arcsin \frac{3}{2} + k2\pi \hfill \\
x = - \arcsin \frac{3}{2} + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
$x \in \mathbb{R}$.
Chọn A
Phương trình \[\tan x = - 1\] có nghiệm là
$x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
$x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
$x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
Chọn D
Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát ${u_n}$ sau, dãy số nào giảm?
${u_n} = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^n}$.
${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{5^n} - 1} \right)$.
${u_n} = - {3^n}$.
${u_n} = \sqrt {n + 4} $.
Chọn C
Xét tính bị chặn của dãy số sau: ${u_n} = 3n - 1$.
Bị chặn.
Bị chặn trên.
Bị chặn dưới.
Không bị chặn dưới.
Chọn C
Chodãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết \[{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\]. Viết năm số hạng đầu của dãy số.
${u_1} = 1;{u_2} = \frac{3}{4};{u_3} = \frac{7}{5};{u_4} = \frac{3}{2};{u_5} = \frac{{11}}{7}$.
${u_1} = 1;{u_2} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{7}{5};{u_4} = \frac{3}{2};{u_5} = \frac{{11}}{7}$.
${u_1} = 1;{u_2} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{8}{5};{u_4} = \frac{3}{2};{u_5} = \frac{{11}}{7}$.
${u_1} = 1;{u_2} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{7}{5};{u_4} = \frac{7}{2};{u_5} = \frac{{11}}{3}$.
Chọn B
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
${u_n} = 3{n^2} + 2017$.
${u_n} = 3n + 2008$.
${u_n} = {3^n}$.
${u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}$.
Chọn B
Cho một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = \frac{1}{3};{u_8} = 26$. Tìm công sai $d$.
$d = \frac{{11}}{3}$.
$d = \frac{{10}}{3}$.
$d = \frac{3}{{10}}$.
$d = \frac{3}{{11}}$.
Chọn A
Cho một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 5$ và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5 150. Tìm công thức của số hạng tổng quát ${u_n}$.
${u_n} = 1 + 4n$.
${u_n} = 5n$.
${u_n} = 3 + 2n$.
${u_n} = 2 + 3n$.
Chọn A
Cho dãy số $ - 1;1; - 1;1; - 1;...$ Khẳng định nào sau đây là đúng?
Dãy số này không phải là cấp số nhân.
Số hạng tổng quát ${u_n} = {1^n} = 1$.
Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = - 1;q = - 1$.
Số hạng tổng quát ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}$.
Chọn C
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = 81$ và ${u_{n + 1}} = 9$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
$q = \frac{1}{9}$.
$q = 9$.
$q = - 9$.
$q = - \frac{1}{9}$.
Chọn A
Cho cấp số nhân $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{{4096}}$. Hỏi số $\frac{1}{{4096}}$ là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?
$11$.
$12$.
$10$.
$13$.
Chọn B
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\left| {{u_n} - 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$. Khi đó
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}$ không tồn tại.
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1$.
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0$.
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2$.
Chọn D
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{5n + 3}}$ bằng
0.
$\frac{1}{3}$.
$ + \infty $.
$\frac{1}{5}$.
Chọn A
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}}$ bằng
$\frac{3}{2}$.
$2$.
$1$.
$ + \infty $.
Chọn C
Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right)$ bằng
$2$.
$1$.
$ + \infty $.
$0$.
Chọn D
Tìm giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}}\].
$ + \infty $.
$2$.
$ - \infty $.
$ - 2$.
Chọn A
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right) = - \frac{3}{2}$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right) = + \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty $.
Chọn B
Hàm số nào sau đây liên tục tại $x = 1$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right) = - \frac{3}{2}$.
$f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}}$.
$f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}$.
$f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$.
Chọn C
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên $\mathbb{R}$.
$f\left( x \right) = \tan x + 5$.
$f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}$.
$f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} $.
$f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$.
Chọn D
Cho hai đường thẳng $a,b$ cắt nhau và không đi qua điểm $A$. Xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi $a,b$ và $A$?
$1$.
$2$.
$3$.
$4$.
Chọn C
Chọn khẳng định sai?
Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Nếu ba điểm phân biệt $M,N,P$ cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.
Chọn B
Cho 5 điểm $A,B,C,D,E$ trong đó không có 4 điểm ở trên một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho?
10.
12.
8.
14.
Chọn A
Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm của $SD$, $J$ là điểm trên $SC$ và không trùng trung điểm $SC$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $\left( {AIJ} \right)$ là
$AK$, $K$ là giao điểm của $IJ$ và $BC$.
$AH$, $H$ là giao điểm của $IJ$ và $AB$.
$AG$, $G$ là giao điểm của $IJ$ và $AD$.
$AF$, $F$ là giao điểm của $IJ$ và $CD$.
Chọn D
Cho các mệnh đề sau:
1) Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng.
2) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
3) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
4) Hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng.
Có bao nhiêu mệnh đề đúng?
1.
2.
3.
4.
Chọn C
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $\Delta $ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$. Đường thẳng $\Delta $ song song với đường thẳng nào dưới đây?
Đường thẳng $AB$.
Đường thẳng $AD$.
Đường thẳng $AC$.
Đường thẳng $SA$.
Chọn B
Cho đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đường thẳng $d$ có đúng hai điểm chung với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Đường thẳng $d$ có đúng hai điểm chung với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Đường thẳng $d$ có vô số điểm chung với mặt phẳng $\left( P \right)$.
Chọn A
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi hai điểm $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\,AC$. Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
Mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$.
Mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$.
Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.
Mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$.
Chọn D
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$. Khẳng định nào sau đây đúng?
$MN{\text{//}}\left( {SBC} \right)$.
$MN{\text{//}}BD$.
$MN{\text{//}}\left( {SAB} \right)$.
$MN$ cắt $BC$.
Chọn A
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong $\left( \alpha \right)$ đều song song với $\left( \beta \right)$.
Nếu hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong $\left( \alpha \right)$ cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong $\left( \beta \right)$.
Nếu hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ phân biệt thì $\left( \alpha \right){\text{//}}\left( \beta \right)$.
Nếu đường thẳng $d$ song song với $\left( \alpha \right)$ thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong $\left( \alpha \right)$.
Chọn A
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$(tham khảo hình vẽ bên dưới)
Mệnh đề nào sau đây sai?
$\left( {BDD'B'} \right)\;{\text{//}}\;\left( {ACC'A'} \right)$.
$\left( {AA'D'D} \right)\;{\text{//}}\;\left( {BCC'B'} \right)$.
$\left( {ABCD} \right)\;{\text{//}}\;\left( {A'B'C'D'} \right)$.
$\left( {ABB'A'} \right)\;{\text{//}}\;\left( {CDD'C'} \right)$.
Chọn A
Qua phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành
Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.
Một đường thẳng.
Hai đường thẳng song song.
Cả ba trường hợp trên.
Chọn D
Cho tam giác $ABC$ ở trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và phương $l$. Biết hình chiếu (theo phương $l$) của tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là một đoạn thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?
$\left( \alpha \right){\text{//}}\left( P \right)$.
$\left( \alpha \right) \equiv \left( P \right)$.
$\left( \alpha \right){\text{//}}\,l$ hoặc $l \subset \left( \alpha \right)$.
Cả A, B, C đều sai.
Chọn C
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} = 12;\frac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = 243$. Tìm ${u_9}$.
Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân.
Ta có $\frac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = \frac{{{u_1}{q^2}}}{{{u_1}{q^7}}} = 243⇔1q5=243 \Leftrightarrow \frac{1}{{{q^5}}} = 243 \Leftrightarrow q = \frac{1}{3}$.
Có ${u_9} = {u_1}{q^8}$$ = 12 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^8} = \frac{4}{{2187}}$.
Tính giới hạn$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\sqrt {x + 3} + x - 5}}{{x - {x^2}}}$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\sqrt {x + 3} + x - 5}}{{x - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {2\sqrt {x + 3} + \left( {x - 5} \right)} \right]\left[ {2\sqrt {x + 3} - \left( {x - 5} \right)} \right]}}{{\left( {x - {x^2}} \right)\left( {2\sqrt {x + 3} - \left( {x - 5} \right)} \right)}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - {x^2} + 14x - 13}}{{ - x\left( {x - 1} \right)\left( {2\sqrt {x + 3} - \left( {x - 5} \right)} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - \left( {x - 1} \right)\left( {x - 13} \right)}}{{ - x\left( {x - 1} \right)\left( {2\sqrt {x + 3} - \left( {x - 5} \right)} \right)}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - \left( {x - 13} \right)}}{{ - x\left( {2\sqrt {x + 3} - \left( {x - 5} \right)} \right)}} = - \frac{3}{2}$.
Cho tứ diện \[ABCD\] có \[G\] là trọng tâm của tam giác \[BCD\]. Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng qua \[G\] song song với \[AB\,\] và $CD$.
a) Tìm giao tuyến của \[\left( P \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\].
b) Chứng minh thiết diện của tứ diện \[ABCD\] cắt bởi \[\left( P \right)\] là hình bình hành.
a) Gọi $\Delta $ là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( {BCD} \right)$. Khi đó $\Delta $ đi qua $G$ và song song với $CD$.
Gọi $H,K$ lần lượt là giao điểm của $\Delta $ với $BC$ và $BD$.
\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{H \in \left( P \right)} \\
{H \in BC \subset \left( {BCD} \right)}
\end{array}} \right. \Rightarrow H \in \left( P \right) \cap \left( {BCD} \right)(1)\]
\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{K \in \left( P \right)} \\
{K \in BD \subset \left( {BCD} \right)}
\end{array}} \right. \Rightarrow K \in \left( P \right) \cap \left( {BCD} \right)(2)\]
Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\] suy ra giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ là $HK$.
b) Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ và $HK{\text{//}}CD$ nên $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{MG}}{{MB}} = \frac{{DK}}{{DB}} = \frac{1}{3}$.
Giả sử $\left( P \right)$ cắt $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {ABD} \right)$ các giao tuyến là $HI$ và $KJ$.
Ta có \[\left( P \right) \cap \left( {ABC} \right) = HI\], \[\left( P \right) \cap \left( {ABD} \right) = KJ\,\] mà \[AB\parallel \left( P \right)\] nên \[HI\parallel AB\parallel KJ\].
Theo định lí Thalès, ta có \[\frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{BK}}{{KD}} = \frac{{BG}}{{GM}} = 2\] suy ra $\left\{ \begin{gathered}
\frac{{HI}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{CB}} = \frac{1}{3} \hfill \\
\frac{{KJ}}{{AB}} = \frac{{DK}}{{DB}} = \frac{1}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow HI = KJ$.
Vậy thiết diện của \[\left( P \right)\] và tứ diện \[ABCD\] là hình bình hành $HIJK$.
Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác $ABC$ được gọi là tam giác trung bình của tam giác $ABC$. Ta xây dựng dãy các tam giác ${A_1}{B_1}{C_1};{A_2}{B_2}{C_2};{A_3}{B_3}{C_3};...$ sao cho ${A_1}{B_1}{C_1}$ là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương $n \geqslant 2$, tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$ là tam giác trung bình của tam giác ${A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}$. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu ${S_n}$ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$. Tính tổng $S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...$.
Vì dãy các tam giác ${A_1}{B_1}{C_1};{A_2}{B_2}{C_2};{A_3}{B_3}{C_3};...$ là các tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh $ \times \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.
Với $n = 1$ thì tam giác đều ${A_1}{B_1}{C_1}$ có cạnh bằng 3 nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ${A_1}{B_1}{C_1}$ là ${R_1} = 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 $. Do đó ${S_1} = \pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3\pi $.
Với $n = 2$ thì tam giác đều ${A_2}{B_2}{C_2}$ có cạnh bằng $\frac{3}{2}$ nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ${A_2}{B_2}{C_2}$ là ${R_2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Do đó ${S_2} = \pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 3\pi \cdot \frac{1}{4}$.
Với $n = 3$ thì tam giác đều ${A_3}{B_3}{C_3}$ có cạnh bằng $\frac{3}{4}$ nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ${A_3}{B_3}{C_3}$ là ${R_3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$. Do đó ${S_3} = \pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)^2} = 3\pi {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}$.
Như vậy tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$ có cạnh $3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ${A_n}{B_n}{C_n}$ là \[{R_n} = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 .{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\]. Do đó ${S_n} = \pi {\left( {\sqrt 3 .{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}} \right)^2} = 3\pi {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}$.
Khi đó $S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...$\[ = 3\pi + 3\pi \cdot \frac{1}{4} + 3\pi \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + ... + 3\pi \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} + ...\] là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với ${u_1} = 3\pi ;q = \frac{1}{4}$.
Vậy $S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{3\pi }}{{1 - \frac{1}{4}}} = 4\pi $.
