Bộ 10 đề thi Cuối kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 2
39 câu hỏi
Đổi số đo góc \(105^\circ \)sang rađian.
\(\frac{{7\pi }}{{12}}\).
\(\frac{{9\pi }}{{12}}\).
\(\frac{{5\pi }}{8}\).
\(\frac{{5\pi }}{{12}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(105^\circ = \frac{{105^\circ \cdot \pi }}{{180^\circ }} = \frac{{7\pi }}{{12}}\).
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
\(y = \sin x\).
\(y = \cos x\).
\(y = \tan x\).
\(y = \cot x\).
Đáp án đúng là: B
Các hàm số \(y = \sin x\); \(y = \tan x\); \(y = \cot x\) là các hàm số lẻ.
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{{2\pi }}{3} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Hàm số xác định khi \(\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) \ne 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{{2\pi }}{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Phương trình \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) có nghiệm là
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{3}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Nghiệm của phương trình \(\tan 3x = \tan x\) là
\[x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\].
\[x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
\[x = \frac{{k\pi }}{6},k \in \mathbb{Z}\].
Đáp án đúng là: B
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}3x \ne 0\\{\rm{cos}}x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).
Ta có \(\tan 3x = \tan x\)\( \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
Kết hợp với điều kiện, ta có \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
\[\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}\].
\[1;\frac{1}{2};\frac{1}{3}\].
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{6}\].
\[1;\frac{1}{3};\frac{1}{5}\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_1} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}\);
\({u_2} = \frac{1}{{2 + 1}} = \frac{1}{3}\);
\({u_3} = \frac{1}{{3 + 1}} = \frac{1}{4}\).
Trong các dãy số có công thức tổng quát sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?
\[{u_n} = \frac{n}{2} - 1\].
\[{u_n} = \frac{2}{n} + 1\].
\[{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{5n + 2}}\].
\[{u_n} = {\left( { - 1} \right)^n} \cdot {3^n}\].
Đáp án đúng là: A
+) Xét đáp án A
\[{u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {\frac{{n + 1}}{2} - 1} \right) - \left( {\frac{n}{2} - 1} \right) = \frac{1}{2} > 0\] nên \[{u_n} = \frac{n}{2} - 1\] là dãy tăng.
+) Xét đáp án B
\[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{2}{{n + 1}} + 1 - \left( {\frac{2}{n} + 1} \right)\]\[ = \frac{2}{{n + 1}} - \frac{2}{n} = - \frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0,\forall n \in \mathbb{N}\]
Nên \[{u_n} = \frac{2}{n} + 1\] là dãy giảm.
+) Xét đáp án C
\[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{5\left( {n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 1}}{{5n + 2}}\]\[ = \frac{{2n + 3}}{{5n + 7}} - \frac{{2n + 1}}{{5n + 2}} = - \frac{1}{{\left( {5n + 7} \right)\left( {5n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in \mathbb{N}\]
Nên \[{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{5n + 2}}\] là dãy giảm.
+) Đáp án D. Ta có \[{u_1} = {\left( { - 1} \right)^1} \cdot {3^1} = - 3\]; \[{u_2} = {\left( { - 1} \right)^2} \cdot {3^2} = 9\], \[{u_3} = {\left( { - 1} \right)^3} \cdot {3^3} = - 27\] . Loại.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 2\\{u_n} = 2{u_{n - 1}} + {n^2}\end{array} \right.\left( {n \ge 2} \right)\). Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng
\[0\].
\[93\].
\[9\].
\[34\].
Đáp án đúng là: D
Có \({u_2} = 2{u_1} + {2^2} = 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 4 = 0\);
\({u_3} = 2{u_2} + {3^2} = 2 \cdot 0 + 9 = 9\);
\({u_4} = 2{u_3} + {4^2} = 2 \cdot 9 + 16 = 34\).
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
\[\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\forall n \ge 1\end{array} \right.\].
\[\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\forall n \ge 1\end{array} \right.\].
\[\left( {{u_n}} \right):1;3;6;10;15;...\].
\[\left( {{u_n}} \right): - 1;1; - 1;1; - 1;...\].
Đáp án đúng là: A
Xét đáp án A.
Có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2,\forall n\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng.
Đáp án B.
Có \({u_1} = 3;{u_2} = 7;{u_3} = 15\). Vì \({u_2} - {u_1} = 7 - 3 \ne {u_3} - {u_2} = 15 - 7\)nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.
Đáp án C.
Có \({u_2} - {u_1} = 3 - 1 \ne {u_3} - {u_2} = 6 - 3\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.
Đáp án D.
Có \({u_2} - {u_1} = 1 - \left( { - 1} \right) \ne {u_3} - {u_2} = \left( { - 1} \right) - 1\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 9\) và công sai \(d = 2\). Giá trị \({u_2}\) bằng
\[11\].
\[\frac{9}{2}\].
\[18\].
\[7\].
Đáp án đúng là: A
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({u_2} = {u_1} + d = 9 + 2 = 11\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_4} = - 12\) và \({u_{14}} = 18\). Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
\[{S_{16}} = - 24\].
\[{S_{16}} = 26\].
\[{S_{16}} = -25\].
\[{S_{16}} = 24\].
Đáp án đúng là: D
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng.
Theo đề bài, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = {u_1} + 3d = - 12\\{u_{14}} = {u_1} + 13d = 18\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.\).
Khi đó \({S_{16}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 15d} \right)16}}{2}\)\( = \frac{{\left[ {2 \cdot \left( { - 21} \right) + 15 \cdot 3} \right]16}}{2} = 24\).
Trongcác dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
\[128; - 64;32; - 16;8;...\].
\[\sqrt 2 ;2;4;4\sqrt 2 ;...\].
\[5;6;7;8;...\].
\[15;5;1;\frac{1}{5}\].
Đáp án đúng là: A
+) Dãy số ở đáp án A là một cấp số nhân với công bội \(q = - \frac{1}{2}\).
+) Dãy số ở đáp án B không là cấp số nhân vì \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{4}{2}\).
+) Dãy số ở đáp án C không là cấp số nhân vì \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{6}{5} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{7}{6}\).
+) Dãy số ở đáp án D không là cấp số nhân vì \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{5}{{15}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{1}{5}\).
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - 2\) và \(q = - 5\). Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
\[ - 2;10;50; - 250\].
\[ - 2;10; - 50;250\].
\[ - 2; - 10; - 50; - 250\].
\[ - 2;10;50;250\].
Đáp án đúng là: B
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \({u_2} = {u_1}q = \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 5} \right) = 10\);
\({u_3} = {u_1}{q^2} = \left( { - 2} \right) \cdot {\left( { - 5} \right)^2} = - 50\);
\({u_4} = {u_1}{q^3} = \left( { - 2} \right) \cdot {\left( { - 5} \right)^3} = 250\).
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; … Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số nhân đã cho.
\[{u_n} = {3^{n - 1}}\].
\[{u_n} = {3^n}\].
\[{u_n} = {3^{n + 1}}\].
\[{u_n} = 3 + {3^n}\].
Đáp án đúng là: B
Vì 3; 9; 27; 81; … là cấp số nhân nên \({u_1} = 3;q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{9}{3} = 3\).
Do đó \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 3 \cdot {3^{n - 1}} = {3^n}\).
Phát biểu nào sau đây là sai?
\[\lim {u_n} = c\] (\({u_n} = c\) là hằng số).
\[\lim {q^n} = 0\left( {\left| q \right| > 1} \right)\].
\[\lim \frac{1}{n} = 0\].
\[\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\left( {k > 1} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\lim {q^n} = 0\left( {\left| q \right| < 1} \right)\].
Tính \(L = \lim \frac{{n - 1}}{{{n^3} + 3}}\)
\[L = 1\].
\[L = 3\].
\[L = 0\].
\[L = 2\].
Đáp án đúng là: C
Có \(L = \lim \frac{{n - 1}}{{{n^3} + 3}}\)\( = \lim \frac{{\frac{n}{{{n^3}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}}{{\frac{{{n^3}}}{{{n^3}}} + \frac{3}{{{n^3}}}}}\)\( = \lim \frac{{\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}}{{1 + \frac{3}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{1} = 0\).
Vì \(\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0;\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0;\lim \frac{3}{{{n^3}}} = 0\).
\(\lim \frac{{2018}}{n}\) bằng
\[ - \infty \].
\[0\].
\[1\].
\[ + \infty \].
Đáp án đúng là: B
Có \(\lim \frac{{2018}}{n} = 0\).
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \) trong bốn khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
Tồn tại số thực \(a > 0\) sao cho \(f\left( a \right) < 0\).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = + \infty \].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = 0\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty \].
Đáp án đúng là: D
Ta không thể kết luận được kết quả \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right)\] vì có thể hàm số \(y = f\left( x \right)\) không xác định khi \(x \to - \infty \).
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}}\)
\( + \infty \).
\[2\].
\[ - \infty \].
\[ - 2\].
Đáp án đúng là: A
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {4x - 3} \right) = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\) mà \(x \to {1^ + }\) nên \(x - 1 > 0\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = + \infty \).
Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng \( - \infty \)?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\).
Đáp án đúng là: C
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3 + \frac{4}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = - 3\).
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3 + \frac{4}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = - 3\).
+) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - 3x + 4} \right) = - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} \right) = 0\) và \(x \to {2^ - }\) thì \(x - 2 < 0\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}} = + \infty \).
+) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + 4} \right) = - 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\) và \(x \to {2^ + }\) thì \(x - 2 > 0\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}} = - \infty \).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) là
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
Đáp án đúng là: C
Theo định nghĩa, ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 1}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số không liên tục tại các điểm \(x = 1\) và \(x = - 1\).
Hàm số liên tục tại mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Hàm số liên tục tại điểm \(x = - 1\).
Hàm số liên tục tại điểm \(x = 1\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\).
Do đó hàm số không liên tục tại các điểm \(x = 1\) và \(x = - 1\).
Trong hình học không gian
Qua ba điểm xác định một và chỉ một mặt phẳng.
Qua ba điểm phân biệt xác định một và chỉ một mặt phẳng.
Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
Đáp án đúng là: D
Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.
Qua ba điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng chứa ba điểm đó.
Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là
5 mặt, 5 cạnh.
6 mặt, 5 cạnh.
6 mặt, 10 cạnh.
5 mặt, 10 cạnh.
Đáp án đúng là: C
Hình chóp ngũ giác có 5 cạnh bên + 5 cạnh đáy, 5 mặt bên + 1 mặt đáy.
Cho tứ giác\(ABCD\). Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tứ giác \(ABCD\).
1.
2.
3.
0.
Đáp án đúng là: A
4 điểm \(A,B,C,D\) tạo thành tứ giác \(ABCD\). Khi đó 4 điểm này đã đồng phẳng.
Do đó có duy nhất 1 mặt phẳng chứa các đỉnh của tứ giác đó là mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD\,\,\left( {AB{\rm{//}}CD} \right)\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Hình chóp \(S.ABCD\) có 4 mặt bên.
Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là \(SO\) (\(O\) là giao điểm của\(AC\) và \(BD\)).
Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là \(SI\)(\(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\)).
Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) là đường trung bình của \(ABCD\).
Đáp án đúng là: D
+) Ta thấy hình chóp \(S.ABCD\) có 4 mặt bên là \(\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right),\left( {SAD} \right)\). Suy ra đáp án A đúng.
+) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Khi đó \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\). Suy ra đáp án B đúng.
+) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\). Khi đó \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI\). Suy ra đáp án C đúng.
+) \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SA\). Suy ra đáp án D sai.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau khi chúng không có điểm chung.
Hai đường thẳng song song khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng.
Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng thì hai đường thẳng đó chéo nhau.
Đáp án đúng là: A
Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). Đường thẳng \[IJ\] song song với đường thẳng nào?
\(BC\).
\(AC\).
\(SO\).
\(BD\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\) nên \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\)
Do đó \(IJ{\rm{//}}AC\).
Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào kết luận đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
\(a{\rm{//}}b\) và \(b \subset \left( \alpha \right)\).
\(a{\rm{//}}\left( \beta \right)\) và \(\left( \beta \right){\rm{//}}\left( \alpha \right)\).
\(a{\rm{//}}b\) và \(b{\rm{//}}\left( \alpha \right)\).
\(a \cap \left( \alpha \right) = \emptyset \).
Đáp án đúng là: D
Dựa vào định nghĩa, ta có \(a \cap \left( \alpha \right) = \emptyset \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, đáy lớn \(AB\). Gọi \(P,Q\) lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh \(SA\)và \(SB\) sao cho \(\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(PQ\) cắt \(\left( {ABCD} \right)\).
\(PQ \subset \left( {ABCD} \right)\).
\(PQ{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
\(PQ\) và \(CD\) chéo nhau.
Đáp án đúng là: C
Vì \(\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3}\) nên \(PQ{\rm{//}}AB\) mà \(AB \subset \left( {ABCD} \right)\) nên \(PQ{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\), \(M\) là trung điểm của \(SA\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(OM{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).
\(OM{\rm{//}}\left( {SBD} \right)\).
\(OM{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\) .
\(OM{\rm{//}}\left( {SAD} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(M\) là trung điểm của \(SA\) nên \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\).
Suy ra \(OM{\rm{//}}SC\) mà \(SC \subset \left( {SCD} \right)\). Do đó \(OM{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).
Cho hai mặt phẳng phân biệt \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\), đường thẳng \(a \subset \left( P \right)\); \(b \subset \left( Q \right)\). Tìm khẳng định sai trong các mệnh đề sau.
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(a{\rm{//}}b\).
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\).
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(a\) và \(b\) hoặc song song hoặc chéo nhau .
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(a{\rm{//}}\left( Q \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đáp án A sai vì hai mặt phẳng phân biệt \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\), đường thẳng \(a \subset \left( P \right)\); \(b \subset \left( Q \right)\) thì \(a\) và \(b\) có thể chéo nhau.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây.
\(\left( {BA'C'} \right)\).
\(\left( {C'BD} \right)\).
\(\left( {BDA'} \right)\).
\(\left( {ACD'} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(AB{\rm{//}}D'C'\) và \(AB = D'C'\) (do chúng cùng song song và bằng \(CD\)).
Do đó \(ABC'D'\) là hình bình hành, suy ra \(BC'{\rm{//}}AD'\) mà \(AD' \subset \left( {AB'D'} \right)\) nên \(BC'{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right).\)
Vì \(AD{\rm{//}}B'C'\) và \(AD = B'C'\) (do chúng cùng song song và bằng \(BC\))
Do đó \(ADC'B'\) là hình bình hành, suy ra \(AB'{\rm{//}}DC'\)mà \(AB' \subset \left( {AB'D'} \right)\) nên \(DC'{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right).\)
Vì \(BC'{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right)\) và \(DC'{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right)\) nên \(\left( {AB'D'} \right){\rm{//}}\left( {BC'D} \right)\).
Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn?
Chéo nhau.
Đồng qui.
Song song.
Thẳng hàng.
Đáp án đúng là: A
Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song thì ảnh của chúng cùng thuộc một mặt phẳng nên tính chất chéo nhau không được bảo toàn.
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Khi đó hình chiếu của điểm \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {AA'B'} \right)\) theo phương chiếu \(CB\) là
Trung điểm \(BC\).
Trung điểm \(AB\).
Điểm \(A\).
Điểm \(B\).
Đáp án đúng là: B
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\).
Vì \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(M\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Suy ra \(MN{\rm{//}}CB\).
Vậy hình chiếu của điểm \(M\)lên mặt phẳng \(\left( {AA'B'} \right)\) theo phương chiếu \(CB\) là điểm \(N\).
Cho một cấp số nhân có bảy số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng thứ hai của cấp số nhân đó.
Gọi cấp số nhân cần tìm là \({u_1};{u_2};{u_3};{u_4};{u_5};{u_6};{u_7}\) với công bội \(q\).
Theo để bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = {u_2}{q^2} = 6\\{u_7} = 243{u_2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = {u_2}{q^2} = 6\\{u_2}{q^5} = 243{u_2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = {u_2}{q^2} = 6\\{q^5} = 243\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} \cdot {3^2} = 6\\q = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} = \frac{2}{3}\\q = 3\end{array} \right.\).
Vậy số hạng thứ hai của cấp số nhân là \({u_2} = \frac{2}{3}\).
Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}{{x + 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}{{x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} }}{{x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{\left| {x + 2} \right|}}{{x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{x + 2}}{{x + 2}} = 1\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình chữ nhật tâm \(O\), \(M\) là trung điểm của \(OC\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(M\) song song với \(SA\) và \(BD\). Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\\left( \alpha \right){\rm{//}}BD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = EF{\rm{//}}BD\) (\(M \in EF,E \in BC,F \in CD\)).
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right)\\\left( \alpha \right){\rm{//}}SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right) = MN{\rm{//}}SA\) (\(N \in SC\)).
Do đó \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = FN\)
\(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = FE\)
\(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = EN\).
Vậy thiết diện của hình chóp với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là tam giác \(NFE\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),n \in {\mathbb{N}^*}\), thỏa mãn điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = - \frac{{{u_n}}}{5}\end{array} \right.\). Gọi \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Tính \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n}\].
Có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{ - \frac{{{u_n}}}{5}}}{{{u_n}}} = - \frac{1}{5}\).
Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right),n \in \mathbb{N}*\) là một cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 3;q = - \frac{1}{5}\).
Số hạng tổng quát \({u_n} = 3.{\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n - 1}}\).
Do đó \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = 3.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{1}{5}} \right)}^n}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{5}} \right)}}\)
Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {3.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{1}{5}} \right)}^n}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{5}} \right)}}} \right]\]\[ = \frac{3}{{1 - \left( { - \frac{1}{5}} \right)}} = \frac{5}{2}\] (Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} = 0\)).
