Bài tập Xác định tọa độ các điểm của một hình lớp 10 (có lời giải)
10 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(–1; 0), B(–2; 3), C(1; 2). Tọa độ đỉnh D là
(2; –1);
(2; 1);
(–1; 2);
(–1; –2).
Đáp án đúng là: A
Với A(–1; 0), B(–2; 3), C(1; 2) ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3} \right)\] và \[\overrightarrow {AC} = \left( {2;2} \right).\]
Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
Gọi D(x; y). Khi đó \[\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x;2 - y} \right)\] nên
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 1\\2 - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ điểm D cần tìm là D(2; –1).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(–2; 3), B(5; 2), C(–1; 0). Khi đó tam giác ABC là
tam giác vuông;
tam giác cân;
tam giác đều;
tam giác vuông cân.
Đáp án đúng là: A
Với A(–2; 3), B(5; 2), C(–1; 0), ta có:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {7; - 1} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {CA} = \left( { - 1;3} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {CB} = \left( {6;2} \right).\)
Suy ra \(AB = 5\sqrt 2 ,{\rm{ }}AC = \sqrt {10} ,{\rm{ }}BC = 2\sqrt {10} .\)
Do đó AB2 = AC2 + BC2.
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại C (theo định lí Pythagore đảo).
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Biết A(1; 3), B(–3; 3) và C(8; 0). Tổng hoành độ của ba điểm M, N, P bằng
1;
2;
3;
6.
Đáp án đúng là: D
Ta có M là trung điểm của BC nên \({x_M} = \frac{{ - 3 + 8}}{2} = \frac{5}{2}.\)
N là trung điểm của AC nên \({x_N} = \frac{{1 + 8}}{2} = \frac{9}{2}.\)
P là trung điểm của AB nên \({x_P} = \frac{{1 + \left( { - 3} \right)}}{2} = - 1.\)
Vậy \({x_M} + {x_N} + {x_P} = \frac{5}{2} + \frac{9}{2} - 1 = 6.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(–4; 1), B(2; 4), C(2; –2). Tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD là
D(8; 11);
D(12; 11);
D(8; –11);
D(–8; –11).
Đáp án đúng là: C
Gọi D(x; y).
Vì C là trọng tâm tam giác ABD nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{ - 4 + 2 + x}}{3}\\ - 2 = \frac{{1 + 4 + y}}{3}\end{array} \right.\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = - 11\end{array} \right..\)
Vậy D(8; –11).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm \(G\left( {\frac{2}{3};0} \right)\), biết M(1; –1) là trung điểm của cạnh BC. Tọa độ điểm A là
A(2; 0);
A(–2; 0);
A(0; –2);
A(0; 2).
Đáp án đúng là: D
Gọi A(x; y). Khi đó: \(\overrightarrow {AM} = \left( {1 - x; - 1 - y} \right),\overrightarrow {GM} = \left( {\frac{1}{3}; - 1} \right).\)
Ta có: \(3\overrightarrow {GM} = \left( {1; - 3} \right)\).
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {GM} \).
Tức là: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x = 1\\ - 1 - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right.\).
Vậy A(0; 2).
Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 3), N(0; –4) và P(–1; 6) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tọa độ đỉnh A là
(1; 5);
(–3; –1);
(–2; –7);
(1; –10).
Đáp án đúng là: B
Do M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó MN // AB và \(MN = \frac{1}{2}AB.\)
Mà P là trung điểm của AB nên \(AP = \frac{1}{2}AB\), do đó MN = AP.
Khi đó MNAP là hình bình hành nên \[\overrightarrow {PA} = \overrightarrow {MN} .\]
Gọi A(x; y). Ta có \(\overrightarrow {PA} = \left( {x + 1;y - 6} \right)\) và \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 2; - 7} \right).\)
Khi đó \[\overrightarrow {PA} = \overrightarrow {MN} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = - 2\\y - 6 = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 1\end{array} \right.\].
Vậy A(–3; –1).
Cho tam giác ABC có A(3; 4), B(2; 1) và C(–1; –2). Điểm M thuộc đường thẳng BC sao cho SABC = 3SABM có tọa độ là
M1(1; 2), M2(4; 2);
M1(–1; 2), M2(–3; –2);
M1(1; 2), M2(3; –2);
M1(1; 0), M2(3; 2).
Đáp án đúng là: D
Ta có SABC = 3SABM nên BC = 3BM, do đó \(\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BM} \) hoặc \(\overrightarrow {BC} = - 3\overrightarrow {BM} .\)
Gọi M(x; y), khi đó \(\overrightarrow {BM} = \left( {x - 2;y - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 3} \right).\)
Ta có \(\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = 3\left( {x - 2} \right)\\ - 3 = 3\left( {y - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right..\) Do đó M1(1; 0).
Ta có \(\overrightarrow {BC} = - 3\overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = - 3\left( {x - 2} \right)\\ - 3 = - 3\left( {y - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right..\) Do đó M2(3; 2).
Trong hệ tọa độ Oxy, cho M(2; 0), N(2; 2) và P(–1; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Tọa độ điểm B là
(1; 1);
(–1; –1);
(–1; 1);
(1; –1).
Đáp án đúng là: C
Do N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh CA, AB nên ta có NP // BC và \(NP = \frac{1}{2}BC.\)
Mà M là trung điểm của BC nên \(BM = \frac{1}{2}BC\), do đó NP = BM.
Suy ra tứ giác BPNM là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BP} = \overrightarrow {MN} .\)
Gọi B(x; y). Ta có \(\overrightarrow {BP} = \left( { - 1 - x;3 - y} \right)\) và \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;2} \right).\)
Khi đó \[\overrightarrow {BP} = \overrightarrow {MN} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 0\\3 - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right..\]
Vậy B(–1; 1).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(–1; –1), B(3; 1). Tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho M cách đều hai điểm A và B là
M(0; 1);
M(0; –2);
M(–1; 1);
M(0; 2).
Đáp án đúng là: D
Gọi M(0; y) là điểm thuộc trục tung.
Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( {1;y + 1} \right)\) và \(\overrightarrow {BM} = \left( { - 3;y - 1} \right).\)
Điểm M cách đều hai điểm A, B khi và chỉ khi AM = BM.
Tức là AM2 = BM2
Ta có 12 + (y + 1)2 = (–3)2 + (y – 1)2
⇔ 1 + y2 + 2y + 1 = 9 + y2 – 2y + 1
⇔ 4y = 8
⇔ y = 2.
Vậy tọa độ điểm M là M(0; 2).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(3; 4), B(–1; 2) và I(4; 1). Biết ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của CD. Tọa độ điểm C là
C(2; –2);
C(6; 0);
C(–2; 2);
C(0; 6).
Đáp án đúng là: A
Do I là trung điểm của CD nên ta đặt C(4 – x; –1 – y) và D(4 + x; –1 + y).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 2x; - 2y} \right).\)
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = - 2x\\ - 2 = - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right..\)
Do đó C(2; –2) và D(6; 0).
