Bài tập Vecto trong mặt phẳng tọa độ có đáp án
14 câu hỏi
Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng tọa độ. ,Trong thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có tọa độ (13,8; 108,3) đến vị trí tọa độ (14,1; 106,3). Dựa vào thông tin trên, liệu ta có thể dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó hay không?
Gọi M(x; y) là vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì t giờ trong khoảng thời gian 12 giờ.
Do bão di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3) nên điểm M thuộc đoạn thẳng AB.
Theo dự báo, tại thời điểm t giờ thì tâm bão đã đi được một khoảng AM là:
Hay
Vectơ cùng hướng với vectơ và nên
Ta có: A(13,8; 108,3); B(14,1; 106,3); M(x; y)
Suy ra
Ta có:
Vậy ở thời điểm t giờ tâm bão là điểm M ở vị trí
Ta có vecto cùng hướng với vectơ và OM = 4OA nên ta có .
Ta có vecto ngược hướng với vectơ và ON = OA nên ta có .
Trong Hình 4.33:
a) Hãy biểu thị mỗi vecto theo các vecto .
b) Hãy biểu thị vecto theo các vecto từ đó biểu thị vecto theo các vecto .
a) Xét hình bình hành OAMB, có:
(quy tắc hình bình hành)
Xét hình bình hành OCND, có:
(quy tắc hình bình hành)
b) Xét tam giác OMN, có:
(quy tắc ba điểm)
Tìm tọa độ của .
Ta có: .
Vậy tọa độ của là
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho
a) Hãy biểu thị mỗi vecto theo các vectơ
b) Tìm tọa độ của các vectơ
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có .
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(x0;y0) . Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35).
a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo x0.
b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo y0.
c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của theo x0, y0.
d) Biểu thị theo các vecto .
a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn cho số x0;
Độ dài đoạn thẳng OP = |x0| = x0.
Ta có vecto cùng hướng với vecto và OP = x0 nên
b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn cho số y0;
Độ dài đoạn thẳng OQ = |y0| = y0.
Ta có vecto cùng hướng với vecto và OQ = y0 nên
c) Xét tam giác OPM vuông tại P, có:
Vậy
d) Ta có .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x; y) và N(x’; y’).
a) Tìm tọa độ của các vectơ .
b) Biểu thị vecto theo các vectơ và tìm tọa độ của
c) Tìm độ dài của vectơ
a) Ta có M(x; y)
Ta lại có: N(x’; y’)
b) Ta có:
Khi đó tọa độ của vecto là
c) Độ dài của vecto là
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;1), B(3;3).
a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?
b) Tìm điểm M(x;y) để OABM là một hình bình hành.
a) Hai vecto không cùng phương (vì ). Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
b) Các điểm O, A, B không thẳng hàng
Để OABM là hình bình hành khi và chỉ khi
Ta có: nên
Vậy điểm cần tìm là M(1;2).
Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ dự báo.
Trong 12 giờ, tâm bão được dự báo di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3). Gọi tọa độ của M là (x;y). Bạn hãy tìm mối liên hệ giữa hai vecto và rồi thể hiện mối quan hệ đó theo tọa độ để tìm x; y.
Do vật di chuyển thẳng đều nên điểm M thuộc vào đoạn thẳng AB.
Do đó cùng phương với
Ta có:
Để cùng phương với thì tồn tại thỏa mãn
Ta có vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ dự báo nên
Vậy ở thời điểm 9 giờ tâm bão là điểm M ở vị trí M(14,025; 106,8).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1;3), N(4;2).
a) Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.
b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.
a) Ta có M(1;3)
Ta lại có N(4;2)
b) Xét tam giác OMN, có: nên tam giác OMN cân tại O.
Ta có:
Theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác OMN vuông tại O.
Do đó tam giác OMN vuông cân tại O.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vecto và các điểm M(-3;6), N(3;-3).
a) Tìm mối liên hệ giữa các vecto và
b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm P(x;y) để OMNP là hình bình hành.
a) Vì nên
Ta có:
b) Ta có
M(-3;6)
và N(3;-3)
Hai vecto không cùng phương (vì ). Suy ra các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó O, M, N không thẳng hàng.
c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng
Để OMNP là hình bình hành khi và chỉ khi
Ta có: nên
Vậy điểm cần tìm là P(6;-9).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;3), B(2;4), C(-3;2).
a) Chứng minh rằng ABC là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm điểm D(x; y) để O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.
a) Ta có:
Hai vecto không cùng phương (vì ). Suy ra các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó A, B, C không thẳng hàng.
Vậy ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Gọi toạ độ điểm M là: M(x1;y1)
Vì M là trung điểm của AB nên ta có:
Vậy điểm cần tìm là .
c) Gọi toạ độ điểm G là: M(x2;y2)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
Vậy tọa độ điểm G(0;3).
d) Để O(0;0) là tọa độ trọng tâm tam giác ABD thì:
Vậy D(-3;-7) thì O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.
Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí A(1;2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vecto Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.
Gọi A’(x’; y’) là vị trí tàu thủy đến sau khi khởi hành 1,5 giờ.
Khi đó, ta có:
Vậy sau khi khởi hành 1,5 giờ thì tàu thủy đến được vị trí A’(5,5;8).
Cách di chuyển của quân mã là đi theo hình chữ L, nên quân mã có thể đi đến các vị trí trống sau trên bàn cờ:
