Bài tập Vecto trong mặt phẳng tọa độ có đáp án
14 câu hỏi
Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng tọa độ. ,Trong thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có tọa độ (13,8; 108,3) đến vị trí tọa độ (14,1; 106,3). Dựa vào thông tin trên, liệu ta có thể dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì trong khoảng thời gian 12 giờ đó hay không?
Gọi M(x; y) là vị trí của tâm bão tại thời điểm bất kì t giờ trong khoảng thời gian 12 giờ.
Do bão di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3) nên điểm M thuộc đoạn thẳng AB.
Theo dự báo, tại thời điểm t giờ thì tâm bão đã đi được một khoảng AM là: AMAB=t12
Hay AM=t12AB
Vectơ AM⇀ cùng hướng với vectơ AB⇀ và AM=t12AB nên AM⇀=t12AB⇀
Ta có: A(13,8; 108,3); B(14,1; 106,3); M(x; y)
Suy ra AM→=x−13,8;y−108,3,AB→=0,3;−2
Ta có: AM⇀=t12AB⇀
⇔x−13,8=t12.0,3y−108,3=t12.−2⇔x=0,3.t12+13,8y=−2.t12+108,3⇔x=t40+13,8y=−t6+108,3⇒Mt40+13,8;−t6+108,3
Vậy ở thời điểm t giờ tâm bão là điểm M ở vị trí ⇒Mt40+13,8;−t6+108,3
Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt OA→=i→ (H.4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số −32. Hãy biểu thị mỗi vectơ OM→,ON→ theo vecto đơn vị i→.
Ta có vecto OM→ cùng hướng với vectơ OA→ và OM = 4OA nên ta có OM→=4OA→=4i→.
Ta có vecto ON→ ngược hướng với vectơ OA→ và ON = 32OA nên ta có ON→=−32OA→=−32i→.
Trong Hình 4.33:
a) Hãy biểu thị mỗi vecto OM→,ON→ theo các vecto i→,j→.
b) Hãy biểu thị vecto MN→ theo các vecto OM→,ON→ từ đó biểu thị vecto MN→ theo các vecto i→,j→.
a) Xét hình bình hành OAMB, có:
OM→=OA→+OB→=3i→+5j→ (quy tắc hình bình hành)
Xét hình bình hành OCND, có:
ON→=OC→+OD→=−2i→+52j→ (quy tắc hình bình hành)
b) Xét tam giác OMN, có:
MN→=ON→−OM→ (quy tắc ba điểm)
MN→=ON→−OM→=−2i→+52j→−3i→+5j→=−5i→−52j→.
Tìm tọa độ của 0→.
Ta có: 0→=0.i→+0.j→⇒0→0;0.
Vậy tọa độ của 0→ là 0→0;0.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho u→=2;−3,v→=4;1,a→=8;−12.
a) Hãy biểu thị mỗi vecto u→,v→,a→ theo các vectơ i→,j→.
b) Tìm tọa độ của các vectơ u→+v→,4u→.
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ u→,a→.
a) Ta có:
=2;−3⇒u→=2i→−3j→;v→=4;1⇒v→=4i→+j→;a→=8;−12⇒a→=8i→−12j→.
b) Ta có:
+v→=2i→−3j→+4i→+j→=6i→−2j→⇒u→+v→=6;−24u→=42i→−3j→=8i→−12j→⇒4u→=8;−12.
c) Ta có a→=8;−12=4u→.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(x0;y0) . Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35).
a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị OP→ theo i→ và tính độ dài của OP→ theo x0.
b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị OQ→ theo j→ và tính độ dài của OP→ theo y0.
c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của OM→ theo x0, y0.
d) Biểu thị OM→ theo các vecto i→,j→. 
a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn cho số x0;
Độ dài đoạn thẳng OP = |x0| = x0.
Ta có vecto OP→ cùng hướng với vecto và OP = x0 nên OP→=x0i→.
b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn cho số y0;
Độ dài đoạn thẳng OQ = |y0| = y0.
Ta có vecto OQ→ cùng hướng với vecto j→ và OQ = y0 nên OQ→=y0j→.
c) Xét tam giác OPM vuông tại P, có:
OM=OP2+MP2=OP2+OQ2=x02+y02.
Vậy OM→=x02+y02.
d) Ta có OM→=OP→+OQ→=x0i→+y0j→.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x; y) và N(x’; y’).
a) Tìm tọa độ của các vectơ OM→,ON→.
b) Biểu thị vecto MN→ theo các vectơ OM→,ON→ và tìm tọa độ của MN→.
c) Tìm độ dài của vectơ MN→.
a) Ta có M(x; y) ⇒OM→x;y
Ta lại có: N(x’; y’) ⇒ON→x';y'
b) Ta có: MN→=ON→−OM→
Khi đó tọa độ của vecto MN→ là MN→=x'−x;y'−y.
c) Độ dài của vecto MN→ là MN→=x'−x2+y'−y2.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;1), B(3;3).
a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?
b) Tìm điểm M(x;y) để OABM là một hình bình hành.
a) Hai vecto OA→2;1,OB→3;3 không cùng phương (vì 23≠13). Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
b) Các điểm O, A, B không thẳng hàng
Để OABM là hình bình hành khi và chỉ khi OA→=MB→
Ta có: OA→2;1,MB→3−x;3−y nên
2=3−x1=3−y⇔x=1y=2⇒M1;2.
Vậy điểm cần tìm là M(1;2).
Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ dự báo.
Trong 12 giờ, tâm bão được dự báo di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có tọa độ B(14,1; 106,3). Gọi tọa độ của M là (x;y). Bạn hãy tìm mối liên hệ giữa hai vecto AM→ và AB→ rồi thể hiện mối quan hệ đó theo tọa độ để tìm x; y.
Do vật di chuyển thẳng đều nên điểm M thuộc vào đoạn thẳng AB.
Do đó AM→ cùng phương với AB→
Ta có: AM→x−13,8;y−108,3,AB→0,3;−2
Để AM→ cùng phương với AB→ thì tồn tại k∈ℝ thỏa mãn AM→=kAB→
⇔x−13,8=k.0,3y−108,3=−2k⇔x=k.0,3+13,8y=−2k+108,3
Ta có vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ dự báo nên k=AMAB=912=34
⇒x=34.0,3+13,8=14,025y=−2.34+108,3=106,8⇒M14,025;106,8
Vậy ở thời điểm 9 giờ tâm bão là điểm M ở vị trí M(14,025; 106,8).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1;3), N(4;2).
a) Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.
b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.
a) Ta có M(1;3) ⇒OM→1;3⇒OM=12+32=10.
Ta lại có N(4;2) ⇒ON→4;2⇒ON=42+22=20=25.
⇒MN→=ON→−OM→=−3;1⇒MN=−32+12=10
b) Xét tam giác OMN, có: OM=ON=10 nên tam giác OMN cân tại O.
Ta có: ON2=252=20,OM2+ON2=102+102=20
⇒ON2=OM2+ON2
Theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác OMN vuông tại O.
Do đó tam giác OMN vuông cân tại O.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vecto a→=3i→−2j→,b→4;−1 và các điểm M(-3;6), N(3;-3).
a) Tìm mối liên hệ giữa các vecto MN→ và 2a→−b→.
b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm P(x;y) để OMNP là hình bình hành.
a) Vì a→=3i→−2j→ nên a→=3;−2
⇒2a→=6;−4Có: 2a→=6;−4 và b→=4;−1⇒2a→−b→=6−4;−4+1=2;−3=2i→−3j→
Ta có: MN→6;−9=6i→−9j→=32i→−3j→=32a→−b→
b) Ta có
M(-3;6) ⇒OM→−3;6
và N(3;-3) ⇒ON→3;−3
Hai vecto OM→−3;6,ON→3;−3 không cùng phương (vì −33≠6−3). Suy ra các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó O, M, N không thẳng hàng.
c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng
Để OMNP là hình bình hành khi và chỉ khi OM→=PN→
Ta có: OM→−3;6,PN→3−x;−3−y nên
−3=3−x6=−3−y⇔x=6y=−9⇒P6;−9.
Vậy điểm cần tìm là P(6;-9).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;3), B(2;4), C(-3;2).
a) Chứng minh rằng ABC là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm điểm D(x; y) để O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.
a) Ta có: AB→1;1,AC→−4;−1
Hai vecto AB→1;1,AC→−4;−1 không cùng phương (vì 1−4≠1−1). Suy ra các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng. Do đó A, B, C không thẳng hàng.
Vậy ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Gọi toạ độ điểm M là: M(x1;y1)
Vì M là trung điểm của AB nên ta có:
x1=1+22y1=3+42⇔x1=32y1=72⇒M32;72.
Vậy điểm cần tìm là M32;72.
c) Gọi toạ độ điểm G là: M(x2;y2)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
x2=1+2+−33y2=3+4+23⇔x1=0y1=3⇒G0;3.
Vậy tọa độ điểm G(0;3).
d) Để O(0;0) là tọa độ trọng tâm tam giác ABD thì:
0=1+2+x30=3+4+y3⇔x+3=0y+7=0⇔x=−3y=−7
Vậy D(-3;-7) thì O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.
Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí A(1;2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vecto v→=3;4. Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.
Gọi A’(x’; y’) là vị trí tàu thủy đến sau khi khởi hành 1,5 giờ.
Khi đó, ta có:
x'=1+1,5.3y'=2+1,5.4⇔x'=5,5y'=8⇒A'5,5;8
Vậy sau khi khởi hành 1,5 giờ thì tàu thủy đến được vị trí A’(5,5;8).
Trong Hình 4.38, quân mã đang vị trí có tọa độ (1;2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?
Cách di chuyển của quân mã là đi theo hình chữ L, nên quân mã có thể đi đến các vị trí trống sau trên bàn cờ:
Tọa độ của các vị trí là: O(0;0), A(0;4), D(2;4), E(3;3), B(3;1), C(2;0).
