20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j .\) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2};5} \right).\)
\(\overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right).\)
\(\overrightarrow u = \left( { - 1;10} \right).\)
\(\overrightarrow u = \left( {1; - 10} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right)\).
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {2;\, - 1} \right),\,B\left( {4;\,3} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) bằng
\(\overrightarrow {AB} = \left( {8;\, - 3} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\, - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,4} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {6;\,2} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};\,{y_B} - {y_A}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2;\,4} \right).\)
Trong hệ trục tọa độ \[Oxy\], cho hai điểm \[M\left( {1;1} \right)\], \[N\left( {4; - 1} \right)\]. Tính độ dài vectơ \[\overrightarrow {MN} \].
\[\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {13} \].
\[\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 5\].
\[\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {29} \].
\[\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 3\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\overrightarrow {MN} = \left( {3; - 2} \right)\]\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {13} \].
Xác định tọa độ vectơ \(\overrightarrow c = 5\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \) biết \(\overrightarrow a = \left( {3; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;4} \right)\).
\(\overrightarrow c = \left( {2; - 11} \right)\).
\(\overrightarrow c = \left( { - 2;11} \right)\).
\(\overrightarrow c = \left( {13;18} \right)\).
\(\overrightarrow c = \left( {13; - 18} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow c = 5\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = 5\left( {3; - 2} \right) - 2\left( {1;4} \right) = \left( {13; - 18} \right)\).
Cho \[\overrightarrow a = \left( {2;1} \right),\overrightarrow b = \left( {3;4} \right),\overrightarrow c = \left( { - 7;2} \right)\]. Tìm vectơ \[\overrightarrow x \] sao cho \[\overrightarrow x - 2\overrightarrow a = \overrightarrow b - 3\overrightarrow c \].
\(\overrightarrow x = \left( {28;2} \right)\).
\(\overrightarrow x = \left( {13;5} \right)\).
\(\overrightarrow x = \left( {16;4} \right)\).
\(\overrightarrow x = \left( {28;0} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow x - 2\overrightarrow a = \overrightarrow b - 3\overrightarrow c \Leftrightarrow \overrightarrow x = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b - 3\overrightarrow c = \left( {28;0} \right)\).
Cho ba điểm \(A\left( { - 1;1} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( { - 2;0} \right)\). Tìm x sao cho \(\overrightarrow {AB} = x\overrightarrow {BC} \).
\(x = \frac{2}{3}\).
\(x = - \frac{2}{3}\).
\(x = \frac{3}{2}\).
\(x = - \frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \Rightarrow x = - \frac{2}{3}\).
Cho 2 vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2m - 1} \right)\overrightarrow i + \left( {3 - m} \right)\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \). Tìm m để hai vectơ cùng phương.
\(m = \frac{5}{{11}}\).
\(m = \frac{{11}}{5}\).
\(m = \frac{9}{8}\).
\(m = \frac{8}{9}\).
Đáp án đúng là: C
Để hai vectơ cùng phương thì \(\frac{{2m - 1}}{2} = \frac{{3 - m}}{3} \Leftrightarrow m = \frac{9}{8}\).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho \(A\left( {m - 1;2} \right),B\left( {2;5 - 2m} \right)\) và \(C\left( {m - 3;4} \right)\). Tìm giá trị m để A, B, C thẳng hàng.
\(m = - 2\).
\(m = 2\).
\(m = 1\).
\(m = 3\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - m;3 - 2m} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;2} \right)\).
Do A, B, C thẳng hàng nên tồn tại số thực k sao cho \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - m = - 2k\\3 - 2m = 2k\end{array} \right. \Rightarrow m = 2\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho \(\Delta ABC\)biết \(A\left( {2;\, - 3} \right),\,B\left( {4;\,7} \right),\,C\left( {1;\,5} \right)\). Tọa độ trọng tâm \(G\) của \(\Delta ABC\) là
\(\left( {7;\,15} \right)\).
\(\left( {\frac{7}{3};\,5} \right)\).
\(\left( {7;\,9} \right)\).
\(\left( {\frac{7}{3};\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Do \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{7}{3}\\{y_G} = 3\end{array} \right.\, \Rightarrow \,G\left( {\frac{7}{3};\,3} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho \[A\left( { - 1;1} \right)\,,\,B\left( {1;3} \right)\,,\,C\left( {5;2} \right)\]. Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(ABCD\)là hình bình hành.
\(\left( {3;0} \right)\).
\(\left( {5;0} \right)\).
\(\left( {7;0} \right)\).
\(\left( {5; - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Gọi \(D\left( {x;y} \right)\).
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right)\], \[\overrightarrow {DC} = \left( {5 - x;2 - y} \right)\].
\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - x = 2\\2 - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\end{array} \right.\).
Vậy \(D\left( {3;0} \right)\).
Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) với \(A\left( {4\sqrt 3 ; - 1} \right),B\left( {0;3} \right)\),\(C\left( {8\sqrt 3 ;3} \right)\).
a) \(AC = 8\).
b) Tam giác \(ABC\) cân tại \(B\).
c) \({S_{\Delta ABC}} = 16\sqrt 3 \).
d) \(\widehat {ABC} = 30^\circ \).
a) Đúng. \(\overrightarrow {AC} = \left( {4\sqrt 3 ;4} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} + {4^2}} = 8\).
b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4\sqrt 3 ;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 4\sqrt 3 } \right)}^2} + {4^2}} = 8\).
Ta thấy \(AB = AC = 8\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
Lại có \(\overrightarrow {BC} = \left( {8\sqrt 3 ;0} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( {8\sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} = 8\sqrt 3 \Rightarrow BC \ne AB\).
Vậy tam giác \(ABC\) không cân tại \(B\).
c) Đúng. Chu vi tam giác \(ABC:2p = AB + AC + BC = 8 + 8 + 8\sqrt 3 = 8\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\).
Nửa chu vi tam giác là \(p = 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\).
Diện tích tam giác: \({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = 16\sqrt 3 \).
d) Đúng. Ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB \cdot AC}} = \frac{{{8^2} + {8^2} - {{\left( {8\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot 8 \cdot 8}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BAC} = 120^\circ \).
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 30^\circ \).
Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho bốn điểm \(A\left( { - 1;3} \right),\,\,B\left( {0; - 1} \right),\,\,C\left( {1;4} \right)\), \(D\left( {2; - 9} \right)\).
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 4} \right)\).
b) Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(I\left( { - 1;2} \right)\).
c) Phân tích \(\overrightarrow {CD} \) ta được: \(\overrightarrow {CD} = k\overrightarrow {AB} + h\overrightarrow {AC} \). Khi đó \(k + h = - 2\).
d) Ba điểm \(I,B,D\) thẳng hàng (với \(I\) là trung điểm của \(AB\)).
a) Đúng. \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 4} \right)\).
b) Sai. Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(I = \left( {\frac{{ - 1 + 0}}{2};\frac{{3 - 1}}{2}} \right) = \left( {\frac{{ - 1}}{2};1} \right)\).
c) Sai. \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 4} \right)\) , \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;1} \right)\), \(\overrightarrow {CD} = \left( {1; - 13} \right)\) và
\(\overrightarrow {CD} = k\overrightarrow {AB} + h\overrightarrow {AC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k + 2h = 1\\ - 4k + h = - 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 3\\h = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {CD} = 3\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \). Vậy \(k + h = 2\).
d) Đúng. \(\overrightarrow {IB} = \left( {\frac{1}{2}; - 2} \right),\,\overrightarrow {ID} = \left( {\frac{5}{2}; - 10} \right)\). Dễ thấy \(\overrightarrow {IB} = \frac{1}{5}\overrightarrow {ID} \) nên \(I,B,D\) thẳng hàng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) với \(A\left( {4\,;6} \right),B\left( {5\,;1} \right)\), \(C\left( {1\,; - 3} \right)\).
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 5} \right)\).
b) Tọa độ điểm \(D\) thuộc \(Ox\) cách đều hai điểm \(A,B\) có hoành độ bằng \(13\).
c) \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\) là tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
d) Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{{\sqrt {13} }}{2}\).
a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 5} \right)\).
b) Sai. Gọi \(D\left( {x\,;0} \right) \in Ox \Rightarrow AD = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 - 6} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - 8x + 52} \);
\(BD = \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - 10x + 26} \).
Ta có \(A{D^2} = B{D^2} \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 52 = {x^2} - 10x + 26 \Leftrightarrow 2x = - 26 \Leftrightarrow x = - 13\).
Vậy \(D\left( { - 13\,;0} \right)\).
c) Đúng. Gọi \(I\left( {x\,;y} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\). Ta có \(IA = IB = IC\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}\end{array}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 10y = - 26}\\{ - 6x - 18y = - 42}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{1}{2}}\\{y = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\). Vậy \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\).
d) Sai. Bán kính đường tròn là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2} - 4} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2} - 6} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {130} }}{2}\).
Trên màn hình ra đa của một đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét, một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có tọa độ \(\left( {600;\,200} \right)\) đến thành phố B có tọa độ \(\left( {200;500} \right)\) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Giả sử \(M\left( {x;\,y} \right)\) là vị trí của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {400;300} \right)\).
b) \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 600;y - 200} \right)\).
c) \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AB} \).
d) \(M\left( {\frac{{1400}}{3};300} \right)\).
a) Sai. Ta có \(A\left( {600;\,200} \right)\), \(B\left( {200;500} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 400;300} \right)\).
b) Đúng. Với \(M\left( {x;\,y} \right)\) thì \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 600;y - 200} \right)\).
c) Sai. Vì máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ, thời gian bay quãng đường AM là 1 giờ nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).
d) Đúng. Từ \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \), ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - 600 = \frac{1}{3} \cdot \left( { - 400} \right)\\y - 200 = \frac{1}{3} \cdot 300\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1400}}{3}\\y = 300\end{array} \right.\).
Vậy \(M\left( {\frac{{1400}}{3};300} \right)\).
Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật \(ABCD\) với độ dài\(AB = 200\,\,{\rm{m}}\), \(AD = 180\,\,{\rm{m}}\), người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ AB và cách đỉnh A khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ CD và cách đỉnh C khoảng cách 30 m.
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] sao cho \(A\left( {0;0} \right),\,B\left( {200;\,0} \right),\,C\left( {200;180} \right),D\left( {0;\,180} \right)\). Giả sử vị trí các cột điện được trồng là \({C_1},{C_2},{C_3},{C_4}\).
a) \({C_1}\left( {20\,;0} \right)\).
b) \({C_4}\left( {30;\,180} \right)\).
c) \(\overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \frac{1}{4}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \).
d) Khoảng cách từ vị trí cột thứ hai đến các bờ AB, AD lần lượt là 60 m và 70 m.
a) Đúng. Do \({C_1}\) thuộc cạnh \(AB\) và \(A{C_1} = 20\) nên \({C_1}\left( {20;\,0} \right)\).
b) Sai. Do \({C_4}\) thuộc cạnh \(CD\) và \({C_4}C = 30\), suy ra \(D{C_4} = 170\) nên \({C_4}\left( {170;180} \right)\).
c) Sai. Do bốn cột điện \({C_1},{C_2},{C_3},{C_4}\) được trồng liên tiếp, cách đều trên một đường thẳng nên ta có \({C_1}{C_2} = {C_2}{C_3} = {C_3}{C_4}\), suy ra \(\overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \).
d) Đúng. Gọi tọa độ của \({C_2}\) đối với hệ trục đang xét là \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \left( {x - 20;y} \right)\).
Lại có \(\overrightarrow {{C_1}{C_4}} = \left( {150;180} \right)\). Do đó, từ \(\overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \), ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - 20 = \frac{{150}}{3} = 50\\y = \frac{{180}}{3} = 60\end{array} \right.\).
Suy ra \(x = 70,y = 60\), tức là \({C_2}\left( {70;60} \right)\).
Vậy khoảng cách từ vị trí cột thứ hai đến các bờ AB, AD lần lượt là 60 m và 70 m.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A\left( {2;2} \right),B\left( {1; - 3} \right),C\left( { - 3;0} \right)\). Biết rằng điểm \(E\left( {x;y} \right)\) thoả mãn \(\overrightarrow {AE} = - 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} \). Tính giá trị của \(7x + 5y\).
Ta có \(E\left( {x;y} \right)\) nên \(\overrightarrow {AE} = \left( {x - 2;y - 2} \right),\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 5} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 2} \right)\).
Suy ra \( - 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} = \left( { - 13;4} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow {AE} = - 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 = - 13}\\{y - 2 = 4\,\,\,\,\,\,}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 11}\\{y = 6}\end{array}} \right.} \right. \Rightarrow 7x + 5y = - 47\).
Đáp án: −47.
Cho \(\overrightarrow u = \left( {{m^2} + 3;2m} \right),\overrightarrow v = \left( {5m - 3;{m^2}} \right)\), \(m\) là tham số thực. Tìm số giá trị của tham số \(m\) để \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \) .
Ta có \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3 = 5m - 3\\2m = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m + 6 = 0\\{m^2} - 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow m = 2\).
Đáp án: 2.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {1; - 4} \right),\,\,B\left( { - 2;1} \right)\). Điểm \(M\) nằm trên trục hoành sao cho tam giác \(MAB\) cân tại \(M\). Tìm hoành độ của điểm \(M\).
Gọi \(M\left( {x;0} \right)\).
Do tam giác \(MAB\) cân tại \(M\) nên \(MA = MB\).
Ta có \(M{A^2} = M{B^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 16 = {\left( {x + 2} \right)^2} + 1\)\( \Leftrightarrow x = 2\).
Suy ra điểm \(M\left( {2;0} \right)\). Vậy hoành độ điểm \(M\) bằng \(2\).
Đáp án: 2.
Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng toạ độ. Trong khoảng thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có tọa độ \[\left( {13,8;\,\,\,107,8} \right)\] đến vị trí có toạ độ \(\left( {14,1;\,\,\,106,3} \right)\). Xác định hoành độ vị trí của tâm bão tại thời điểm 8 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.
Giả sử tâm bão đi từ vị trí \[A\left( {13,8;\,\,\,107,8} \right)\] đến vị trí \(B\left( {14,1;\,\,\,106,3} \right)\).
Gọi \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) là vị trí của tâm bão tại thời điểm 8 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.
Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \frac{8}{{12}}\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \). Mà \(\overrightarrow {AB} = \left( {0,3;\,\, - 1,5} \right)\) nên \(\overrightarrow {AM} = \left( {0,2;\,\, - 1} \right)\).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 13,8 = 0,2\\y - 107,8 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 14\\y = 106,8\end{array} \right.\).
Vậy vị trí của tâm bão tại thời điểm 8 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo là\(M\left( {14;\,\,106,8} \right)\).
Đáp án: 14.
Tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A\left( { - 1;2} \right)\), trực tâm \(H\left( {3;0} \right)\), trung điểm của \(BC\) là \(M\left( {6;1} \right)\). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Kẻ đường kính \(AA'\) của đường tròn khi đó ta có \(\widehat {ABA'} = \widehat {ACA'} = 90^\circ \) hay \(A'B \bot AB\) và \(A'C \bot AC\).
Vì \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\)\( \Rightarrow BH\,{\rm{//}}\,A'C\) và \(CH\,{\rm{//}}\,A'B\), do đó \(A'BHC\) là hình bình hành. Mà điểm \(M\) là trung điểm của đường chéo \(BC\) nên nó cũng là trung điểm của \(A'H\). Từ đó suy ra \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(AHA'\) nên \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = 2\left( {6 - {x_O}} \right)\\ - 2 = 2\left( {1 - {y_O}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_O} = 4\\{y_O} = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow O\left( {4;2} \right)\).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có độ dài bằng
\(OA = \sqrt {{{\left( { - 1 - 4} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = 5\).
Đáp án: 5.
