Bài tập Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương lớp 10 (có lời giải)
10 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vectơ cùng phương với \(\overrightarrow u = \left( { - \frac{5}{3};1} \right)\) là
\(\overrightarrow {{v_1}} = \left( { - 5;2} \right)\);
\(\overrightarrow {{v_2}} = \left( {\frac{5}{3};1} \right)\);
\(\overrightarrow {{v_3}} = \left( { - 1;\frac{5}{3}} \right)\);
\(\overrightarrow {{v_4}} = \left( {10; - 6} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{v_4}} = \left( {10; - 6} \right) = - 6\left( { - \frac{5}{3};1} \right) = - 6\overrightarrow u \) nên hai vectơ cùng phương.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 4 điểm A(3; 0), B(4; –3), C(8; –1), D(–2; 1). Ba điểm nào trong bốn điểm đã cho thẳng hàng?
B, C, D;
A, B, C;
A, B, D;
A, C, D.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;\,\, - 1} \right);\overrightarrow {AD} = \left( { - 5;\,\,1} \right)\) nên \(\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AD} \).
Vậy ba điểm A, C, D thẳng hàng.
Trong mặt phẳng Oxy, cho \[\overrightarrow a = \left( { - 5;1} \right),\overrightarrow b = \left( {4;x} \right)\]. Giá trị x nào sau đây thỏa mãn hai vectơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] cùng phương?
x = 1;
\(x = - \frac{4}{5}\);
\(x = - \frac{5}{4}\);
x = –1.
Đáp án đúng là: B
Để 2 vectơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] cùng phương thì: \[\frac{4}{{ - 5}} = \frac{x}{1},\] suy ra \[x = - \frac{4}{5}\] .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cặp vectơ nào sau đây không cùng phương?
\[\overrightarrow a = \left( {2;3} \right);\overrightarrow b = \left( { - 10; - 15} \right)\];
\[\overrightarrow u = \left( {0;5} \right);\overrightarrow v = \left( {0;8} \right)\];
\[\overrightarrow m = \left( { - 2;1} \right);\overrightarrow n = \left( { - 6;3} \right)\];
\[\overrightarrow c = \left( {3;4} \right);\overrightarrow d = \left( {6;9} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Ta thấy \[\frac{3}{6} \ne \frac{4}{9}\] nên \[\overrightarrow c = \left( {3;4} \right);\overrightarrow d = \left( {6;9} \right)\] không cùng phương.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;2} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 3;1} \right),\,\,\overrightarrow c = \left( { - 4;2} \right).\) Biết \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b + 4\overrightarrow c \). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow u \) cùng phương với \(\overrightarrow i \);
\(\overrightarrow u \) không cùng phương với \(\overrightarrow i \);
\(\overrightarrow u \) cùng phương với \(\overrightarrow j \);
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: B
Gọi \(\overrightarrow u = \left( {x;y} \right).\)
Ta có \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b + 4\overrightarrow c \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 4 \cdot \left( { - 4} \right) = - 19\\y = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 16\end{array} \right.\). Do đó \(\overrightarrow u = \left( { - 19;16} \right).\)
Vậy ta chọn phương án B.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1} \right),\) \(\overrightarrow b = \left( {3;4} \right),\) \(\overrightarrow c = \left( {7;2} \right).\) Biết \(\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b ,\) khi đó
\(m = \frac{{22}}{5};n = \frac{3}{5}\);
\(m = - \frac{{22}}{5};n = - \frac{3}{5}\);
\(m = \frac{1}{5};n = - \frac{3}{5}\);
\(m = \frac{{22}}{5};n = - \frac{3}{5}\).
Đáp án đúng là: D
Với \(\overrightarrow a = \left( {2;1} \right),\) \(\overrightarrow b = \left( {3;4} \right),\) ta có: \(m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \left( {2m + 3n;m + 4n} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 3n = 7\\m + 4n = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{{22}}{5}\\n = - \frac{3}{5}\end{array} \right..\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(4; 2), B(−2; 1), C(0; 3), M(−3; 7). Giả sử \(\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} + y\overrightarrow {AC} \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó x + y bằng
\(\frac{{12}}{5}\);
5;
\( - \frac{{12}}{5}\);
–5.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 7;5} \right);\overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 4;1} \right)\).
Theo bài, \(\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} + y\overrightarrow {AC} \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Từ đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - 6x - 4y = - 7\\ - x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{13}}{{10}}\\y = \frac{{37}}{{10}}\end{array} \right.\).
Khi đó: x + y = \(\frac{{12}}{5}\).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; –3), B(3; 4). Tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho A, B, M thẳng hàng là
M(1;0);
M(4;0);
\(M\left( { - \frac{5}{3};0} \right)\);
\(M\left( {\frac{{17}}{7};0} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Gọi M(x; 0).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;7} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2;3} \right)\)
Để A, B, M thẳng hàng thì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} \) cùng phương tức là \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{3}{7}\).
\( \Leftrightarrow x - 2 = \frac{3}{7}\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{17}}{7}\).
Vậy tọa độ điểm M là \(M\left( {\frac{{17}}{7};0} \right)\).
Cho 3 vectơ \(\overrightarrow a = \left( {5;3} \right);\) \(\overrightarrow b = \left( {4;2} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( {2;0} \right)\). Phân tích vectơ \(\overrightarrow c \) theo 2 vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\vec b\) ta được
\(\overrightarrow c = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b \);
\(\overrightarrow c = - 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \);
\(\overrightarrow c = \overrightarrow a - \overrightarrow b \);
\(\overrightarrow c = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b \).
Đáp án đúng là: B
Giả sử \(\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \) với m, n ∈ ℝ, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}5m + 4n = 2\\3m + 2n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 2\\n = 3\end{array} \right.\).
Vậy \(\overrightarrow c = - 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b .\)
Cho ba điểm A(–1; –1), B(0; 1) và C(3; 0). Tọa độ điểm D thuộc đoạn thẳng BC sao cho 2BD = 5DC là
\(D\left( {\frac{{15}}{7};\frac{2}{7}} \right);\)
\(D\left( { - \frac{{15}}{7};\frac{2}{7}} \right);\)
\(D\left( {\frac{2}{7};\frac{{15}}{7}} \right);\)
\(D\left( {\frac{{15}}{7}; - \frac{2}{7}} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Gọi D(xD; yD), ta có \(\overrightarrow {BD} \left( {{x_D};{y_D} - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {DC} \left( {3 - {x_D}; - {y_D}} \right).\)
Vì D thuộc đoạn thẳng BC sao cho 2BD = 5DC nên ta có \(2\overrightarrow {BD} = 5\overrightarrow {DC} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x_D} = 5\left( {3 - {x_D}} \right)}\\{2\left( {{y_D} - 1} \right) = 5\left( { - {y_D}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_D} = \frac{{15}}{7}}\\{{y_D} = \frac{2}{7}}\end{array}} \right..\)
Vậy \(D\left( {\frac{{15}}{7};\frac{2}{7}} \right).\)
